persamaan differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL
Definisinya : Suatu persamaan yang mempunyai satu atau lebih
turunan dari sebuah fungsi yang tidak diketahui.
Persamaan Umum:

F x, y, y 1 , y  2  ,......, y  n 
I.
 0
Persamaan Homogen Linear
Persamaan diferensial linear orde ke –n
y n   a1 xy n1  .....  an1 xy '  an xy  k x
dimana n≥2
Bentuk notasi operator:
D
x
n
n 1


 a1 x Dx
 ........  an1 x Dx  an x y  k x 
 Persamaan Linear Orde ke-2
Bentuk rumusannya:
y  a1 x  y  a2 x  y  k x 
''
'
Dua asumsi penyederhanaan:
1. a1 x  dan a2 x = konstanta
2. k(x) identik dengan nol
 Persamaan diferensial homogen linear orde ke dua
y  a1 y  a2 y  0
''
'
Solusi dari persamaan diatas:
c1u1 x   c2u2 x 
 Persamaan Pelengkap
rx
Dx e rx   re rx dimana e merupakan solusi
Persamaan dalam bentuk operator:
…………….(1)
D2  a D  a y  0

1
2

D
2


 a1 D  a2 e rx  e rx r 2  a1r  a2
Persamaan diatas akan nol apabila:
r 2  a1r  a2  0
……………(2)
Persamaan(2) disebut persamaan pelengkap
 Teorema A Akar-akar Real yang Berbeda
Solusi Umumnya:
y  C1e
r1 x
 C2 e
r2 x

 Teorema B Akar Tunggal Berulang
Solusi Umumnya:
y  C1e
r1 x
 C2 xe
r1 x
 Teorema C Akar-Akar Gabungan Kompleks Akar gabungan
kompleks= (α±β)
Solusi Umumnya:
y  C1ex cos x  C2ex sin x
 Persamaan dengan Orde yang Lebih Tinggi
Akar-akar persamaan pelengkap
r n  a1r n1  .....  an1r  an  0
Contoh:
r  r1 r  r2 3  r  
Solusi umum:

  i r     i   0

y  C1e r1x  C2  C3 x  C4 x 2 e r2 x  ex C5 cos x  C6 sin x 
Contoh Soal:
Tentukan solusi umum untuk:
y 4   3 y '  4 y  0
Penyelesaian:
Persamaan pelengkap:



r 4  3r 2  4  r 2  4 r 2  1  0
dengan akar-akar 2i,-2i,1 dan -1 maka solusi umumnya
y  C1e x  C2 e  x  C3 cos 2 x  C4 sin 2 x
II.
Persamaan Tak Homogen
Rumusan persamaan linear tak homogen umum:
y n   a1 y n1  .....  an1 y '  an y  k x
Penyelesaian Umum:
1. Solusi umum yh  c1u1 x   c2u2 x 
2. Solusi khusus yp untuk tak homogen
3. Solusi Total y  y  y
h
p
Penyelesaian persamaan diatas mengunakan 2 metode:
 Metode Koefisien Tak Tentu
 Metode Variasi Parameter
 Metode Koefisien Tak Tentu
Definisi : Solusi khusus didapat dengan menduga bentuk yp
jika bentuk k(x) diketahui.
Bentuk k(x)
polinomial, eksponensial , sinus dan cosinus
Jika k(x)=
bmxm+….+b1x+b0
beαx
b cos βx +c sin βx
Cobalah yp =
Bmxm+…..+B1x+B0
Beαx
B cos βx + C sin βx
Modifikasi: Jika sebuah suku di dalam fungsi k(x) merupakan
solusi untuk persamaan homogen, kalikan solusi coba-coba
tersebut dengan x ( atau pangkat x yang lebih tinggi )
Ilustrasi tabel diatas :
1. y ''  3 y '  4 y  3x 2  2
y p  B2 x 2  B1 x  B0
2.
3.
4.
5.
6.
y  3y  4 y  e
''
'
2x
y p  Be 2 x
y ''  4 y '  2 sin x
y p  B cos x  c sin x
y ''  2 y '  3x 2  2
y ''  3 y '  4 y  e 4 x
y p  B2 x3  B1 x 2  B0 x
y p  Bxe4 x
y ''  4 y  sin 2 x
y p  Bx cos 2 x  Cx sin 2 x
 Contoh soal :
''
'
2
y

y

2
y

2
x
 10 x  3
Selesaikan
Penyelesaian:
Persamaan pelengkap r 2  r  2  0 mempunyai akarakar -2 dan 1
2 x
x
y

C
e

C
e
 Solusi Umum
h
1
2
 Solusi khusus : y p  Ax2  Bx  C
Substitusi persamaan ini ke persamaan diferensial diatas
hasilnya :
1
2
yp  x

Solusi
 4x 
2
y  yh  y p
y  C1e
2 x
1
 C2 e  x  4 x 
2
x
2
 Metode Variasi Parameter
Solusi khusus untuk persamaan tak homogen :
y p  v1 x u1 x   v2 x u2  x 
dimana :
v1' u1  v2' u2  0
v1' u1'  v2' u2'  k x 
Contoh soal:
Tentukan Solusi untuk y ''  y  sec x
Peny elesaian:
 Solusi umum: yh  C1 cos x  C2 sin x

Solusi khusus : y p  v1 x  cos x  v2 x sin x
dimana:
v1' cos x  v2' sin x  0
 v1' sin x  v2' cos x  sec x
'
Didapat: v1   tan x dan v2'  1 maka
y p  ln cos x cos x  x sin x
Jadi :
y  C1 cos x  C2 sin x  ln cos x cos x  x sin x
 Aplikasi Persamaan Orde Kedua
Tinjau rangkaian listrik pada gambar di bawah ini dengan
sebuah resistor, induktor dan capasitor.
Hukum kirchhoff dalam muatan Q (Coulomb)
d 2Q
dQ 1
L 2 R
 Q  E t  ……..(1)
dt
dt C
Arus I  dQ diukur dalam Amper , dan per(1) di
dt
Deferensialkan terhadap t yaitu:
d 3Q
d 2Q 1 dQ
'
L 3 R 2 
 E t 
dt
dt
C dt
d 2I
dI
1
'
t 
L

R

I

E
2
dt
dt C
Contoh :
Tentukan muatan Q dan arus I sebagai fungsi-fungsi dari
waktu t di dalam sebuah rangkaian RLC jika R=16 Ώ, L = 0,02 H,
C = 2 x 10-4 F dan E = 12 V. Asumsikan Q =0 dan I = 0 di t=0
(ketika saklar tertutup)
Peny:
Berdasarkan hukum kirchhoff dalam rumus (1)
d 2Q
dQ
1
0,02 2  16

Q  12
4
dt
dt 2 x10
d 2Q
dQ
…….(1)

800

250000
Q

600
dt 2
dt
Pers pelengkap:
r 2  800r  250000  0
r1, 2  400  300i
maka:
Qh  e 400t C1 cos 300t  C2 sin 300t 
solusi khusus dari persamaan tak homogen
Qp  C  dQ / dt  0; d 2Q / dt 2  0
d 2Q
dQ
 800
 250000Q  600
2
dt
dt
maka:
0  8000  250000C  600  C  2,4 x103
Qp  2,4 x103
Solusi umumnya :
Q  2,4 x103  e 400t C1 cos 300t  C2 sin 300t 
Syarat awal Q=0 dan I=0 pada saat t=0 maka :
C1= -2,4x10-3
I = dQ/dt
C2= -3,2x10-3 maka:
3
Q  2,4 x10  e
400t
 2,4x10
3
3
cos 300t  3,2 x10 sin 300t

I=dQ/dt
maka :
I  0,96e
400t
cos 300t  0,72e
400t
sin 300t
 1,28e 400t sin 300t  0,96e400t cos 300t
I  2e 400t sin 300t
Pembahasan soal-soal :
Selesaikan persamaan diferensial dengan koefisien tak tentu
berikut ini:
1. y ''  3 y '  10 y  0; y  1; y ,  10 pada x=0
2. y ''  9 y  0; y  3; y '  3 pada x=π/3
''
'
y  4 y  cos x
3.
4. y ''  4 y  4 sin x; y  4; y '  0 ketika x =0
Selesaikan PD berikut dengan variasi parameter:
5. y ''  3 y '  2 y  5 x  2
6. Tentukan muatan Q pada kapasitornya sebagai fungsi waktu
jika S adalah rangkaian tertutup pada waktu t=0. Dimana
E=1V, R=106Ω, C=10-6F. Asumsikan kapasitor tersebut
awalnya belum bermuatan.