Bilangan Bulat

METODE STOKASTIK
PARANITA ASNUR
BILANGAN BULAT (Z)
Pengertian dan fungsi metode bulat
Sifat dan model bilangan bulat
Algoritma percabangan dan pembatasan
Algoritma pemotongan
Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari
bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam
bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,… sehingga negatif dari
bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,… dalam hal ini -0 = 0
maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah. Bilangan
bulat dapat dituliskan tanpa menggunakan komponen
desimal atau pecahan.
PEMROGRAMAN EMROGRAMAN LINEAR
BULAT
(INTEGER LINEAR PROGRAMMING - ILP)
Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat ?
METODE SIMPLEKS
Solusi yang didapat optimal tetapi
mungkin tidak integer
• Misalnya saja kita ingin menentukan solusi
• optimal dari satu lini perakitan televisi, yang
• memproduksi beberapa tipe televisi.

Pembulatan matematis

ILP
Mengganggu batasan
• Jika model mengharapkan semua variabel basis bernilai
integer (bulat positif atau nol), dinamakan pure integer
programming.
• Jika model hanya mengharapkan variabel-variabel
tertentu bernilai integer, dinamakan mixed integer
programming.
• Jika model hanya mengharapkan nilai nol atau satu
untuk variabelnya,
programming.
dinamakan
zero
one
integer
SOLUSI OLUSI INTEGER PROGRAMMING
PENDEKATAN PEMBULATAN
• Pendekatan ini mudah dan praktis dalam hal usaha, waktu dan biaya.
Pendekatan pembulatan dapat merupakan cara yang sangat efektif untuk
masalah integer programming yang besar dimana biaya-biaya hitungan
sangat tinggi atau untuk masalah nilai-nilai solusi variabel keputusan sangat
besar.
• Contohnya, pembulatan nilai solusi jumlah pensil yang harus diproduksi
dari 14.250,2 menjadi 14.250,0 semestinya dapat diterima.
• Sebab utama kegagalan pendekatan ini adalah bahwa solusi yang diperoleh
mungkin bukan solusi integer optimum yang sesungguhnya. Solusi
pembulatan dapat lebih jelek dibanding solusi integer optimum yang
sesungguhnya atau mungkin merupakan solusi tak layak.
• Maksimumkan Z = 100 X1 + 90 X2
• Dengan syarat 10 X1 + 7 X2 ≤ 70
• 5 X1 + 10 X2 ≤ 50
• X1 ; X2 ≥ 0
• Minimumkan Z = 200 X1 + 400 X2
• Dengan syarat 10 X1 + 25 X2 ≥ 100
• 3 X1 + 2 X2 ≥ 12
• X1 ; X2 ≥ 0
• Maksimumkan Z = 80 X1 + 100 X2
• Dengan syarat 4 X1 + 2 X2 ≤ 12
• X1 + 5 X2 ≤ 15
• X1 ; X2 ≥ 0 6
Perbandingan antara solusi dengan metode simpleks tanpa
pembatasan bilangan bulat, pembulatan ke bilangan bulat
terdekat dan solusi integer optimum yang sesungguhnya
untuk ketiga masalah diatas adalah :
Masalah
Solusi dengan
metode simpleks
Dengan
pembulatan
terdekat
Bulat optimum
sesungguhnya
1
X1 = 5,38
X1 = 5
X1 = 7
X2 = 2,31
X2 = 2
X2 = 0
Z = 746,15
Z = 680
Z = 700
X1 = 1,82
X1 = 2
X1 = 3, x2 = 3
X2 = 3,27
X2 = 3
X2 = 0, x2 = 2
Z = 1.672,73
Z = tak layak
Z = 1800
X1 = 2,14
X1 = 2
X1 = 0
X2 = 1,71
X2 = 2
X2 = 3
Z = 343
Z = tak layak
Z = 300
2
3
Pendekatan grafik
• Pendekatan ini identik dengan metode grafik LP dalam semua aspek, kecuali bahwa
solusi optimum harus memenuhi persyaratan bilangan bulat.
Maksimumkan dengan syarat :
Z = 100 X1 + 90 X2
10 X1 + 7 X2 ≤ 70
5 X1 + 10 X2 ≤ 50
X1 ;
X2 Non negatif integer
• Model ini serupa dengan model LP biasa. Perbedaanya
hanya pada kendala terakhir yang mengharapkan bahwa
variabel terjadi pada nilai non negatif integer.
• Solusi grafik masalah ini ditunjukkan pada gambar
dibawah ini. Ruang solusi layak adalah OABC. Solusi
optimum masalah LP ditunjukkan pada titik B, dengan
X1 = 5,38 dan X2 = 2,31 serta Z = 746,15. Untuk
mencari solusi integer optimum masalah ini, garis Z
(slope = -9/10) digeser secara sejajar dari titik B menuju
titik asal.
• Solusi integer optimum adalah titik integer pertama
yang bersinggungan dengan garis Z. Titik itu adalah A,
dengan X1 = 7 dan X2 = 0 serta Z = 700.
PENDEKATAN GRAFIK
X2
10
10X1
+ 7X
2
=7
0
Z = 746,15
C
Z = 700
5
B
5X1 + 10X2 = 50
A
O
7
10
X1
10
PENDEKATAN GOMORY
(CUTTING PLANE ALGORITHM)
Langkah-langkah prosedur Gomory diringkas seperti berikut :
• Selesaikan masalah integer programming dengan menggunakan metode simpleks.
Jika masalah sederhana, ia dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga
pendekatan Gomory kurang efisien.
• Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memi-liki nilai integer, solusi
optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih
variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3.
• Buatlah suatu skala Gomory (suatu bidang pemotong atau cutting plane) dan cari
solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2.