KOMBINATORIK 1. a. Aturan jumlah Jika A dan

KOMBINATORIK
1. a. Aturan jumlah
Jika A dan Badalah dua himpunan berhingga yang saling lepas ,maka :
n(A∪B) = n(A) + n(B)
Secara umum : n(A1∪A2∪....∪An) = n(A1) + n(A2) + .... + n(An)
b. Aturan hasil kali
Jika A dan B adalah dua himpunan berbeda, maka : n(AxB) = n(A) ⋅ n(B)
Secara umum : n(A1xA2x ....xAn) = n(A1) ⋅ n(A2) ... n(An)
2. Prinsip Lubang Merpati (Pigeon Hole
Jika n + 1 obyek disebar secara acak ke dalam n kotak, maka paling sedikit satu kotak yang
memiliki sedikitnya 2 obyek. Secara lebih umum, jika kn + 1 obyek disebar secara acak ke
dalam n kotak maka paling sedikit ada satu kotak yang memiliki sedikitnya k + 1 obyek.
3. Jika A dan B adalah dua himpunan berhingga, maka :
n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
Untuk tiga himpunan berhingga :
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) +n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C)
Demikian seterusnya untuk lebih dari 3 himpunan tak berhingga.
4. Beberapa sifat koefisien binomial
a. C = C ; 0 ≤ r ≤ n
n r
n n−r
b. C + C = C ; 1 ≤ r ≤ n
n r n r−1 n+1 r
c. Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :
𝑛𝑛
(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎)𝑛𝑛 = �
𝑘𝑘=0
�𝑛𝑛𝑘𝑘 �𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑘𝑘
d. Penjumlahan koefisien
(i) nC0 + nC1 + nC2 +...+ nCn-1 +nCn = 2n
(ii) nC0 + nC2 + nC4 +... = nC1 + nC3 + nC5 +... = 2n-1
5. Misalkan ada n macam obyek dan kita ingin memilih r elemen, maka banyaknya pilihan
adalah C , dengan n ≥ r.
n r
6. Misalkan ada n macam obyek dan kita ingin memilih k elemen dibolehkan berulang (kita
mengganggap bahwa setiap n macam obyek tersedia pada setiap waktu). Maka banyaknya
C dengan n ≥ k.
pilihan demikian adalah
n+k−1 k
7. Misalkan ada n obyek dimana k obyek adalah jenis pertama (dan identik), k obyek adalah
1
2
jenis kedua, ⋅⋅⋅, k adalah jenis ke-r sehingga k + k + k + ⋅⋅⋅ + k = n. Maka banyaknya
r
permutasi dari semua n obyek adalah
𝑛𝑛!
𝑘𝑘1 !𝑘𝑘2 ! ….
1
2
3
r
51
101
1
49
1. Bilangan kedua terbesar dari bilangan-bilangan 1001 , 2001 , 20 , 999,
adalah....
99
1999
2. Manakah bilangan dibawah ini yang habis dibagi 666....
87692345-81012345
87682345-81012345
87672345-81012345
87662345-81012345
87652345-81012345
1.
2.
3.
4.
5.
1
1
1
1
3. Hasil dari 2007 .2008 + 2008 .2009 + 2009.2010 + 2010 =....
4. Diketahui a dan b adalah bilangan real yang memenuhi
a + b....
𝑥𝑥+4
𝑎𝑎+4
𝑥𝑥+8
𝑏𝑏
+
5
𝑎𝑎𝑎𝑎
=
𝑥𝑥+6
2−𝑏𝑏
𝑎𝑎
5. Tentukanlah nilai x yang memenuhi (𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3) + (𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+5) + (𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥+1) =
nilai
3
𝑥𝑥
𝜋𝜋
6. Diketahui x = 18 maka 5log(tan x)- 5log(sin x)+ 5log(cos x) =....
7. Diketahui 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥
1−2𝑥𝑥
-
𝑥𝑥
2
𝑓𝑓(3)− 𝑓𝑓(−3)
maka 𝑓𝑓(5)+ 𝑓𝑓(−5) =....
1
8. Jika ƒ (x) + ƒ �1 − 𝑥𝑥 � = x maka 4f(2)....
9. Diketahui 3 buah bilangan 16log5 + 2log3, 16log5 + 4log3, dan 16log5 + 8log3
membentuk barisan trigonometri mak rasio barisan tersebut....
1
1
10. Jika a + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 2, b + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3, c +
1
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑐𝑐−𝑎𝑎
= 6 maka 𝑐𝑐−𝑎𝑎−𝑏𝑏 ....
11. Jika P = (1 + 99 + 992 + 993 + ....... +9999 + 99100)(1 – 99 + 992 - 993 + ....... 9999 + 99100) maka P....
524 2
12. �
2
476 2
� -�
2
� = ....
13. Jika 4y – 9x = 38 dan -2x + 7y = 39, maka -7x -3y = ....
7
14. Jika 3a + 8b = 3, maka presentase (9a + 24b)b terhadap 16b adalah....
15. 0,1125 : 0,45 + 0,2275 : 0,65 = ....
16. Nilai dari
58 − 56 +72
56 + 3
= ....