Prosiding ISSN - Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Prosiding
ISSN :9 772407 749004
MODEL MATEMATIKA ALIRAN KONVEKSI BEBAS
FLUIDA VISKOELASTIK YANG MELEWATI
PERMUKAAN SEBUAH BOLA
Wayan Rumite a, Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc.b, Dr. Chairul Imron, MI.Komp.c
a
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111, [email protected]
b
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111, [email protected]
c
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111, [email protected]
ABSTRAK
Konveksi bebas terjadi pada saat gerakan fluida disebabkan oleh gaya
apung(buoyancy forces) karena adanya perbedaan massa jenis atau kerapatan. Pada
penelitian tesis ini, fluida yang dibahas adalah fluida non-Newtonian. Fluida nonNewtonian tipe viskoelastik, yaitu fluida yang mengalami perubahan viskositasketika
terdapat gaya yang bekerja pada fluida tersebut. Fluida yang memilikiviskositas dan
mengalir secara konveksi bebas melewati permukaan sebuah bolaakan membentuk
suatu lapisan tipis yang disebut lapisan batas (boundary layer).Lapisan batas (boundary
layer) yang terbentuk selanjutnya diteliti dan diperoleh berupa model matematika
berdimensi kemudian model matematika ini ditransformasikan kedalam bentuk model
matematika non-dimensi, dan selanjutnya disederhanakan menggunakan fungsi alir.
model matematika yang telah disederhanakandiselesaikan secara numerik menggunakan
metode beda hingga eksplisit Forward Time Central Space (FTCS). Hasil penyelesaian
numerik ini dianalisis hubunganantara profiltemperatur ( ) dengan parameter bilangan
Prandtl ( ).
Kata-kunci: Aliran Konveksi Bebas, Bilangan Prandtl, Fluida non-Newtonian,
Forward Time Central Space, dan Viskoelastik
ABSTRACT
Free convection flow is heat transfer on fluid caused by buoyancy forces because
of density difference. The non-Newtonian is one of fluid used in this research.
Viscoelastic changes of non-Newtonian is caused by external force acting on the fluids.
The free convection flow of fluid with viscosity past over a sphere will form a thin layer
called boundary layer. The boundary layer is then studied and obtained a dimension
boundary layer equations and then it is transformed into non-dimensionboundary layer
equationsform, and then transformed into non-similar boundary layer equationsform.
The non-similar boundary layer equationswill be solved by using finite difference
method type eksplicit with Forward Time Central Space (FTCS).The Numerical results
obtained in this researchwillbe analyzedrelationsbetweentemperature profile ( ) with
Prandtl number ( ).
Keywords:Free Convection Flow, non-Newtonian Fluid, Viscoelastic, Forward Time
Central Space (FTCS), Prandtl Number.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1025
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
perpindahan panas yang terjadi karena
Pendahuluan
Perpindahan
panas
adalah
dipaksa oleh gaya luar.
perpindahan energi dari suatu benda ke
benda
yanglain
perbedaan
karena
temperatur
adanya
kedua
benda
Peristiwa konveksi bebas fluida
viskoelastik yang melewati permukaan
sebuah
bola
kini
banyak
menarik
tersebut. Perpindahan panas juga terjadi
perhatian peneliti dan hasil penelitian
antara
tersebut kemudian hasilnya diterapkan
dua
tempat
yang
memiliki
temperatur yang berbeda. Secara umum
pada
perpindahan panas dibagi menjadi tiga,
konveksi bebas ini secara khusus telah
yaitu konduksi, konveksi, dan radiasi.
dikembangkan oleh beberapa peneliti
Perpindahan panas secara konveksi
beberapa tahun terakhir ini (Sano, 1996;
adalah perpindahan panas dari suatu
Molla, dkk., 2006; Salleh, dkk., 2010b).
tempat ke tempat lain yang disebabkan
Para peneliti sebelumnya pada dasarnya
oleh pergerakan fluida. Perpindahan
telah
panas secara konveksi secara garis besar
penelitiantentang aliran konveksi bebas,
dibagi menjadi dua, yaitu konveksi
seperti yang dilakukan oleh (Taher,
bebas (free convection) dan konveksi
2005) meneliti tentang aliran konveksi
paksa (forced convection). Konveksi
bebas yang melewati bola isothermal
bebas adalah perpindahan panas yang
dan adanya pembangkit panas dengan
disebabkan oleh gaya apung (buoyancy
asumsi
forces) karena adanya perbedaan massa
incompressible kemudian diselesaikan
jenis atau kerapatan. Saat suatu fluida
dengan menggunakan metode beda
terkena panas maka fluida tersebut akan
hingga dengan skema Keller box,
memuai dan massa jenisnya akan
(Prasad, dkk., 2011) meneliti
berubah yang mengakibatkan fluida
tentang konveksi bebas tak-tunak pada
tersebut bergerak. Bagian fluida yang
aliran fluida viskoelastik walters-B yang
terkena panas massa jenisnya akan
melewati pelat tegak, dan (Kasim,
menjadi lebih kecil sehingga fluida
2014) meneliti tentang aliran konveksi
bergerak menuju ke atas dan berubah
bebas fluida viskoelastik yang melewati
menjadi
permukaan
fluida
yang
lebih
dingin
bidang
teknik.
Topik
banyak
aliran
melakukan
dalam
sebuah
aliran
bola
keadaan
kemudian
kemudian fluida dingin yang massa
diselesaikan
jenisnya lebih besar di bagian atas akan
menggunakan
kebawah.
dengan skema Keller box. Namun,
Konveksi
paksa
yaitu
secara
metode
numerik
beda
hingga
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1026
Prosiding
permasalahan
ISSN :9 772407 749004
pada
aliran
fluida
sangat
penting,
terutama
pada
konveksi bebas fluida non-Newtonian
pengeboran minyak, industri makanan
tipe
dan kertas.
viskoelastik
yang
melewati
permukaan sebuah bola belum banyak
Langkah awal yang dilakukan
yang meneliti khususnya penelitian
untuk menyelesaikan permasalahan ini
untuk
adalahmenggunakan persamaan lapisan
konveksi
pada
fluida
non
Newtonian tipe viskoelastik dengan
batas
kondisi tak-tunak, compressible dan
Lapisan batas adalah lapisan tipis yang
dengan
beda
berada di dekat suatu permukaan padat
hingga eksplisit Forward Time Central
ketika fluida mengalir pada permukaan
Space (FTCS). Fluida non-Newtonian
padat tersebut. Lapisan batas ini terlihat
adalah suatu fluida yang mengalami
jelas karena pengaruh kekentalan fluida
perubahan viskositas ketika terdapat
yang
gaya yang bekerja pada fluida tersebut.
kecepatan dan tegangan geser yang
Hal
non-
besar. Konsep formulasi lapisan batas
Newtonian tidak memiliki viskositas
ini diperkenalkan untuk persamaan yang
yang konstan. Fluida non-Newtonian
disederhanakan
memiliki beberapa tipe diantaranya
kompleks dan hal tersebut digunakan
yaitu: plastik padat, fluida eksponensial,
sebagai gambaran bentuk karakteristik
dan fluida viskoelastik. Contoh dari
suatu aliran. Ketika memformulasikan
fluida non-Newtonian dalam kehidupan
hukum kekekalan massa, momentum,
sehari hari yaitu: cat, logam material
dan energi, juga memperhatikan hukum
komposit,
termodinamika
penyelesaian
ini
metode
menyebabkan
bitumen,
fluida
adonan,
nilon,
(Boundary Layer) sederhana.
mengalir
dengan
dari
dan
gradien
persamaan
gas
dinamik.
minyak pelumas, lumpur, darah, obat
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
obatan cair, bubur kertas, dan lain
selain aliran lapisan batas, ada juga
sebagainya. Fluida viskoelastik adalah
lapisan batas thermal dan pengaruh
tipe
timbal balik dari lapisan-lapisan batas
fluida
non-Newtonian
yang
memiliki karakteristik viskos (kental)
lainnya
dan elastis. Contoh fluida ini yaitu:
dipertimbangkan.
logam material komposit, bitumen,
yang
Pada
juga
penelitian
harus
tesis
ini
adonan, dan nilon. Saat ini jenis fluida
persamaan lapisan batas yang diperoleh
ini telah menarik perhatian banyak
berupa
peneliti karena aplikasi dari fluida ini
berdimensi
persamaan
lapisan
diantaranya
batas
yaitu:
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1027
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
persamaan
kekekalan
massa,
sesuai
dan
relevan
sesuai
momentum, dan energi. Persamaan
permasalahan dan batasan yang telah
lapisan batas berdimensi ini kemudian
ditetapkan.
ditransformasikan
kedalam
bentuk
3. Mengkonstruksi Model
persamaan lapisan batas non-dimensi.
Peneliti mengkonstruksi model pada
Metode Penelitian
aliran
Penelitian ini dilaksanakan di
konveksi
viskoelastik
bebas
yang
melewati
laboratorium Pemodelan Matematika
permukaan
danSimulasi,
Matematika,
menggunakan prisip-prinsip dasar
dan
fluida dan parameter parameter yang
Fakultas
Jurusan
Matematika
Ilmu
Pengetahuan Alam,Institut Teknologi
Sepuluh Nopember.
Peneliti
Peneliti mencari literatur yang terkait
dengan penelitian yang dilakukan
untuk membantu proses penelitian.
Adapun studi literatur yang terkait
yang dimaksud adalah konsep fluida,
karakteristik fluida non-Newtonian
tipe viskoelastik, viskositas, aliran
konveksi bebas dan lapisan batas,
panas,
persamaan
pembangun, dan metode beda hingga
Forward
Time
Central
Space (FTCS).
2. Mengkaji dan Menganalisa Model
Peneliti mengkaji dan menganalisa
model
matematika
pada
aliran
konveksi bebas fluida viskoelastik
yang melewati permukaan sebuah
bola
sehingga
dengan
Model
Secara
menyelesaikan
model
Numerik
1. Studi Literatur
eksplisit
bola
telah ditetapkan.
4. Menyelesaikan
Tahapan Penelitian
perpindahan
sebuah
fluida
diharapkan
akan
memperoleh model matematika yang
matematika pada aliran konveksi
bebas
fluida
viskoelastik
yang
melewati permukaan sebuah bola
menggunakan metode beda hingga
eksplisit
Forward
Time
Central
Space (FTCS) hingga mendapatkan
bentuk diskritisasi.
5. Membuat Algoritma Program dan
Simulasi Numerik
Peneliti
membuat
algoritma
berdasarkan hasil diskritisasi yang
diperoleh
dengan
menggunakan
komputer dan softwere MATLAB
kemudian
dengan
melakukan
memasukkan
simulasi
parameter-
parameter yang telah ditentukan, hal
ini dilakukan untuk melihat perilaku
sistem yang diamati yaitu model
matematika pada aliran konveksi
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1028
Prosiding
bebas
ISSN :9 772407 749004
fluida
viskoelastik
yang
melewati permukaan sebuah bola.
6. Analisis Hasil dan Pembahasan
dan mampu-mampat dari temperatur
disekitar bola (
), diasumsikan juga
bahwa konstanta fluks panas dari
Peneliti menganalisis dan membuat
permukaan bola (
pembahasan dari beberapa simulasi
fluida sebelum melewati permukaan
yang
bola (
diperoleh
dan
kemudian
), kecepatan aliran
) dengan temperatur (
) dan
membuat kesimpulan dari penelitian
jarak dari aksis simetris ke permukaan
mengenai
bola adalah ̅ ( )
hingga
aplikasi
metode
eksplisitForward
beda
Time
Central Space (FTCS) pada aliran
B. Model
̅
( ̅ ).
Matematika
dalam
Bentuk Dimensi
konveksi bebas fluida viskoelastik
yang melewati permukaan sebuah
3. Persamaan Kontinuitas
bola.
Laju perubahan terhadap waktu dari
Hasil dan Pembahasan
massa sistem yang berimpit =Laju
perubahan terhadap waktu dari massa
dari kandungan volume atur +Laju
aliran
netto
dari
massa
melalui
permukaan atur = 0. Secara matematis
dinyatakan dalam bentuk:
∫
̂
∫
( )
Gambar 1: Model Fisik dan Sistem
Koordinat
dari Lapisan Batas Aliran
dalam notasi vektor, persamaan ( )
dapat dinyatakan dalam bentuk:
Konveksi
(
Bebas Fluida Viskoelastik yang
)
( )
Melalui SebuahBola
Aliran dari fluida pada permasalahan ini
dianggap bergerak melewati permukaan
sebuah bola panas dengan jari-jari
yang terbenam pada fluida yang kental
Sesuai fenomena aliran konveksi bebas
fluida
viskoelastik
yang
melewati
permukaan sebuah bola dalam kodisi
incompressible,
dapat
dikontruksi
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1029
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
persamaan kontinuitas dalam bentuk
Sesuai fenomena aliran konveksi bebas
dimensi sebagai berikut:
fluida
viskoelastik
yang
melewati
permukaan sebuah bola dalam kondisi
, maka diperoleh persamaan
momentum ke arah sumbu̅
( ̅ ̅)
̅
( ̅ ̅)
dan ke
arah sumbu- sebagai berikut:
( )
(
)
4. PersamaanMomentum
Laju perubahan terhadap waktu dari
momentum sistem =Laju perubahan
terhadap
waktu
dari
momentum
(
kandungan volume atur +Laju aliran
netto
dari
momentum
)
melewati
permukaan atur = Jumlah dari gaya( )
gaya luar yang bekerja pada sistem.
Secara matematis dinyatakan dalam
selanjunya untuk
bentuk:
,
,
, dan
merupakan stress tensor Cauchy untuk
∫
fluida
Walter-B
yang
didefinisika
sebagai:
∫
(
̂
)
( ̂ )
∑
( )
( )
dengan:
Dalam notasi vektor, persamaan diatas
̂
dapat dinyatakan dalam bentuk:
(
(
))
(
)
(
)
(
)(
)
( )
dan
( )
[
]
( )
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1030
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
dan
dengan mensubstitusikan persamaan ( )
4
dan persamaan ( ) ke persamaan ( )
5
stres tensorsebagai berikut:
6
6
:(
)
(
);=
dan
7
(
(
)
)
dan
6
4
7
[
(
)
5
6
]
6
4
5
4
(
7
5
)
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1031
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
6
6
(
(
(
7
6 4
))
5
4
) ]
5
4
dan
5
4
57
6
6
7
(
7
)
6 4
4
Selanjutnya dengan mensubstitusikan
persamaan (
), (
), (
), dan (
)
5
5
4
ke persamaan ( ) di peroleh persamaan
momentum sebagai berikut:
5
4
57
(
Selanjutnya
dengan
)
menggunakan
persamaan lapisan batas dalam bentuk
dan
untuk
mendapatkan
bentuk
persamaan yang lebih sederhana, maka
diperoleh:
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1032
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
5. Persamaan Energi
Laju pertambahan terhadap waktu dari
6
7
energi tersimpan total dari suatu sistem
= Laju netto pertambahan energi dari
6 4
5
4
5
kerja yang dipindahkan ke dalam sistem
4
+ Laju netto pertambahan perpindahan
57
energi dari kalor ke dalam sistem.
(
)
Secara matematis dinyatakan dalam
bentuk:
dengan:
̅
( )(
∫
)
̂
∫
̇
dan
̇
(
)
dalam notasi vektor, persamaan (
)
dapat dinyatakan dalam bentuk:
̅
( )(
)
(
(
))
Dengan mensubstitusikan persamaan
(
) dan (
) ke persamaan (
(
)
̇(
)
),
maka diperoleh persamaan momentum
karena
, maka diperoleh:
dalam bentuk dimensi sebagai berikut:
(
̅
̅
̅
̅
6
̅
7
̅
6̅ 4
̅
̅
4
̅
(
))
̅
̅
(
(
̅
( )
)
̅
̅
)
viskoelastik
yang
melewati
permukaan sebuah bola dalam kodisi
̅
steady incompressible dan tidak ada laju
̅
5
̅ ̅
̅
̅
4
57
̅
̅
̇(
Sesuai fenomena aliran konveksi bebas
fluida
̅
5
̅ ̅
)
dari netto pertambahan perpindahan
energi dari kalor ke dalam sistem
(
)
( ̇
) maka persamaan (
) menjadi:
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1033
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
(
)
( )
̅
4
Maka persamaan ( ), (
̅( ̅ )
), dan (
)
menjadi:
5(
karena:
)
dan
maka
̅
(
)
̅
(
)
(
diperoleh
persamaan
energi
)
dalam
bentuk dimensi sebagai berikut:
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
6
̅
(
̅
5
)
7
Persamaan ( ), (
(
4
), dan
( )(
)
)merupakan model matematika
berdimensi dengan kondisi batas
sebagai berikut:
̅
(
̅
̅
)
̅
̅
Dan kondisi batas menjadi:
̅
̅
̅
̅
C. Model Matematika dalam Bentuk
̅
̅
Non-Dimensi
Selanjutnya, dengan menggunakan
variabel berikut ini:
̅
(̅
.
̅
̅ )
/
dengan
dan
dimensi
yang
adalah parameter non
disebut
bilangan
Prandtldan viskoelastisdengan definisi
sebagai berikut:
̅
( )
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1034
Prosiding
Persamaan (
ISSN :9 772407 749004
), (
), dan (
) disebut
(
sebagai model matematika dalam
)
.
/
bentuk non-dimensi.
D. Prosedur Penyederhanaan Model
[
Menggunakan Fungsi Aliran
Selanjutnya, dengan menggunakan:
( ) (
.
/(
4
5 )]
)
(
)
(
6
)
dengan definisi:
7
4
(
)
5
(
)
dimana merupakan fungsi aliran
.
(stream function) merupakan fungsi
arus yang memenuhi persamaan (
/
).
(
Selajutnya dengan mensubstitusikan
persamaan (
) dan (
) ke dalam
persamaan (
) dan (
) maka
diperoleh:
)
(
)
dan kengan kondisi batas menjadi:
Pada saat
, maka persamaan (
dan persamaan (
)
)menjadi:
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1035
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
(
)
(
)
𝑃𝑟
(
)
dan kondisi batas menjadi:
( )
( )
( )
( )
( )
Gambar 2: Profil Temperaturdengan
( )
variasi
bilanganPrandtl(Pr)
Selanjutnya, model matematika pada
persamaan (
) dan persamaan (
)
didiskritisasi menggunakan metode
beda hingga eksplisit Forward Time
Central Space (FTCS) sebagai berikut.
Berdasarkan hasil simulasi yang telah
dilakukan, menunjukka bahwa semakin
besar bilangan Prandtl yang digunakan
maka semakin rendah temperatur yang
dihasilkan, begitupula sebaliknya. Hal
ini dikarenakan berdasarkan model yang
(
)
diperoleh,
antara
bilangan
Prandtl
berbanding terbalik dengan perubahan
(
(
)
(
)
temberatur yang dihasilkan.
)
Kesimpulan
Berdasarkan
dengan
Hasil Simulasi
dan
.
hasil
dan
pembahsan,
diperoleh kesimpulan bahwa model
matematika dari aliran konveksi bebas
dan pengaruh fluida viskoelastik yang
melewati permukaan sebuah bola yang
diperoleh yaitu:
̅
(
)
̅
(
)
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1036
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Difference Methods for PDEs,
Departement Of Computing and
6
4
Mathematics,UK.
5
Hakim, Imansyah I. (2012), Fenomena
7
Thermophoresis Dan
Pemanfaatannya Sebagai
( )
Thermal Precipitator Untuk
Meningkatkan Kebersihan Udara,
Disertasi Doktor,
Pengaruh bilangan Prandtl terhadap
perubahan
temperatur
berbanding
terbalik dan cukup signifikan.
UniversitasIndonesia, Depok.
Hoffmann, Klaus A. dan Chiang, Steve
T. (2000), Computitational Fluid
Dynamics, Engeneering Education
Ucapan Terima Kasih
System, USA.
Penulis berterima kasih kepada Prof.
Kasim, A.R.M. (2014), Convective
Dr. Basuki Widodo, M.Sc.dan Dr.
Boundary Flow of Viscoelastic
Chairul
Fluid, Disertasi Ph.D., Universiti
bimbingan
Imron,
dan
MI.Komp.
saran
atas
yang
telah
diberikan selama penulisan artikel ini
Teknologi Malaysia, Malaysia.
Kreith, Frank. (1994), Prinsip-Prinsip
dan juga kepada penyandang dana
Perpindahan Panas,Edisi Ketiga,
penelitian, pakar yang berkontribusi
Erlangga, Jakarta.
dalam diskusi atau pengolah data yang
terkait
langsung
dengan
Potter, Merlec C. dan Wiggert, David C.
(2008).
penelitian/penulisan.
Erlangga,
Pustaka
Jakarta.
Mekanika
Fluida,
Causon, D.M. dan Mingham, C.G.
(2010).Introductory Finite
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
1037