TEORI COMONOTONIC dan APLIKASINYA pada MATEMATIKA

TEORI COMONOTONIC dan APLIKASINYA
pada
MATEMATIKA KEUANGAN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan
Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh:
Gita Tjendana
10103021
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
2008
TEORI COMONOTONIC dan APLIKASINYA
pada
MATEMATIKA KEUANGAN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan
Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh:
Gita Tjendana
10103021
Telah Diperiksa dan Disetujui
Bandung, Februari 2008
Dr.M.Syamsuddin, M.Com
NIP. 131284803
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
2008
I’ll spread my wings and I’ll learn how to ‡y.
I’ll do what it takes till I touch the sky.
Out of the darkness and into the sun,
but I won’t forget all the ones that I love.
I won’t forget the place I come from.
— — for my lovely family and ITB — —
(taken from Breakaway - Kelly Clarkson)
Daftar Isi
Prakata
v
Abstract
viii
Abstrak
ix
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Ruang Lingkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Landasan Teori
4
2.1 Fungsi Convex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Ruang Probabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Aljabar dan
- Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Ukuran, Ruang Probabilitas, dan Peubah Acak . . . . .
7
2.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4 Gerak Brownian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5 Model Pergerakan Harga Saham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Opsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.1
Konsep Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2
Opsi Asia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
DAFTAR ISI
ii
2.7 Formula Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Simulasi Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8.1
Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8.2
Metode Antithetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8.3
Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Asia . . . . . . . . . . . 18
3 Teori Comonotonic
21
3.1 Pengurutan Variabel Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Invers Fungsi Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Teori Comonotonic untuk Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Teori Comonotonic untuk Vektor Acak . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Jumlah Peubah Acak Comonotonic . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Batas Atas Comonotonic untuk Jumlah Peubah Acak . . . . . . 40
3.7 Batas Bawah Comonotonic untuk Jumlah Peubah Acak . . . . . 46
4 Aplikasi Teori Comonotonic
48
4.1 Batas Atas Harga Opsi Asia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Batas Bawah Untuk Harga Opsi Asia . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Penerapan Dalam Persamaan Black Scholes . . . . . . . . . . . 52
4.3.1
Batas Atas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2
Batas Bawah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Simulasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Penutup
66
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Daftar Algoritma
68
Daftar Gambar
3.1 Himpunan Kurva Terhubung antara X c dan Y c . . . . . . . . . 32
iii
Daftar Tabel
4.1 Kasus pertama T = 120 dan n = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Kasus kedua T = 60 dan n = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Kasus ketiga T = 120 dan n = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
iv
Prakata
Masalah pencarian harga suatu opsi adalah suatu masalah yang banyak dilihat dalam matematika keuangan dan dalam tugas akhir ini opsi yang akan
dijadikan objek adalah opsi asia aritmatik diskrit. Pada umumnya masalah
pencarian nilai harga opsi asia dan selang kepercayaannya dapat diselesaikan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Dalam tugas akhir ini akan
dibahas sebuah teori dari dunia insurance yang dapat diterapkan ke dalam
perhitungan batas atas dan batas bawah (sebagai selang kepercayaan) harga
opsi asia.
Manusia adalah makhluk yang penuh rasa ingin tahu. Demikian halnya
penulis yang tertarik dengan masalah ini. Untuk mengembangkan metode ini
penulis membutuhkan suatu alat yang bernama teori comonotonic. Sampai
saat ini teori ini masih menjadi bahan perbincangan yang cukup asing antara
teman dan senior-senior penulis di S1. Hal inilah yang makin mendorong
ketertarikan penulis untuk membahas hal ini. Penulis gembira bisa menyajikan
suatu hal yang baru pada orang-orang di sekitar penulis. Satu hal yang pasti
adalah penulis sangat mengharapkan tugas akhir ini kelak akan berguna bagi
mereka yang sedang mendalami dunia matematika keuangan.
Pada akhirnya penulis ingin berterima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa
dan guru spiritual penulis yang telah memberikan banyak pelajaran mengenai
hidup, Buddha Gautama. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada:
1. Keluarga penulis, Papa Mama tercinta, Cece Jufang dan Cece Lili, dan
tentunya Lopi Leki Bobo Boli yang terus menyajikan sesi keceriaan dan
v
PRAKATA
vi
kerinduan dalam hidup penulis. “Aku bukan apa tanpamu, kalianlah api
terbesar dalam hidupku. Kalianlah yang akan selalu berada di samping
diri ini sampai kapanpun”
2. Dr. Muhammad Syamsuddin, M.Com yang telah membimbing penulis
memahami ilmu halus ini. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih
atas gelak tawa saat pembahasan yang membuat hati ini rileks, tekanan
batin untuk menjadi terbaik, motivasi dalam belajar, dan tentunya semua pelajaran menghadapi hidup yang pernah diberikan Bapak. "Dari
Bapaklah diri ini belajar untuk hanya bergantung pada diri sendiri, tidak
bergantung pada orang lain."
3. Dr.Kuntjoro Adji Sidarto dan Dr.Novriana Sumanti yang telah bersedia
menjadi dosen penguji untuk tugas akhir ini. Terima kasih atas semua
masukan dan waktunya.
4. Dr. Johann Mattheus Tuwankotta yang telah menjadi dosen wali bagi
penulis selama berada di kampus ini. "Sungguh beruntung bisa mendapatkan dosen wali seperti Bapak, sangat memotivasi diri ini. "
5. Dr. Lienda Noviyanti yang telah membantu menjawab kesulitan yang
penulis hadapi saat mengerjakan tugas akhir ini.
6. Segenap sta¤ Tata Usaha dan semua penghuni Gedung Labtek III Matematika yang telah menemani penulis menjalani pembelajaran selama
kurang lebih 4.5 tahun lamanya.
7. Vijayo Sugi, Lucky, Indra, Je¤san,Markus Kasim, dan Spektro. Kalianlah sahabat terbaikku, sahabat di kampus yang selalu mendewasakan
diri ini. Semoga kita dapat berkumpul lagi di lain hari, hari dimana
semua kenangan bersatu kembali. "Senang rasanya bisa bertemu dan
bersahabat dengan kalian semua."
PRAKATA
vii
8. Keluarga besar KMB Dhammanano ITB. Jangan lupakan motto kita
“Ohanna – Organisasi – Kerohanian. Ohanna means family, family
means nobody left behind.”Sungguh bahagia aku bisa mempunyai jalan
hidup yang berpapasan dengan jalan hidup kalian semua.
9. Keluarga besar Math-03 ITB yang membuat penulis makin merasa kehilangan di sisa-sisa hidup penulis di ITB. Tak lupa penulis ingin mengucapkan terima kasih untuk tim penelitian HIMATIKA - Tanoto Foundation (2007).
10. Semua orang yang pernah menjadi cambuk bagi penulis dalam menghadapi hidup.
11. The Hongkong and Shanghai Banking Corporation (HSBC) yang telah
menyediakan semua dana bagi penulis untuk tetap belajar disini.
Penulis bersedia menerima saran dan kritik dari pembaca tentang isi tugas
akhir ini yang tentunya dapat membuat penulis semakin berkembang.
Bandung, Februari 2008
Gita Tjendana
[email protected]
Abstract
Asian option has an interesting characteristic because the price of asian option
depends on the price of some stocks before its maturity time. In this …nal
project the main object is arithmetic discrete asian option. The price of this
option depends on the sum of the price of some stocks before its maturity time.
Pricing this option analytically is not an easy job because we have to determine
the probability distribution function of the sum of these stocks. That’s why
in many cases we determine the price of asian option numerically and Monte
Carlo simulation is one way to make it done. Monte Carlo simulation provides
us informations about the price of asian option and its con…dence interval. In
this …nal project I use a new method using comonotonic theory from insurance.
The result is the con…dence interval of the price of asian option and it will be
compared with Monte Carlo simulation con…dence interval.
Keywords : Comonotonic theory, asian option, Monte Carlo simulation.
viii
Abstrak
Opsi asia adalah salah satu jenis opsi yang sifatnya unik karena harga opsi
asia bergantung kepada harga beberapa saham sebelum maturity time-nya.
Dalam tugas akhir ini opsi asia yang akan dibahas adalah opsi asia aritmatik
diskrit. Harga opsi asia aritmatik diskrit bergantung kepada jumlah dari beberapa saham sebelum maturity time-nya. Pencarian harga opsi ini secara
analitik tidaklah mudah karena proses pencarian ini memerlukan fungsi distribusi peluang dari jumlah harga beberapa saham tersebut. Oleh karena
itu pencarian harga opsi asia umumnya dilakukan secara numerik. Salah satu
metode yang sering digunakan adalah metode simulasi Monte Carlo. Hasil dari
metode ini bukan saja harga opsi asia tersebut tetapi juga dapat berupa selang
kepercayaan dimana harga opsi tersebut berada. Tugas akhir ini akan membahas suatu metode baru yang menggunakan sebuah teori dari dunia insurance
bernama teori comonotonic. Hasil dari metode ini adalah selang kepercayaan
untuk harga opsi asia dan hasil ini akan dibandingkan dengan hasil dari simulasi Monte Carlo.
Kata kunci : Teori comonotonic , opsi asia , simulasi Monte Carlo .
ix