Pengantar Statistika Matematik(a) - FMIPA Personal Blogs

Catatan Kuliah
Pengantar Statistika Matematik(a)
“Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA
Institut Teknologi Bandung
2014
Tentang Pengantar Statistika Matematik(a)
A. Jadwal kuliah:
• Senin, 13.00-17.00
• Kamis, 08.00-12.00
B. Silabus:
• Peubah acak dan distribusi
• Distribusi diskrit
• Distribusi kontinu
• Fungsi peluang bersama
• Peluang dan ekspektasi bersyarat
C. Buku teks:
• Sheldon M Ross; A First Course in Probability.
• Mathematical Statistics.
D. Penilaian:
1. Ujian 1 (45%) - Kamis, 3.4.2014
2. Ujian 2 (45%) - Kamis, 23.5.2014
3. PR/Kuis (10%)
Pengantar Statistika Matematik(a)
i
K. Syuhada, PhD.
D. Matriks kegiatan perkuliahan:
Table 1: Matriks perkuliahan Analisis Data.
Minggu1-2
3-4
5-6
7
8
8-9
10,12
14
Materi
Keterangan
Pengantar
Penjelasan kuliah
Peubah acak dan distribusi
Distribusi diskrit
Distribusi kontinu
UTS
Kamis, 3.4.2014
“Praktik Nyata Peluang”
Nyoblos!
Fungsi peluang bersama
Peluang dan ekspektasi bersyarat
UAS
Kamis, 22.5.2014
Pengantar Statistika Matematik(a) ii
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi
1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi
1.1 Peubah Acak Diskrit dan Kontinu .
1.2 Tentang Fungsi Distribusi . . . . .
1.3 Ekspektasi . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Fungsi Pembangkit Momen . . . .
2 Distribusi Diskrit
2.1 Distribusi Binomial . . . . . .
2.2 Distribusi Geometrik . . . . .
2.3 Distribusi Poisson . . . . . . .
2.4 Lebih Jauh Tentang Distribusi
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Diskrit
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Distribusi Kontinu
3.1 Peubah Acak Kontinu dan Transformasi
3.2 Beberapa Distribusi Kontinu . . . . . . .
3.3 Aplikasi Dalam Asuransi . . . . . . . . .
3.4 Antrean Eksponensial . . . . . . . . . . .
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
4
6
7
.
.
.
.
1
1
2
3
4
.
.
.
.
1
1
2
6
7
BAB 1
Peubah Acak dan Fungsi
Distribusi
Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsi
peluang.
Statistika Matematik(a) adalah perkuliahan yang menitikberatkan pada kajian
peluang secara matematik. Untuk itu, peluang yang harus ditekankan adalah
peluang pada nilai peubah acak.
Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peubah acak dan distribusi
adalah:
1. memahami dan membedakan peubah acak diskrit dan kontinu
2. menghitung peluang pada nilai peubah acak
3. menentukan fungsi distribusi dan transformasi peubah acak (serta distribusi peluang yang menyertainya)
4. menghitung ekspektasi dan fungsi pembangkit momen
1.1
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak?
• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”
• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan ruang sampel S ke bilangan real R
1
Definisi
Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan
{ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga
(∪
) ∑
P
{X = ai } =
P (X = ai ) = 1
i
i
Catatan:
Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.
FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung
{ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan
positif yang bersesuaian sedemikian hingga
∑
pi = 1
i
dan
FX (x) =
∑
pi
ai ≤x
Jika diberikan himpunan
∑ terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif
{pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah
pX (x) = pi = P (X = ai ),
dengan x = ai
Catatan:
• P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
• P (X ≤ b) ̸= P (X < b)
•
(
{
1
P (X < b) = P lim X ≤ b −
n→∞
n
(
)
1
= lim P X ≤ b −
n→∞
n
(
)
1
= lim F b −
n→∞
n
Pengantar Statistika Matematik(a)
2
})
K. Syuhada, PhD.
Definisi
Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi
(densitas) peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,
fX (x) =
d
FX (x); f (x) ≥ 0, ∀x
dx
atau dengan kata lain
∫ x
FX (x) =
fX (t) dt
−∞
Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi (densitas) peluang ada
maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu.
Catatan:
∫
1 = FX (∞) =
∞
−∞
fX (t) dt
∫
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
∫ a
P (X = a) =
fX (t) dt = 0
b
fX (t) dt
a
a
LATIHAN:
1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah...
2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkan
peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain,
P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = λ (x2 − x1 ),
untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a dan
x2 = b. Maka,
P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b − a) ⇒ λ = 1/(b − a).
Fungsi distribusinya adalah...
Fungsi peluangnya adalah...
Pengantar Statistika Matematik(a)
3
K. Syuhada, PhD.
1.2
Tentang Fungsi Distribusi
Fungsi distribusi berperan dalam kajian peluang pada peubah acak. Jika kita
memiliki fungsi distribusi maka fungsi peluang dapat (dengan mudah) ditentukan. Namun, hal sebaliknya tidak berlaku. Pada kajian statistika lanjut,
seperti konsep Copula, fungsi distribusi akan “lebih bermanfaat” dibandingkan
dengan fungsi peluang.
Sifat-sifat fungsi distribusi:
• F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1
• F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b
• F adalah fungsi kontinu kanan; lim+ F (x + ϵ) = F (x)
ϵ→0
Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x).
• Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
• Untuk setiap x,
P (X = x) = lim+ P (x − ϵ < X ≤) = F (x) − F (x−)
ϵ→0
(Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu
kiri)
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x).
• Misalkan g(X) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di
daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X).
Fungsi distribusi dari Y adalah...
• Misalkan g(X) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di
daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X).
Fungsi distribusi dari Y adalah...
• Misalkan X mempunyai fungsi peluang f (x) = 1 dan Y = g(X) =
hX + k, h < 0. Maka
X = g −1 (Y ) = · · ·
FX (x) = · · ·
FY (y) = · · ·
Y ∼ ···
Pengantar Statistika Matematik(a)
4
K. Syuhada, PhD.
LATIHAN:
1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi FX (x)
yang naik murni. Misalkan Y = FX (X). Tentukan distribusi dari Y .
2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U (0, 1). Misalkan FX (x) fungsi
distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah
acak FX−1 (U ).
3. Misalkan U1 , U2 , . . . , Un sampel acak dari U (0, 1). Bangkitkan sampel
acak dari FX (x) (ambil contoh misalnya untuk FX (x) = 1 − e−λ x , x > 0)
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). Misalkan
Y = g(X) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi
yang monoton,
FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y)
dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g −1 (y) digunakan untuk menentukan FY (y) dengan menggunakan FX (g −1 (y)). Untuk X ∼ U (−1, 2) dan
g(X) = Y = X 2 , kita dapatkan fungsi distribusi dari Y :
FY (y) = · · ·
LATIHAN:
1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 − e−λx , maka f (x) = · · ·
2. *Misalkan f (x) = c/(1 + x2∫) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta.
∞
Fungsi f (x) tak negatif dan −∞ (1 + x2 )−1 dx = π. Berapa nilai c agar
f (x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya.
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) dan Y = g(X)
fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y :
d −1 −1
fY (y) = fX (g (y)) g (y)
dy
untuk ‘support’ Y = g(X). Komponen
J(y) =
d −1
g (y)
dy
adalah transformasi Jacobian.
Pengantar Statistika Matematik(a)
5
K. Syuhada, PhD.
Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang
terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼
U (−1, 2) dan Y = g(X) = X 2 . Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi invers
yaitu · · · , dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu · · · . Fungsi peluang
dari Y adalah
f (y) = · · ·
1.3
Ekspektasi
Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f (x). Nilai harapan atau
ekspektasi dari X, jika ada, adalah
∫ ∞
E(X) = µX =
f (x)dx
−∞
Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga.
Misalkan X p.a. dengan f.p. f (x). Maka nilai harapan/ekspektasi dari g(X),
jika ada, adalah
∫ ∞
E[g(X)] =
g(x)f (x)dx.
−∞
Operator integral bersifat linier. Jika g1 (X) dan g2 (X) fungsi-fungsi yang
memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka
E[ag1 (X) + bg2 (X) + c] = aE[g1 (X)] + bE[g2 (X)] + c
LATIHAN:
1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapannya ada maka
E(X) = c.
2. Misalkan X ∼ U (a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik
disekitar (a + b)/2.
3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang
f (x) =
[
1
σπ 1 +
(x−µ)2
σ2
],
Pengantar Statistika Matematik(a)
6
K. Syuhada, PhD.
dengan µ, σ konstanta yang memenuhi |µ| < ∞ dan σ ∈ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya
bukanlah µ.
4. Misalkan X ∼ Exp(λ). Nilai harapan/ekspektasi dari X adalah...
1.4
Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah
∫ ∞
tX
MX (t) = E(e ) =
etx f (x)dx,
−∞
asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak
ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit
momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang
MX (t) = GX (et )
asalkan GX (t) ada untuk t disekitar 1. Jika MX (t) adalah fungsi pembangkit
peluang maka MX (0) = 1.
Contoh/Latihan:
1. Jika fX (x) = λe−λx I0,∞ (x), maka
MX (t) = · · ·
2. Jika MX (t) ada maka
Ma+bX (t) = · · ·
3. Jika
∑ Xi , i = 1, . . . , n saling bebas, MXi (t) ada untuk setiap i, dan S =
Xi , maka
MS (t) = · · ·
4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki
fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit
momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika
fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut
secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh.
Pengantar Statistika Matematik(a)
7
K. Syuhada, PhD.
5. Pandang turunan dari MX (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa
yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde
tinggi?
6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh
distribusi Geometrik dengan parameter p.
7. Misalkan Y ∼ U (a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat
)r )
((
a+b
2
E((Y − µY ) ) = E
Y −
2
Pengantar Statistika Matematik(a)
8
K. Syuhada, PhD.
BAB 2
Distribusi Diskrit
Silabus: Distribusi binomial, geometrik, Poisson; “varian” distribusi: kelas
distribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions
Fungsi peluang dan/atau fungsi distribusi dari suatu peubah acak seringkali
diberikan (tidak perlu ditentukan). Hal ini terjadi karena f.p. tersebut sudah dikenal atau dianggap sering dipakai/cocok dengan fenomena sehari-hari
(umum). Tiga diantara distribusi tersebut adalah binomial, geometrik dan
Poisson.
Secara khusus, aplikasi distribusi tersebut akan diperlihatkan pada bidang
asuransi. Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransilah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak
asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency)
dan besar atau severitas klaim (claim severity).
Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari distribusi diskrit yang telah
dikenal adalah:
1. mempelajari dan menghitung peluang dari peubah acak yang berdistribusi binomial, geometrik dan Poisson
2. memahami “varian” distribusi
2.1
Distribusi Binomial
Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi
diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Misalkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari
1
semua klaim yang masuk. Misalkan X ∼ B(n, θ), maka fungsi peluangnya
P (X = k) = Ckn θk (1 − θ)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n
Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan
fungsi peluang (fp), yaitu
E(X m ) =
n
∑
xm P (X = k).
k=0
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · · , dst. Momen ke-m dapat pula
ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm):
MX (t) = · · ·
Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi peubah acak tersebut.
Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif?
Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp?
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi binomial dengan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode
likelihood maksimum sbb:
• Fungsi likelihood dan log-likelihood: ...
• Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ...
b ...
• Penaksir θ:
• Turunan kedua terhadap parameter: ...
2.2
Distribusi Geometrik
Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah
distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat
untuk menggambarkan distribusi ini?
Misalkan X ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang
p(x) = (1 − α)x−1 α, x = 1, 2, . . .
Pengantar Statistika Matematik(a)
2
K. Syuhada, PhD.
Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya,
E(X) =
1
1
, V ar(X) = 2 ,
α
α
dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pula
menentukan sifat distribusi dari X + 1.
Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya
dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!
2.3
Distribusi Poisson
Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada
suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ.
Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ,
E(X) = V ar(X) = λ.
Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama
dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan
underdispersion)
Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat
yang dapat kita ambil?
Teorema
Jika X1 , . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼
P OI(λi ) maka
X = X1 + · · · + Xn ∼ P OI(λ1 + . . . + λn ).
Pengantar Statistika Matematik(a)
3
K. Syuhada, PhD.
Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1
dan λ2 . Kita dapat menentukan distribusi X|X + Y = n sebagai berikut
P (X = k|X + Y = n)
P (X = k, X + Y = n)
=
P (X + Y = n)
P (X = k, Y = n − k)
=
P (X + Y = n)
P (X = k) P (Y = n − k)
=
P (X + Y = n)
exp(−λ1 ) λk1 (k!)−1 exp(−λ2 ) λn−k
((n − k)!)−1
2
=
exp(−(λ1 + λ2 )) (λ1 + λ2 )n (n!)−1
(
)k (
)n−k
n!
λ1
λ2
=
.
k!(n − k)! λ1 + λ2
λ1 + λ2
Dengan kata lain, X|X + Y = n ∼ B(n, λ1 /(λ1 + λ2 )).
2.4
Lebih Jauh Tentang Distribusi Diskrit
Kelas Distribusi (a, b, 0)
Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ):
e−λ λx
f (x) =
, x = 0, 1, 2, . . .
x!
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk
X = x − 1,
f (x − 1) =
e−λ λx−1
.
(x − 1)!
Diperoleh
e−λ λx / e−λ λx−1
f (x)
=
f (x − 1)
x!
(x − 1)!
λ
=
x
atau
( )
λ
f (x) =
f (x − 1), x = 1, 2, . . .
x
Pengantar Statistika Matematik(a)
4
K. Syuhada, PhD.
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif:
(
)
b
f (x) = a +
f (x − 1), x = 1, 2, . . . ,
x
dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan.
Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions
Misalkan X ∼ B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai
berikut:
X
0
1
2
3
P (X = k)
0.216
0.432
0.288
0.064
Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3,
atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya
modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai
zero-modified and zero-truncated distributions.
Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (x). Misalkan f M (x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari
f (x); f M (x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f M (0) yang
ditentukan, hubungan antara f M (x) dan f (x) adalah
f M (x) = c f (x), x = 1, 2, . . .
dengan c konstanta.
Catatan: Fungsi peluang f M (x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya,
c dapat diperoleh,
c=
1 − f M (0)
.
1 − f (0)
Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghi-
Pengantar Statistika Matematik(a)
5
K. Syuhada, PhD.
tung f M (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut:
1 − f M (0)
f (1)
1 − f (0)
1 − 0.3
=
0.432
1 − 0.216
= 0.386.
f M (1) =
Dengan cara sama, kita peroleh f M (2) = 0.258 dan f M (3) = 0.056.
Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti
tabel berikut:
X
0
1
2
3
P (X = k) Zero-Modified
0.216
0.3
0.432
0.386
0.288
0.258
0.064
0.056
Zero-Truncated
0
Latihan:
1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson
dengan parameter 2.5
2. Misalkan X ∗ adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi
peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah fX (x) dan
PX (t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X ∗
Pengantar Statistika Matematik(a)
6
K. Syuhada, PhD.
BAB 3
Distribusi Kontinu
Silabus: Distribusi uniform, normal, gamma; fungsi kesintasan; CTE; aplikasi:
deductibles dan policy limit; antrean eksponensial
Tujuan yang ingin dicapai dalam memahami distribusi kontinu dan aplikasi
dalam asuransi dan antrean adalah
1. mempelajari distribusi uniform dan “manfaat”nya dalam membangun
data berbagai distribusi
2. mengkaji distribusi normal sebagai “kesepakatan” dalam memahami fenomena riil
3. memahami dan menghitung peluang dan ekspektasi pada peubah acak
kontinu dalam bidang asuransi
4. menentukan peluang dalam aplikasi antrean eksponensial
3.1
Peubah Acak Kontinu dan Transformasi
Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi
peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,
fX (x) =
d
FX (x)
dx
atau dengan kata lain
∫ x
FX (x) =
fX (t) dt
−∞
1
Catatan:
∫
1 = FX (∞) =
∞
−∞
fX (t) dt
∫
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
∫ a
P (X = a) =
fX (t) dt = 0
b
fX (t) dt
a
a
Latihan:
1. Diketahui
f (x) = c e−2x , x > 0,
Hitung (i) c, (ii) P (X > 2)
2. Suatu peubah acak X memiliki fungsi peluang
f (x) = k (1 − x2 ),
untuk −1 < x < 1. Tentukan FX (x)
Beberapa cara dapat digunakan untuk memanipulasi suatu peubah acak menjadi peubah acak baru. Peubah acak baru ini diperoleh dengan membentuk
fungsi peubah acak. Sebagai contoh, diketahui peubah acak X dengan fungsi
distribusi tertentu. Kita dapat membentuk fungsi peubah acak
Y =
1
X
;Y = Xα,
λ
dsb. Contoh lain, misalkan X1 , . . . , Xn peubah acak dengan fungsi peluang
fX1 , . . . , fXn . Peubah acak baru X dapat dibentuk dengan fungsi peluang
fX (x) = p1 fX1 (x) + · · · + pn fXn (x),
∑
dengan pi ≥ 0, ni=1 pi = 1.
3.2
Beberapa Distribusi Kontinu
Distribusi Uniform
Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi Uniform pada selang [a, b] jika
Pengantar Statistika Matematik(a)
2
K. Syuhada, PhD.
fungsi peluang fX nya sebagai berikut
fX (x) =
1
, a ≤ x ≤ b.
b−a
Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu
F , jika kita definisikan peubah acak X sbb:
X = F −1 (U )
maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F .
Contoh.
Jika F (x) = 1 − e−x maka F −1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga
1 − e−x = u
atau
x = − log(1 − u)
Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka
F −1 (U ) = − log(1 − U )
adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1).
Distribusi Normal
Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian,
sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu.
Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah
bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar
mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari
mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut distribusi normal.
Peubah acak kontinu X adalah peubah acak normal atau Gauss dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluangnya adalah
)
(
1
1
2
fX (x) = √
exp − 2 (x − µ) ,
2σ
2πσ
untuk −∞ ≤ x ≤ ∞.
Pengantar Statistika Matematik(a)
3
K. Syuhada, PhD.
Teorema Limit DeMoivre-Laplace
Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan independen, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b,
)
(
Sn − np
≤ b → Φ(b) − Φ(a),
P a≤ √
np(1 − p)
untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1 − p)
besar, np(1 − p) ≥ 10)
Latihan:
1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P (X > 1/2)
2. Tentukan mean dan variansi dari peubah acak Uniform pada selang nol
dan satu
3. Jika X ∼ N (1, 4), hitung P (2 < X < 3)
4. Peubah acak normal dengan parameter (0, 1) dikatakan sebagai peubah
acak normal standar. Tentukan c sedemikian hingga P (|X| < c) = 0.5
Distribusi Gamma
Definisi Fungsi Gamma:
∫ ∞
Γ(t) =
xt−1 e−x dx
0
Catatan:
Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0
Diskusi.
Γ(n) = (n − 1)! n = 1, 2, . . .
(
)
(2n)! √
1
=
π
Γ n+
2
n! 22n
Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya
‘sukses’ yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang
banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif
Pengantar Statistika Matematik(a)
4
K. Syuhada, PhD.
dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang
peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses
ke-r.
Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang (pdf)
f (x) =
λα α−1 −λx
x
e , x>0
Γ(α)
dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi
Gamma dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).
Diskusi.
• α=1
• α<1
• α>1
• Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi
peluang Normal. Berikan ilustrasi pada λ = 2 dan α = 1/2, 1, 5/2, 5
Catatan:
1. Fungsi kesintasan (survival function) merupakan komplemen dari fungsi
distribusi. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi kesintasan S(x) adalah
nilai kumulatif peluang yang lebih besar dari x atau
S(x) = 1 − F (x) = P (X > x),
dengan sifat-sifat sbb:...
2. Suatu peubah acak X dapat berdistribusi kontinu dan diskrit,
∫ x
∑
F (x) = P (X ≤ x) =
f (x) dx +
P (X = x)
−∞
x
dengan sifat ekspektasi...
Contoh: Misalkan X ∼ U (0, 10). Misalkan Y = X − 2 untuk X > 2.
Pengantar Statistika Matematik(a)
5
K. Syuhada, PhD.
3.3
Aplikasi Dalam Asuransi
Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim
asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu
nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto
serta sifat-sifat yang menyertainya seperti sifat ekor dan kuantil.
Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus
peubah acak seperti sifat ekor, kuantil dll adalah manfaat atau aplikasi dalam
bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan
pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada
kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).
Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak
jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan
masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dan
coinsurance.
Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu
kejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau disebut ground-up loss. Misalkan XL menyatakan besar uang yang dibayar dimana
ada modifikasi cakupan atau cost per loss; XP menyatakan besar uang yang
dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada modifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment
event terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian.
Deductibles
Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada
pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan
d; akan membayar pemegang polis sebesar X − d jika kerugian X lebih dari d.
Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL , adalah
XL = X − d, untuk X > d,
dan XL = 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah...
Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran,
yaitu saat X > d,
XP = X − d|X > d.
Fungsi kesintasan SXP adalah...
Pengantar Statistika Matematik(a)
6
K. Syuhada, PhD.
Catatan:
XL memiliki censored distribution, XP memiliki truncated distribution.
Latihan.
Misalkan X dan Y , dengan deductible d = 0.25. Hitung E(XL ), E(XP ), E(YL ), E(YP ),
jika X berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal.
Policy limit
Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang ditentukan dari awal dengan aturan
XU = u, untuk X ≥ u,
dan XU = X untuk X < u. Notasi: XU = X ∧ u.
3.4
Antrean Eksponensial
Misalkan X peubah acak eksponensial. Fungsi distribusi dan fungsi hazardnya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk
menentukan distribusi waktu antar-kedatangan.
Pengantar Statistika Matematik(a)
7
K. Syuhada, PhD.