(A) + P(B)

PROBABILITAS dan STATISTIKA
DASAR-DASAR
TEORI PELUANG
MK. STATISTIKA
Konsep Dasar Probabilitas
Teori Probabilitas – didasarkan pada konsep dari suatu
eksperimen random
Random – fenomena/eksperimen dimana keluaran individual
tidak pasti tetapi ada distribusi yg regular dari keluaran utk
jumlah pengulangan yang banyak
Probabilitas – proporsi berapa kali suatu keluaran spesifik
akan muncul dlm suatu serie pengulangan yang panjang dari
suatu eksperimen
KONSEP DASAR PELUANG =
PROBABILITAS
Probabilitas dan Teori Keputusan
Konsep-Konsep Dasar
Probabilitas
Distribusi Probabilitas
Diskrit
Pengertian Probabilitas dan
Manfaat Probabilitas
Pendekatan Terhadap
Probabilitas
Hukum Dasar Probabilitas
Distribusi Normal
Teorema Bayes
Teori Keputusan
Menggunakan MS Excel Untuk
Probabilitas
Konsep Dasar Probabilitas
Definisi:
Probabilitas adalah peluang suatu kejadian
Manfaat:
Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan
keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada
kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.
Contoh:
• pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham
• peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau
tidak), dll.
Konsep Dasar Probabilitas
Probabilitas:
Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan
terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai
1 atau dalam persentase.
Percobaan:
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang
memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa
memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
Hasil (outcome):
Suatu hasil dari sebuah percobaan.
Peristiwa (event):
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah
percobaan atau kegiatan.
PENGERTIAN PELUANG
Contoh:
Percobaan/
Kegiatan
Pertandingan sepak bola Persita VS
PSIS di Stadion Tangerang, 5 Maret
2003.
Hasil
Persita menang
Persita kalah
Seri -- Persita tidak kalah dan tidak
menang
Persita Menang
Peristiwa
PENDEKATAN PROBABILITAS
1. Pendekatan Klasik
2. Pendekatan Relatif
3. Pendekatan Subjektif
PENDEKATAN KLASIK
Definisi:
Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang
sama untuk terjadi.
Rumus:
Probabilitas = jumlah kemungkinan hasil suatu peristiwa
jumlah total kemungkinan hasil
8
PENDEKATAN KLASIK
Percobaan
Hasil
Probabilitas
Kegiatan
melempar uang
1. Muncul gambar
2. Muncul angka
2
½
Kegiatan
perdagangan
saham
Perubahan harga
1. Menjual saham
2. Membeli saham
2
½
1. Inflasi (harga naik)
2. Deflasi (harga turun)
2
½
Mahasiswa belajar
1. Lulus memuaskan
2. Lulus sangat memuaskan
3. Lulus terpuji
3
1/3
PENDEKATAN RELATIF
Definisi:
Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama,
tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi.
Rumus:
Probabilitas =
jumlah peristiwa yang terjadi suatu peristiwa
jumlah total percobaan
Contoh:
PENDEKATAN SUBJEKTIF
Definisi:
Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada
penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu
derajat kepercayaan.
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
A. Hukum Penjumlahan
P(A ATAU B) = P(A) + P(B)
Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25
Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60
Peristiwa atau Kejadian Bersama
A
AB
B
P(A ATAU B) = P(A) + P(B) – P (AB)
Apabila P(AB) = 0,2, maka ,
P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
• Peristiwa Saling Lepas
P(AB) = 0
Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0
= P(A) + P(B)
A
• Hukum Perkalian
P( A DAN B) = P(A) X P(B)
Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25
Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875
• Kejadian Bersyarat P(B|A)
P(B|A) = P(AB)/P(A)
B
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
• Hukum Perkalian
P( A DAN B) = P(A) X P(B)
Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25
Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875
• Kejadian Bersyarat P(B|A)
P(B|A) = P(AB)/P(A)
• Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)
P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)
DIAGRAM POHON
Keputusan Jual atau Beli
Probabilitas Bersyarat
Diagram Pohon
Suatu diagram
berbentuk pohon
yang membantu
mempermudah
mengetahui
probabilitas suatu
peristiwa
Jual
1
0,6
Jenis Saham
Probabilitas bersama
1 x 0,6 x 0,35 = 0,21
BCA
0,35
BLP
0,40
1 x 0,6 x 0,40 = 0,24
BNI
0,25
1 x 0,6 x 0,25 = 0,15
BCA
0,35
1 x 0,4 x 0,35 = 0,14
BLP
0,40
1 x 0,4 x 0,40 = 0,16
0,25
1 x 0,4 x 0,25 = 0,10
Beli
BNI
Jumlah Harus = 1.0
0,21+0,24+0,15+0,14
+0,16+0,10 =1,0
TEOREMA BAYES
Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi
setelah kejadian lain ada.
Rumus:
P(Ai|B) =
P(Ai) X P (B|Ai)
P(A1) X P(B|A1)+P(A2) X P(B|A2) + … + P(Ai) X P(B|AI)
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG
• Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur
sesuatu dalam kelompok).
Factorial = n!
• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika
terdapat satu kelompok objek).
Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!
• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan
objek tanpa memperhatikan urutannya.
Permutasi nPr = n!/ (n-r)!
Apakah Probabiltas?
• Frekuensi relatif jangka panjang
– Jika melempar coin, frekuensi relatif dari “head” tidak menentu utk 2, 5
atau 10 pelemparan
– Jika pelemparan suatu coin dilakukan bbrp ribu kali, frekuensi relatif tetap
stabil
• Probabilitas matematis adalah idealisasi dari apa yg terjadi thd
frekuensi relatif setelah pengulangan sejumlah tak hingga eksperimen
random
Probabilitas dari “Head”
• Probabilitas didasarkan pd frekuensi relatif jangka panjang
Model Probabilitas
• Sample Space - set dari semua keluaran (outcomes) yg mungkin
dari eksperimen random (S)
• Event – suatu keluaran (outcome) atau satu set outcomes dari
suatu eksperimen
• Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yg
memetakan dari events pada sample space ke bilangan real
antara 0 dan 1
• Probabilitas dari semua outcomes yg mungkin (yaitu sample
space) harus sama dg 1
Model Probabilitas
• Contoh: Pelemparan (toss) suatu dadu
• Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6}
• Event:
A = {muncul angka genap},
B = {muncul angka ganjil},
D= {muncul angka 2}
• Ukuran Probabilitas:
P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
Aturan-Aturan Probabilitas
• Probabilitas dari sembarang event P(A) hrs memenuhi
0 < P(A) < 1
• Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah event A
tdk terjadi
 P(Ac) = 1 - P(A)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};
mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3
• Addition Rule = utk dua events A dan B yg terpisah/ disjoint (no common
outcomes)
P (A or B) = P(A) + P (B)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};
mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3
Aturan-Aturan Probabilitas
• Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent,
jika diketahui bhw salah satu terjadi/muncul tdk mengubah
probabilitas yg lain muncul
P (A and B) = P(A)*P(B)
Contoh: Lempar sepasang dadu
S = {(1,1),(1,2),….(6,6)}  36 kemungkinan outcomes
mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}
Maka P(A) = 6/36 = 1/6;
P(B) = 6/36 = 1/6 dan
P(dadu pertama 6, dadu kedua 1)
= P(A and B)
= 1/36 = P(A) P(B)
 menunjukan independence
Aturan-Aturan Probabilitas
• Multiplication Rule
Contoh dari kasus Dependent: lempar sepasang dadu
S = {(1,1),(1,2),….(6,6)}  36 kemungkinan outcomes
mis A ={dadu pertama 6} =
{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
mis B = {jumlah dadu pertama & kedua =9} =
{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}
Maka P(A) = 6/36 = 1/6;
P(B) = 4/36 = 1/9 dan
P(dadu pertama 6, jumlah = 9) = P(A and B) = 1/36
tdk sama P(A) P(B) = 1/54
 menunjukan dependence
Aturan-Aturan Probabilitas
• Contoh: suatu web site memp tiga server A, B, dan C, yg dipilih
secara independent dg probabilitas:
P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.
(a) Cari probabilitas A atau B dipilih
P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4
(b) Cari probabilitas A tdk dipilih
P(Ac) = 1 – P(A) = ¾
(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali
P(AA) = P(A)P(A) = 1/16
(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA
P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
Peluang Bersyarat = Conditional Probability
• Utk dua event A dan B probabilitas dari event A diberikan bhw
event B telah terjadi dinyatakan:
P(A|B) dan ditentukan dg
P (A|B) = P(A and B)/P(B)
Contoh: Lempar satu dadu S = {1,2,3,4,5,6}.
mis A ={2}, B={bil genap} = {2,4,6},
P(A|B) = P(A and B)/P(B) = (1/6)/(1/2) = 1/3
Bayes Rule
• Utk dua event A dan B yg mempartisi sample space, yaitu (A atau B) = S
dan event ketiga C ditentukan di atas A dan B
Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1,1) (1,2), …. (6,6)} 36
kemungkinan outcomes. Mis A ={jumlah dadu 9 atau lebih besar},
A = {(6,3),(5,4), (4,5), (3,6), (6,4), (5,5), (4,6), (6,5), (5,6), (6,6)}
B = Ac = {jumlah dadu 8 atau kurang} = {(1,1) , (1,2,) ….(6,2), …(2,6)} --cat P(A) = 10/36 dan P(B) = 26/36
Bayes Rule
• Mis C event jumlah dari dadu adalah bil genap {2,4,6,8,10,12},
P(C|A) =4/10 dan P(C|B) = 14/26
PEUBAH ACAK
• Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya
tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random
didefinisikan pd sample space S
• Contoh: Mis X, bilangan jumlah dari head pd pelemparan dua
coin yg fair. Sample space S dari eksperimen adalah:
S ={(t,t),(t,h),(h,t),(h,h)} dimana t menunjukan tail dan h
menunjukan head
PEUBAH ACAK
• Suatu random variable X dikarakteristikan oleh salah satu:
– probability density function (pdf): f(x)
– cumulative density function (cdf):
• Contoh: perhatikan random variable X, yg merupakan jumlah
head pd pelemparan dua coin
– f(x) diberikan dg P{X = 0} = .25; P{X=1} = .5 ; P{X=2} = .25
– F(x) diberikan dg
Probability Density Function
• Formula matematis
• Memperlihatkan semua harga, X,
& frekuensi, f(X)
– f(X) adalah probability density
function (pdf)
• Properties
– Area di bawah kurva = 1
– Mean (µ)
– Standard Deviation ()
Tipe-Tipe Peubah Acak
• Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya
tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random
didefinisikan pd sample space S
– Jika S adalah terbatas (finite) atau dp dihitung (countable)  X
adalah suatu discrete random variable (mis., jumlah head pd
pelemparan dua coin)
– Jika S adalah kontinyu  X adalah suatu random variable kontinyu
(mis., waktu antar queries ke suatu server database)
Tipe-Tipe Peubah Acak
• Jika X discrete random variables maka
• Jika X continuous random variables maka
Peubah Acak Diskrit
• Discrete Random Variables yg umum:
– Bernoulli, Geometric, Binomial dan Poisson
• Bernoulli – memodelkan eksperimen spt toss suatu coin
– X adalah suatu indicator function
– X = 1  sukses; X = 0  gagal
Spt coin toss dg probabilitas p mendpkan head, 1-p mendpkan tail
Peubah Acak Diskrit
• Geometric – memodelkan jumlah percobaan X sampai sukses
pertama pd suatu deretan percobaan Bernoulli trials
P{X = x} = f(x) = (1-p)x-1p;
dimana x = 1,2,3, …
Mean = 1/p
Variance = (1-p)/p2
Sbg contoh, memodelkan jumlah tail yg terlihat sblm head
pertama pd suatu deretan coin tosses
Peubah Acak Diskrit
• Binomial – memodelkan jumlah sukses X pd n percobaan/trials.
Mis p menyatakan probabilitas sukses pd 1 trial, probabilitas
dari k sukses diberikan dg
Mean = np, Variance = np(1-p)
Tabel pd textbook memp macam-macam harga dari P(X = k)
Contoh : Peubah Acak Kontinyu
Eksperimen
Random Variable
Harga Yg Mungkin
Berat mahasiswa ITB Berat
43.2, 78, … Kg
Umur hidup battery
900, 875.9, … jam
Jam
Lama panggilan
Lama panggilan
telepon
Waktu antar
Waktu antar
kedatangan paket ke
kedatangan
router
3.2, 1,53, … menit
0, 1.3, 2.78, … det
Contoh : Peubah Acak Kontinyu
Continuous Random Variable
• Continuous Random Variables yg umum:
– Exponential, Uniform, Normal
• Exponential – memodelkan waktu antar kedatangan, lama
waktu pelayanan (mis., waktu dari panggilan telepon), mis
X suatu exponential random variable dg mean a.
Peubah Acak Kontinyu
• Uniform – memodelkan kasus “equally likely”. Mis. X uniform
random variable antara a dan b – yaitu X akan mempunyai
harga antara a dan b dengan kemungkinan “equally likely”
Peubah Acak Kontinyu
• Normal – Normal random variable memodelkan fenomena
random alamiah utk jumlah yg besar. Mis X suatu normal
random variable
• Standard Normal Z adalah kasus dimana:
Mean = 0, Variance = 1.
Nilai Z & Peluang
• Normal Distribution
• Hubungan langsung antara persentase dan
probabilitas
• Persentase dari kurva normal dp di- rephrased sbg
problem probabilitas
Nilai Z & Peluang
• Berapakah probabilitas bhw
pekerja pabrik yg dipilih random
akan melaksanakan test dibawah
81 seconds atau diatas 75
seconds?
 Suatu konsultan menyelidiki
waktu diperlukan pekerja pabrik
utk assemble suatu part stlh
mereka ditraining
 Konsultan menentukan bhw
waktu dlm detik terdistribusi
normal dg mean µ = 75 seconds
dan standard deviation  = 6
seconds.
P(X<x) = P(Z <z)
dimana z = (x- µ)/ 
P(75 < X < 81)
P(75 < X < 81)
Momentum
• Ekspektasi E[x] atau mean atau first moment dari suatu
random variable X di definisikan dg
Moment lebih tinggi didp dg mengganti x dg xn
Ragam , Mode, Quantil
• Variance didefiniskan sbg
• Mode adalah titik dimana f(x) adalah maximum
• Quantile –  quantile dari X ditulis x adalah titik pd X dimana F(x) =

• Cat. 0,5 quantile disebut median dimana 50% harga pd kedua sisi
Aturan-Aturan untuk Peubah Acak
• Aturan utk Means
– Suatu transformasi linier dari suatu random variable
menghasilkan suatu linear scaling dari mean. Yaitu jika X
adalah suatu random variable dg mean µX dan a dan b
adalah konstanta maka jika Y = aX + b mean dari Y diberikan
oleh µY = aµX + b
– Mean dari sum dari suatu set dari random variables adalah
sum dari individual mean. Yaitu jikaf X dan Y adalah random
variables maka µX+Y = µX + µY
Aturan-Aturan untuk Peubah Acak
• Aturan utk Variances
– Suatu transformasi liniear dari suatu random variable
menghasilkan suatu squared scaling dari variance. Yaitu jika
X adalah suatu random variable dg variance x2 dan a dan b
adalah konstanta maka jika Y = aX + b variance dari Y
diberikan oleh y2 = a2 x2
– Variance dari sum dari suatu set dari independent random
variables adalah sum dari individual variances. Yaitu jika X
dan Y adalah random variables maka x+y2 = x2 + y2
Statistik Inferensial
• Menggunakan teori probabilitas utk membuat
kesimpulan mengenai suatu populasi dari data sampel
• Tdk dp memperoleh data dari setiap anggota populasi
maka menguji suatu sampel random dari populasi dan
berdasarkan statistik dari sampel menyimpulkan
mengenai parameter dari populasi
Statistik Inferensial
• Statistical Inference: menggunakan statistik dari suatu sampel
random utk menyimpulkan mengenai parameter dari suatu
populasi
– Sbg contoh menguji mean x dari sampel utk menyimpulkan mean dari
populasi µ
– Perlu mengerti bagaimana perubahan statistik dengan tiap sampel
• Sample Distribution: distribusi probabilitas dari suatu statistik (spt
mean, standard deviation) dari semua sampel yg mungkin dari
ukuran yg sama dari suatu populasi
Distribusi Sampel dari
Counts dan Proporsi
• Perhatikan suatu sampel random tetap (fixed) ukuran n dari
observasi independen dari suatu populasi. Tiap observasi jatuh
kedalam satu dari dua kategori, “sukses” atau “gagal”
– Probabilitas suatu “sukses” (p) sama utk tiap observasi
– Probabilitas suatu “gagal” (1-p)
• Mis X menyatakan count dari jumlah sukses dalam suatu sampel
ukuran n. X memp distribusi Binomial
Distribusi Sampel dari
Counts dan Proporsi
• Ingat distribusi Binomial memodelkan jumlah sukses X dlm n
percobaan Bernoulli dan memp.
Mean = np, Variance = np(1-p)
• Dg n bertambah besar distribusi dari X mendekati distribusi
Normal dg mean dan variance
Distribusi Sampel dari
Counts dan Proporsi
• Utk estimasi probabilitas atau proportion dari suatu populasi p kita uji
sample proportion:
dimana X adalah jumlah dari “sukses” dlm suatu sampel ukuran n
•
adalah estimasi unbiased dari population proportion p.
• Jika ukuran sampel n besar, mendekati suatu distribusi Normal dg
Sample Distribution of Means
• Perhatikan suatu sampel random ukuran tetap n dari suatu populasi
dg mean µ dan standard deviation . Distribusi dari sample mean x
(jika dihasilkan dari repeated random samples) memp. mean = µ dan
standard deviation
• Jika populasi memp. distribusi Normal maka distribusi dari sample
mean adalah Normal
• Dari Central Limit Theorem – distribusi dari suatu sum dari random
variables mendekati distribusi Normal jika jumlah terms dlm sum
menjadi besar
Central Limit Theorem
Central Limit Theorem
• Central limit theorem menyatakan bhw dg bertambah
besarnya ukuran sampel n, tdk tergantung pd distribusi
populasi, distribusi dari sample mean mendekati distribusi
Normal utk ukuran sampel yg besar, dg mean = µ dan
standard deviation =
Tipe-Tipe Statistik Inferensial
• Confidence Intervals: mengestimasi harga suatu parameter
populasi dg suatu harga rentang
– Berapakah mean IQ dari mahasiswa SIT ITB?
– Berapakah proporsi dari switches pd suatu network perlu
perbaikan?
• Hypothesis Testing: menilai bukti yg disediakan data
menyetujui suatu claim mengenai populasi
– Apakah mean IQ dari mhs SIT ITB sama dg dg IQ populasi
secara umum?
– Apakah proporsi switches yg memerlukan perbaikan pd
jaringan Telkom berbeda dg proporsi pd jaringan Indosat?
Titik Estimasi
• Menyediakan harga tunggal/single value, mis., sample
mean, sample proportion
– Berdasarkan observasi dari 1 sample
• Tdk memberikan informasi mengenai seberapa dekat harga
point estimate thd parameter populasi yg tdk diketahui
• Contoh: Sample mean X = 22.9 adalah point estimate dari
mean populasi yg tdk diketahui µ
Selang Estimasi
• Menyediakan nilai interval (a, b) dimana parameter populasi µ
diprediksi berada
– Interval berdasarkan observasi dari 1 sampel
• Memberikan informasi mengenai seberapa dekat dari estimasi ke
parameter populasi yg tdk diketahui
– Dp dinyatakan sbg
– Atau dinyatakan dlm terms probabilitas, (confidence level)
Tingkat Kepercayaan
• Nilai  adalah probabilitas bhw parameter tidak berada
dalam interval (a,b)
• 100(1 - ) % adalah confidence level dan adalah
kemungkinan bhw parameter populasi yg tdk diketahui jatuh
dlm interval (a,b)
• Nilai tipikal adalah  = .1, .05, .01 yg memberikan confidence
levels masing-masing 90%, 95%, dan 99%
• Contoh: Mean populasi yg tdk diketahui terletak antara 50 &
70 dg 95% confidence
Element Kunci dari Selang Estimasi
Selang Kepercayaan : Proses
Selang Kepercayaan untuk Rataan Populasi
• Asumsi
– Standard deviation populasi  diketahui
• Ukuran sampel n cukup besar shg hasil central limit theorem dp
diaplikasikan dan sample mean distribution dp diperkirakan dg
distribusi normal. Aturan umum (Rule of thumb) utk ukuran sampel
adalah (n ≥ 30)
• 100(1-) % confidence interval pd sample mean diberikan oleh
Selang Kepercayaan untuk Rataan Populasi
• Catatan
– x adalah sample mean.
– Z(1-/2) adalah nilai standard normal value dimana /2 adalah
tail ke sebelah kanan dari nilai Z
–  adalah standard deviation populasi
– n adalah ukuran sampel
Contoh: Confidence Interval utk
Population Mean
• Suatu retailer e-commerce spt Amazon.com, ingin melakukan
studi waktu rata-rata (mean time) yg diperlukan utk
memproses dan mengapalkan pesanan. Suatu random sample
dari waktu utk proses dan mengapalkan 33 pesanan
dikumpulkan dan dinyatakan sbg n dlm jam di bawah. Dari data
yg lalu standard deviation dari populasi  = 9
{23, 33, 14, 15, 42, 28, 33, 45, 23, 34, 39, 21, 36, 23, 34,
36, 25, 9, 11, 19, 35, 24, 31, 29, 16, 23, 34,
24, 38, 15, 13,
35, 28}
• Tentukan 90% confidence interval dari rata-rata waktu proses
dan pengapalan pesanan.
– sample mean x adalah = 26.9091, ukuran sampel n = 33 pd 90%
confidence level Z(1-/2) = Z.95 = 1.645
Contoh: Confidence Interval utk
Population Mean
• Krnnya confidence interval adalah
menghasilkan
Cat margin of error kadang-kadang diekspresikan sbg persentase dari
estimasi. Utk contoh e-commerce:
margin of error % = 100 * (2.577 / 26.9091) = 9.57%
• Juga confidence interval dp diekspresikan sbg (24.332, 29.486) yg dp
diinterpretasikan sbg
P(24.332 < µ < 29.486) = .9
SELANG KEPERCAYAAN =
Confidence Intervals
• Trade off antara confidence level 100(1-) % dan margin of error
– Lebih tinggi confidence  lebih tinggi harga Z  lebih besar
margin of error
• Contoh proses dan pengiriman pemesanan e-commerce. Suatu
95% confidence interval memp. Z = 1.96 (dimana 90% memp Z =
1.645) dan sbg hasil
Selang Kepercayaan
• Margin of error juga tergantung pd ukuran sampel n, lebih
besar n makin kecil margin of error
• Utk confidence interval pd population mean, margin of error
berkurang setengahnya utk tiap pertambahan faktor 4 pd
ukuran sampel
• Utk contoh e-commerce jika utk 90% confidence interval ukuran
sample adalah 4 kali lebih besar (yaitu 132) dg mean dan
standard deviation yg sama interval akan
Selang Kepercayaan
• Cat utk margin of error yg diinginkan m kita dp tentukan ukuran
sampel yg diperlukan n utk mencapai m. Kita mendpkan
• Utk contoh e-commerce pd 90% confidence level jika diinginkan
margin of error 3%, m.x = .03 x 26.9091= .80727 dan selesaikan
utk ukuran sampel n
Cat perlu 337-33= 304 tambahan observasi
Selang Kepercayaan untuk Proporsi Populasi
• Dari aproksimasi Normal pd distribusi Binomial kita dapatkan
100(1- )% confidence interval pd suatu population proportion
sbg
dimana Z1-  /2 adalah /2 critical point dari standard distribusi
Normal
Confidence Interval utk Proportion of population
• Contoh: Perhatikan suatu link komunikasi satelit. Spy dp mengestimasi
packet error rate pd link kita transmit 5000 packets dan observasi bhw 23
diterima error. Tentukan 90% confidence interval pd packet error
probability. Dari, Z.95 = 1.645, n = 5000,
• Krnnya 90% confidence interval utk packet error probability diberikan
oleh (.0030, .0062)
Confidence Interval utk
Quantile of population
• Quantile: Harga xq dimana CDF mempunyai harga q disebut qquantile atau 100-q-percentile
• 50-percentile (atau 0.5-quantile) disebut median
• Posisi dari suatu harga q-quantile value dari suatu sorted order list
x1, x2, x3, …, xn adalah
* dibulatkan ke integer terdekat
Confidence Interval utk
Quantile of population
• 100(1-)% confidence interval pd suatu harga populasi
q-quantile xq adalah
dimana
Confidence Interval utk
Quantile of population
• Contoh: 45 titik data (n=45)
• 6, 6, 7, 8, 8.5, 9, 11, 13, 15, 24, 29, 30, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 42,
43, 46, 47, 47.5, 49, 50, 52, 54, 55, 59, 62, 63, 66, 68, 71, 81, 83,
84, 88, 93, 97, 103, 108, 111, 116, 134
Cari 90% c.i. pd 0.5 quantile.
Posisi dari 0.5 quantile = (45-1)*0.5 + 1 = 23  x0.5 = 47.5
• Krnnya, 90% c.i. pd x0.5 = (41, 59)
Tugas (kumpulkan minggu depan)
1. Perhatikan N mobile phones dlm suatu cell. Tiap phone mungkin
berusaha utk transmit data pd suatu kanal shared time slot. Tiap
transmisi terjadi tepat pd satu slot, dan tdk ada pencegahan collision
digunakan serta tiap phone akan transmit dlm suatu slot dg
probabilitas p, independen thd phone lainnya.
a). Berapakah probabilitas suatu time slot kosong,
yaitu tdk ada usaha dari sembarang phone?
b). Berapakah probabilitas suatu transmisi sukses,
yaitu secara tepat satu phone berusaha transmit.
c). Berapakah probabilitas collision pd suatu slot,
yaitu dua atau
lebih phone berusaha transmit pd
slot yg sama?
Tugas (cont.)
2. Dlm suatu access switched data network, user bisa request suatu koneksi utk di-set up
utk suatu transfer data. Jika suatu call-setup request tiba, suatu access network node
akan menentukan apakah menerima permintaan atau menolak berdasarkan
ketersediaan resources. Jika permintaan ditolak, user akan mengulang usaha sampai
10 kali sblm menyerah. Asumsikan bhw tiap permintaan call-setup memp. probabilitas
0.02 utk diterima dan usaha permintaan panggilan adalah independent.
a). Berapakah probabilitas suatu permintaan panggilan diberikan pd
usaha pertama?
b). Berapakah probabilitas bhw suatu panggilan pertama diterima
adalah usaha yg ke-empat?
c). Berapakah probabilitas bhw memerlukan lebih dari lima usaha
bagi user utk koneksi?
d). Berapakah probabilitas bhw user akhirnya menyerah?
e). Berapakah rata-rata jumlah usaha panggilan diperlukan utk
koneksi?
Tugas (cont.)
3. Perhatikan waktu transaksi pd suatu aplikasi web-based, dari
3000 transaksi terdistribusi normal dg mean 66 sec dan
standard deviation 3 sec. jika 80 sampel masing-masing terdiri
dari 25 transaksi didapat,
a). berapakah mean dan standard deviation yg
diharapkan sbg hasil dari mean dari
distribusi sampling?
b). Dalam berapa banyak sampel kita bisa
mengharapkan mean: (i) antara 64.8 dan
66.3 sec dan (ii) kurang dari 64.4 sec?