Persamaan Garis Lurus

Persamaan Garis Lurus |1
Pendahuluan
Saat ini telepon seluler sudah menjadi pengkat tang penting bagi masyarakat
yang menginginkan kemudahan dalam berkounikasi. Beberapa operator
ponsel menerapkan tarif yang berbeda-beda. Misalkan taruf untuk
menghubungi telepon selular lain Rp 1.500 per menit, maka tarif percakapan
selama 1 menit adalah Rp 1.500, 2 menit Rp 3.000, 3 menit Tp 4.500. dan
seterusnya. Tarif percakapan ini bersifat linier (lurus) dengan persamaan 𝑦 =
1.500𝑥, dimana 𝑦 menyatakan besar tarif dan 𝑥 menyatakan blamanya waktu
percakapan. Dengan demikian, besar kecilnya nilai 𝑦 bergantung pada besar
kecilnya nilai 𝑥. Jika digambarkan dalam koordinat Cartesius, persamaan
tersebut berbentuk garir lurus yang menanjak.
1.
Bentuk Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya
A. Bentuk Persamaan Garis Lurus
Dari persamaan 𝑦 = 4𝑥, jika dibuat grafiknya dengan x variabel
pada himpunan nyata (real) maka akan terbentuk garis lurus. Oleh karena
itu, persamaan seperti 𝑦 = 4𝑥 disebut persamaan garis lurus.
Persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk
dengan berbagai variabel seperti contoh-contoh berikut.
Contoh:
a. 𝑦 = −2𝑥
b. 𝑦 = 3𝑥 + 4
c. 2𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0
d. 𝑠 = 20𝑡
e. 𝑠 = 60𝑡 + 40
f. 𝑄 = 40 − 0,5𝑃
B. Menggambar
Grafik
dari
Persamaan
Garis
Lurus
dengan
Menggunakan Tabel
Untuk menggambar grafik dari suatu persamaan yang telah
ditentukan, terlebih dahulu tentukanlah paling sedikit dua titik yang harus
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |2
dilalui oleh garis itu dengan membuat tabel hubungan antara nilai x dan
nilai y, pilihlah nilai x sembarang untuk menentukan nilai y.
Contoh:
1
a. Gambarlah grafik dari persamaan 𝑦 = 2 𝑥 !
Penyelesaian:
1
Persamaan 𝑦 = 2 𝑥
1
Jika x = 0 maka 𝑦 = × 0 = 0 (dipilih nilai x = 0)
2
Titiknya adalah (0, 0)
1
Jika x = 4 maka 𝑦 = 2 × 4 = 2 (dipilih nilai x = 4)
Titiknya adalah (4, 2)
Selanjutnya buatlah garis yang melalui titik (0, 0) dan titik (4, 2)
seperti gambar berikut.
Periksalah bahwa titik (6, 3), (2, 1), (-2, -1) dan (-4, -2) terletak pada
1
garis itu, karena nilai y (ordinat) sama dengan 2 kali nilai x (absis).
Catatan: untuk menentukan nilai y, dapat di pilih sembarang
nilai x, asalkan mudah menghitungnya dan mudah pula
menggambar titiknya pada bidang koordinat Cartesius.
b. Gambarlah garis dengan persamaan 𝑦 = 𝑥 + 3! Jika titik (b, -9)
terletak pada garis tersebut, tentukan nilai b!
Penyelesaian:
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |3
Tabel akan lebih mudah dibuat, jika memilih nilai x = 0 unutuk
menentukan nilai y dan memilih nilai y = 0 untuk menentukan nilai x.
Persamman 𝑦 = 𝑥 + 3
Jika x = 0, maka y = 0 + 3 = 3, titiknya adalah (0, 3)
Jika y = 0, maka 0 = x + 3 = -3, titiknya adalah (-3, 0)
Selanjutnya, buatlah garis yang melalui titik (0,3) dan (-3, 0) seperti
pada gambar berikut.
Karena titik (b, -9) terletak pada garis tersebut, maka:
x = b dan y = -9 →
𝑦 =𝑥+3
−9 = 𝑏 + 3
𝑏 = −9 − 3
= −12
Catatan:
Titik (0, 3) merupakan titik potong grafikdengan sumbu y.
Titik (-3, 0) merupakan titik potong dengan sumbu x.
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |4
2.
Gradien atau Kemiringan
A. Pengertian Gradien
Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar tersebut menunjukkan bagan perjalanan sebuah mobil
yang melewati ruas jalan dari A sampai D dengan posisi jalan miring. Dari
A sampai C, setiap mobil bergerak horisontal 15m, maka ketinggian akan
bertambah 5m, dan dariC sampai D, mobil bergerak 20m dan ketinggian
bertambah 6m. Ukuran gradian kemiringan jalan dapat di tentukan dengan
membandingkan perubahan nilai y terhadap perubahan nilai x. Dengan
cara itu, maka gradien masing-masing ruas jalan pada gambar di atas dapat
ditentukan.
Gradien/kemiringan ruas garis AB =
Gradien/kemiringan ruas garis BC =
Gradien/kemiringan ruas garis AC =
Gradien/kemiringan ruas garis CD =
𝐵𝐸
𝐴𝐸
𝐶𝐹
𝐵𝐹
𝐶𝐺
𝐴𝐺
𝐷𝐻
𝐶𝐻
Gradien/kemiringan garis =
5
1
5
1
10
1
= 15 = 3
= 15 = 3
= 30 = 3
6
3
= 20 = 10
𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒚
𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒙
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |5
Selanjutnya
akan
dibahas
mengenai gradien dari garis-garis yang
terlatak
pada
bidang
koordinat
Cartesius.
Perhatikan gambar disamping.
Pada ruas garis OA, koordinat
titik A(2,1) dan titik O (0,0), maka:
perubahan nilai x adalah 2 – 0 = 2
perubahan nilai y adalah 1 – 0 = 1
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦
1
Gradien ruas garis OA 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 = 2
Dengan cara yang sama, kita dapat mencari gradien ruas garis OB,
OC, OP, OQ, dan OR.
Garis k
Garis l
Ruas garis
OB
OC
OP
OQ
OR
Gradien
3 1
=
6 2
−2 1
=
−4 2
3
=3
1
6
=3
2
−6
=3
−2
Catatan:
perubahan nilai x dapat ditulis dangan "∆𝒙" dibaca "𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂 𝒙"
perbahan nilai y dapat ditulis dengan "∆𝒚" dibaca "𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂 𝒚".
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |6
Contoh
1. Cariah gradien garis 𝑎 pada gambar di bawah ini.
Penyelesaian:
Perhatikan ruas garis OP!
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦
Gardien garis 𝑎 = 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥
4
=3
1
= 13
Kita juga dapat menggunakan ruas garis OQ, yaitu
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦
Gardien garis 𝑎 = 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥
−4
= −3
1
= 13
2. Carilah gradien garis pada gambar berikut!
Penyelesaian:
Perhatikan ras garus ON.
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦
Gardien garis 𝑏 = 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥
=
−3
5
3
= −5
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |7
B. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik.
Perhatikan koordinat titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) pada gambar di
atas. Untuk menentukan gradien garis AB pada gambar di atas, terlebih
dahulu tentukanlah perubahan nilai x dan nilai y dari garis AB.
Perubahan nilai 𝑥 = 𝐴𝑀 = 𝑥2 − 𝑥1 (dimulai dari titik A)
Perubahan nilai 𝑦 = 𝑀𝐵 = 𝑦2 − 𝑦1
Gradien garis 𝐴𝐵 =
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥
𝑦2 −𝑦1
=
𝑥2 −𝑥1
Untuk selanjutnya, gradien garis AB dapat ditulis 𝑚𝐴𝐵 .
Contoh:
Tentukan gradien garis yang menghubungkan pasangan titik berikut ini!
1. A(3, 1) dan B(7, 9)
2. C(-4, 7) dan D(2, -1)
Penyelesaian:
1. Titik A(3, 1), maka 𝑥1 = 3 dan 𝑦1 = 1
Titik B(7, 9), maka 𝑥2 = 7 dan 𝑦2 = 9
𝑦 −𝑦
𝑚𝐴𝐵 = 𝑥2 −𝑥1
2
9−1
= 7−3
=
8
4
=2
1
atau
𝑦 −𝑦
𝑚𝐴𝐵 = 𝑥1−𝑥2
1
2
1−9
= 3−7
=
−8
−4
=2
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |8
2. Titik C(-4, 7), maka 𝑥1 = −4 dan 𝑦1 = 7
Titik D(2, -1), maka 𝑥2 = 2 dan 𝑦2 = −1
𝑦 −𝑦
𝑚𝐶𝐷 = 𝑥2−𝑥1
2
𝑦 −𝑦
𝑚𝐶𝐷 = 𝑥1−𝑥2
atau
1
1
−1−7
= 2−(−4)
−8
=
=
=
=
2+4
−8
2
7−(−1)
−4−2
7+1
−6
8
= −6
6
1
1
= −1 3
= −1 3
C. Gradien Garis yang Saling Sejajar
Pada gambar di atas, garis k, l, m, dan p adalah garis-garis yang
saling sejajar. Gradien dari masing-masing garis tersebut dapat ditentukan
dengan memilih dua buah titik yang terletak pada garis itu yang diketahui
koordinatnya, kemudian gradiennya dapat dihitung dengan menggunakan
𝑦 −𝑦
𝑦 −𝑦
rumus 𝑥1 −𝑥2 atau 𝑥2−𝑥1.
1
2
2
1
Gradien garis 𝑘 = 𝑚𝐴𝐵
0−6
−6
−6
1
= −9−(−5) = −9+5 = −4 = 1 2
Gradien garis 𝑚 = 𝑚𝑂𝐸
0−6
−6
1
= 0−4 = −4 = 1 2
Gradien garis 𝑙 = 𝑚𝐶𝐷
Matematika SMP Kelas 8
Persamaan Garis Lurus |9
−3−3
−6
−6
1
= −7−(−3) = −7+3 = −4 = 1 2
Gradien garis 𝑝 = 𝑚𝐹𝐺
=
−3−6
4−10
−9
1
= −6 = 1 2
Ternyata semua garis pada gambar di atas mempunyai gradien
1
yang sama yaitu 1 1. Dengan demikian dapat di mabil kesimpulan:
Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama
atau
Jika garis-garis memiliki gradien yang sama, maka pasti garis
tersebut saling sejajar.
Contoh
1
Garis 𝑔 yang bergradien −3 2 sejajar dengan garis 𝑙. Tentukan gradien
garis 𝑙!
Penyelesaian:
Karena garis 𝑔 sejajar dengan garis 𝑙, maka gradien garis 𝑔 = gradien garis
1
𝑙. Jadi, gradien garis 𝑙 = gradien garis 𝑔 = −3 2.
D. Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus
Perhatikan gambar berikut.
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 10
Pada gambar di atas, garis k dan garis l saling tegak lurus, maka
𝑚𝑘 = 𝑚𝑂𝐴
𝑚𝑙 = 𝑚𝑂𝐵
2
4
=4
= −2
1
=2
= −2
𝑚𝑘 × 𝑚 𝑙 =
1
× (−2)
2
= −1
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas, garis p dan garis q saling tegak lurus.
𝑚𝑝 = 𝑚 𝑇𝑅
𝑚𝑞 = 𝑚𝑂𝐵
1−4
1−3
= 2−4
= 2−(−1)
−3
= −2
=
3
−2
3
2
=2
= −3
𝑚𝑝 × 𝑚 𝑞 =
3
2
× (− )
2
3
= −1
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 11
Dari uraian di atas, dapat diambil kesimpulan:
Hasil kali gradien-gradien garis yang saling tegak lurus adalah -1.
Catatan: untuk garis tegak dan garis mendatar, walaupun kedua garis itu
saing egak lurus, tetapi kesimpulan di atas tidak berlaku, karena garis teak
(vertikal) tidak mempunyai gradien dan garis mendatar bergradien 0.
3.
Persamaan Garis Lurus
a. Persamaan Garis dalam Bentum 𝒚 = 𝒎𝒙 dan 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄
1) Persamaan Garis 𝒚 = 𝒎𝒙
Garis-garis pada gambar berikut ini melalui titik pangkal koordinat.
Hubungan antara persamaan garis dengan gradiennya ditunjukkan
pada tabel berikut.
Persamaan
Garis
Gradien
𝑦=
1
2
1
𝑥
2
𝑦 = 2𝑥
2
1
𝑦 = −1 𝑥
2
−1
1
2
1
𝑦=− 𝑥
3
−
1
3
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 12
Dari tabel di atas terlihat bahwa koefisien 𝑥 dari suatu persamaan
garis ternyata merupakan gradien dai garis itu, yaitu:
1
1
Persaman garis 𝑦 = 2 𝑥 mempunyai gradien 2.
Persaman garis 𝑦 = 2𝑥 mempunyai gradien 2.
1
1
Persaman garis 𝑦 = −1 2 𝑥 mempunyai gradien −1 2.
1
1
Persaman garis 𝑦 = − 3 𝑥 mempunyai gradien − 3.
Dengan demikian, dapat di ambil kesimpulan berikut.
𝐏𝐞𝐫𝐬𝐚𝐦𝐚𝐚𝐧 𝐠𝐚𝐫𝐢𝐬 𝒚 = 𝒎𝒙 {
𝐛𝐞𝐫𝐠𝐫𝐚𝐝𝐢𝐞𝐧 𝐦
𝐦𝐞𝐥𝐚𝐥𝐮𝐢 𝐭𝐢𝐭𝐢𝐤 𝐎(𝟎, 𝟎)
Contoh
1. Tentukan persamaan garis yang melalui pangkal koordinat dan
1
bergradien −2 2.
2. Tentukan gradien dan koordinat titik yang dilalui untuk garis
4
dengan persamaan 𝑦 = − 5 𝑥 !
Penyelesaian:
1
1
1. Gradien = −2 2 , maka 𝑚 = −2 2
Garis melalui titik pangkal koordinat, yaitu titik (0,0).
Persamaan garisnya adalah 𝑦 = 𝑚𝑥
1
𝑦 = −2 2 𝑥
1
Jadi, persamaan garisnya adalah 𝑦 = −2 2 𝑥.
4
2. Persamaan garis 𝑦 = − 5 𝑥.
4
Gradiennya= − 5
Titik yang dilalui adalah (0,0)
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 13
2) Persamaan Garis 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄
Garis 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 pada gambar 3.9 berikut sejajar dengan garis 𝑐 yang
3
memiliki persamaan 𝑦 = 4 𝑥. Karena ketiga garis tersebut sejajar
dengan garis 𝑐, berarti garis 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 memiliki gradien yang sama
3
dengan garis 𝑐, yaitu 4.
Hubungan antara persamaan garis, gradien, dan koordinat titik yang
dilalui atau dipotong oleh suatu garispada sumbu Y ditunjukkan pada
tabel berikut.
Persamaan Garis
𝑦=
3
𝑥
4
3
𝑥+2
4
3
𝑦 = 𝑥+5
4
3
𝑦 = 𝑥−3
4
𝑦=
Gradien
3
4
3
4
3
4
3
4
Titik yang dilalui sumbu Y
(0,0)
(0,2)
(0,5)
(0,-3)
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 14
Dari tabel di atas di peroleh hubungan berikut.
3
3
3
3
3
3
Persamaan garis 𝑦 = 4 𝑥 + 2 bergradien 4 dan melalui (0,2).
Persamaan garis 𝑦 = 4 𝑥 + 5 bergradien 4 dan melalui (0,5).
Persamaan garis 𝑦 = 4 𝑥 − 3 bergradien 4 dan melalui (0,-3).
Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.
Persamaan garis 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 bergradien m dan melalui titik (0,c).
Titik (0,c) adalah titik potong garis 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 dengan sumbu Y.
Contoh
1. Tentukanlah persamaan garis yang bergradien 4 dan melalui titik
(0,-7) !
1
2. Tentukanlah persamaan garis yang bergradien −3 2 dan melalui
titik (0,5) !
Penyelesaian:
1. Gradien = 4, maka 𝑚 = 4
Melalui titik (0, −7), maka 𝑐 = −7
Maka persamaan garisnya adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
𝑦 = 4𝑥 − 7
1
1
2. Gradien = −3 2, maka 𝑚 = −3 2
Melalui titik (0 , 5), maka 𝑐 = 5
Maka persamaan garisnya adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
1
𝑦 = −3 𝑥 + 5
2
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 15
LATIHAN
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui pangkal
koordinatdan mempunyai gradien berikut!
1
2
a. 4
d.
b. −6
e. 4 3
c. −8
f. −3 4
1
1
2. Tulislah gradien dan titik-titik potong dengan sumbu 𝑌 untuk
garis-garis dengan persamaan sebagai berikut.
a. 𝑦 = 5𝑥 + 3
d. 𝑦 = −3𝑥 + 4
1
b. 𝑦 = 2 𝑥 − 6
1
e. 𝑦 = −4 2 𝑥 − 2
c. 𝑦 = 4𝑥
3. Tulislah persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik
berikut!
1
2
a. (0,5)
c. (0, −2 )
b. (0, −3)
d. (0,0)
b. Persamaan Garis Dengan Gradien 𝒎 dan Melalui Titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
Pada gambar di atas, 𝐴 adalah titik dengan koordinat (𝑥1 , 𝑦1 ), sedangkan
𝑃 adalah titik dengan koordinat sebarang, yaitu (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥 dan 𝑦
sebarang bilangan real atau nyata. Jika gradien garis ang melalui
𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) dinyatakan dengan 𝑚, maa garis 𝐴𝑃 memuat semua titik (𝑥, 𝑦)
dengan hubungan berikut ini.
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 16
𝒚 − 𝒚𝟏
= 𝒎 ⇔ 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝒙 − 𝒙𝟏
Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.
Persamaan garis yang melalui sebarang titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan
bergradien 𝒎 adalah 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
Perhatikan gambar berikut ini!
Titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) adalah sebarang titik yang terletak pada bidang koordinat.
Garis g melalui sebarang titik, yaitu 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ). Gradien garis g = 𝑚.
Persamaan garis g adalah: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Contoh
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik 𝐴(−2,1) dan bergradien
3!
2. Tentukan persaman garis yang melalui titik (4, −6) dan sejajar
dengan garis yang persamaannya 2𝑦 = 3𝑥 + 8!
Penyelesaian:
1. Titik 𝐴(−2,1), maka 𝑥1 = −2 dan 𝑦1 = 1
Gradien = 3, maka 𝑚 = 3
Persamaan garisnya adalah
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 1 = 3(𝑥 − (−2))
𝑦 − 1 = 3(𝑥 + 2)
𝑦 − 1 = 3𝑥 + 6
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 17
𝑦 = 3𝑥 + 6 + 1
𝑦 = 3𝑥 + 7
atau
𝑦 − 1 − 3𝑥 − 6 = 0
𝑦 − 3𝑥 − 7 = 0
3𝑥 − 𝑦 − 7 = 0
Jadi, persamaan garis yang melalui titik 𝐴(−2,1) dan bergradien 3
adalah 𝑦 = 3𝑥 + 7 atau 3𝑥 − 𝑦 − 7 = 0.
2. Garis dengan persamaan 2𝑦 = 3𝑥 + 8 kita sebut dengan 𝑔1 , dan garis
yang kita cari kita sebut 𝑔2 .
Garis 𝑔1 sejajar dengan 𝑔2 , berarti gradien garis 𝑔1 = gradien garis
𝑔2 atau 𝑚1 = 𝑚2 .
𝑔1 : 2𝑦 = 3𝑥 + 8
𝑦=
3𝑥+8
2
(diubah ke bentuk 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐)
3
𝑦 = 2𝑥 + 4
3
1
Diperoleh 𝑚1 = 2 = 1 2
1
Karena garis 𝑔1 sejajar dengan 𝑔1 , maka 𝑚1 = 𝑚2 = 1 2
Garis 𝑔2 melalui titik (4, −6), maka 𝑥1 = 4 dan 𝑦1 = −6
Persamaan garis 𝑔2 :
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚2 (𝑥 − 𝑥1 )
1
𝑦 − (−6) = 1 (𝑥 − 4)
2
1
𝑦 +6 =1 𝑥−6
2
1
𝑦 =1 𝑥−6−6
2
1
𝑦 = 1 𝑥 − 12
2
atau
1
−1 𝑥 + 𝑦 + 6 + 6 = 0
2
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 18
1
−1 𝑥 + 𝑦 + 12 = 0
2
3𝑥 − 2𝑦 − 24 = 0
Jadi, persamaan garis yang melalui titik (4, −6) dan sejajar dengan
1
garis yang persamaannya 2𝑦 = 3𝑥 + 8 adalah 𝑦 = 1 2 𝑥 − 12 atau
3𝑥 − 2𝑦 − 24 = 0.
c. Persamaan Garis Melalui Titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )
Pada pembahasan mengenai gradien telah diperoleh rumus untuk
menentukan gradien garis yang melalaui titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dan (𝑥2 , 𝑦2 ), yaitu
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
atau
𝑦1 −𝑦2
𝑥1 −𝑥2
. Selanjutnya, dengan menggunakan rumus persamaan
garis 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚2 (𝑥 − 𝑥1 ) dapat diperoleh rumus berikut ini.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚2 (𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 −𝑦
𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2−𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 )
2
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦−𝑦1
𝑦2−𝑦1
=
1
(𝑚 diganti dengan
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
)
(𝑦2 − 𝑦1 )(𝑥 − 𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1
(𝑦2 −𝑦1 )(𝑥−𝑥1 )
(𝑦2 −𝑦1 )(𝑥2 −𝑥1 )
(kedua ruas dibagi dengan (𝑦2 − 𝑦1 )
𝑦 − 𝑦1
(𝑥 − 𝑥1 )
=
𝑦2 − 𝑦1 (𝑥2 − 𝑥1 )
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Rumus persamaan garis yang melalui sebarang titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan
(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) adalah
𝑦−𝑦1
𝑦2 −𝑦1
=
(𝑥−𝑥1 )
(𝑥2 −𝑥1 )
Contoh
Tentukan persamaan garis yang melalui titik 𝐾(−1,0) dan 𝐿(3, −8)!
Penyelesaian:
𝐾(−1,0), maka 𝑥1 = −1 dan 𝑦1 = 0
𝐿(3, −8), maka 𝑥2 = 3 dan 𝑦2 = −8
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 19
𝑦 − 𝑦1
(𝑥 − 𝑥1 )
=
𝑦2 − 𝑦1 (𝑥2 − 𝑥1 )
𝑦−0
(𝑥 − (−1))
=
−8 − 0 (3 − (−1))
𝑦
(𝑥 + 1)
=
−8
(4)
4𝑦 = −8𝑥 − 8
4𝑦 −8𝑥 − 8
=
4
4
𝑦 = −2𝑥 − 2 atau 2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
4.
Hubungan Gradien dengan Persamaan Garis Lurus
Persaman garis lurus dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 dengan
gradien = 𝑚 dam melalui titik (0,c).
Persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 {
mempunyai gradien m
melalui titik (0, c)
Berdasarkan gradien dan titik yang dilalui oleh suatu garis, maka kita
dapat menentukan kedudukan dua buah garis, apakah kedua garis tersebut
saling sejajar atau saling berpotongan.
A. Persamaan Garis Lurus yang Saling Sejajar dan Saling Berimpit
1) Persamaan Garis yang Saling Sejajar
Pada materi sebelumnya, telah dibahas bahwa garis-garis sejajar
memiliki gradien yang sama. Jadi, garis dengan persamaan 𝑦 =
𝑚1 𝑥 + 𝑐1 dan 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2 akan saling sejajar jika 𝑚1 = 𝑚2 .
Pada gambar di samping, garik 𝑘
sejajar dengan garis 𝑙. Karena garis k
dengn persamaan
𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1 dan
garis l dengan persamaan 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2
saling sejajar, maka 𝑚1 = 𝑚2 .
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 20
Jika garis dengan persamaan 𝒚 = 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 dan 𝒚 = 𝒎𝟐 𝒙 + 𝒄𝟐
saling sejajar, maka 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐
Contoh
1. Tunjukkan bahwa garis dengan persamaan 𝑦 = −2𝑥 + 4 dan 8𝑥 +
4𝑦 + 12 = 0 saling sejajar!
2. Tentukan persaman garis yang melalui titik (3,1) dan sejajar
dengan garis dengan persamaan 𝑦 = 2𝑥 + 3!
Penyelesaian:
1. 𝑔1 persamaannya adalah 𝑦 = −2𝑥 + 4, maka 𝑚1 = −2
𝑔2 persamaannya adalah 8𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0 atau
4𝑦 = −8𝑥 − 12
𝑦 =
( ubah ke bentuk 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐)
−8𝑥 − 12
4
𝑦 = −2𝑥 − 3
𝑦 = −2𝑥 − 3, maka 𝑚2 = −2
Karena 𝑚1 = 𝑚2 , maka garis 𝑔1 sejajar dengan garis 𝑔2 .
Kedudukan dua garis tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
2. 𝑔1 persamaannya adalah 𝑦 = 2𝑥 + 3, maka 𝑚1 = 2
Garis saling sejajar, maka gradiennya harus sama, yaitu: 𝑚1 = 𝑚2
Garis yang diminta yaitu 𝑔2 melalui titik (3,1), maka 𝑥1 = 3 dan
𝑦1 = 1. Persamaan garis 𝑔2 adalah:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚2 (𝑥 − 𝑥1 )
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 21
𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 3)
𝑦 − 1 = 2𝑥 − 6
𝑦 = 2𝑥 − 6 + 1
𝑦 = 2𝑥 − 5 atau 2𝑥 − 𝑦 − 5 = 0
2) Persamaan Garis yang Saling Berimpit
Pada
gambar
disamping,
dengan
persamaan
berimpit
dengan
garis
𝑔
𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1
garis
ℎ
dengan
persamaan 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2 , maka garis
𝑔 dan garis ℎ memiliki kemiringan
(gradien) yang sama yaitu 𝑚1 = 𝑚2 ,
dan juga melalui titik potong pada
sumbu 𝑌 yang sama yaitu𝑐1 = 𝑐2.
Jika garis dengan persamaan 𝒚 = 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 dan 𝒚 = 𝒎𝟐 𝒙 +
𝒄𝟐 saling beripmpit maka, 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 dan 𝒄𝟏 = 𝒄𝟐
Contoh
2
Tunjukkan bahwa garis dengan persamaan 𝑦 = 3 𝑥 − 4 dan 4𝑥 − 6𝑦 −
24 = 0 saling berimpit!
Penyelesaian
2
2
𝑔1 persamaannya 𝑦 = 3 𝑥 − 4, maka 𝑚1 = 3 dan 𝑐1 = −4
𝑔2 persamaannya 4𝑥 − 6𝑦 − 24 = 0
−6𝑦 = −4𝑥 + 24
−4𝑥 + 24
−6
2
𝑦 = 𝑥−4
3
𝑦=
2
𝑚2 = 3 dan 𝑐2 = −4
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 22
2
Karena 𝑚1 = 𝑚2 dan 𝑐1 = 𝑐2, maka garis 𝑦 = 3 𝑥 − 4 dan 4𝑥 − 6𝑦 −
24 = 0 saling berimpit.
3) Persamaan Garis yang Saling Berpotongan dan Berpotongan
Tegak Lurus
a. Persaman Garis yang Saling Berpotongan
Dua garis yang tidak sejajar dan tidak berimpit akan saling
berpotonan. Sebelumnya telah dibahas bahwa dua buah garis yang
memiliki gradien sama akan saling sejajar. Dengan demikian dapat
kita artikan jika dua buah garis saling berpotongan, maka gradien
kedua garis itu tidak sama.
Pada gambar di samping, menujukkan
garis 𝑎 dengan persamaan 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1
dan garis 𝑏 dengan persamaan 𝑦 =
𝑚2 𝑥 + 𝑐2 berpotongan di titik 𝑇. Karena
garis 𝑎 dan 𝑏 saling berpotongan, maka
𝑚1 ≠ 𝑚2
Jika garis dengan persamaan 𝒚 = 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 dan 𝒚 = 𝒎𝟐 𝒙 + 𝒄𝟐
saling berpotongan maka, 𝒎𝟏 ≠ 𝒎𝟐
Contoh
Tentukan hubungan antara garis dengan persamaan 𝑦 = 2𝑥 + 4
dengan garis 3𝑥 + 4𝑦 = 12!
Penyelesaian:
𝑔1 persamaannya 𝑦 = 2𝑥 + 4, maka 𝑚1 = 2
𝑔2 persamaannya 3𝑥 + 4𝑦 = 12
4𝑦 = −3𝑥 + 12
3
3
𝑦 = − 𝑥 + 3, maka 𝑚2 = −
4
4
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 23
Karena 𝑚1 ≠ 𝑚2 , maka kedua
garis
tersebut
saling
berpotongan. Kedudukan dua
garis
tersebut
tunjukkan
pada
di
atas
di
gambar
di
samping.
b. Persaman Garis yang Saling Berpotongan Tegak Lurus
Pada materi tentang gradien telah dibahas bahwa hasil kali dari
gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah −1. Jadi, garis
dengan persamaan 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1 dan 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2 akan saling
tegak lurus jika 𝑚1 × 𝑚2 = −1.
Gambar di samping menujukkan garis 𝑎 dengan persamaan 𝑦 =
𝑚1 𝑥 + 𝑐1 dan garis 𝑏 dengan
persamaan
𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2
berpotongan tegak lurus. Karena
garis 𝑎 dan garis 𝑏 saling
berpotongan tegak lurus, maka
𝑚1 × 𝑚2 = −1
.
Jika garis dengan persaman 𝒚 = 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 dan 𝒚 = 𝒎𝟐 𝒙 + 𝒄𝟐
saling berpotongan tegak lurus, maka 𝒎𝟏 × 𝒎𝟐 = −𝟏
Contoh
Tentukan hubungan antara garis dengan persamaan 4𝑦 = 6𝑥 − 8
dengan garis 2𝑥 + 3𝑦 = 6!
Penyelesaian:
𝑔1 persamaannya 4𝑦 = 6𝑥 − 8
𝑦=
6𝑥 − 8
4
Matematika SMP Kelas 8
P e r s a m a a n G a r i s L u r u s | 24
𝑦=
3
3
𝑥 − 2, maka 𝑚1 =
2
2
𝑔2 persamaannya 2𝑥 + 3𝑦 = 6
3𝑦 = −2𝑥 + 6
−2𝑥 + 6
𝑥
3
2
2
𝑦 = 𝑥 + 2, maka 𝑚2 = −
3
3
𝑦=
𝑚1 ≠ 𝑚2 , maka garis 𝑔1 berpotongan dengan 𝑔2 .
𝑚1 × 𝑚2 =
3
2
× (− ) = −1
2
3
Karena 𝑚1 × 𝑚2 = −1, maka
garis 𝑔1 dan 𝑔2 berpotongan
tegak lurus. Kedudukan dua
garis
tersebut
di
atas
ditunjukkan pada gambar di
samping.
Matematika SMP Kelas 8