1 ABDCSRQP 6 cm 4 cm ABCDEFGH

BAB 1
KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN
A. KESEBANGUNAN
1. Pengertian kesebangunan
Dua bangun dinamakan sebangun apabila memunyai bentuk yang sama, tetapi ukuran berbeda.
Kesebangunan disimbolkan dengan tanda “ ∼ “
Bangun ABCD sebangun dengan bangun EFGH dtuliskan ABCD ∼ EFGH.
2. Sifat-sifat kesebangunan
D
C
S
A
B
Trapesium ABCD dan trapesium PQRS adalah dua
trapesium yang sebangun. Perhatikan bentuk dan
ukuran dari kedua trapesim tersebut.
R
P
Q
Dua bangun yang sebangun akan memunyai sifat, yaitu :
 Sudut-sudut yang bersesuaian memunyai besar yang sama. Maka:
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q,
∠C = ∠R, dan ∠D = ∠S
AB
CD
AD
BC
 Sisi-sisi yang bersesuai memunyai perbandingan yang sama. Maka :
=
=
=
.
PQ
RS
PS
QR
EVALUASI 1.1. BANGUN-BANGUN SEBANGUN
1. Dari pasangan bangun berikut, tentukan manakah yang sebangun dan tidak sebangun? Serta berikan
alasannya !
a. Dua persegi
e. Dua jajargenjang
b. Dua persegi panjang
f. Dua layang-layang
c. Dua segitiga sama sisi
g. Dua belahketupat
d. Dua segitiga sama kaki
h. Dua trapesium
Jawab:
2. Ukuran persegi panjang manakah yang sebangun dengan persegi panjang yang memunyai ukuran 12
cm x 18 cm?
a. 4 cm x 6 cm
e. 20 cm x 26 cm
b. 9 cm x 6 cm
f. 27 cm x 18 cm
c. 14 cm x 20 cm
g. 30 cm x 20 cm
d. 8 cm x 12 cm
h. 24 cm x 36 cm
Jawab:
3. Perhatikan gambar jajargenjang berikut !
D 6 cm
4 cm 
A
○
C
B
E
Jawab:
H
○ G

F
Jajargenjang ABCD ~ EFGH dan panjang
EF = (2a – 2) cm serta AD = (a + 2) cm.
Hitunglah :
a. nilai a,
b. panjang EF dan AD.
4. Diketahui persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS. Jika panjang CD = 8 cm,
AD = 6 cm, dan
RS = 12 cm serta PS = (2p + 5) cm. Jika diketahui PQ > PS, maka tentukan nilai
p dan panjang PS!
Jawab:
5. Sebuah tiang bendera dengan tinggi 3 m mempunyai panjang bayangan 1,8 m. Jika sebuah pohon
mempunyai bayangan sepanjang 2,1 m, hitunglah tinggi pohon tersebut.
Jawab:
6. Sebuah truk mempunyai panjang 15 m, lebar 5 m, dan tinggi 3,5 m. Jika panjang truk pada model 3
cm, maka hitunglah lebar dan tinggi truk pada model.
Jawab:
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
1
7. Perhatikan gambar trapesium di bawah ini.
a
5 cm
12 cm
b
6 cm
18 cm
Jawab:
8. Perhatikan gambar!
D
Diketahui dua trapesium di atas adalah sebangun.
Tentukan nilai a dan b!
4 cm
Diketahui CD // EF // AB dan ∠ EAB = 900.
Tentukan panjang EF.
C
F
E
A
B
9 cm
Jawab:
9. Perhatikan gambar!
D
F
C
A
E
Jawab:
Persegi panjang ABCD dan AEFD adalah sebangun.
Panjang AB = 20 cm dan panjang AD = 4 cm.
Hitunglah panjang AE dan keliling AEFD!
B
10. Perhatikan gambar !
Sebuah bingkai berukuran 30 cm x 20 cm didalamnya
dipasang sebuah foto. Sisa kertas sebelah kiri, kanan, dan
atas mesih sisa 3 cm. Jika foto dan bingkai sebangun,
hitunglah berapa panjang sisa kertas di bawah bingkai.
Jawab:
11. Tersedia dua botol saling sebangun. Botol I mempunyai volume 8 liter dan tinggi 20 cm, sedangkan
botol II memiliki tinggi 12 cm. Hitunglah volume botol II.
Jawab:
12. Sebuah foto diletakkan pada sehelai karton berukuran 36 cm x 48 cm. Di sebelah atas, kiri, dan
kanan foto masih tersisa karton selebar 3 cm. Jika foto dan karton sebangun maka hitunglah lebar di
sebelah bawah foto yang tidak tertutup (ada 2 jawaban).
Jawab:
13. Perhatikan gambar !
36 cm
D
C
E
27 cm
A
Jawab:
Segiempat ABCD ~ CDEF dan panjang AE = 6 cm.
Hitunglah panjang DE.
F
B
48 cm
14. Perhatikan gambar !
V
U
W
S
Jawab:
X
STUV adalah persegi panjang dengan panjang ST = 8 cm
dan SV = 6 cm. Hitunglah panjang SX.
T
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
2
3. Segitiga – segitiga sebangun
Syarat dua segitiga sebangun, yaitu :
 Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, dan ∠C = ∠R
R
C
x
B
A


x
P

Q
∆ ABC sebangun ∆ PQR ditulis ∆ ABC ~ ∆ PQR
Perbandingan sisi-sisi yang bersesuai adalah
sama
AB
AC
BC
=
=
PQ
PR
RQ
EVALUASI 5.2. SEGITIGA-SEGITIGA SEBANGUN
1. Perhatikan gambar !
L
O
Garis KL // NO. Buktikan ∆ KLM ~ ∆ MNO.
M
N
K
Jawab:
2. Perhatikan gambar !
Diketahui panjang AB = 6 cm, AE = 9 cm,
dan CD = 10 cm. Hitunglah panjang DE.
C
A 9 cm
E
10 cm
6 cm
D
B
Jawab:
3. Pada ∆ ABC dan ∆ PQR diketahui m∠A = 1050, m∠B = 450, m∠P = 450, dan m∠Q = 1050.
a. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun?
b. Tuliskan pasangan sisi yang memunyai perbandingan yang sama.
Jawab:
4. Perhatikan gambar !
E
Buktikan bahwa ∆ CDE dan ∆ FDG sebangun !
G
∟
D
F
C
Pembuktian:
5. Perhatikan gambar di bawah ini !
T
P
S
R
Jawab:
Diketahui PQ // TS dan PQ : TS = 4 : 5.
Jika panjang PR = 8 cm, hitunglah panjang RS!
Q
6. Perhatikan gambar !
D
4 cm
Diketahui trapesium sama kaki ABCD, dengan panjang CD
= 4 cm, AB = 12 cm, dan BD = 20 cm. Hitunglah DO!
C
Jawab:
A
12 cm
B
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
3
7. Perhatikan gambar !
F
○
Diketahui panjang DG = 4 cm, hitunglah panjang GH
dan FH !
Jawab:
H 8 cm
E
14 cm
12 cm
○
G
D
8. Perhatikan gambar berikut !
Segitiga ABC siku-siku di C. Panjang AD = 6 cm, DE = 8
cm, dan BC = 14 cm, tentukan panjang EC dan BD !
C
E
Jawab:
14 cm
8 cm
┐
A
B
6 cm D
9. Diketahui ∆ ABC ~ CDE dan ∠ BAC + ∠ BED = 1800.
Jika panjang AB = 12 cm, BC = 15 cm, CD = 9 cm,
C
dan CE = 6 cm, hitunglah panjang DE dan AD !
D
E
Jawab:
A
B
10. Perhatikan gambar berikut.
F
E
D
G
Bangun ABCD adalah persegi dengan panjang AB = 40 cm.
Jika panjang DE = EF = CF, hitunglah luas segitiga AGH.
C
H
Jawab:
B
A
4. Garis-garis sejajar pada dua segitiga sebangun
Diketahui ∆ ABC ~ ∆ CDE dan AB // DE, maka berlaku ketentuan :
C
CD
CE

=
D
E
A

DA
EB
CD
CE
CA
=
CB
=
DE
AB
B
EVALUASI 1.3. GARIS SEJAJAR PADA DUA SEGITIGA SEBANGUN
1. Perhatikan gambar !
Diketahui ∆ KLM ~ ∆ NOM dan KL // NO.
Buktikan :
MN
MO
a.
=
M
N
O
K
b.
L
NK
OL
MN
MO
MK
=
ML
=
NO
KL
Pembuktian:
2. Perhatikan gambar !
6 cm
4 cm
7,5 cm
9 cm
Hitunglah panjang p dan q !
q cm
P cm
Jawab:
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
4
3. Perhatikan gambar !
Diketahui KNOP merupakan jajargenjang dan MO : OL = 2 : 3.
Hitunglah panjang KP dan KN!
M
6 cm
Jawab:
O
P
K
N
9 cm
L
4. Perhatikan gambar !
4 cm G
∟
E
8 cm
Ruas garis CE // FG dan ∠ EGF = 900. Hitunglah panjang GF, CE,
dan CF!
D
Jawab:
10 cm
F
C
5. Perhatikan gambar !
Tentukan nilai x dan perbandingan m dengan n !
x
(x+1)
n
m
Jawab:
(3x-4)
(2x+2)
6. Perhatikan gambar!
Hitunglah panjang a, b, dan c!
12 cm
20 cm
a
4 cm
Jawab:
c
b
7. Perhatikan gambar !
Pada segitiga ABC dengan ∠BEC = 900, panjang BC = 15 cm
dan DE = 9,6 cm, maka hitunglah panjang (BE + AE).
A
D
┐
Jawab:
E
B ┐
C
15 cm
8. Perhatikan gambar !
Hitunglah panjang FE.
A
D
F
15 cm
Jawab:
10 cm
B
E
C
9. Perhatikan gambar !
8 cm
C
Jika panjang CF = BF, maka hitunglah panjang EF!
D
Jawab:
G
F
E
A
20 cm
B
10. Sebuah tangga disandarkan pada sebuah dinding tembok. Ujung atas tangga terletak 8 m dari lantai,
sedangkan ujung bawah tangga berjarak 2 m dari lemari. Di titik D tangga menyinggung tepi almari
DEFG. Jika lebar lemari 4 m, hitunglah tinggi almari !
Jawab:
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
5
11. Perhatikan gambar !
Antonia (A) berdiri di pinggir sebuah jalan raya. Tepat tegak lurus
di seberang jalan, Basuki (B) berdiri. Jarak Antonia ke tepi jalan
sama dengan jarak Basuki ke tepi jalan raya. Sejauh 50 meter
dari sebelah kanan Basuki, berdiri Dominikus (D) dan tegak lurus
di belakang Dominikus, berdiri Cornelius (C). Jika jarak Cornelius
ke Dominikus sama dengan jarak Dominikus ke tepi jalan raya,
tentukan lebar jalan raya, jika jarak Dominikus dan Cornelius
adalah 15 meter serta jarak Dominikus dan Elisabeth (E) sama
dengan 10 m.
A•
Jalan raya
B•
•D
E
• C
Jawab:
12. Perhatikan gambar !
Diketahui ABCD merupakan trapesium sembarang dan AB // EF //
CD x AE +AB x DE
CD. Buktikan EF =
!
C
D
AD
F
E
Pembuktian:
A
B
13. Perhatikan gambar !
3
8
Hitunglah panjang p!
p
Jawab:
2
18
14. Perhatikan gambar !
Diketahui ST : SP = 3 : 10, panjang SR = 15 cm, dan PQ = 25
cm, hitunglah panjang sisi TU !
R
S
T
U
P
Jawab:
Q
15. Perhatikan gambar !
D
Trapesium ABCD dengan titik E dan F adalah titik tengah AC dan
BD. Jika panjang AB = 20 cm dan EF = 7 cm, maka hitunglah
panjang CD !
Jawab:
C
F
E
A
B
5. Segitiga siku-siku pada dua segitiga sebangun
R
∟
S
P
Q
Mari cermati gambar berikut !
Diketahui ∆ PQR ~ ∆ PSR ~ ∆ SQR, maka berlaku :
 RS2
= PS x SQ
 RP2 = PS x PQ
 RQ2 = QS x QP
Buktikan!
EVALUASI 1.4. SEGITIGA SIKU-SIKU PADA SEGITIGA SEBANGUN
1. Perhatikan gambar !
a.
b.
c.
R
P
∟
S
Q
Diketahui ∆ PSR ~ ∆ SQR. Buktikan RS2 = PS x SQ !
Diketahui ∆ PSR ~ ∆ PQR. Buktikan PR2 = PS X PQ !
Diketahui ∆ SQR ~ ∆ PSR. Buktikan RQ2 = QS x QP !
Pembuktian:
2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dan titik D terletak pada sisi AB sehingga CD merupakan garis
tinggi segitiga ABC. Jika panjang AD = 4 cm dan AB = 9 cm, hitunglah panjang AC !
Jawab:
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
6
3. Perhatikan gambar !
Diketahui panjang AD = 9 cm dan BD = 16 cm. Hitunglah
panjang CD, AC, dan BC.
C
Jawab :
∟
D
A
B
4. Diketahui ∆PQR siku-siku di P dan S terletak pada RQ, sehingga PS merupakan garis tinggi. Jika
panjang RS = 5 cm dan QS = 20 cm, hitunglah luas ∆PQR.
Jawab:
5. Perhatikan gambar !
K
J
Segitiga HIJ siku-siku di H dan KH merupakan garis tinggi
dari segitiga tersebut. Tentukan panjang JI, HK, dan KI.
I
15 cm
Jawab:
20 cm
H
6. Perhatikan gambar !
Garis CD adalah garis tinggi dan ∠ACB = 900. Hitunglah
panjang (AC + BC)!
C
A
4,5 cm
Jawab:
8 cm
B
D
7. Perhatikan gambar berikut!
C
Diketahui ∆ ABC siku-siku di A dan ∠ BEF = ∠ AGB = ACB
= 900. Panjang BC = 16 cm dan CG = BF = 4 cm.
Hitunglah panjang AE, BE dan EF!
G
F
Jawab:
A
E
B
B. KEKONGRUENAN
1. Pengertian kekongruenan
Dua bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.
Kongruen disimbolkan dengan tanda “ ≅ “
Segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR dituliskan ∆ ABC ≅ ∆ PQR.
2. Sifat-sifat kekonguenan
Perhatikan gambar !
T
B
Sifat-sifat dua segitiga kongruen, yaitu :
 Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
m∠A = m∠P, m∠B = m∠O, dan m∠C = m∠T.
 Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
AC = PT, AB = PO, dan BC = TO.
O
A
C
P
3. Syarat-syarat kekongruenan
Syarat
Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi,
sisi, sisi)
Gambar
Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut
yang diapitnya sama besar (sisi, sudut, sisi)
Sisi, sudut,
sisi
•
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
Pembuktian
Sisi, sisi,
sisi
•
7
Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan salah
satu sudut yang didepan sisi sama besar (sisi, sisi,
sudut)
Sisi, sisi,
sudut
•
•
Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan salah
satu sisi didepan sudut sama panjang (sudut, sudut,
sisi)
Sudut,
sudut, sisi
•
α
•
α
Dua sudut sama besar dan satu sisi yang terletak
diantara sudut-sudutnya sama panjang (sudut, sisi,
sudut)
Sudut, sisi,
sudut
ε
α
ε
α
EVALUASI 1.5. KEKONGRUENAN
1. Diberikan segitiga KLM dan PQR. Panjang KL = 5 cm, LM = 13 cm, KM = 12 cm, PQ = 13 cm, QR =
12 cm, dan PR = 5 cm. Apakah kedua segitiga itu kongruen ? Sebutkan pula pasangan sudut sama
besar !
Jawab:
5
2. Diketahui ∆ABC≅ ∆PQR dengan 𝑚∠A = (3x - 15)0 dan 𝑚∠P = (x + 43)0 serta 𝑚∠B = ∠A. Tentukan
6
m∠R .
Jawab:
3. Pada ∆ ABC diketahui ∠ A = 300, ∠B = 800, sedangkan pada ∆ PQR diketahui ∠P = 800 dan ∠R = 700.
Jika ∆ ABC dan
∆ PQR kongruen, maka pasangan sisi yang sama panjang.
Jawab:
4. Perhatikan gambar !
D
C
A
B
Persegi panjang ABCD dengan BD sebagai diagonalnya.
Buktikan ∆ ABD ≅ ∆ CDB !
Pembuktian:
5. Perhatikan gambar!
Garis AE merupakan garis tinggi pada ∆ ABD dan CE
merupakan garis tinggi pada ∆ BCD.
Buktikan ∆ ADE ≅ ∆ BCE!
C
D
E
E
A
B
Jawab:
6. Perhatikan gambar !
D
G
E
Buktikan ∆ DEF ≅ ∆ EFG !
F
Jawab:
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
8
7. Perhatikan gambar di bawah ini !
T
B
Tuliskan pasangan sudut-sudut yang sama besar!
Jawab:
O
A
C
P
8. Diketahui ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF, ∠A = ∠E dan ∠C = ∠D. Tentukan pasangan sisi yang sama
panjang!
Jawab:
9. Perhatikan gambar!
R
Diketahui panjang PQ = PR = 10 cm, hitunglah panjang
SR. (Buatlah garis bantu dari S tegak lurus ke garis RQ)
S
Jawab:
•
•
┐
P
Q
10. Perhatikan gambar!
K
Pada gambar diketahui HL tegak lurus KJ.
panjang KJ = 35 cm dan HL = 28 cm.
Jika ∆ KIJ ≅ ∆ HLJ, hitunglah panjang HI !
L
Jawab:
┐
I
H
J
11. Perhatikan gambar !
Keliling ∆CDE pada gambar adalah 60 cm dan AB ⊥ CE, CE ⊥ ED
dan ∆DEC ≅ ∆CBA. Hitunglah panjang BE .
D
E
B
C
A
Jawab:
12. Perhatikan gambar !
Segitiga-segitiga dalam ∆ABC adalah kongruen. Jika luas ∆ABC =
60 cm2, maka hitunglah luas ∆CAD .
C
E
Jawab:
8 cm
A∟
B
D
13. Perhatikan gambar !
Jika panjang AB = 12 cm, BD = 6 cm, BD = DE,
dan ∠ADB = 900, hitunglah panjang AC.
A
•
12 cm
B
Jawab:
E
•
D
C
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
9
14. Perhatikan gambar !
Segitiga-segitiga di dalam ∆ ABC adalah kongruen. Jika panjang
AB =12 cm, maka hitunglah panjang AD.
A
E
12 cm
Jawab:
B ┐
C
D
15. Perhatikan gambar!
D
oo
Diketahui panjang AB = 8 cm dan CD = 12 cm. Hitunglah panjang
BC dan AD!
6 cm
x
B
x
C
A
Jawab:
16. Perhatikan gambar !
Bangun disamping adalah trapesium sama kaki. Hitunglah
pasangan segitiga yang kongruen yang ada dalam trapesium
tersebut.
Jawab:
17. Perhatikan gambar !
S
Persegi panjang PQRS dibentuk dari 5 persegi panjang yang
sama. Jika keliling setiap persegi panjang kecil 50 cm, hitunglah
keliling persegi panjang PQRS!
R
Jawab:
P
Q
18. Perhatikan gambar di bawah ini!
A
B
Pada gambar disamping, panjang AC = BG dan AH = BH.
Diketahui ∠ CAD = 300, ∠ AHB = 800, dan ∠ AEB = 1200.
Tentukan :
a. ∠ BAE,
b. ∠GAH,
c. ∠ACB.
0
30
0
120
D
E
0
80
C
F
Jawab:
G
H
CONTOH SOAL UJIAN NASIONAL
1. Diketahui ∆ABC dan ∆XYZ sebangun. Jika AB = 16 cm, BC = 10 cm, dan AC = 8 cm, sedangkan
XY = 8 cm, YZ = 5 cm, dan XZ = 4 cm. Perbandingan sisi ∆ ABC dengan ∆ XYZ adalah .. ...
A. 1 : 2
B. 2 : 3
C. 2 : 1
D. 3 : 2
(UN 2012/2013)
2. Perhatikan gambar.
E
9 cm
D
C
F
A
B
Panjang FC adalah .. ...
A. 10 cm
B. 13 cm
C. 14 cm
D. 17 cm
(UN 2012/2013)
19 cm
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
10
3. Perhatikan gambar.
D
7 cm
Jika CY : YB = 2 : 3, maka panjang XY adalah ...
A. 9 cm
B. 11,5 cm
C. 13,0 cm
D. 14,5 cm
(UN 2011/2012)
C
Y
X
A
B
22 cm
4. Tinggi Malik 150 cm dan panjang bayangannya 2 m. Pada saat yang sama, panjang bayangan pohon
12 m. Tinggi pohon tersebut adalah ... ...
A. 16 cm
B. 9 cm
C. 8 cm
D. 6 cm
(UN 2011/2012)
5. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR, besar ∠BAC = ∠PQR = 650 dan ∠ABC = ∠QPR = 800.
Sisi-sisi yang sama panjang adalah ...
A. AB = PR
B. AC = PQ
C. AB = PQ
D. BC = QR
(UN 2012/2013)
6. Perhatikan gambar.
B
A
C
T
O
P
Segitiga ABC kongruen dengan segitiga POT. Pasangan sudut
yang sama besar adalah ...
A. ∠BAC = ∠POT
B. ∠BAC = ∠PTO
C. ∠ABC = ∠POT
D. ∠ABC = PTO
(UN 2011/2012)
7. Perhatikan gambar.
Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika AB =
10 cm dan CD garis bagi sudut C, panjang BD adalah ... ...
A. 5 cm
B. (10 2 - 10) cm
C. (10 - 5 2) cm
D. (5 2 - 5) cm
(UN 2010/2011)
A
E
D
B ┐
C
8. Perhatikan gambar.
D
E
C
A
B
Jika 3AC = 2AE, perbandingan luas ∆ABC dengan luas ∆DEC
adalah .. ...
A. 4 : 1
B. 4 : 2
C. 6 : 3
D. 9 : 1
(UN 2009/2010)
9. Sebuah foto berukuran tinggi 30 cm dan lebar 20 cm ditempel pada sebuah karton. Sisa karton di
sebelah kiri, kanan, dan atas foto 2 cm. Jika foto dan karton sebangun, sisa karton di bawah
foto ... cm.
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
(UN 2009/2010)
Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap
11