BAB 5 - Direktori File UPI

Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
MODUL 5
INTEGRAL LIPAT DAN PENGGUNAANNYA
Satuan Acara Perkuliahan Modul 5 (Integral Lipat dan Penggunaannya) sebagai berikut.
Pertemuan
ke-
Pokok/Sub Pokok
Bahasan
1
Integral Lipat
Integral Lipat Dua
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa diharapkan mampu:
 menghitung integral lipat dua dengan menggunakan
integral
f x, y dA
berulang.
b
d
a
c
f x, y dy dx
R



menggunakan interpretasinya untuk menentukan
masalah real seperti penentuan volume benda pejal.
memahami daerah pengintegralan yang lebih umum
dan menentukan batas-batasnya.
menuliskan integral lipat dua sebagai integral
berulang.
f x, y dA
b
a
d
2
c
1
S
Mengubah Urutan
Pengintegralan


Integral Lipat Tiga


2
Integral Lipat
Transformasi
Integral Lipat Dua
pada Koordinat
Polar
x
f x, y dx dy .
melakukan perubahan urutan pengintegralan dari
dxdy menjadi dydx atau sebaliknya,
menggunakannya untuk menentukan masalah real
seperti penentuan volume benda pejal dan sejenisnya.
menghitung integral lipat tiga menggunakan integral
berulang,
menggunakan integral lipat tiga untuk menentukan
volume benda.
f x, y dA
R
f r cos , r sin
R
f x, y dxdy

rdrd .
melakukan transformasi integral dari koordinat
Cartesius ke koordinat polar dan sebaliknya
R
Aip Saripudin
x
f x, y dy dx atau
Mahasiswa diharapkan mampu:
 memahami daerah pengintegralan dalam koordinat
polar/kutub dan menentukan batas-batasnya.
 menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang

Mengganti Peubah
Integral;
Transformasi
x
1
R
f x, y dA
x
2
f r cos , r sin
rdrd
R
mentransformasikan satu ke satu pada daerah S di
bidang-uv ke daearah D di bidang-xy dengan
Modul 5 Integral Lipat - 67
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Jacobi


persamaan berbentuk: x = g(u,v), y = h(u,v).
menentukan determinan Jacobi
mentransformasikan integral menggunakan
transformasi Jacobi dengan formula:
f ( x, y)dxdy
D
3
4
Aip Saripudin
f ( g (u, v), h(u, v)) | J (u, v) | dudv
S
Integral Lipat
Transformasi
Integral Lipat Tiga
pada Koordinat
Bola
Mahasiswa diharapkan mampu:
 mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat
bola atau sebaliknya
 mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat
ruang menjadi koordinat bola dan menghitungnya
Transformasi
Integral Lipat Tiga
pada Koordinat
Tabung

Integral Lipat
Penggunaan
Integral Lipat
Mahasiswa diharapkan mampu:
 mampu menggunakan integral lipat dua untuk
menyelesaikan berbagai masalah seperti penentuan
pusat massa, volume, momen inersia, dan sebagainya.
 mampu menggunakan integral lipat tiga untuk
menyelesaikan berbagai masalah seperti penentuan
pusat massa, volume, momen inersia, dan sebagainya.

mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat
tabung atau sebaliknya
mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat
ruang menjadi koordinat tabung dan menghitungnya
Modul 5 Integral Lipat - 68
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
5.1 Integral Lipat Dua
5.1.1 Integral Lipat Dua Pada Bidang Segiempat
Perhatikan Gambar 5.1. Proyeksi kurva permukaan z
f ( x, y) pada bidang xoy adalah daerah
pengintegralan D. Jika daerah pengintegralannya berupa bidang segiempat dengan a x b dan
c y d , secara umum ditulis: D {( x, y ) | a x b, c y d } .
z
y
z
f ( x, y)
d
D
d
c
a
c
y
a
D
b
x
b
x
Gambar 5.1
Pengintegralan f ( x, y ) terhadap daerah D
{( x, y ) | a
x
b, c
y
d } dinyatakan
sebagai integral berulang sebagai berikut:
b d
f ( x, y)dA
D
f ( x, y)dydx
a c
Catatan: Ketika mengintegralkan terhadap x, anggap y konstanta. Demikian pula, ketika
mengintegralkan terhadap y, anggap x konstanta.
CONTOH 1
(2 x
Hitung
y)dA dengan D {( x, y ) | 0
x
2, 0
y
1} .
D
Penyelesaian
Integralkan dulu bagian dalam terhadap y (anggap x konstanta), hasilnya kemudian integralkan
terhadap x.
2 1
(2 x
D
y)dA
(2 x
y)dydx
0 0
2
2
[2 xy
0
Aip Saripudin
1
2
y 2 ]10 dx
(2 x
1
2
)dx [ x 2
1
2
x]02
5
0
Modul 5 Integral Lipat - 69
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
3 2
CONTOH 2
(x2 y
Hitung
xy 2 )dxdy .
0 1
Penyelesaian
3 2
3
2
(x y
2
[ 13 x 3 y
xy )dxdy
0 1
x 2 y 2 ]12 dy
1
2
0
3
[ 73 y
y 2 ]dy [ 76 y 2
3
2
1
2
y 3 ]30
24
0
f ( x, y)dA adalah volume bangun di bawah
Interpretasi geometris integral lipat dua
D
permukaan z
f ( x, y) yang berada di atas bidang D. Jika f ( x, y) 1 , integral tersebut
dA sama dengan luas bidang D.
D
4 x2
y 1} .
y 2 yang berada
Tentukan volume bangun di bawah permukaan z
CONTOH 3
di atas bidang D
{( x, y ) | 0
x 1, 0
Penyelesaian
4 x 2 y 2 yang berada di
x 1, 0 y 1} adalah seperti
Bangun di bawah permukaan z
z
atas bidang D
4
{( x, y ) | 0
pada Gambar 5.2 di samping. Volume bangun tersebut adalah
3
1 1
(4 x 2
V
y 2 )dA
D
2
(4 x 2
0 0
1
1
x2 y
[4 y
0
1
y
1
3
y 3 ]10 dx
( 113
0
[ 113 x
1
y 2 )dydx
x 2 )dx
0
1
3
x 3 ]10
10
3
x
Gambar 5.2
5.1.2 Integral Lipat Dua Pada Bidang Bukan Segiempat
Daerah pengintegralan dapat berupa bidang sebarang (bukan segiempat), seperti diilustrasikan
pada Gambar 5.4. Untuk kasus seperti ini, kita dapat mengambil batas pada sumbu-x konstanta,
sedangkan batas pada sumbu y sebagai fungsi dari x atau sebaliknya. Pada Gambar 5.4(a), daerah
( x)} . Sementara itu, pada
pengintegralan adalah D {( x, y ) | a x b, ( x ) y
Gambar 5.4(b), daerah pengintegralan adalah D
Aip Saripudin
{( x, y ) | ( y )
x
( y ), c
y
d }.
Modul 5 Integral Lipat - 70
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
y
y
( y) ( y)
(x)
d
D
D
(x)
a
c
x
x
b
(a)
(b)
Gambar 5.4
Jika f ( x, y ) diintegralkan terhadap D
{( x, y ) | a
x
b,
( x)
y
( x)} ,
x
( y ), c
integralnya ditulis sebagai
b
( x)
a
( x)
f ( x, y )dA
D
f ( x, y )dydx
Di lain pihak, jika daerah pengintegralannya D
{( x, y ) | ( y )
d
d},
( y)
f ( x, y )dA
D
y
f ( x, y )dxdy
c
( y)
2 2x
CONTOH 4
xydydx .
Hitung
0 x
2
Penyelesaian
2 2x
2
xydydx
0 x2
CONTOH 5
2
1
2
2 2x
x2
(2 x 3
[ xy ] dx
0
1
2
x 5 )dx [ 12 x 4
1
12
x 6 ]02
8
3
.
0
Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh y
Penyelesaian
x2 .
2 x dan y
y
Dari skets daerah pengintegralan diperoleh
4
y
D
Aip Saripudin
2x
2
x - 71
Modul 5 Integraly Lipat
x
0
2
Gambar 5.3
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
D {(x, y) | 0
2, x 2
x
y
2x}
Dengan demikian, luas daerah D adalah
2 2x
A
dA
2
dydx
0 x2
D
[x2
x 2 )dx
(2 x
4
3
x 3 ]02
1
3
0
Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang z
bidang koordinat.
CONTOH 6
4 2x
y dan
Penyelesaian
z
Bangun tetrahedron yang dibatasi oleh bidang
diperlihatkan pada Gambar 5.5.
z
4 2x
y dan bidang koordinat
y
4
4
y
4 2x
D
y
4
0
2
x
2
D
x
{( x, y ) | 0
x
2, 0
y
4 2 x}
Gambar 5.5
Daerah pengintegralan (proyeksi bangun pada bidang xoy) berupa segitiga dan dapat dinyatakan
oleh D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 4 2 x} . Dengan demikian, volume tetrahedron
tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
2 4 2x
V
(4 2 x
y)dA
D
(4 2 x
0
y)dydx
0
2
2
[4 y 2 xy
1
2
2 4 2x
0
y ]
dx
0
(4(4 2 x) 2 x(4 2 x)
1
2
(4 2 x) 2 )dx
0
2
(16 8 x 8 x 4 x 2
1
2
(16 16 x 4 x 2 ))dx
0
2
(8 8 x 2 x 2 )dx [8 x 4 x 2
0
Aip Saripudin
2
3
x 3 ]02
16
3
Modul 5 Integral Lipat - 72
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Mengubah Urutan Pengintegralan Kadang-kadang, mengintegralkan dalam urutan tertentu sulit
dilakukan. Salah satu cara mengatasinya adalah dengan mengubah urutan pengintegralan dari
bentuk ”dydx” menjadi ”dxdy”. Meskipun urutan pengintegralan ini berubah, daerah
pengintegralannya tetap sehingga hasil akhirnya akan tetap sama. Mengubah urutan pengintegralan
dapat dilakukan jika fungsi batas pengintegralan memiliki invers.
CONTOH 7
x 2 ydA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis y
Hitung
2x
D
x 2 . Hitung integral ini dengan dua cara (berbeda urutan).
dan y
Penyelesaian
Daerah pengintegralan D seperti diperlihatkan pada
Gambar 5.6. Daerah D ini dapat dinyatakan dalam dua
cara sebagai berikut.
(1)
D {(x, y) | 0
x
2, x 2
(2)
D {(x, y) | 0
y
4, y / 2
y
y
x
y
4
2x}
y}
D
0
D {(x, y) | 0
Untuk
x
2, x
2 2x
2
0 x
Untuk
4
2
x ydA
D
2 2x
x2
y
x
4
1
3
x ydxdy
3
[ x y]
0 y/2
x 6 )dx [ 52 x 5
1
14
x 7 ]02
128
35
y} :
4
2
1
2
0
4, y / 2
y
y
Gambar 5.6
(2 x 4
0
D {(x, y) | 0
x
y/2
x
2
2x}:
[ x y ] dx
2
x2
y
x
2
2
1
2
x ydydx
D
y
2
2
x ydA
2
2x
y
y/2
0
5
( 13 y 2
dx
1
24
7
y 4 )dx [ 212 y 2
1
120
y 5 ]04
128
35
0
Perhatikan bahwa hasil akhirnya sama. Jadi, mengubah urutan pengintegralan tidak akan
mengubah hasil akhir hasil pengintegralan.
2 4
CONTOH 8
x3
Hitung
0 x
x4
2
y2
dydx .
Penyelesaian
Pengintegralan dengan urutan seperti di atas sulit dilakukan. Oleh karena itu, kita ubah urutan
pengintegralannya. Dari batas-batas pengintegralan di atas diperoleh daerah pengintegralannya
adalah
D {(x, y) | x 2
y
4, 0
x
Daerah ini juga dapat dinyatakan sebagai
2}. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.7.
D {(x, y) | 0
x
y, 0
x
4} . Dengan
demikian, menghitung integralnya sebagai berikut.
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 73
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2 4
0 x2
4
x3
x4
y2
y
x3
dydx
x4
0 0
y
dxdy (*)
y2
Untuk mengintegralkan bagian dalam (terhadap x),
gunakan metode substitusi:
x4
u
y2
du
dengan batas-batas: x
0
y
4
x
y
4
D
4 x 3 dx
y2 ,
u
x
x2
y
y
u
0
x
2
2y 2
Gambar 5.7
Dengan demikian, diperoleh
y
4
2
4 2y
x3
x4
0 0
y2
4
1
4
dxdy
u
1/ 2
dudy
4
2
[u 1 / 2 ]2y 2y dy
1
2
0 y2
1
2
0
[ 14 ( 2 1) y 2 ]04
( 2 1) ydy
0
4( 2 1)
Jadi,
2 4
0 x2
4
x3
x4
y2
y
x3
dydx
x4
0 0
y2
dxdy
4( 2 1) .
SOAL-SOAL LATIHAN 5.1
1.
Hitung integral berikut.
2 3
2 4
(x2
(a)
y )dxdy
xy 2 dydx
(b)
0 1
1 0
2.
xydA jika:
Tentukan
D
(a) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x
(b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
3.
D {(x, y) | 0
x
4, x
y
x2 .
x}
(b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
x 1, x
3 , dan y
x 3.
Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan 9 x
bidang 9 x
5.
x dan y
2x .
Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya.
(a)
4.
y
2 , dan y
0, x
4 y 6z
4y2
36
0 dan
0.
Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang 2 x
koordinat.
Aip Saripudin
2
y 2z 4
0 dengan bidang
Modul 5 Integral Lipat - 74
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
6.
Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut.
4 y/2
2 x
f ( x, y )dydx
(a)
7.
f ( x, y )dxdy
(b)
0 1
0 0
Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya.
1 y
2
e x dxdy
(a)
(b)
0 0
0
sin y
dydx
y
x
5.2 Integral Lipat Tiga
Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi.
Sebagai ilustrasi, tinjau sebuah balok yang panjangnya p, lebarnya l, dan tingginya t, seperti pada
Gambar 5.8(a).
Dalam bentuk integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan
f ( x, y) t pada daerah D {( x, y, z ) | 0 x p, 0 y l}
mengintegralkan z
sebagai berikut.
p l
V
f ( x, y )dA
D
p
p
[ty]l0 dx
tdydx
0 0
0
ltdx [ltx]0p
plt
0
z
z
z
( x, y)
t
dz
dy
B
dx
y
l
a
p
b
x
x
y
z
( x, y)
y
(x)
y
(x)
(a)
(b)
Gambar 5.8
Sekarang, ambil segmen panjang pada x = dx, segmen panjang pada y = dy, dan segmen panjang
pada z = dz. Segmen volume balok adalah dV dzdydx . Daerah penginteralannya adalah
B
{( x, y, z ) | 0
x
p, 0
y
l, 0
z
t} . Volume total balok ditentukan dengan
integral lipat tiga sebagai berikut.
p l t
dV
B
p l
dzdydx
0 0 0
p
tdydx
0 0
ltdx
plt .
0
Hasilnya sama dengan cara menggunakan integral lipat dua.
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 75
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Secara umum, fungsi f ( x, y, z ) dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya.
Daerah pengintegralan integral lipat tiga (lihat Gambar 5.8(b)) secara umum ditulis:
B
{( x, y, z ) | a
x
b,
( x)
y
( x),
( x, y )
z
( x, y )} .
Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai
b
( x) ( x, y )
a
( x) ( x, y )
f ( x, y, z )dV
f ( x, y, z )dzdydx
B
Interpretasi
geometri
dan
Secara
geometri,
dalam
kasus
f ( x, y, z) 1 ,
dV adalah volume benda B. Secara fisis, untuk f ( x, y, z )
f ( x, y, z )dV
B
fisis
0 pada
B
massa benda dengan f ( x, y, z )
f ( x, y, z )dV
B,
massa jenis benda B di ( x, y, z ) .
B
1
CONTOH 1
xy
xyzdzdydx .
Hitung
0 x 0
Penyelesaian
xy
1
1
x
1
2 y
0
1
2
xyzdzdydx
[ xyz ] dydx
0 x 0
0 x
1
4
x
1
8
[ xy ] x dx
0
CONTOH 2
xy 3 dydx
0 x
1
1
8
x
1
2
( x3
x 5 )dx
y
2x, 0
1
8
[ 14 x 4
1
6
x 6 ]10
1
96
.
0
x 2 yzdV dengan
Tentukan
B
B {(x, y, z) | 0
x 1, x 2
z
xy} .
Penyelesaian
1 2 x xy
x 2 yzdV
B
1 2x
x 2 yzdzdydx
0 x2 0
0 x2
1 2x
1
x 4 y 3 dydx
1
2
[ x 2 yz 2 ]0xy dydx
1
2
[ x 4 y 4 ]2x2x dx
1
8
0 x2
0
1
(16 x8
1
8
x12 )dx
[ x9
1 16
8 9
1
13
x13 ]10
119
936
0
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 76
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Sebuah benda B dibatasi oleh silinder parabol z
CONTOH 3
x , dan y
y
1
2
2
x 2 dan bidang z
0,
0 . Nyatakan volume benda dalam bentuk integral lipat tiga,
kemudian carilah nilainya.
Penyelesaian
Benda B yang dimaksud seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9. Dari Gambar 5.9(b) jelas bahwa
daerah pengintegralannya adalah
B {(x, y, z) | 0
x
2, 0
y
x, 0
z
x 2 }.
2
1
2
1
8
x 4 ]02
Dengan demikian,
2 x 2
V
1 2
x
2
dV
2 x
dzdydx
B
0 0
0
2
(2
1
2
2
x )dydx
1
2
(2 x
0 0
x 3 )dx [ x 2
z
z
Pemukaan
Bidang y = 0
2
0
z
Bidang y = x
2
1
2
x2
2
Pemukaan
z
2
1
2
x2
0
y
y
2
y=x
x
x
(a)
(b)
Gambar 5.9
SOAL-SOAL LATIHAN 5.2
1.
Hitung integral berikut.
2
2
1 3y8 x y
1 1 1
(x
(a)
2
y
2
2
z )dzdydx
0 0 x2 3 y 2
0 0 0
2.
dzdxdy
(b)
xdzdydx jika
Hitung
B
(a) B
x, 0
z
2
(b) B adalah daerah yang dibatasi oleh permukaan z
4
x2
y
Aip Saripudin
{( x, y, z ) | 0
x 1, 0
0 , y 1 x 2 , dan z
y
2
x
y}
y dan bidang x 1 ,
3.
Modul 5 Integral Lipat - 77
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2
3.
Benda B dibatasi oleh bidang y z 1 dan y x . Nyatakan volume benda B dalam
bentuk integral berulang lipat tiga kemudian tentukan nilainya.
4.
Tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang x
y 2z 2 di oktan pertama.
z 1 dan
5.3 Transformasi Koordinat Pada Integral Lipat
5.3.1 Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar
Koordinat polar Tinjau Gambar 5.10. Titik (x, y) dalam koordinat bidang dapat dinyatakan
dalam koordinat polar (r, θ). Hubungan antara besaran dalam koordinat kutub dan koordinat polar
sebagai berikut.
y
x
r cos
y
r sin
r2
x2
P(x, y)
r
y2
y
x
x
0
Gambar 5.10
Integral lipat dua dalam koordinat polar Tinjau Gambar 5.11. Pada Gambar 5.11(a), daerah
,
} . Pada Gambar 5.11(b),
pengintegralan dinyatakan oleh D {( r , ) | a r
segmen luas dA dapat dinyatakan oleh dA
rdrd
maka
b
f (r , )dA
D
*
f (r , )rdrd
a
θ=β
r=b
r=a
rdθ
D
θ=α
dA
dθ
dr
Sumbu polar
(a)
(b)
Gambar 5.11
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 78
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
CONTOH 1
r 2 sin dA dengan D adalah bidang setengah lingkaran berjari-jari 2.
Hitung
D
Penyelesaian
Daerah pengintegralannya adalah D
{( r , ) | 0
r
2, 0
} (Gambar 5.12) maka
2
2
r 2 sin
r sin dA
D
rdrd
y
0 0
2
r 3 sin drd
r
0 0
θ=π
−2
4 2
0
1
4
θ=0 x
2
0
[r ] sin d
Gambar 5.12
0
8 sin d
8[ cos ]0
16
0
Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Hubungan antara integral lipat dua
dalam koordinat bidang dan koordinat polar sebagai berikut.
f ( x, y)dA
D
dengan
D*
D
{(r, ) |
CONTOH 2
, g1 ( )
ex
Hitung
2
f (r , )rdrd .
*
y2
r
g 2 ( )}.
dA dengan S adalah bidang lingkaran x 2
y2
4.
S
Penyelesaian
2
2
y
y
4 adalah lingkaran berpusat di
Persamaan x
(0, 0) dan berjari-jari 2. Dengan demikian, daerah
pengintegralanya
dapat
dinyatakan
oleh
2
2
2
S {( x, y ) | x
y
4} seperti diperlihatkan pada
Gambar 5.13. Dalam bentuk polar, daerah ini dinyatakan
oleh
S
*
{(r, ) | 0 r
transformasi koordinat, r
2, 0
2
x2
2 } . Dengan
r
−2
e
S
r2
dA
−2
e rdrd
0 0
Gambar 5.13
2
0
Aip Saripudin
2
2
[e r ]02 d
1
2
x
r2
e dA
S*
θ = 2π
y 2 , maka
2 2
x2 y 2
0
θ=0
1
2
(e 4 1) d
(e 4 1)
0
Modul 5 Integral Lipat - 79
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
CONTOH 3
1
1 x2
0
0
1
Hitung
1 x2
y2
d ydx .
Penyelesaian
Daerah pengintegralan dari integral di atas adalah D
{( x, y) | 0
x 1, 0
1 x 2 }.
y
Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.14. Dengan memperhatikan Gambar 5.14, daerah D
dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut.
y
θ = π/2
1
y
1 x
y
1 x2
x2
y2
θ=0
0
1
sehingga diperoleh
{(r, ) | 0 r 1, 0
/ 2}
Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,
x
1
r2
1
1 x2
2
D*
r
y2
1 x2
y2
1 r2
Gambar 5.14
dA dydx
rdrd
maka
1
0
1 x2
/2 1
1
1 x2
0
d ydx
y2
0
1
CONTOH 4
0
/2
1
1 r2
/2
1
1 r2 0d
rdrd
d
0
2
0
.
1 y2
sin( x 2
Hitung
0
y 2 )dxdy .
y
Penyelesaian
Daerah pengintegralan di atas adalah D
{(x, y) | 0
y 1, y
1 y 2 } . Daerah ini
x
diperlihatkan pada Gambar 5.15. Dengan memperhatikan Gambar 5.15, daerah D dapat
dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut.
y
Titik potong kedua kurva: x1
1 y2
x
y
1
x
y
2y2
1 y2
1
y2
1
2
y
θ2 = π/2
θ1 = π/4
x
0
1
Aip Saripudin
4
1
y
x
1 y2
2
x
1
2
2
1
2
2
Untuk y = 1, x = 0 maka tan
Gambar 5.15
sehingga diperoleh
maka tan
2
x2
1
2
1
1
0
4
2
2
. Selanjutnya,
Modul 5 Integral Lipat - 80
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
sehingga diperoleh
x
1 y2
x2
1 y2
D*
{(r, ) | 0 r 1, 0
x2
y2
r2
1
1
/ 2}.
Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,
sin( x 2
y2 )
dA dxdy
sin r 2
rdrd
maka
1
1 y2
/2 1
sin( x 2
0
y 2 )dxdy
/2
(sin r 2 )rdrd
y
[ cos r 2 ]10 d .
1
2
/4 0
/4
/2
1
2
(1 cos1) d
4
(1 cos1)
/4
5.3.2 Mengganti Peubah Integral: Transformasi Jacobi
Misalnya daerah S dalam bidang uv ditransformasikan satu ke satu pada daerah D dalam bidang xy
dengan persamaan berbentuk:
x
g (u, v), y
h(u, v) ,
seperti diilustrasikan pada Gambar 5.16. Sebuah fungsi f ( x, y ) yang didefinisikan pada D
dapat dipandang sebagai fungsi f ( g (u, v), h(u, v)) yang didefinisikan pada G. Jika g, h, dan f
memiliki turunan parsial kontinu,
f ( x, y)dxdy
D
f ( g (u, v), h(u, v)) | J (u, v) | dudv
S
u
y
x = g(u, v)
y = h(u, v)
• (u, v)
• (x, y)
v
Koordinat bidang-uv
x
Koordinat bidang-xy
Gambar 5.16
dengan J (u , v) adalah determinan Jacobi yang didefinisikan sebagai berikut.
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 81
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
( x, y )
(u, v)
J (u, v)
CONTOH 1
(2 x 2
Hitung
x
u
y
u
x
v
y
v
x y
u v
y x
u v
y 2 )dA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh
xy
D
garis y
2x 4 , y
2x 7 , y
x 2 , dan y
x 1.
Penyelesaian
Daerah pengintegralan D dalam koordinat bidang-xy diperlihatkan pada Gambar 5.17. Untuk
mentranformasikan ke koordinat kurvilinear, kita tentukan dahulu daerah S pada bidang-uv yang
terkait dan determinan Jacobi. Untuk itu, pilih u 2 x y dan v x y . Selanjutnya,
nyatakan x dan y dalam u dan v dengan memecahkan sistem persamaan di atas sebagai berikut.
u
v
u
u 2x y
2v 2 x 2 y
u 2v 3 y
2x y
x y
v 3x
diperoleh
1
(u v) dan y
3
x
1
(u 2v)
3
Turunan parsial pertama x dan y masing-masing adalah
x
u
1
;
3
x
v
1
;
3
y
u
1
;
3
y
v
2
3
maka
( x, y )
(u , v)
x y
u v
y x
u v
1
3
2
3
1 1
3 3
1
3
Batas-batas daerah S sebagai berikut.
y
2x
4
2x
y
4
u
4
y
2x 7
2x
y
7
u
7
y
x 2
x
y
y
x 1
x
y
sehingga diperoleh S
Aip Saripudin
{( u , v) | 4
2
v
1
u
7,
2
v
1 v
1
2} (Gambar 5.17).
Modul 5 Integral Lipat - 82
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
y
u
y
7
v = −1
2x 7
y
4
D
1
u=7
x 1
y
v=2
S
u=4
x 2
x
v
2 7/2
y
2x 4
Gambar 5.17
Selanjutnya, integrannya ditransformasikan menjadi sebagai berikut.
2x2
y2
xy
(2 x
y )( x
y)
uv
Dengan demikian,
(2 x 2
xy
y 2 )dA
D
uv | J (u, v) | dudv
S
2 7
2
uv(
1
3
1 1 2 7
[ 2 u v]4 dv
3 1
)dudv
14
2
1
33vdv
6 1
11 1 2 2
[2 v ] 1
2
33
4
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh xy
CONTOH 2
x
1 , xy
4, y
2 x , dan
2y .
Penyelesaian
Daerah yang dimaksud pada soal diperlihatkan pada Gambar 5.18. Daerah S yang berkaitan
dengan daerah D dapat ditentukan sebagai berikut.
y
u
y
2x
v
1
2
v
2
u
x
D
0
2y
xy
xy 1
4
S
4
u 1
x
0
v
Gambar 5.18
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 83
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Pilih u xy dan v y / x . Kita juga dapat menentukan determinan Jacobi dengan terlebih
dahulu menentukan turunan parsial u dan v masing-masing terhadap x dan y sebagai berikut.
u
x
u
y
y;
(u , v)
( x, y )
v
x
y
;
x2
v u
x y
y
x;
u v
x y
v
y
1
x
1
x
y
x
x2
2
y
x
2v
maka
J (u, v)
( x, y )
(u, v)
1
(u, v)
( x, y )
1
2v
Persamaan garis pada bidang-uv yang berkaitan dengan garis pada bidang-xy sebagai berikut.
xy 1
u 1
xy
4
u
y
2x
y
x
2
v
2
x
2y
y
x
1
2
v
1
2
4
Keempat garis tersebut pada bidang-uv diperlihatkan pada Gambar 5.18. Dari gambar jelas bahwa
daerah S yang bersesuaian dengan daerah D adalah S {( u , v) | 1 u 4, 12 v 2} .
Dengan demikian, luas daerah D adalah
2 4
dxdy
| J (u, v) | dudv
D
S
1/ 2 1
1
dudv
2v
2
3
dv
2v
1/ 2
3
[ln v]12/ 2
2
3
ln 4 .
2
5.3.3 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung
Koordinat
Tabung
Hubungan
antara
koordinat bidang (x, y, z) dan koordinat tabung
(r, θ, z) sebagai berikut (Gambar 5.18).
z
z
x
r cos
y
r sin
z
x2
r
z
x
y2
P(r, θ, z) = P(x, y, z)
r2
y
y
θ
x
Gambar 5.18
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 84
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung Tinjau benda pejal B pada Gambar
5.19. Pada Gambar 5.19(a), proyeksi B pada bidang-xy adalah daerah D yang dapat dinyatakan
r r2 ( )} . Pada sumbu-z, benda B dibatasi oleh
oleh D {( r , ) | 1
2 , r1 ( )
z
z1 (r , ) dan z
B
z2 (r , ) . Dengan demikian, benda pejal B dapat dinyatakan oleh
{( r , , z ) |
1
z
2
, r1 ( )
r
r2 ( ), z1 (r , )
z
z 2 (r , )} .
z
z2(r,θ)
dr
dz
B
z1(r,θ)
y
θ2
x
y
dθ
rdθ
D
θ1
x
r2(θ)
r1(θ)
(a)
(b)
Gambar 5.19
Gambar 5.19(b) memperlihatkan elemen volume dV. Elemen volume ini dapat dinyatakan oleh
dV
rdzdrd
Dengan menggunakan transformasi koordinat: (x, y, z) → (r, θ, z), diperoleh hubungan antara
integral lipat tiga pada koordinat bidang dan koordinat tabung sebagai berikut.
2 r2 (
) z2 ( r , )
1 r1 (
) z1 ( r , )
f ( x, y, z )dV
B
CONTOH 1
F (r , , z )rdzdrd
Benda B dibatasi oleh tabung x
y
2z
2
y2
4 , bidang xoy, dan bidang
2 . Tentukan volume benda B.
Penyelesaian
Benda B seperti diperlihatkan pada Gambar 5.20(a). Daerah pengintegralan dalam koordinat
tabung ditentukan sebagai berikut.
Proyeksi benda B pada bidang xoy adalah daerah D yang diperlihatkan pada Gambar 5.20(b). Jika
ditransformasikan ke koordinat tabung, diperoleh
x2
y2
4 → r2
Dengan demikian, daerah D dapat dinyatakan oleh D
Aip Saripudin
4→r
2
{( r , ) | 0
2 , 0
r
2} .
Modul 5 Integral Lipat - 85
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
z
y
z
1
2
1
x2
y
4
x
−2
2
{( r , ) | 0
2 , 0
y
y2
x
D
(a)
r
2}
(b)
Gambar 5.20
Batas-batas pada sumbu z adalah bidang xoy (z = 0) dan bidang y
tabung,
2 → r sin
y 2z
2→ z 1
2z
1
2
sehinga diperoleh batas-batas pada sumbu z adalah 0
keseluruhan daerah pengintegralannya adalah
B
{( r , , z ) | 0
2 , 0
r
2 . Dalam koordinat
1
2
r sin . Jadi, secara
r sin
z 1
2, 0
2z
z
1
1
2
r sin }
Selanjutnya, volume benda B ditentukan sebagai berikut.
2 21
V
1
r sin
2
dV
2 2
1
rdzdrd
B
0 0
[rz ]0
0
1
r sin
2
drd
0 0
2 2
2
1
2
(r
2
[ 12 r 2
r sin )drd
0 0
1
6
r 3 sin ]02 d
0
2
(2
8
6
sin )d
[2
8
6
cos ]02
4
0
CONTOH 2
(x2
Hitung
y 2 )dV jika B dibatasi oleh permukaan z
4
x2
y2
B
dan bidang
z
0.
Penyelesaian
Benda B diperlihatkan pada Gambar 5.21. Proyeksi benda B pada bidang xoy berupa lingkaran
berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Daerah ini dapat dinyatakan oleh
D
{( r , ) | 0
2 , 0
r
2} .
Dalam koordinat tabung,
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 86
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
x2
z
y2
r 2 ; dV
x2
4
y2
rdzdrd
4 r2
Maka batas-batas dalam sumbu-z adalah 0
dinyatakan oleh
B {(r, , z) | 0
z
4 r 2 . Dengan demikian, benda B dapat
2 , 0 r
2, 0
z
z
4 r 2} .
y
B
−2
−2
D
2
2
D
y
x
x
Gambar 5.21
Dengan demikian,
2 2 4 r2
(x
2
2
B
2 2
r 2 rdzdrd
y )dV
0 0
0
[r 3 z ]04
r2
drd
0 0
2 2
2
( 4r 3
r 5 )drd
0 0
2
[r 4
1
6
16
d
3 0
r 6 ]02 d
0
32
3
5.3.4 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Bola
Titik-titik pada koordinat bola dinyatakan oleh (r, θ, ) dan
hubungannya dengan koordinat bidang (x, y, z) seperti
diperlihatkan pada Gambar 5.22. Dalam hal ini,
z
P(r, θ, )
x
r sin cos ;
y
z
r cos ;
0
r2
x2
y2
z2
r sin sin
r
θ
y
x
Gambar 5.22
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 87
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Elemen volume dV dalam koordinat bola diperlihatkan pada Gambar 5.23. Besarnya adalah
r 2 sin drd d
dV
Hubungan antara integral lipat tiga dalam koordinat bidang dan koordinat bola dinyatakan oleh
2
2(
f ( x, y, z )dV
) r2 ( , )
2
r sin drd d
B
1
1(
) r1 ( , )
z
dr
dθ
rd
r
r sin d
d
y
θ
dθ
r sin d
x
Gambar 5.23
CONTOH 1
Buktikan bahwa volume bola berjari-jari R adalah
4 3
R .
3
Penyelesaian
Daerah pengintegralan bola adalah B
{( r , , ) | 0
2 , 0
, 0
(Gambar 5.24). Volume bola adalah
r
R}
z
2 R
V
r 2 sin drd d
dV
B
0 0 0
2
B
2
[ 13 r 3 sin ]0R d d
1
3
R 3 sin d d
0 0
0 0
R
1
3
R 3 sin [ ]02 d
0
2
R 3 [ cos ]0
3
Aip Saripudin
2
R 3 sin d
3
0
4 3
R
3
y
R
x
Gambar 5.24
Modul 5 Integral Lipat - 88
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
9 x2
3
CONTOH 2
9 x2 z 2
(x2
Hitung
3
9 x2
3
y2
z 2 ) 2 dydzdx .
9 x2 z 2
Penyelesaian
Kita selesaikan integral di atas dengan mengubahnya ke koordinat bola. Daerah pengintegralannya
adalah
B {(x, y, z ) | 3
x
9 x2
3,
9 x2 ,
z
9 x2
z2
{(r, , ) | 0 r
3, 0
, 0
2 }
(x
2
y
2
2
z )
B
2
(r )
3
2
r
3
y
3
r 2 sin drd d
dV
x
Gambar 5.25
Dengan demikian diperoleh
3
9 x2
9 x2 z 2
(x
3
9 x2
2
y
2
2
2 3
3
2
r 5 sin drd d
z ) dydzdx
0 0 0
9 x2 z 2
2
2
[ 16 r 6 sin ]30 d d
243
2
0 0
sin d d
0 0
243
sin [ ]02 d
2 0
243 [ cos ]0
243
2 sin d
2 0
486
SOAL-SOAL LATIHAN 5.3
1.
Hitung integral berikut.
/ 2 sin
0
2.
1 cos
rdrd
(a)
r sin drd
(b)
0
0
0
Hitung integral berikut dengan cara mentransformasikannya terlebih dahulu ke koordinat
polar.
1
1 x2
(x
(a)
0
x
Aip Saripudin
2
2
2
y )dydx
4 y2
e
(b)
0
z2 }
3
Integran dan elemen volumenya
3
2
9 x2
z
Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.25. Dalam
koordinat bola, daerah pengintegralannya dapat dinyatakan
oleh
B*
y
( x2 y 2 )
dxdy
0
Modul 5 Integral Lipat - 89
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
3.
Gunakan koordinat polar untuk menentukan volume benda padat di oktan pertama yang
berada di dalam paraboloida z
y 2 dan di dalam silinder x 2
x2
4
4.
1
Gunakan transformasi Jacobi untuk menentukan integral berikut:
0
5.
y
2
y2
9.
2x
y
2
y
2
dxdy
Jika D adalah daerah di kuadran pertama bidang-xy yang dibatasi oleh hiperbola xy
xy 9 , dan garis y x , y 4 x . Gunakan transformasi x
u 0 dan v 0 untuk mengubah integral:
y
x
1,
u / v dan y uv dengan
xy dxdy
D
sebagai integral di atas daerah S pada bidang-uv, kemudian tentukan hasilnya.
3
6.
x2
Hitung
0
7.
0
y 2 dzdydx . (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)
0
Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloid z
z
8.
9 x2 2
x2
y 2 , bidang
0 . (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)
Tentukan volume volume benda padat di dalam bola x
z
4
x2
2
y2
z2
16 , di luar kerucut
y 2 , dan di atas bidang xoy. (Petunjuk: Gunakan koordinat bola!)
5.4 Penggunaan Integral Lipat
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 90