simulasi berarti rekayasa suatu model ilmiah untuk

17
BAB II
TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pendahuluan
Menurut Darnius, O (2006, Hal:53) simulasi berarti rekayasa suatu model ilmiah
untuk melihat kebenaran atau kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk
mensimulasikan data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan
peniliti untuk membuat pertanyaan dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara
yang singkat. Simulasi merupakan suatu yang sangat perlu dimiliki.
Menurut Nailor (1966) dalam
rubinstein dan Melamed (1998). Simulasi
merupakan teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, melibatkan
ilmu matematik dan model tertentu yang mnenjelaskan prilaku bisnis atau ekonomi
pada suatu periode waktu tertentu.
Menurut Borowski dan Borwein (1989) simulasi diartikan sebagai teknik
untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, untuk
Universitas Sumatera Utara
18
menduga
seca
karakteristik
atau
menyelesaikan
masalah berkaitan dengan
menggunakan model yang diajukan.
Menurut Banks (1998). Simulasi merupakan tiruan dari proses dunia nyata
atau system. Simulasi menyangkut pembakitan proses serta pengamatan dari proses
untuk menarik kesimpulan dari system yang diwakili.
Sebagaimana yang telah diketahui, bahwa R merupakan bahasa pemrograman
komputer yang dapat membangkitkan bilangan acak dengan banyak fungsi dan
memiliki kemampuan dalam membuat grafik. Untuk setiap bilangan acak tersebut kita
dapat melihat distribusinya dengan adanya histogram dan grafik yang dapat dibuat
melalui program ini. Dalam hal ini akan dibahas mengenai peubah acak yang akan
kita distribusikan dan kita teliti.
2.2 Distibusi Binomial
2.2.1 Defenisi Distribusi Binomial
Dalam teori
probabilitas dan statistika, distribusi
binomial adalah
distribusi
probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal)
yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen
berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial
adalah distribusi
bernoulli.
Distribusi
binomial
merupakan
dasar
dari uji
binomial dalam uji signifikansi statistik.
Universitas Sumatera Utara
19
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada
jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni
pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi
hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besarN daripada n, distribusi binomial
merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.
Adapun percobaan Bernoulli adalah suatu percobaan dengan ciri-ciri sebagai
berikut :
1. Eksperimen berlangsung sebanyak n kali. Tiap eksperimen berlangsung dalam cara
dan kondisi yang sama(dengan pengembalian)
2. Untuk setiap eksperimen hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Dua
kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian SUKSES dan GAGAL. Probabilitas
sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan
dengan q, dimana p+q=1.
3. Probabilitas sukses dari satu eksperimen yang lain adalah konstan.
Dari proses tersebut, yang merupakan variable adalah munculnya kejadian
sukses yang biasa dilambangkan dengan x. Jadi, bila suatu usaha binomial dapat
menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1- p, maka
distribusi peluang peubah acak binomial x, yaitu banyaknya sukses dalam n percobaan
bebas adalah :
𝑛
𝑏 (𝑥; 𝑛, 𝑝) = � � 𝑝𝑥 𝑞 𝑛−𝑥
𝑥
Universitas Sumatera Utara
20
Dimana :
x = Munculnya sukses yang ingin dihitung
n = Jumlah eksperimen
p = Probabilitas sukses dalam setiap eksperimen
q = Probabilitas gagal dalam setiap eksperimen = 1- p
n-x = Jumlah gagal dalam n eksperimen
2.3Distribusi Normal
2.3.1 Pengertian Distribusi Normal
Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang
paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.Distribusi normal
baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu.
Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan
probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.
Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupunilmu
sosial.
Beragam
skor
pengujian psikologi dan
fenomena fisika seperti
jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal.
Distribusi
normal
banyak
digunakan
dalam
berbagai
bidangstatistika,
misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi
populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak
Universitas Sumatera Utara
21
digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian
hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.
Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak X dengan rata-rata (µ) dan standar
deviasi (𝜎). Distribusi normal dapat ditulis dengan distribusi normal dapat ditulis
dengan rumus :
𝑛(𝑥; 𝜇; 𝜎) =
1
√2𝜋𝜎 2
1
𝑒 −2
[(𝑥−𝜇)/𝜎]2
Dimana :
x = Nilai dari distribusi variable
𝜇 = Mean dari nilai-nilai distribusi variable
𝜎 = Standard deviasi dari nilai-nilai distribusi variable
𝜋 = 3,14159
e = 2,71828
Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah :
1. Kurva berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak ditengah.
2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata
hitungnya 𝜇. Apabila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah rata-
rata sebagai pusat lipatan , maka kurva akan menjadi dua bagian yang sama.
3. Distribusi probabilitas dan kurva normal akan bersifat asimptotis. Kurva yang
menurun di kedua arah yaitu ke kanan untuk nilai positif tak terhingga (∞) dan
kekiri untik negatik tak hingga (∞). Dengan demikian ekor kedua kurva tidak
pernah menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol.
Universitas Sumatera Utara
22
4. Modusnya (Md) pada sumbu mendatar fungsi mencapai puncaknya atau
maksimum pada X = 𝜇
5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.
2.3.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Normal
Bila n percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independent dari suatu
percobaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi normal-binomial
dapat pula kita gunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap berbagai
macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi.
Dengan demikian besarnya jumlah percobaan pada distribusi binomial maka
perhitungan peluang dengan
menggunakan distribusi binomial semakin kurang
efektif, karena jumlah kombinasi peristiwa yang diharapkan sangatlah kurang banyak.
Untuk menghindari kekurang efektifan dari distribusi binomial ini, maka distribusi
tersebut dapat di dekati dengan distribusi normal. Secara umum dapat disimpulkan
bahwa pendekatan distribusi binomial dapat dilakukan dengan distribusinormal karena
secara teoritis bahwa distribusi binomial akan mendekati normal untuk n besar p
moderate (tidak besar dan tidak kecil).
Universitas Sumatera Utara
23
2.4 Distribusi Hipergeometrik
2.4.1 Defenisi Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Hipergeometrik adalah merupakan distribusi dimana pengembalian atau
penarikan
sampelnya
tanpa
adanya
pengembalian.
Penggunaan
distribusi
hipergeometrik ini terdapat pada berbagai bidang dan paling banyak pada penerimaan
sampel atau suatu hasil produksi, pengujian barang-barang elektronik dan
pengendalian mutu.
Bila pengujian dilakukan terhadap barang, maka secara umum barang cacat
atau rusak. Oleh karena itu, barang tidak dapat dikembalikan pada populasinya. Inilah
alasaan mengapa pengambilan sampelnya dilakukakan tanpa pengembalian. Kegiatankegiatan seperti ini disebut percobaan hipergeometrik. Agar lebih mudah lagi dapat
dijelaskan sebagai berikut: Misalnya ada N benda yang terdiri dari k benda yang
diberi nama sukses dari N-k yang akan diberi nama gagal. Ingin diketahui probabilitas
memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N-K yang
tersedia, bila variable acak ukuran n diambil dari N benda. Dari uraian ini dapat kita
ketahui bahwa percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat yaitu :
1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya n-k diberi nama
gagal.
Universitas Sumatera Utara
24
Jumlah sukses x dalam percobaan hipergeometrik disebut variable acak
hipergeometrik x ialah jumlah sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil
dari N benda yang memuat k bernama sukses dan N-k bernama gagal. Maka distribusi
hipergeometrik tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut:
ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑘) =
�𝑘𝑥 ��𝑁−𝑘
�
𝑛−𝑘
�𝑁
�
𝑛
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛
dimana x ≤ k dan n – x ≤ N - k
Keterangan :
N = Ukuran Populasi
k = Sifat tertentu dari populasi
n = Ukuran sampel
x = Jumlah sifat k dalam n
2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik
Dalam kasus distribusi hipergeometrik kita dapa menggunakan pendekatan binomial
pada permasalahannya apabila keadaan tersebut adalah sebagai berikut :
1. Bila besar sampelnya (n) ≥ 1
2. Sampelnya (n) relative kecil bila dibandingkan dengan jumlah populasinya (N),
yaitu n < 0,05N. Bila n lebih kecil disbandingkan dengan N maka peluang tiap
penarikan hanya berubah sedikit. Jadi distribusi hipergeometrik dapat di dekati
Universitas Sumatera Utara
25
dengan distribusi binomial dengan p =
dekati seperti pada penjelasan berikut :
𝑘
𝑛
sehingga rata-rata dan varian dapat di
a. Binomial
• Rata-rata (𝜇) = np
• Varian (𝜎 2 ) = npq
• Simpangan baku (𝜎)
b. Hipergeometrik
• Rata-rata (𝜇) =
𝑛𝑘
𝑁
𝑘
𝑘
• Varian (𝜎 2 ) = 𝑛 (1 − )
𝑁
𝑁
𝑘
𝑘
• Simpangan baku (𝜎) = �𝑛 �1 − �
𝑁
𝑁
Bila kedua ruas dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama antara binomial
dan hipergeometrik sedangkan variannya berbeda sebesar factor koreksi
𝑁−𝑛
𝑁−1
Dalam kenyataannya, konsep pendekatan ini sangat berguna karena tiga hal.
Pertama, kasus yang sering terjadi dalam dunia nyata adalah kasus Hipergeometrik,
yaitu sampel tidak lagi dikembalikan. Kedua, Distribusi Hipergeometrik tidak
mempunyai table, sehingga kita akan mengalami kesulitan karena terpaksa harus
selalu menghitung dengan rumus hipergeometrik. Ketiga, kebanyakan sampel tidak
terbatas sehingga kriteria n<0,05 N terpenuhi.
Universitas Sumatera Utara