abstrak
advertisement
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO oleh ANNA ZAMMADUITA M0109010 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user 2013 i perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ABSTRAK Anna Zammaduita, 2013. PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Uji kenormalan berdasarkan pada fungsi distribusi empiris ada empat yaitu uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Keempat uji tersebut memiliki statistik uji yang berbeda. Hal ini menyebabkan adanya perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut sehingga perlu untuk dibandingkan. Perbandingan uji-uji tersebut didasarkan pada kekuatan uji masing-masing. Kekuatan uji merupakan besarnya probabilitas menolak H0 ketika H0 salah. Dengan melakukan simulasi Monte Carlo terhadap distribusi yang tidak normal, dapat diperoleh banyaknya H0 yang ditolak. Tujuan penelitian ini adalah memperoleh perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris. Berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, urutan kepekaan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris dari yang tertinggi adalah uji Anderson-Darling, Cramer-von Mises, Kuiper, dan Kolmogorov-Smirnov. Ini berarti uji Anderson-Darling paling peka dalam mendeteksi ketidaknormalan. Kata kunci : uji Kolmogorov-Smirnov, uji Kuiper, uji Cramer-von Mises, uji Anderson-Darling, fungsi distribusi empiris. commit to user iii perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ABSTRACT Anna Zammaduita, 2013. A COMPARISON OF NORMALITY TEST ON EMPIRICAL DISTRIBUTION FUNCTION CATEGORIES USING MONTE CARLO SIMULATION METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. There are four normality tests based on empirical distribution function. These are Kolmogorov Smirnov test, Kuiper test, Cramer-von Mises test, and Anderson-Darling test which have different test statistics. Thus, some tests have different conclusions. Therefore, in this research, the four tests are compared. The comparison of the tests is based on the power of each test. The power of the test is the probability for rejecting H0 when H0 is false. Using Monte Carlo simulation to the non-normal distribution, it can be acquired the number of H0 which is rejected. The objective of this research is to obtain the comparison of normality test on the empirical distribution function categories. Based on the results of Monte Carlo simulations, the order of the sensitivity tests of normality on the empirical distribution function categories from the most sensitive is Anderson-Darling, Cramer-von Mises, Kuiper, and the Kolmogorov-Smirnov. It can be concluded that Anderson-Darling test is the most sensitive normality test in detecting the non-normality. Key words : Kolmogorov-Smirnov test, Kuiper test, Cramer-von Mises test, Anderson-Darling test, empirical distribution function. commit to user iv perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MOTO Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah : 6) Selalu ada jalan keluar dari setiap masalah selama ada usaha dan doa commit to user v perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id PERSEMBAHAN Sebuah karya sederhana ini saya persembahkan untuk Ibu, Bapak, dan Kakak sebagai wujud atas doa, semangat, keringat, dan pengorbanan yang diberikan. commit to user vi perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. selaku Dosen Pembimbing II atas bimbingannya dalam penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Surakarta, Maret 2013 Penulis commit to user vii perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Daftar Isi I ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II LANDASAN TEORI 5 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Teori-Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Konsep Dasar Statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Distribusi Probabilitas Kontinu Khusus . . . . . . . . . . . 7 2.2.3 Fungsi Distribusi Empiris . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Uji Hipotesis . .commit . . . . to. user . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.5 Uji Kenormalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 viii perpustakaan.uns.ac.id 2.3 digilib.uns.ac.id 2.2.6 Uji Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.7 Uji Kuiper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.8 Uji Cramer-von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.9 Uji Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.10 Simulasi Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III METODE PENELITIAN 19 IV PEMBAHASAN 22 4.1 Prosedur Pengujian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Perbedaan Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 Simulasi Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.1 Sampel Berdistribusi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.2 Sampel Berdistribusi Chi-Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.3 Sampel Berdistribusi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.4 Sampel Berdistribusi Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.5 Sampel Berdistribusi Uniform . . . . . . . . . . . . . . . . 42 V PENUTUP 48 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 DAFTAR PUSTAKA 49 LAMPIRAN 52 commit to user ix perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Daftar Tabel 2.1 Persentase dari sampel yang dapat ditolak untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda . . . . . . . . . . 6 2.2 Nilai kritis D∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Nilai kritis V ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1 Data bangkitan pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Data terurut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Perhitungan D∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4 Perhitungan W 2 2.4 Nilai kritis W 2.5 Nilai kritis A2 ∗ 2∗ ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 Perhitungan A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.6 Data bangkitan kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.7 Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 36 Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi chi-kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 38 Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . commit to user x 40 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id 4.10 Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.11 Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . commit to user xi 46 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Daftar Gambar 2.1 Kurva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Fungsi distribusi empiris dan fungsi distribusi kumulatif normal . 13 3.1 Diagram alir simulasi 21 4.1 Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi eksponensial de- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ngan parameter θ = 7 untuk n = 10, 20, ..., 100 4.2 . . . . . . . . . . Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν = 3 untuk n = 10, 20, ..., 100 4.3 . . . . . . . . 41 Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi beta dengan parameter a = 3 dan b = 1 untuk n = 10, 20, ..., 100 . . . . . . . . . 4.5 39 Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi gamma dengan parameter θ = 3 dan κ = 5 untuk n = 10, 20, ..., 100 . . . . . . . . 4.4 37 44 Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi uniform dengan parameter interval a = 3 dan b = −3 untuk n = 10, 20, ..., 100 commit to user xii . . 45 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Menurut Supranto [22], statistika adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian, dan analisis data agar menghasilkan suatu informasi yang berguna dan mudah dipahami. McClave [14] mengemukakan ada dua macam statistika yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensi. Statistika deskriptif membahas metode pengumpulan, penyajian, dan pengukuran pemusatan serta penyebaran suatu data. Sementara itu, statistika inferensi membahas mengenai cara menganalisis data serta mengambil kesimpulan yang berkaitan dengan estimasi parameter dan pengujian hipotesis. Statistika inferensi dibagi dalam dua kelompok yaitu statistika parametrik dan statistika nonparametrik. Statistika parametrik bergantung pada asumsiasumsi tertentu. Dalam berbagai permasalahan, terdapat satu asumsi yang tetap yaitu sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal (kenormalan data). Misal pada uji t dan analisis variansi yang menggunakan asumsi kenormalan data. Sebaliknya, statistika nonparametrik tidak bergantung pada asumsi-asumsi tertentu (Daniel [8]). Razali dan Wah [15] menunjukkan ada dua cara untuk melihat kenormalan data yaitu secara visual dan uji statistik. Kenormalan data secara visual dapat ditampilkan dengan histogram dan plot probabilitas normal tetapi hasilnya bersifat subjektif sehingga diberikan cara dengan uji statistik yang bersifat objektif dalam memberikan kesimpulan. Uji statistik ini disebut uji kenormalan. Uji kenormalan menurut Arshad dkk. [4] ada empat kategori yaitu uji commit to user chi-kuadrat, teknik momen rasio, uji berdasarkan korelasi, dan uji berdasarkan fungsi distribusi empiris. Dalam software statistika seperti Minitab, SPSS, dan R, 1 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id beberapa uji kenormalan termasuk dalam kategori fungsi distribusi empiris. Uji berdasarkan fungsi distribusi empiris melibatkan data empiris (data yang berasal dari pengamatan). Uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris menurut Stephens [18] merupakan uji yang didasarkan pada perbandingan antara fungsi distribusi empiris dan yang dihipotesiskan. Thode [24] menyatakan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris ada empat macam yaitu uji KolmogorovSmirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Statistik uji dari uji Kolmogorov-Smirnov dan Kuiper menggunakan jarak maksimum antara fungsi distribusi empiris dan yang dihipotesiskan. Sementara itu, statistik uji Cramervon Mises dan Anderson-Darling menggunakan kuadrat selisih antara fungsi distribusi empiris dan yang dihipotesiskan dengan pembobotan uji masing-masing. Dengan demikian, keempat uji tersebut memiliki perumusan statistik uji yang berbeda. Perumusan statistik uji yang berbeda ini memungkinkan adanya perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut sehingga perlu untuk dibandingkan. Pernyataan tersebut dikuatkan oleh Razali dan Wah [15] yang mengatakan bahwa antara uji kenormalan yang satu dengan yang lain menghasilkan kesimpulan yang berbeda. Beberapa uji menolak hipotesis nol (H0 ) sedangkan uji yang lain gagal menolak H0 dengan H0 adalah sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal. Conover [7] menyatakan bahwa uji-uji statistik dapat dibandingkan berdasarkan kekuatan uji masing-masing. Kekuatan uji merupakan besarnya probabilitas menolak H0 ketika H0 salah. Selain berdasarkan kekuatan uji, beberapa uji statistik juga dapat dibandingkan dengan melihat kepekaan dari masing-masing uji dalam menolak H0 ketika H0 salah. Untuk mengetahui kepekaan uji masingmasing dalam menolak H0 ketika H0 salah, dilakukan metode simulasi. Apabila simulasi melibatkan bilangan acak yang berasal dari distribusi tertentu, maka dapat digunakan simulasi Monte Carlo. Stephens [18] pada tahun 1974 melakukan penelitian mengenai perbandingcommit to user an uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris menggunakan metode 2 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id simulasi Monte Carlo sebanyak 1.000 kali pengulangan dengan ukuran sampel yaitu 10, 20, dan 30. Hasil perbandingan uji-uji tersebut disajikan dalam bentuk tabel persentase menolak H0 . Penelitian Stephens menyimpulkan bahwa uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling sama kuat dalam menguji kenormalan data. Selanjutnya, dalam penelitian ini dilakukan pengembangan terhadap hasil penelitian Stephens yaitu perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris menggunakan metode simulasi Monte Carlo dengan 10.000 kali pengulangan dan ukuran sampel 10, 20,...,100. Hasil perbandingan keempat uji tersebut disajikan dalam bentuk grafik persentase menolak H0 . 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dibuat perumusan masalah yaitu 1. bagaimana perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris untuk uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling menggunakan metode simulasi Monte Carlo? 2. dari keempat uji tersebut, uji manakah yang paling peka menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol salah? 1.3 Batasan Masalah Untuk mempermudah dalam pembahasan mengenai uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris, penulis membatasi permasalahan yaitu tidak ada nilai pengamatan yang sama dan dikhususkan untuk satu variabel (univariat). 1.4 Tujuan Penelitian commit to user Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah 3 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id 1. memperoleh perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris untuk uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling menggunakan metode simulasi Monte Carlo, 2. mendapatkan uji yang paling peka menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol salah dari keempat uji tersebut. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini yaitu apabila para statistikawan ingin mengetahui data berasal dari populasi yang berdistribusi normal, maka dapat digunakan uji yang paling kuat dari keempat uji tersebut. commit to user 4 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Bab II LANDASAN TEORI Pada bagian pertama bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi kajiankajian yang pernah dilakukan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian. Pada bagian kedua bab ini diberikan teori penunjang yang berisi definisidefinisi dan teorema sebagai dasar untuk memperoleh pembahasan selanjutnya. Pada bagian ketiga dari bab ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penulisan skripsi. 2.1 Tinjauan Pustaka Stephens [18] pada tahun 1974 melakukan perbandingan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris. Hasil penelitian Stephens disajikan dalam Tabel 2.1. Dalam Tabel 2.1, notasi KS merupakan uji kenormalan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, Ku menggunakan uji Kuiper, CV menggunakan uji Cramer-von Mises, dan AD adalah menggunakan uji Anderson-Darling. Dari tabel tersebut tampak bahwa uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling merupakan pasangan terbaik dari uji kenormalan kategori fungsi distribusi empiris yang berarti sama-sama peka dalam mendeteksi ketidaknormalan sedangkan uji Kolmogorov-Smirnov adalah uji yang paling tidak peka. Razali dan Wah [15] pada tahun 2011 melakukan perbandingan antara uji Kolmogorov-Smirnov, Liliefors, Shapiro-Wilk, dan Anderson-Darling untuk mendapatkan uji yang paling peka menolak H0 ketika H0 salah. Perbandingan dari uji tersebut menggunakan metode simulasi Monte Carlo terhadap sampel yang dibangkitkan dari distribusi yang tidak normal. Hasil perbandingan menunjukcommit to user kan uji Shapiro-Wilk adalah uji yang paling peka menolak H0 ketika H0 salah, kemudian diikuti oleh uji Anderson-Darling, Lilliefors, dan Kolmogorov-Smirnov. 5 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 2.1. Persentase dari sampel yang dapat ditolak untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda Distribusi n KS V CV AD Probabilitas Chi-kuadrat Eksponensial Uniform Distribusi n KS V CV AD 10 45 53 56 59 Probabilitas 10 51 65 64 67 Lognormal 20 86 94 94 - 20 78 84 88 91 30 98 100 100 - 30 94 97 99 99 10 30 36 38 41 10 13 14 16 16 20 59 71 74 82 20 22 22 26 26 30 76 88 90 95 30 29 31 35 - 20 12 17 16 21 10 17 18 18 20 30 17 25 26 - 20 23 25 28 32 Laplace t Sebagaimana yang telah dinyatakan oleh Ahad dkk. [1] pada tahun 2011, kepekaan uji kenormalan seperti uji Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, Cramer-von Mises, dan Shapiro-Wilk dapat dievaluasi dalam berbagai distribusi tidak normal dan ukuran sampel yang berbeda. Hasil yang diperlihatkan dalam penelitian Ahad dkk. dari uji yang paling peka menolak H0 ketika H0 salah secara berturut-turut adalah uji Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Cramer-von Mises, dan Kolmogorov-Smirnov. 2.2 Teori-Teori Penunjang Pada bagian ini dijelaskan definisi, teorema, dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penelitian. 2.2.1 Konsep Dasar Statistika Berikut konsep dasar statistika yang berguna dalam menunjang materi dalam pembahasan. Definisi 2.2.1,commit 2.2.2, 2.2.4, to userdan 2.2.5 mengacu dari Bain dan Engelhardt [5] sedangkan definisi 2.2.3 dari Conover [7]. 6 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Definisi 2.2.1. Variabel acak X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil e yang mungkin pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian hingga X(e)=x. Definisi 2.2.2. Sampel acak berukuran n dari variabel acak X adalah himpunan variabel acak X1 , X2 , ..., Xn yang mempunyai fungsi densitas probabilitas f (x). Definisi 2.2.3. Fungsi densitas probabilitas dari variabel acak X merupakan fungsi yang memberikan probabilitas X pada suatu nilai x (x suatu bilangan real), yang dinyatakan sebagai f (x) = P (X = x), x = x1 , x2 , .... Fungsi densitas probabilitas untuk variabel acak kontinu lebih sering disebut fungsi kepadatan. Definisi 2.2.4. Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari variabel acak X untuk setiap bilangan real x didefinisikan sebagai F (x) = P (X ≤ x). Definisi 2.2.5. Variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat fungsi f(x) yang merupakan fungsi kepadatan dari X maka fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan ∫ x F (x) = f (u)du. −∞ 2.2.2 Distribusi Probabilitas Kontinu Khusus Menurut Supranto [23], distribusi probabilitas merupakan suatu gambaran bagaimana nilai-nilai probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai variabel acaknya. Apabila variabel acak X adalah kontinu, maka distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas kontinu. Berikut ini diberikan lima distribusi probabilitas kontinu yang dipakai dalam simulasi. Teori-teori distribusi probabilitas berikut mengacu dari Bain dan Engelhardt commit to user [5]. 1. Distribusi Uniform 7 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Apabila variabel acak X kontinu yang mengasumsikan nilai hanya pada suatu interval terbatas, yaitu interval (a, b), dengan fungsi kepadatan konstan, maka distribusinya disebut distribusi uniform. Variabel acak X yang berdistribusi uniform memiliki fungsi kepadatan f (x; a, b) = 1 b−a 0 ,a<x<b , x yang lain dan dapat dinotasikan dengan X ∼ U N IF (a, b). 2. Distribusi Gamma Variabel acak X kontinu dikatakan mempunyai distribusi gamma dengan parameter θ > 0 dan κ > 0 jika mempunyai bentuk fungsi kepadatan f (x; θ, κ) = 1 xκ−1 e−x/θ θ κ Γ(κ) 0 ,x>0 , x yang lain dan dinotasikan sebagai X ∼ GAM (θ, κ). 3. Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial diperoleh dari distribusi gamma dengan θ dan κ = 1 sehingga mempunyai bentuk fungsi kepadatan 1 e−x/θ , x > 0 θ f (x; θ) = 0 , x yang lain Variabel acak X yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ dapat dinotasikan sebagai X ∼ EXP (θ). 4. Distribusi Chi-Kuadrat Distribusi chi-kuadrat diperoleh dari distribusi gamma dengan θ = 2 dan κ= ν 2 sehingga mempunyai bentuk fungsi kepadatan commit to user 8 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id f (x; ν) = ν 22 0 −x ν 1 x 2 −1 e 2 ν Γ( 2 ) ,x>0 , x yang lain. Variabel acak X yang berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν dapat dinotasikan sebagai X ∼ χ2 (ν). 5. Distribusi Beta Variabel acak X kontinu dikatakan berdistribusi beta dengan parameter a > 0 dan b > 0 jika mempunyai fungsi kepadatan f (x; a, b) = Γ(a+b) (a−1) x (1 Γ(a)Γ(b) − x)(b−1) , 0 < x < 1 0 , x yang lain dan dapat dinotasikan sebagai X ∼ BET A(a, b). Selain kelima distribusi tersebut, terdapat distribusi probabilitas kontinu yang lain yaitu distribusi normal. Variabel acak X yang berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ 2 dapat dinotasikan sebagai X ∼ N (µ, σ 2 ). Menurut Supranto [23], ciri-ciri dari distribusi normal adalah 1. bentuk kurva normal seperti lonceng dan simetris 2. parameter σ menunjukkan lebar dari kurva 3. titik tertinggi dari kurva normal terletak pada nilai rata-rata, median dan modus yang sama 4. kedua ekor kurva memanjang tak terbatas dan tidak pernah memotong sumbu horizontal 5. luas total area di bawah kurva normal sama dengan satu. Fungsi kepadatan dari distribusi normal diberikan dalam rumus matematik sebagai commit to user 1 x−µ 2 1 f (x) = √ e− 2 ( σ ) , −∞ < x < ∞ 2πσ 2 9 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id dengan µ dan σ menunjukkan mean dan deviasi standar (Bain dan Engelhardt [5]). Kurva dari fungsi kepadatan tersebut biasanya disebut kurva normal. Kurva normal ditunjukkan pada Gambar 2.1. Gambar tersebut mengindikasikan bahwa luas area di bawah kurva normal diantara nilai µ ± σ, µ ± 2σ, dan µ ± 3σ secara berturut-turut sebesar 68, 26%, 95, 44%, dan 99,74%. Gambar 2.1. Kurva normal Menurut Soejoeti [16], fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal adalah 1 F (x) = P (X ≤ x) = √ 2πσ 2 ∫ x 1 u−µ 2 ) σ e− 2 ( du. −∞ Apabila variabel acak X berdistribusi normal dengan mean µ dan deviasi standar σ, maka X dapat ditransformasikan menjadi variabel terstandarisasi Z= X −µ σ yang mempunyai distribusi normal standar (Johnson dan Bhattacharyya [11]). Berikut ini diberikan teorema yang mengacu dari Strait [21]. Teorema 2.2.1. (Teorema Limit Pusat) Misalkan X1 , X2 , ..., Xn adalah variabel acak yang independen dan berdistribusi identik dengan mean µ dan variansi σ 2 . Misalkan variabel acak didefinisikan dengan X = (X1 +X2 +...+Xn )/n. Distribusi dari X −µ √ σ/ n commit to user mendekati distribusi normal standar untuk n → ∞. Zn = 10 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id 2.2.3 Fungsi Distribusi Empiris Menurut Thode [24], fungsi distribusi empiris diperoleh dari sampel dan disimbolkan dengan Fn (x). Definisi berikut mengacu dari Gibbons [10]. Definisi 2.2.6. Misalkan X1 , X2 , ..., Xn merupakan sampel acak berukuran n yang diambil dari sebuah populasi dengan fungsi distribusi kumulatif F (x) bertipe kontinu dan X(1) < X(2) < ... < X(n) disusun dalam urutan naik dari Xi , maka susunan inilah yang disebut statistik terurut dari sampel acak X1 , X2 , ..., Xn . Misalkan X(1) , X(2) , ..., X(n) adalah statistik terurut, fungsi distribusi empiris didefinisikan sebagai 0, Fn (x) = x < X(1) X(i) ≤ x < X(i+1) i n 1, X(n) ≤ x dengan i = 1, 2, ..., n − 1. 2.2.4 Uji Hipotesis Menurut Bain dan Engelhardt [5], uji hipotesis dilakukan untuk menentukan kebenaran atau kesalahan dari suatu hipotesis berdasarkan bukti pengamatan. Hipotesis ada dua macam yaitu hipotesis nol (H0 ) dan hipotesis alternatif (H1 ). Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan uji hipotesis, yaitu daerah kritis, statistik uji, tingkat signifikansi dan kekuatan uji. Definisi daerah kritis, tingkat signifikansi, dan kekuatan uji mengacu dari Bain dan Engelhardt [5] sedangkan definisi statistik uji dari Conover [7]. Definisi 2.2.7. Daerah kritis suatu uji merupakan himpunan nilai-nilai statistik uji yang membawa ke penolakan hipotesis nol. Definisi 2.2.8. Statistik uji adalah statistik yang digunakan untuk membantu membuat kesimpulan dalam suatu uji hipotesis. commit to user Keputusan yang dibuat dalam menolak atau menerima hipotesis mengandung ketidakpastian. Ini artinya keputusan yang diperoleh bisa salah dan juga 11 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id bisa benar. Adanya unsur ketidakpastian ini menyebabkan risiko bagi pembuat keputusan. Besar kecilnya risiko dinyatakan dalam nilai probabilitas. Tipe kesalahan yang mungkin terjadi dalam uji hipotesis ada dua macam. 1. Kesalahan tipe I Kesalahan tipe I merupakan kesalahan menolak H0 padahal H0 benar. Probabilitas kesalahan tipe I dinotasikan sebagai α sehingga dapat dituliskan P (Kesalahan tipe I)=α. 2. Kesalahan tipe II Kesalahan tipe II adalah kesalahan gagal menolak H0 padahal H0 salah. Probabilitas kesalahan tipe II dinotasikan β sehingga dapat dituliskan P (Kesalahan tipe II)=β. Definisi 2.2.9. Tingkat signifikansi dari uji hipotesis yang dinotasikan dengan α adalah probabilitas maksimum menolak H0 padahal H0 benar. Definisi 2.2.10. Kekuatan suatu uji merupakan besarnya probabilitas menolak H0 ketika H0 salah dan dinotasikan sebagai Kekuatan uji = 1-P (Kesalahan tipe II)=1-β. 2.2.5 Uji Kenormalan Berikut hipotesis dari pengujian kenormalan suatu variabel acak X. H0 : Sampel acak berasal dari populasi dengan fungsi distribusi F (x), dimana untuk kasus kenormalan F (x) berdistribusi normal. H1 : Sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal. commit µto dan user σ 2 yang tidak diketahui. Oleh Distribusi F (x) adalah normal dengan karena itu, µ dan σ 2 diestimasi oleh x̄ = 12 ∑n i n xi dan s2 = ∑n i (xi −x̄)2 . n−1 Variabel X perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id ditransformasikan menjadi variabel terstandarisasi Z. Karena µ dan σ 2 diestimasi oleh x̄ dan s2 , maka variabel terstandarisasi Z dapat dihitung dengan rumus zi = (xi − x̄)/s dan F (zi ) diperoleh dari tabel normal standar. Menurut Thode [24], uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris didasarkan pada perbandingan antara fungsi distribusi empiris Fn (x) dan yang dihipotesiskan F (x). Razali dan Wah [15] menyatakan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris dibagi menjadi 2 kelas. 1. Uji yang didasarkan pada jarak maksimum antara Fn (x) dan F (x), yang termasuk dalam kelas ini adalah uji Kolmogorov-Smirnov dan Kuiper. 2. Uji Kuadratik. Pada kelas ini didasarkan pada kuadrat selisih antara Fn (x) dan F (x). Uji Anderson-Darling dan Cramer-von Mises termasuk dalam uji kuadratik. Gambar 2.2 memberikan ilustrasi umum mengenai grafik fungsi distribusi empiris Fn (x) dengan fungsi distribusi kumulatif normal F (x). Apabila Fn (x) sangat berbeda dengan F (x), maka hipotesis nol akan ditolak. Ini berarti sampel acak tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Gambar 2.2. Fungsi distribusi empiris dan fungsi distribusi kumulatif normal commit to user 13 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id 2.2.6 Uji Kolmogorov-Smirnov Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk mengetahui apakah suatu sampel acak dari populasi kontinu yang tidak diketahui mengikuti suatu distribusi tertentu. Statistik Kolmogorov-Smirnov D didefinisikan sebagai D = max(D+ , D− ) dimana D+ = maxi=1,2,...,n [ ni − F (zi )] D− = maxi=1,2,...,n [F (zi ) − i−1 ]. n Selanjutnya, Stephens [18] mendefinisikan modifikasi statistik KolmogorovSmirnov D∗ sebagai √ 0, 85 D∗ = ( n − 0, 01 + √ )D. n Pengambilan keputusan dari uji Kolmogorov-Smirnov dapat dilihat dari daerah kritisnya. Daerah kritis untuk uji ini yaitu jika nilai modifikasi KolmogorovSmirnov D∗ lebih besar dari nilai kritisnya, maka H0 akan ditolak. Beberapa nilai kritis untuk modifikasi Kolmogorov-Smirnov D∗ dengan masing-masing tingkat signifikansi α (Thode [24]) dapat dilihat pada Tabel 2.2. Tabel 2.2. Nilai kritis D∗ α Nilai Kritis 10% 0,819 5% 0,895 2,5% 0,955 1% 1,035 2.2.7 Uji Kuiper Kuiper [13] pada tahun 1960 mengusulkan suatu uji kenormalan pada katecommit to user gori fungsi distribusi empiris dengan mengkombinasikan statistik KolmogorovSmirnov, yaitu D+ dan D− . Uji kenormalan ini dikenal sebagai uji Kuiper. 14 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Statistik Kuiper V didefinisikan sebagai V = D+ + D− dan modifikasi statistik Kuiper V ∗ untuk semua ukuran sampel (Stephens [18]) dinyatakan dengan √ 0, 82 V ∗ = ( n + 0, 05 + √ )V. n Selanjutnya, dalam mengambil keputusan pada pengujian hipotesis kenormalan data dengan uji ini diberikan suatu daerah kritis yaitu jika nilai modifikasi statistik Kuiper V ∗ lebih besar dari nilai kritisnya, maka H0 akan ditolak. Besarnya nilai kritis untuk modifikasi statistik Kuiper V ∗ tampak dalam Tabel 2.3 dengan masing-masing tingkat signifikansi α (Thode [24]). Tabel 2.3. Nilai kritis V ∗ 2.2.8 α Nilai Kritis 10% 1,386 5% 1,489 2,5% 1,585 1% 1,693 Uji Cramer-von Mises Conover [7] menyatakan bahwa uji Cramer-von Mises dikembangkan oleh Cramer dan von Mises. Uji Cramer-von Mises termasuk dalam uji kuadratik. Uji kudratik didefinisikan oleh Anderson dan Darling [2] sebagai ∫ ∞ n [Fn (x) − F (x)]2 ψ(F (x))dF (x). (2.1) −∞ dengan ψ(F (x)) fungsi pembobot. Uji cramer-von mises mempunyai fungsi pembobot ψ(F (x)) = 1 sehingga menjadi ∫ ∞ commit to user n [Fn (x) − F (x)]2 dF (x). −∞ 15 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Sebagaimana yang telah dinyatakan oleh Anderson dan Darling [3], diberikan statistik Cramer-von Mises W 2 sebagai ∑ 2i − 1 2 1 + [F (zi ) − ]. 12n i=1 2n n W2 = ∗ Modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2 yang diusulkan oleh Stephens [18] didefinisikan dengan ∗ W 2 = (1 + 0, 5 )W 2 . n Uji Cramer-von Mises memberikan daerah kritis dalam pengujian hipotesis yaitu dengan membandingkan nilai modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2∗ dan nilai kritisnya. Jika nilai modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2∗ lebih besar daripada nilai kritis, maka hipotesis nol ditolak. Tabel 2.4 memberikan nilai kritis untuk modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2∗ pada masing-masing tingkat signifikansi α (Stephens [18]). ∗ Tabel 2.4. Nilai kritis W 2 2.2.9 (α Nilai Kritis 10% 0,104 5% 0,126 2,5% 0,148 1% 0,178 Uji Anderson-Darling Uji Anderson-Darling merupakan suatu uji kenormalan yang termasuk dalam kategori fungsi distribusi empiris. Menurut Razali dan Wah [15], uji Anderson-Darling adalah modifikasi dari uji Cramer-von Mises sehingga juga termasuk dalam kelas kuadratik. Anderson dan Darling [3] menyatakan bahwa pembobot untuk uji ini adalah commit to user 1 ψ(F (x)) = . F (x)[1 − F (x)] 16 (2.2) perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Oleh karena itu, dengan mensubstitusikan persamaan (2.2) ke (2.1) diperoleh ∫ ∞ [Fn (x) − F (x)]2 n dF (x). −∞ F (x)[1 − F (x)] Dalam rangka mempermudah perhitungan, diberikan formula untuk statistik Anderson-Darling A2 (Stephens [19]) dengan n [ ( ) ( )] 1∑ A = −n − (2i − 1) ln F (zi ) + ln 1 − F (zn+1−i ) . n i=1 2 Selanjutnya Stephens [20] mendefinisikan modifikasi statistik Anderson-Darling ∗ A2 sebagai ∗ A2 = (1 + 0, 75 2, 25 2 + 2 )A . n n Daerah kritis untuk uji Anderson-Darling dalam menentukan H0 ditolak atau diterima dengan membandingkan nilai modifikasi statistik Anderson-Darling ∗ ∗ A2 dan nilai kritisnya. Apabila nilai modifikasi statistik Anderson-Darling A2 lebih besar dari nilai kritisnya, maka H0 akan ditolak. Tabel 2.5 menyajikan ni∗ lai kritis untuk modifikasi statistik Anderson-Darling A2 dengan masing-masing tingkat signifikansi α (Thode [24]). ∗ Tabel 2.5. Nilai kritis A2 2.2.10 α Nilai Kritis 10% 0,656 5% 0,787 2,5% 0,918 1% 1,092 Simulasi Monte Carlo Simulasi menurut Banks [6] adalah tiruan dari proses dunia nyata atau sistem. Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari procommit to user ses untuk menarik kesimpulan dari sistem yang diwakili. Menurut Efron [9], simulasi dilakukan sebanyak 10.000 kali agar meyakinkan bahwa simulasi mampu 17 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id menjelaskan gambaran yang sebenarnya. Steelee dan Chaseling [17] mengatakan bahwa probabilitas penolakan hipotesis nol apabila hipotesis nol salah untuk masing-masing uji statistik dapat diestimasi dengan 10.000 sampel acak yang disimulasi. Salah satu metode yang berperan dalam simulasi adalah metode Monte Carlo. Menurut Kakiay [12], prinsip kerja dari metode Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, apabila menghendaki model simulasi yang mengikutsertakan bilangan acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dan ditentukan, maka menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo dapat diaplikasikan untuk mengestimasi nilai kritis atau membandingkan kepekaan uji (Steelee dan Chaseling [17]). 2.3 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran yang mungkin dalam pembahasan penelitian ini. Dalam menguji kenormalan data, uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling memiliki perbedaan dalam perhitungan statistik uji. Hal ini menyebabkan adanya perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut. Mengingat pentingnya menguji kenormalan guna menentukan metode yang akan digunakan oleh statistikawan, maka diperlukan suatu uji yang kuat dalam mendeteksi kenormalan data. Penelitian ini membandingkan keempat uji tersebut berdasarkan kepekaannya untuk menolak H0 ketika H0 salah. Untuk memperoleh kepekaan uji masingmasing dalam menolak H0 ketika H0 salah, dilakukan simulasi sampel acak dari distribusi yang tidak normal sebanyak 10.000 kali pengulangan. Karena penelitian ini menghendaki model simulasi yang melibatkan bilangan acak dari distribusi tertentu, maka menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Hasil simulasi tersecommit to user but dapat menghasilkan uji yang paling kuat dalam menguji kenormalan data. 18 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Bab III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan cara mempelajari materi karya-karya ilmiah pada jurnal maupun buku referensi. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut. 1. Mengidentifikasi pengujian kenormalan dengan uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. 2. Memberikan contoh adanya perbedaan kesimpulan diantara uji KolmogorovSmirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. 3. Mengkonstruksi metode simulasi Monte Carlo dengan software Matlab 7.1. (a) Membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi eksponensial dengan ukuran sampel sebesar 10 sebanyak 10.000 kali. (b) Setiap data bangkitan pada langkah (a) dihitung statistik ujinya dari keempat uji tersebut. (c) Jika statistik uji masing-masing lebih besar daripada nilai kritisnya, maka H0 ditolak. (d) Menghitung jumlah H0 yang ditolak dari 10.000 pengulangan untuk masing-masing uji. (e) Menghitung persentase menolak H0 untuk masing-masing uji. Persentase menolak H0 = jumlah H0 yang ditolak x100% 10000 user sampaito(e) untuk ukuran sampel yang berva(f) Mengulangi langkah (a)commit riasi yaitu 20, 30,...,100. 19 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id (g) Membuat grafik antara ukuran sampel yang bervariasi dan persentase menolak H0 dari keempat uji tersebut. (h) Mengulangi langkah (a) sampai (g) untuk distribusi gamma, chi-kuadrat, beta, dan uniform. 4. Membandingkan uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling berdasarkan hasil simulasi. Uji yang memiliki kepekaan tertinggi dalam menolak H0 ketika H0 salah merupakan uji yang paling kuat dalam menguji kenormalan data. Diagram alir dalam mengkonstruksi program simulasi disajikan selengkapnya dalam Gambar 3.1. commit to user 20 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Gambar 3.1. Diagram alir simulasi commit to user 21 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Bab IV PEMBAHASAN Dalam bagian ini yang dilakukan pertama kali adalah mengidentifikasi pengujian kenormalan menggunakan uji kenormalan berdasarkan kategori fungsi distribusi empiris yaitu uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Selanjutnya diberikan contoh ketika hasil kesimpulan berbeda antara uji yang satu dengan yang lainnya. Untuk mengatasinya, dilakukan simulasi Monte Carlo guna memperoleh kepekaan uji masing-masing dalam menolak H0 ketika H0 salah sehingga diperoleh uji yang kuat dalam menguji kenormalan data. 4.1 Prosedur Pengujian Pada bagian ini, diberikan langkah-langkah pengujian hipotesis untuk mengetahui sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal atau tidak. 1. Uji Kolmogorov Smirnov Berikut langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kenormalan data menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. (a) Hipotesis H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) (c) Daerah kritis to user H0 ditolak jika D∗ > commit nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari Tabel 2.2 22 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id (d) Statistik uji Statistik uji dari uji Kolmogorov-Smirnov menggunakan jarak maksimum antara Fn (x) dan F (x), yaitu [Fn (x)-F (x)] dan [F (x)Fn (x)]. Untuk Fn (x)>F (x), perumusan statistik uji KolomogorovSmirnov adalah [Fn (x)-F (x)] dan dinotasikan dengan D− . Sebaliknya untuk Fn (x)<F (x), statistik uji Kolomogorov-Smirnov dinotasikan dengan D− dan dirumuskan dengan [F (x)-Fn (x)]. Dari dua hal tersebut diambil nilai yang maksimum. Nilai ini merupakan statistik uji dari uji Kolomogorov-Smirnov yang dinotasikan dengan D. Statistik uji Kolomogorov-Smirnov D tersebut kemudian dimodifikasi oleh Stephens [18] dengan metode simulasi Monte Carlo. Berikut perumusan statistik uji Kolomogorov-Smirnov yang dimodifikasi. √ 0, 85 D∗ = ( n − 0, 01 + √ )D n (4.1) dengan D+ = maxi=1,2,...,n [ ni − F (zi )] D− = maxi=1,2,...,n [F (zi ) − D i−1 ] n = max(D+ , D− ) dimana D∗ adalah modifikasi statistik Kolmogorov-Smirnov, D adalah statistik Kolmogorov-Smirnov, n adalah banyaknya sampel acak dan F (zi ) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk zi = (xi − x̄)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan xi merupakan statistik terurut. (e) Kesimpulan 2. Uji Kuiper Uji Kuiper mengkombinasikan statistik Kolmogorov-Smirnov, yaitu D+ dan commit to user D− . Berikut ini adalah uji hipotesis untuk kenormalan data menggunakan uji Kuiper. 23 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id (a) Hipotesis H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) (c) Daerah kritis H0 ditolak jika V ∗ > nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari Tabel 2.3 (d) Statistik uji Statistik uji Kuiper merupakan kombinasi statistik KolmogorovSmirnov, yaitu D+ dan D− sehingga uji ini juga menggunakan jarak maksimum antara Fn (x) dan F (x). Sama halnya uji KolmogorovSmirnov, statistik uji Kuiper juga dimodifikasi dan dinotasikan dengan V ∗ . Berikut ini perumusan dari modifikasi statistik Kuiper V ∗ . √ 0, 82 V ∗ = ( n + 0, 05 + √ )V n (4.2) dengan V = D+ + D− . Notasi V menunjukkan statistik Kuiper, V ∗ adalah modifikasi statistik Kuiper dan n adalah banyaknya sampel acak (e) Kesimpulan 3. Uji Cramer-von Mises Langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kenormalan data dengan uji Cramer-von Mises sebagai berikut. (a) hipotesis H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) tingkat signifikansi (α) (c) daerah kritis commit to user ∗ H0 ditolak jika W 2 > nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari Tabel 2.4 24 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id (d) statistik uji Statistik uji Cramer-von Mises menggunakan kuadrat selisih antara Fn (x) dan F (x) dengan fungsi pembobot ψ(F (x)) = 1, yaitu ∫∞ n −∞ [Fn (x) − F (x)]2 dF (x). Sebagaimana yang telah dinyatakan oleh Anderson dan Darling [?], didefinisikan statistik Cramer-von Mises ∑ 1 + ni=1 [F (zi ) − agar mempermudah dalam perhitungan, yaitu 12n 2i−1 2 ]. 2n Rumus 2i−1 2n merupakan rata-rata dari i n dan i−1 . n Seperti uji- uji yang sebelumnya, statistik Cramer-von Mises juga dimodifikasi. Perumusan modifikasi statistik Cramer-von Mises adalah ∗ W 2 = (1 + 0, 5 )W 2 n (4.3) dengan W2 = 1 12n + ∑n i=1 [F (zi ) − 2i−1 2 ] 2n ∗ dimana W 2 adalah modifikasi statistik Cramer-von Mises, W 2 adalah statistik Cramer-von Mises, n adalah banyaknya sampel acak dan F (zi ) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk zi = (xi − x̄)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan xi merupakan statistik terurut. (e) kesimpulan 4. Uji Anderson-Darling Berikut ini adalah pengujian hipotesis untuk kenormalan data yang menggunakan uji Anderson-Darling. (a) Hipotesis H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) (c) Daerah kritis commit to user ∗ H0 ditolak jika A2 > nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari Tabel 2.5 25 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id (d) Statistik uji Statistik uji Anderson-Darling didefinisikan dengan ∫ ∞ [Fn (x) − F (x)]2 dF (x) n −∞ F (x)[1 − F (x)] dimana 1 F (x)[1−F (x)] merupakan fungsi pembobot. Berdasarkan rumus- an tersebut, dapat diketahui bahwa statistik uji Anderson-Darling juga menggunakan kuadrat selisih antara Fn (x) dan F (x). Menurut Stephens [19], dalam rangka mempermudah perhitungan diberikan formu) ∑ [ ( la untuk statistik Anderson-Darling, yaitu −n − n1 ni=1 ln F (zi ) + ( )] ln 1 − F (zn+1−i ) . Formula 2i−1 dalam perumusan tersebut merun i n pakan penambahan antara dan i−1 . n Stephens juga memodifikasi statistik Anderson-Darling melalui simulasi Monte Carlo. Berikut modifikasi statistik Anderson-Darling. ∗ A2 = (1 + 0, 75 2, 25 2 + 2 )A n n (4.4) dengan A 2 = −n − 1 n [ ( ) ( )] i=1 (2i − 1) ln F (zi ) + ln 1 − F (zn+1−i ) ∑n ∗ dimana A2 adalah modifikasi statistik Anderson-Darling, A2 adalah statistik Anderson-Darling, n adalah banyaknya sampel acak dan F (zi ) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk zi = (xi − x̄)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan xi merupakan statistik terurut. (e) Kesimpulan 4.2 Perbedaan Kesimpulan Di sini diberikan dua contoh adanya perbedaan kesimpulan diantara uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. commit to user Contoh 4.2.1. Perbedaan kesimpulan antara uji Kolmogorov-Smirnov dengan uji Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. 26 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Diberikan data X yang memuat sampel acak yang dibangkitkan dengan n = 10. Data ditampilkan pada Tabel 4.1 dan diperoleh x̄ = −0, 59707 dan s = 1, 13316. Tabel 4.1. Data bangkitan pertama -0,84864 0,23104 1,46901 -0,80387 -1,09376 -0,86493 0,99714 -1,46741 -1,72315 -1,86610 Langkah awal dalam pengujian kenormalan untuk keempat uji tersebut adalah mengurutkan data dari kecil ke besar. Data terurut tersebut selengkapnya tampak dalam Tabel 4.2. Tabel 4.2. Data terurut -1,86610 -1,72315 -1,46741 -1,09376 -0,86493 -0,84864 -0,80387 0,23104 0,99714 1,46901 Berikut ini dilakukan pengujian kenormalan terhadap data Tabel 4.2 untuk masing-masing uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises dan AndersonDarling dengan tingkat signifikansi 5%. 1. Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H0 ditolak jika D∗ > 0,895 (d) Statistik uji Statistik uji ini, yaitu D∗ , ditentukan dengan (4.1). Agar lebih mudah, ditentukan dahulu nilai D+ dan D− . Perhitungan kedua nilai tersebut commit to user terlihat dalam Tabel 4.3. Dari Tabel 4.3, khususnya kolom 7 dan 8 diperoleh D+ = max[ ni −F (zi )] = 0, 27241 dan D− = max[F (zi )− i−1 ]= n 27 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id 0, 13138. Berdasarkan nilai D+ dan D− , diperoleh nilai yang maksimum dari keduanya sebesar 0,27241 sehingga D = 0, 27241. Dengan demikian, D∗ = 0, 93193. Tabel 4.3. Perhitungan D∗ i xi i n i−1 n zi = (xi − x̄)/s F (zi ) 1 -1,86610 1 10 0 -1,11990 0,13138 -0,03138 0,13138 2 -1,72315 2 10 1 10 -0,99375 0,16017 0,03983 0,06017 3 -1,46741 3 10 2 10 -0,76806 0,22123 0,07877 0,02123 4 -1,09376 4 10 3 10 -0,43832 0,33058 0,06942 0,03058 5 -0,86493 5 10 4 10 -0,23638 0,40657 0,09343 0,00657 6 -0,84864 6 10 5 10 -0,22201 0,41215 0,18785 -0,08785 7 -0,80387 7 10 6 10 -0,18250 0,42759 0,27241 -0,17241 8 0,23104 8 10 7 10 0,73080 0,76755 0,03245 0,06755 9 0,99714 9 10 8 10 1,40687 0,92027 -0,02027 0,12027 10 1,46901 1 9 10 1,82329 0,96587 0,03413 0,06587 i n − F (zi ) F (zi ) − i−1 n (e) Kesimpulan Karena D∗ = 0, 93193 >0,895 maka H0 ditolak. Ini berarti data yang dibangkitkan dan yang disajikan dalam Tabel 4.2 tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 2. Menggunakan Uji Kuiper (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis commit to user H0 ditolak jika V ∗ > 1,489 28 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id (d) Statistik uji Dari perhitungan sebelumnya, D+ = 0, 27241 dan D− = 0, 13138 sehingga nilai V = 0, 40379. Dengan (4.2), diperoleh V ∗ = 1, 40179. (e) Kesimpulan Karena V ∗ = 1, 40179 <1,489 maka H0 diterima. Artinya data hasil bangkitan yang ditampilkan dalam Tabel 4.2 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 3. Menggunakan Uji Cramer-von Mises (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis ∗ H0 ditolak jika W 2 > 0,126 (d) Statistik uji ∗ Statistik uji ini, yaitu W 2 , dirumuskan dalam persamaan (4.3). Dari (4.3), terlihat bahwa terlebih dahulu ditentukan nilai W 2 . Nilai W 2 bergantung pada nilai [F (zi ) − [F (zi ) − 2i−1 2 ] 2n 2i−1 2 ]. 2n Oleh karena itu, nilai harus dihitung terlebih dahulu. Perhitungan nilai ter- sebut tampak dalam Tabel 4.4. Dari Tabel 4.4, khususnya kolom 7 ∑ 2i−1 2 baris 12 dapat diperoleh 10 i=1 [F (zi ) − 2n ] = 0, 08379 sehingga nilai ∗ W 2 = 0, 09212. Dengan demikian, W 2 = 0, 09673. (e) Kesimpulan ∗ Karena W 2 = 0, 09673 < 0,126 maka H0 diterima. Ini artinya data yang disajikan dalam Tabel 4.2 dan merupakan data hasil bangkitan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. commit to user 4. Menggunakan Uji Anderson Darling 29 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 4.4. Perhitungan W 2 ∗ i xi zi = (xi − x̄)/s 1 -1,86610 -1,11990 0,13138 0,05 0,08138 0,00662 2 -1,72315 -0,99375 0,16017 0,15 0,01017 0,00010 3 -1,46741 -0,76806 0,22123 0,25 -0,02877 0,00083 4 -1,09376 -0,43832 0,33058 0,35 -0,01942 0,00038 5 -0,86493 -0,23638 0,40657 0,45 -0,04343 0,00189 6 -0,84864 -0,22201 0,41215 0,55 -0,13785 0,01900 7 -0,80387 -0,18250 0,42759 0,65 -0,22241 0,04947 8 0,23104 0,73080 0,76755 0,75 0,01755 0,00031 9 0,99714 1,40687 0,92027 0,85 0,07027 0,00494 10 1,46901 1,82329 0,96587 0,95 0,01587 ∑10 i=1 [F (zi ) − 0,00025 F (zi ) 2i−1 2n F (zi ) − 2i−1 2n [F (zi ) − 2i−1 2 ] 2n 2i−1 2 ] 2n = 0,0837 (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis ∗ H0 ditolak jika A2 > 0,787 (d) Statistik uji ∗ Statistik uji Anderson-Darling, yaitu A2 , dihitung dengan persamaan ∗ (4.4). Untuk memperoleh A2 , terlebih dahulu dihitung nilai A2 . Nilai [ ( ) ( )] 2 A bergantung pada nilai (2i − 1) ln F (zi ) + ln 1 − F (zn+1−i ) . Perhitungan nilai tersebut disajikan dalam Tabel 4.5. Dari tabel ini, [ ( ) ( )] ∑10 = −105, 04973 sehingga i=1 (2i − 1) ln F (zi ) + ln 1 − F (zn+1−i ) ∗ A2 = 0, 50497. Berdasarkan nilai tersebut, dapat diperoleh A2 = 0, 55420. commit to user (e) Kesimpulan 30 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 4.5. Perhitungan A2 i xi zi = ∗ F (zi ) ( ) ln F (zi ) ( ) ln 1 − F (zn+1−i ) [ ( ) (2i − 1) ln F (zi ) + ( )] ln 1 − F (zn+1−i ) (xi − x̄)/s 1 -1,86610 -1,11990 0,13138 -2,02966 -3,37758 -5,40724 2 -1,72315 -0,99375 0,16017 -1,83151 -2,52910 -13,08183 3 -1,46741 -0,76806 0,22123 -1,50855 -1,45908 -14,83815 4 -1,09376 -0,43832 0,33058 -1,10691 -0,55790 -11,65367 5 -0,86493 -0,23638 0,40657 -0,90000 -0,53128 -12,88152 6 -0,84864 -0,22201 0,41215 -0,88637 -0,52184 -15,49031 7 -0,80387 -0,18250 0,42759 -0,84959 -0,40134 -16,26209 8 0,23104 0,73080 0,76755 -0,26455 -0,25004 -7,71885 9 0,99714 1,40687 0,92027 -0,08309 -0,17456 -4,38005 10 1,46901 1,82329 0,96587 ∑10 -0,03473 -0,14085 -3,33602 [ ( ) ( )] = -105,04973 i=1 (2i − 1) ln F (zi ) + ln 1 − F (zn+1−i ) ∗ Karena A2 = 0, 55420 < 0,787 maka H0 diterima. Artinya data hasil bangkitan yang terdapat dalam Tabel 4.2 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Sampai di sini, dengan uji Kolmogorov-Smirnov data yang dibangkitkan ketika n = 10 merupakan data yang tidak berasal dari populasi berdistribusi normal. Sebaliknya, jika dengan uji Kuiper, Cramer-von Mises, dan AndersonDarling maka data tersebut berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Contoh 4.2.2. Perbedaan kesimpulan antara uji Kolmogorov-Smirnov dan Kuiper dengan uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling. Disini dibangkitkan lagi (kedua), data juga dengan n = 10. Data tersebut selengkapnya tampak dalam Tabel 4.6. Tabel 4.6. Data bangkitan kedua -0,61924 -0,02983 0,08655 -0,34530 -0,13145 0,31483 -0,04687 0,54153 -1,79078 -0,2037 commit to user Berikut ini dilakukan pengujian kenormalan terhadap data yang disajikan dalam Tabel 4.6 untuk masing-masing uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper’s, 31 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling dengan tingkat signifikansi 5%. 1. Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H0 ditolak jika D∗ > 0,895 (d) Statistik uji Berdasarkan perhitungan diperoleh D∗ = 0, 878968 (e) Kesimpulan Karena D∗ = 0, 878968 <0,895 maka H0 diterima. Artinya data yang dibangkitkan dan yang disajikan dalam Tabel 4.6 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 2. Menggunakan Uji Kuiper (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H0 ditolak jika V ∗ > 1,489 (d) Statistik uji Dari perhitungan diperoleh nilai V ∗ =1,38841 (e) Kesimpulan Karena V ∗ = 1, 38841 <1,489 maka H0 diterima. Ini berarti data hasil commit to user bangkitan yang ditampilkan dalam Tabel 4.6 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 32 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id 3. Menggunakan Uji Cramer-von Mises (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis ∗ H0 ditolak jika W 2 > 0,126 (d) Statistik uji ∗ Berdasarkan perhitungan diperoleh nilai W 2 =0,129361 (e) Kesimpulan ∗ Karena W 2 = 0, 129361 > 0,126 maka H0 ditolak. Hal ini berarti data yang disajikan dalam Tabel 4.6 yang merupakan hasil bangkitan tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 4. Menggunakan Uji Anderson Darling (a) Hipotesis H0 : data berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis ∗ H0 ditolak jika A2 > 0,787 (d) Statistik uji ∗ Dari perhitungan diperoleh A2 =0,843818 (e) Kesimpulan ∗ Karena A2 = 0, 843818 > 0,787 maka H0 ditolak. Ini berarti data yang dibangkitkan dan yang ditampilkan commit to user dalam Tabel 4.6 tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 33 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Data yang dibangkitkan kedua ketika n = 10 menggunakan uji KolmogorovSmirnov dan Kuiper merupakan data yang berasal dari populasi berdistribusi normal. Sedangkan, jika digunakan uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling maka data tersebut tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Dari dua contoh tersebut, yaitu pembangkitan data dengan n = 10 sebanyak dua kali, tampak bahwa terdapat perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut. Untuk mengatasinya, dilakukan simulasi sampel acak dari distribusi yang tidak normal sebanyak 10.000 kali pengulangan guna memperoleh kepekaan uji masing-masing untuk menolak H0 ketika H0 salah. Karena menghendaki model simulasi yang melibatkan bilangan acak dari distribusi tertentu, maka menggunakan metode simulasi Mote Carlo. 4.3 Simulasi Monte Carlo Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan acak dari distribusi tertentu. Bilangan acak yang dibangkitkan tersebut dipandang sebagai sampel acak. Dalam kasus ini, sampel acak dibangkitkan dari berbagai distribusi yang tidak normal antara lain distribusi eksponensial, chi-kuadrat, gamma, beta, dan uniform. Pembangkitan sampel acak dari masing-masing distribusi tersebut menggunakan ukuran sampel yang bervariasi yaitu 10, 20,...,100. Setiap ukuran sampel dari distribusi tersebut diulang sebanyak 10.000 kali. Selanjutnya, diambil tingkat signifikansi juga sebesar 5% dan dilakukan pengujian kenormalan terhadap sampel acak tersebut untuk masing-masing uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Dengan demikian, dapat diperoleh banyaknya H0 yang ditolak dari 10.000 pengulangan untuk keempat uji tersebut. Simulasi ini dilakukan dengan bantuan software Matlab 7.1. commit to user 34 perpustakaan.uns.ac.id 4.3.1 digilib.uns.ac.id Sampel Berdistribusi Eksponensial Simulasi pertama menggunakan sampel acak dari distribusi eksponensial dengan parameter θ = 7. Banyaknya H0 yang ditolak untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya tampak dalam Tabel 4.7. Persentase menolak H0 dengan bervariasi ukuran sampel dalam Tabel 4.7 dapat juga disajikan sebagaimana tampak dalam Gambar 4.1. Hasil simulasi yang terlihat dalam Gambar 4.1 menunjukkan bahwa semakin besar ukuran sampel, persentase menolak H0 untuk keempat uji tersebut juga semakin besar. Uji Anderson-Darling memiliki persentase menolak H0 yang lebih besar dari uji Kuiper dan Cramer-von Mises. Namun, perbedaan persentase menolak H0 untuk ketiga uji tersebut tidak signifikan sehingga dianggap memiliki kepekaan yang sama. Sedangkan uji Kolmogorov-Smirnov memiliki persentase menolak H0 yang paling kecil diantara ketiga uji tersebut. Uji Kolmogorov-Smirnov memiliki kepekaan yang sama dengan ketiga uji yang lain ketika n = 50 dan hasil tersebut tetap sama untuk ukuran sampel yang semakin besar. Ini artinya jika ukuran sampel semakin besar, maka keempat uji tersebut akan sama kuat dalam menguji kenormalan sehingga dapat memberikan kesimpulan yang sama. 4.3.2 Sampel Berdistribusi Chi-Kuadrat Simulasi kedua ini, sampel acak yang dibangkitkan berasal dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν = 3. Banyaknya H0 yang ditolak untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari simulasi yang telah dilakukan tampak dalam Tabel 4.8. Hasil persentase menolak H0 dengan bervariasi ukuran sampel dalam Tabel 4.8 dapat juga disajikan dalam bentuk grafik persentase menolak H0 sebagaimana tampak pada Gambar 4.2. Pada Gambar 4.2 menunjukkan bahwa hasil simulasi kedua ini hampir sama dengan hasil simulasi yang pertama. Gambar tersebut menunjukcommit to user kan ketika sampel dibangkitkan dari distribusi chi-kuadrat dengan ukuran sampel semakin besar, persentase menolak H0 untuk keempat uji tersebut juga semakin 35 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 4.7. Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi eksponensial n 10 20 30 40 50 Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 3097 30,97 Ku 3754 CV n Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 9862 98,62 37,54 Ku 9980 99,80 3901 39,01 CV 9982 99,82 AD 3888 38,88 AD 9991 99,91 KS 5754 57,54 KS 9958 99,58 Ku 6933 69,33 Ku 9995 99,95 CV 7271 72,71 CV 9996 99,96 AD 7523 75,23 AD 10000 100 KS 7843 78,43 KS 9992 99,92 Ku 8822 88,22 Ku 10000 100 CV 8968 89,68 CV 10000 100 AD 9196 91,96 AD 10000 100 KS 9048 90,48 KS 9994 99,94 Ku 9665 96,65 Ku 10000 100 CV 9686 96,86 CV 10000 100 AD 9812 98,12 AD 10000 100 KS 9635 96,35 KS 10000 100 Ku 9908 99,08 Ku 10000 100 CV 9907 99,07 CV 10000 100 AD 9965 99,65 AD 10000 100 60 70 80 90 100 commit to user 36 perpustakaan.uns.ac.id Gambar 4.1. digilib.uns.ac.id Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi eksponensial dengan parameter θ = 7 untuk n = 10, 20, ..., 100 besar. Persentase menolak H0 untuk uji Anderson-Darling lebih besar dibandingkan dengan uji Cramer-von Mises tetapi selisihnya tidak signifikan sehingga kedua uji tersebut dikatakan memiliki kepekaan yang sama. Ini artinya uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling sama kuat untuk menguji kenormalan dan dapat menghasilkan kesimpulan yang sama pula. Sebaliknya, uji Kolmogorov-Smirnov memiliki persentase menolak H0 yang paling kecil diantara keempat uji tersebut. Uji Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling memiliki kepekaan yang sama pada saat ukuran sampel mendekati 60. Sedangkan, ketika ukuran sampel mendekati 80, uji Kolmogorov-Smirnov dapat dikatakan mempunyai kepekaan yang sama seperti ketiga uji yang lain karena perbedaan persentase menolak H0 untuk keempat uji tersebut tidak signifikan. Ini berarti antara uji Kolmogorovcommit to user Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling mempunyai kekuatan 37 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 4.8. Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi chi-kuadrat n 10 20 30 40 50 Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 2069 20,69 Ku 2365 CV n Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 8931 89,31 23,65 Ku 9514 95,14 2535 25,35 CV 9663 96,63 AD 2511 25,11 AD 9821 98,21 KS 4080 40,80 KS 9421 94,21 Ku 4797 47,97 Ku 9821 98,21 CV 5387 53,87 CV 9881 98,81 AD 5561 55,61 AD 9948 99,48 KS 5903 59,03 KS 9702 97,02 Ku 6773 67,73 Ku 9930 99,30 CV 7375 73,75 CV 9954 99,54 AD 7702 77,02 AD 9981 99,81 KS 7268 72,68 KS 9853 98,53 Ku 8196 81,96 Ku 9973 99,73 CV 8640 86,40 CV 9982 99,82 AD 8983 89,83 AD 9992 99,92 KS 8291 82,91 KS 9917 99,17 Ku 9026 90,26 Ku 9989 99,89 CV 9312 93,12 CV 9993 99,93 AD 9556 95,56 AD 9999 99,99 60 70 80 90 100 commit to user 38 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id yang sama sehingga kesimpulan yang dihasilkan keempat uji tersebut akan sama. Gambar 4.2. Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν = 3 untuk n = 10, 20, ..., 100 4.3.3 Sampel Berdistribusi Gamma Pada simulasi ketiga ini, sampel acak yang digunakan berasal dari distribusi gamma dengan parameter θ = 3 dan κ = 5. Tabel 4.9 menyajikan banyaknya H0 yang ditolak untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya. Hasil simulasi tersebut juga ditunjukkan dengan grafik persentase menolak H0 yang tampak dalam Gambar 4.3. Pada gambar tersebut tampak bahwa hasil simulasi ini memberikan gambaran yang berbeda dengan hasil simulasi yang sebelumnya. Namun, hasil simulasi ini juga menunjukkan bahwa jika ukuran sampelnya semakin besar maka persentase menolak H0 untuk commit to user keempat uji tersebut juga semakin besar. Berdasarkan Gambar 4.3 tampak bahwa jika ukuran sampel sebesar n = 10, 39 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 4.9. Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi gamma n 10 20 30 40 50 Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 1292 12,92 Ku 1335 CV n Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 5868 58,68 13,35 Ku 6093 60,93 1485 14,85 CV 7310 73,10 AD 1411 14,11 AD 7787 77,87 KS 2289 22,89 KS 6795 67,95 Ku 2314 23,14 Ku 7008 70,08 CV 2943 29,43 CV 8181 81,81 AD 2993 29,93 AD 8584 85,84 KS 3259 32,59 KS 7284 72,84 Ku 3260 32,60 Ku 7567 75,67 CV 4222 42,22 CV 8602 86,02 AD 4440 44,40 AD 8990 89,90 KS 4241 42,41 KS 7854 78,54 Ku 4335 43,35 Ku 8220 82,20 CV 5497 54,97 CV 9040 90,40 AD 5854 58,54 AD 9357 93,57 KS 5182 51,82 KS 8274 82,74 Ku 5235 52,35 Ku 8587 85,87 CV 6543 65,43 CV 9323 93,23 AD 6954 69,54 AD 9574 95,74 60 70 80 90 100 commit to user 40 perpustakaan.uns.ac.id Gambar 4.3. digilib.uns.ac.id Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi gamma dengan parameter θ = 3 dan κ = 5 untuk n = 10, 20, ..., 100 kepekaan uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan AndersonDarling dalam menolak H0 ketika H0 salah adalah sama. Ini artinya keempat uji tersebut dapat menghasilkan kesimpulan yang sama dalam menguji kenormalan data. Namun, ketika ukuran sampel semakin besar, uji Kolmogorov-Smirnov dan Kuiper memiliki persentase menolak H0 yang hampir sama dan lebih kecil dari uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling. Hal ini menunjukkan uji KolmogorovSmirnov dan Kuiper memiliki kepekaan yang sama untuk menolak H0 ketika H0 salah. Sebaliknya, uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling mempunyai selisih persentase menolak H0 yang tidak signifikan sehingga kedua uji tersebut dianggap memiliki kepekaan yang sama. Hal ini berarti apabila sampel berasal dari distribusi gamma, baik uji Cramer-von Mises maupun uji Anderson-Darling akan sama kuat dalam menguji kenormalan sehingga keduanya dapat memberikan commit to user kesimpulan yang sama. 41 perpustakaan.uns.ac.id 4.3.4 digilib.uns.ac.id Sampel Berdistribusi Beta Banyaknya H0 ditolak yang dihasilkan dari simulasi sampel acak berdistribusi beta dengan parameter a = 3 dan b = 1 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya tampak pada Tabel 4.10. Hasil simulasi dalam tabel tersebut juga disajikan dalam bentuk grafik sebagaimana tampak dalam Gambar 4.4. Dari Gambar 4.4 secara keseluruhan, uji Anderson-Darling memiliki persentase menolak H0 paling besar daripada ketiga uji yang lain. Namun, pada saat ukuran sampel diambil kecil, dalam hal ini n = 10, keempat uji tersebut mempunyai kepekaan yang sama untuk menolak H0 ketika H0 salah. Tetapi, apabila diambil ukuran sampel besar, yaitu n = 40, maka uji Anderson Darling adalah uji yang paling peka menolak H0 ketika H0 salah. Pada saat ukuran sampel sebesar 70, uji Anderson-Darling, Cramer-von Mises, dan Kuiper memiliki persentase menolak H0 yang hampir sama dan selisihnya tidak signifikan sehingga ketiga uji tersebut dikatakan memiliki kepekaan yang sama dalam menolak H0 ketika H0 salah. Ketika ukuran sampel semakin besar, yaitu n = 100, tampak bahwa uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramervon Mises, dan Anderson-Darling memiliki kepekaan yang sama untuk menolak H0 ketika H0 salah sehingga sama kuat dalam menguji kenormalan dan dapat menghasilkan kesimpulan yang sama pula. 4.3.5 Sampel Berdistribusi Uniform Simulasi kelima ini, sampel acak berasal dari distribusi uniform dengan interval a = −3 dan b =3. Banyaknya H0 yang ditolak dari hasil simulasi kelima ini dengan bervariasi ukuran sampel dan persentasenya tampak dalam Tabel 4.7. Persentase menolak H0 dengan bervariasi ukuran sampel yang tampak dalam Tabel 4.7 untuk masing-masing uji juga disajikan dalam Gambar 4.5. Dari gambar tersebut, ketika ukuran sampel diambil kecil, dalam hal ini n = 10 tampak bahwa uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling commit to user dapat memberikan kesimpulan yang sama. Hal ini karena keempat uji tersebut memiliki perbedaan persentase menolak H0 yang tidak signifikan. Namun ke42 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 4.10. Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi beta n 10 20 30 40 50 Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 1436 14,36 Ku 1697 CV n Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 7400 74,00 16,97 Ku 8741 87,41 1734 17,34 CV 8885 88,85 AD 1656 16,56 AD 9314 93,14 KS 2709 27,09 KS 8243 82,43 Ku 3223 32,23 Ku 9343 93,43 CV 3634 36,34 CV 9400 94,00 AD 3720 37,20 AD 9711 97,11 KS 3991 39,91 KS 8857 88,57 Ku 4934 49,34 Ku 9660 96,60 CV 5442 54,42 CV 9673 96,73 AD 5910 59,10 AD 9861 98,61 KS 5338 53,38 KS 9218 92,18 Ku 6561 65,61 Ku 9834 98,34 CV 6971 69,71 CV 9827 98,27 AD 7552 75,52 AD 9952 99,52 KS 6428 64,28 KS 9572 95,72 Ku 7842 78,42 Ku 9927 99,27 CV 8125 81,25 CV 9914 99,14 AD 8702 87,02 AD 9988 99,88 60 70 80 90 100 commit to user 43 perpustakaan.uns.ac.id Gambar 4.4. digilib.uns.ac.id Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi beta dengan parameter a = 3 dan b = 1 untuk n = 10, 20, ..., 100 commit to user 44 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id tika n = 30, persentase menolak H0 untuk uji Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling memiliki selisih yang tidak signifikan dan lebih besar dari uji Kolmogorov-Smirnov sehingga kepekaan ketiga uji tersebut dikatakan sama. Sebaliknya, uji Kolmogorov-Smirnov yang paling tidak peka menolak H0 ketika H0 salah. Gambar 4.5. Persentase menolak H0 dari sampel berdistribusi uniform dengan parameter interval a = 3 dan b = −3 untuk n = 10, 20, ..., 100 Pada saat ukuran sampel diambil besar, yaitu 100, terlihat bahwa uji Anderson-Darling memiliki persentase menolak H0 yang paling besar diantara keempat uji tersebut sedangkan uji Kolmogrov-Smirnov tetap mempunyai persentase menolak H0 yang paling kecil. Selain itu, tampak bahwa uji Kuiper dan Cramer-von Mises memiliki perbedaan persentase menolak H0 yang tidak signifikan sehingga to user kepekaan kedua uji tersebut sama.commit Dengan demikian, Gambar 4.5 menunjukkan bahwa semakin besar sampel yang diambil, uji Anderson-Darling akan semakin 45 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Tabel 4.11. Banyaknya menolak H0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi uniform n 10 20 30 40 50 Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 603 6,03 Ku 819 CV n Uji Banyaknya Persentase Kenormalan Menolak H0 (%) KS 3233 32,33 8,19 Ku 5028 50,28 674 6,74 CV 5372 53,72 AD 606 6,06 AD 6566 65,66 KS 993 9,93 KS 3894 38,94 Ku 1473 14,73 Ku 5878 58,78 CV 1402 14,02 CV 6328 63,28 AD 1445 14,45 AD 7590 75,90 KS 1406 14,06 KS 4569 45,69 Ku 2266 22,66 Ku 6681 66,81 CV 2252 22,52 CV 7193 71,93 AD 2557 25,57 AD 8380 83,80 KS 1944 19,44 KS 5280 52,80 Ku 3217 32,17 Ku 7319 73,19 CV 3346 33,46 CV 7847 78,47 AD 4004 40,04 AD 8944 89,44 KS 2588 25,88 KS 5854 58,54 Ku 4160 41,60 Ku 7932 79,32 CV 4352 43,52 CV 8345 83,45 AD 5305 53,05 AD 9294 92,94 60 70 80 90 100 commit to user 46 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id peka untuk menolak H0 ketika H0 salah. Hasil simulasi yang terakhir ini memperlihatkan bahwa semakin besar ukuran sampel yang diambil, uji Anderson-Darling akan semakin kuat dalam menguji kenormalan data dibandingkan uji Cramer-von Mises. Dari kelima simulasi yang telah dilakukan, diperoleh urutan kepekaan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris dari yang paling peka secara berturut-turut adalah uji Anderson-Darling, Cramer-von Mises, Kuiper, dan Kolmogorov-Smirnov. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa uji AndersonDarling yang paling peka menolak H0 ketika H0 salah. Ini artinya uji Andersondarling kuat dalam menguji kenormalan data. Sebaliknya, uji Kolmogorov-Smirnov memiliki kepekaan terendah untuk menolak H0 ketika H0 salah sehingga uji ini lemah dalam menguji kenormalan data. commit to user 47 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id Bab V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, urutan kepekaan dari yang tertinggi untuk uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris secara berturutturut adalah uji Anderson-Darling, Cramer-von Mises, Kuiper, dan KolmogorovSmirnov. Ini berarti uji Anderson-Darling paling peka dalam mendeteksi ketidaknormalan. Sebaliknya, uji Kolmogorov-Smirnov merupakan uji yang paling lemah dalam menguji kenormalan data. 5.2 Saran Skripsi ini hanya membahas mengenai perbandingan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris. Bagi pembaca yang tertarik, dapat membahas mengenai perbandingan uji kenormalan pada kategori lainnya yaitu uji berdasarkan korelasi atau kategori teknik momen rasio. commit to user 48