Daya Rangkaian AC [1] - Slide-10

Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya Rangkaian AC [1]
Slide-10
Ir. Agus Arif, MT
Semester Gasal 2016/2017
1 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Materi Kuliah
1
Daya Sesaat
Definisi
Daya Input Undak
Daya Input Sinusoidal
2
Daya Rerata
Definisi
Daya Input Sinusoidal
Daya Resistif & Reaktif Murni
Daya Rerata Maksimum
2 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Pengantar
Sbg bagian terpadu dr analisis suatu rangkaian AC adl penentuan
daya yg diserap atau dilepas oleh rangkaian tsb:
Pendekatan analisis rangkaian AC sebelumnya tidak begitu
sesuai utk perhitungan daya
Penentuan daya akan didekati dgn membedakan 4 jenis daya
listrik:
1
2
3
4
daya sesaat (instantenous power ),
daya rerata (average power ) dan daya reaktif (reactive power ),
daya efektif (effective power ) dan daya semu (apparent
power ), serta
daya komplex (complex power )
Scr praktis, daya rangkaian listrik dpt terentang dari:
pecahan kecil pikowatt pd sistem telemetri ruang angkasa,
beberapa watt pada catu daya sistem audio,
ratusan watt pada peralatan rumah tangga, hingga
ratusan juta watt yang dibangkitkan oleh suatu PLTA.
3 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Definisi Daya Sesaat
Daya sesaat yg diserap suatu piranti = hasil kali dr tegangan
sesaat pd ujung2 terminal piranti dan arus sesaat yg mengalirinya:
p(t) = v (t) × i(t)
Jk piranti tsb adl resistor dgn resistans R, mk dayanya dpt
dinyatakan dgn tegangannya saja atau arusnya semata:
v 2 (t)
R
Jk piranti tsb bersifat sepenuhnya induktif mk
p(t) = v (t) i(t) = i 2 (t) R =
p(t) = v (t) i(t) = L i(t)
di(t)
1
= v (t)
dt
L
Z t
v (t 0 ) dt 0
−∞
Jk piranti tsb adl kapasistor mk
dv (t)
1
p(t) = v (t) i(t) = C v (t)
= i(t)
dt
C
Z t
i(t 0 ) dt 0
−∞
4 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya dgn Input Undak [1]
Daya dr rangkaian di atas dgn sumber tegangan undak dpt
ditentukan dr arusnya:
R
V0 i(t) =
1 − e − L t u(t)
R
shg daya total yg dipasok sumber dan diserap oleh komponen2
pasif:
R
V2 p(t) = v (t) i(t) = 0 1 − e − L t u(t)
R
Catatan: kuadrat dr fungsi undak adl fungsi undak juga
5 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya dgn Input Undak [2]
Daya yg dipasok ke resistor:
2
R
V02 1 − e − L t u(t)
R
Utk menentukan daya yg diserap induktor, hrs ditentukan dulu
tegangannya:
di(t)
vL (t) = L
dt
du(t)
R
R
L V0 = V0 e − L t u(t) +
1 − e− L t
R
dt
− RL t
u(t)
= V0 e
pR (t) = i 2 (t) R =
R
krn du(t)/dt = 0 pd saat t > 0 dan 1 − e − L t = 0 pd saat t = 0
Alhasil, daya yg diserap induktor:
pL (t) = v (t) i(t) =
R
V02 − R t e L 1 − e − L t u(t)
R
6 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya dgn Input Undak [3]
Utk memeriksa kebenaran perhitungan daya rangkaian tsb dpt
dipergunakan hubungan p(t) = pR (t) + pL (t) shg
R
R
V02 1 − e − L t 1 − e − L t u(t)+
R
R
V02 − R t e L 1 − e − L t u(t)
R
i
R
R
R
V2 h
= 0 1 − e − L t + e − L t 1 − e − L t u(t)
R
R
V2 = 0 1 − e − L t u(t)
R
Kurva perubahan daya dr ke-3 komponen menunjukkan:
sewaktu respon transien melenyap, rangkaian kembali kpd
keadaan-ajeg
krn sumber yg bersifat dc, akhirnya induktor berlaku sbg
hubung-singkat & menyerap daya nol
p(t) =
7 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya dgn Input Undak [4]
Kurva perubahan daya ke-3 komponen rangkaian di atas:
8 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya dgn Input Sinusoidal [1]
Daya dr rangkaian di atas dgn sumber tegangan sinusoidal dpt
ditentukan dr arusnya:
i(t) = Im cos (ω t + φ)
Im = √
Vm
R 2 + ω 2 L2
dgn
ωL
dan φ = − tan−1
R
Daya total yg dipasok sumber dan diserap oleh komponen2 pasif:
p(t) = v (t) i(t) = Vm Im cos (ω t + φ) cos (ω t)
9 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya dgn Input Sinusoidal [2]
yg dpt ditulis-ulang dgn memperhatikan identitas trigonometri:
cos α cos β =
1
[cos (α + β) + cos (α − β)]
2
menjadi
Vm Im
[cos (2ω t + φ) + cos φ]
2
Vm Im
Vm Im
=
cos φ +
cos (2ω t + φ)
2
2
p(t) =
Berdasarkan persamaan terakhir:
suku pertama bukan fungsi waktu, suku kedua adl fungsi
waktu dgn frekuensi = 2 × frekuensi terpasang/sumber
krn gelombang sinus & kosinus memiliki rerata = nol (ktk
direratakan thdp periodenya) mk dpt diprakirakan daya rerata
adl 12 Vm Im cos φ
10 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Definisi Daya Rerata
Utk mendefinisikan daya rerata diperlukan batasan yg jelas dr
rentang waktu selama daya sesaat mengalami proses pererataan:
Jk rentang waktu dibatasi dr saat t1 hingga saat t2 mk nilai
daya rerata dpt diperoleh dgn mengintegralkan daya sesaat
p(t) slm rentang waktu dan membagi hasilnya dgn rentang
waktu yg dimaksud:
Dgn demikian, daya rerata adalah
P=
1
t2 − t1
Z t2
p(t) dt
t1
Meski P bukan fungsi waktu namun ia tergantung pd rentang
waktu integrasi (t1 dan t2 ) yg dipilih
Ketergantungan P thdp rentang waktu tertentu akan mnjd
lebih sederhana kalau daya sesaat p(t) bersifat berkala atau
periodik
11 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya Rerata dgn Input Gelombang Berkala [1]
Dianggap bhw suatu rangkaian menerima input dan menghasilkan
tanggapan yg kedua2 nya berupa gelombang berkala (tidak harus
berupa sinusoid) yg dpt dirumuskan sbg:
f (t) = f (t + T )
dgn T adl perioda
12 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya Rerata dgn Input Gelombang Berkala [2]
Mula2 dihitung daya-rerata P1 dgn mengintegralkan dr saat t1
hingga saat satu periode berikutnya t2 = t1 + T :
1
P1 =
T
Z t1 +T
p(t) dt
t1
Lalu dihitung daya-rerata Px dgn mengintegralkan pd suatu
rentang waktu lainnya dr tx hingga tx + T
Px =
1
T
Z tx +T
p(t) dt
tx
Berdasarkan grafik p(t), terlihat daerah2 yg diintegralkan adl sama
luasnya shg diperolwh P1 = Px
Alhasil, daya rerata dpt dihitung dgn mengintegralkan daya sesaat
pd rentang waktu manapun selama suatu periode dan lalu dibagi
dgn lamanya periode tsb
13 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya Rerata dgn Input Sinusoid Ajeg
Dianggap bhw suatu piranti memiliki tegangan dan arus berbentuk
sinusoidal:
v (t) = Vm cos (ω t + θ)
dan i(t) = Im cos (ω t + φ)
mk daya sesaat piranti tsb:
p(t) = Vm Im cos (ω t + θ) cos (ω t + φ)
1
= Vm Im [cos (θ − φ) + cos (2 ω t + θ + φ)]
2
Pd persamaan terakhir,
suku pertama adl tetapan & tidak tergantung waktu,
suku kedua adl fungsi kosinus yg berkala dgn periode 12 T ,
rerata dr gelombang sinus & kosinus selalu nol
Alhasil, daya rerata dgn input sinusoidal:
1
P = Vm Im cos (θ − φ)
2
14 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Contoh 1: Daya Sesaat dan Daya Rerata [1]
Suatu tegangan pd lingkup-waktu v (t) = 4 cos ( π6t ) V dikenakan
pd suatu impedans Z = 2 ∠ 60◦ Ω. Tentukan daya rerata dan daya
sesaat dr impedans tsb.
Jawab: Tegangan tsb dinyatakan sbg fasor adl V = 4 ∠ 0◦ V dan
arus yg mengaliri impedans tsb adl V/Z = 2 ∠ –60◦ A. Alhasil,
daya reratanya:
1
1
P = Vm Im cos (θ − φ) = (4)(2) cos 60◦ = 2 W
2
2
Dlm lingkup-waktu, tegangan dan arus dpt dinyatakan sbg:
v (t) = 4 cos
πt
6
V
dan i(t) = 2 cos
πt
− 60◦
6
A
Alhasil, daya sesaatnya:
πt
p(t) = 8 cos
6
πt
πt
cos
− 60◦ = 2 + 4 cos
− 60◦
6
3
W
15 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Contoh 1: Daya Sesaat dan Daya Rerata [2]
Ketiga besaran sesaat dpt digambrkan scr bersama-sama sbg:
kurva hijau = tegangan v (t),
kurva merah = arus i(t), dan
kurva biru = daya p(t)
16 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya Rerata pd Komponen Resistif Murni
Pd resistor murni, selisih sudut fase di antara arus- dan
tegangan-nya adl nol, shg daya reratanya:
1
1
PR = Vm Im cos 0 = Vm Im
2
2
atau
V2
1 2
Im R atau PR = m
2
2R
Dua rumus terakhir memungkinkan utk menghitung daya rerata
resistor murni dgn cukup mengetahui tegangannya semata atau
arusnya saja, namun ...
PR =
Peringatan: Tegangan atau arus yg dipergunakan pd rumus2 tsb
adl tegangan di ujung2 resistor atau arus yg mengalirinya, bukan
tegangan atau arus lainnya
17 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya Rerata pd Komponen Reaktif Murni
Pd komponen reaktif murni (induktor atau kapasitor saja), selisih
sudut fase di antara arus- dan tegangan-nya adl (θ − φ) = ±90◦ ,
shg daya reratanya:
1
PX = Vm Im cos ±90◦ = 0
2
Daya rerata yg diberikan pd suatu rangkaian yg sepenuhnya
tersusun dr induktor atau kapasitor ideal adl nol
Daya sesaat yg diberikan pd rangkaian demikian adl nol pd
saat2 tertentu saja
Daya yg mengalir ke dalam rangkaian pd satu siklus = daya yg
mengalir ke luar pd siklur lainnya, shg tdk ada daya yg hilang
18 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Daya Rerata Maksimum
Suatu sumber tegangan independen yg terhubung seri dgn
impedans Zth , atau
suatu sumber arus independen yg terhubung paralel dgn
impedans Zth
akan menyerahkan daya rerata maksimum kepada suatu beban
impedans ZL ketika beban tsb adl konjugat dr Zth atau ZL = Z∗th
19 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Contoh 2: Daya Rerata Maksimum [1]
Suatu rangkaian tersusun sbg hubungan seri dr sumber tegangan
sinusiodal 3 cos (100 t − 3◦ ) V, resistor 500 Ω, induktor 30 mH dan
satu impedans yg tidak diketahui. Jk ingin dipastikan bhw sumber
tegangan tsb memasok daya rerata terbesar kpd impedans yg tidak
diketahui, berapakah nilai impedans seharusnya?
Jawab: Gambar di atas menampilkan rangkaian yg dimaksud dgn
komponen2 nya tlh ditulis dlm bentuk fasor. Impedans yg tdk
diketahui Z? terlihat terhubung seri dgn untai ekivalen Thévenin yg
20 / 21
Daya Sesaat
Daya Rerata
Contoh 2: Daya Rerata Maksimum [2]
terdiri dr sumber Thévenin 3 ∠ –3◦ V dan impedans Thévenin
500 + j 3 Ω.
Krn rangkaian tsb sdh dinyatakan dlm bentuk yg tepat, mk daya
rerata maksimum akan dipasok sumber kpd impedans yg tdk
diketahui manakala nilai impedans-nya adl
Z? = Z∗th = 500 − j 3 Ω
Nilai impedans ini dpt diwujudkan dgn beberapa cara, yg termudah
adl berupa suatu resistor 500 Ω yg diserikan dgn suatu kapasitor
yg memiliki imedans sebesar −j 3 Ω. Krn frekuensi kerja rangkaian
tsb adl 100 rad/s mk kapasitans yg diperlukan adl
XC =
1
1
1
1
⇒C =
=
=
= 3.33 mF
jωC
j ω XC
j 100 (−j 3)
300
Berapakah daya rerata maksimum yg diberikan kpd Z? tsb?
21 / 21