op = op`2 pp` ab pb pa + = 3.3.persamaan umum

Bab III : Lingkaran|
30
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama
itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran
3.1. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI O(0,0)
P(x,y) searah pada 
Sb. Y
OP 2 = OP' 2 + PP' 2
P(x,y)
x2 + y2 = r2
y
Persamaan
Lngkaran yang
berpusat di O
r
Sb. X
x
O
Contoh :
Persamaan lingkaran yang berpusat O
(0, 0) dan jari jari 5 adalah x2 + y2 =
25
3.2. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI (a,b)
Sb. Y
PA2  PB 2  AB 2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
P(x,y)
y
r
b
M(a,b)
Persamaan Lingkaran yang
berpusat di (a,b)
Sb. X
a
x
3.3.PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0
Persamaan umum lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Karena :
A = - 2a  a = 
1
A
2
B = - 2b  b = 
1
B
2
C = a2 + b2 – r2  r2 = a2 + b2 – C
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
31 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Koordinat titik Pusat Lingkaran
dengan persamaan
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Maka :
Pusat lingkaran P (  1 A ,  1 B )
2
2
Jari-jari lingkaran r =
a2  b2  C
2
r=
r=
2
 1   1 
  A    B   C
 2   2 
1 2 1 2
A  B C
4
4
Jarr-jari Lingkaran dengan
persamaan
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Beberapa kemungkinan untuk jari-jari r :
1.
Jika
1 2 1 2
A  B  C > 0, maka lingkaran itu real
4
4
2.
Jika
1 2 1 2
A  B  C = 0, maka lingkaran itu berupa titik
4
4
3.
Jika
1 2 1 2
A  B  C < 0, maka lingkaran itu imajiner. artinya pusatnya ada dan nyata, tetapi
4
4
lingkaran itu hayal karena r2 negatif sehingga tidak ada titik real
Peninjauan persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 :
1. Jika A = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + By + C = 0, sehingga pusat lingkaran
terletak pada sumbu Y atau P (0, - ½ B)
2. Jika B = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + Ax + C = 0, sehingga pusat lingkaran
terletak pada sumbu X atau P (- ½ A, 0)
3. Jika C = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + Ax + By = 0, sehingga lingkaran melalui
(0, 0)
Contoh 7:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dengan r = 10 !
Penyelesaian :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2, pusat (1,2), r = 10
 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 102
x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 100
x2 + y2 – 2x – 4y – 5 – 100 = 0
 Persamaan lingkaran  x2 + y2 – 2x – 4y – 5 – 100 = 0
Bab III : Lingkaran|
3.4.PERSAMAAN PARAMETER LINGKARAN
1.
Persamaan parameter lingkaran x2 + y2 = r2
 = sudut yang dibetuk terhadap sumbu x
Sb. Y
OP = r = jari-jari lingkaran x2 + y2 = r2
x
 cos   x = r cos 
r
P(-x,y)
y
 sin   y = r sin 
r
r
y
P1

-x
Sb. X
 x = r cos 
Persamaan Parameter
2
2
2
lingkaran x + y = r
y = r sin 
2.
Persamaan Parameter Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Sb. Y
PR = x – a
QR = y – b
Q(x,y)
y

y – b = r sin
r sin θ
T

 x = a + r cos 
r cos 
P(a,b)
x – a = r cos 
y = b + r sin
Sb. X
x

Persamaan Parameter lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
3.5.HUBUNGAN GARIS DAN LINGKARAN
D<0
Kedudukan sebah garis lingkaran ada 3
D>0
kemungkinan :
D=0
0
1.
Memotong, D > 0
2.
Menyinggung, D = 0
3.
Tidak memotong, D < 0
Persamaan umum garis lurus : y = mx + n .......................(i)
Persamaan Lingkaran : x2 + y2 = r2 ................................(ii)
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
32
33 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Subs. (ii)  (i)
x2 + (mx + n) 2
= r2
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 - r2
2
2
2
=0
2
(1 + m ) x +2mnx + (n - r ) = 0
Sehingga : D = (2mn)2 - 4 (1 + m) (n - r2)
Syarat :
D = 0, garis menyinggung lingkaran
D > 0, garis memotong lingkaran
D < 0, garis tidak memotong lingkaran
3.6.PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
1.
Persamaan Garis Singgung P(x1,y1) pada Lingkaran dengan Pusat O (x2 + y2 = r)
Sb. Y
Misal : garis g menyinggung  di titik P(x1,y1)
OP  g
P(x1y1)
syarat mOP
mOP = tg

mOP = 
y1
x1
g
mOP  mg  1
mg = -
y1
x1
y1
Sb. X
y – y1 = mg ( x – x1 )
x1
g
y – y1 = 
x1
(x – x1 )
y1
Persamaan garis singgung di
yy1 – y12 = – xx1 + x12
titik P(x1, y1) dengan pusat O
xx1 + yy1 = x12 + y12
xx1 + yy1 = r2
Persamaan Garis Singgung di P(x1, y1) pada  Berpusat (a, b)
Misalkan g menyinggung  di titik P(x, y)
Sb. Y
OP  g
mOP =
P(x1,y1)
y1 - b
2.
y1
a
(a,b)
x1 - a
y1  b
x1  a
mOP  g
Sb. X
mOP  mg  1
b
mg =
x1
x1  a
y1  b
Bab III : Lingkaran|
y – y1 =
x1  a
(x –x1)
y1  b
(y – y1) (y1 - b) = (x1 – a) (x – x1) dengan menguraikan sendiri akan diperoleh
xx1 – ax + ax1 + a2 + yy1 – by – by1 + b2 = x12 - 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2
( x - a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = (x1 – a)2 + (y1 – b)2
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
Persamaan garis singgung di P(x1, y1)
pada  (x –a)2 + (y - b)2 = r2
Analog :
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
 x1x + y1y + 12 A(x + x1) + 12 B(y + y1) + C = 0
3.
Persamaan Gari Singgung dengan Gradien m
Misal : persamaan garis singgung dengan gradien m
Sb. Y
y = mx + n ……………….….(1)
x2 + y2 = r2 ……………….….(2)
x2 + y2 = r2
x2 + (mx + n)2 = r2
Sb. X
x2 +m2x2 +2mnx + n2 = r2
(1+ m2)x2 + 2mnx + ( n2 – r2) = 0 ….….(3)
syarat menyinggung D = 0
b2 – 4ac = 0
(2mn)2 – 4 (1 + m2) . (n2 – r2) = 0
4m2n2 – 4 (n2 – r2 + m2n2 – m2r2) = 0
2m2n2 – 4n2 + 4r2 – 4m2n2 + 4m2n2 = 0
-4n2 + 4r2 + 4m2r2 = 0
:4
2
- n + r2 + m2n2 = 0
n2 = r2 + m2r2
n2 = r2 (1 + m2)
n= 
Sehingga :
r 2 .(1  m 2 )  m =  r
y = mx  r (1  m 2 )
(1  m 2 )
Persamaan garis singgung pada
lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m
Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran(x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah
y – b = m (x – a)  r
By : Turmudi
(1  m 2 )
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
34
35 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Contoh 8 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang
a)
Ber-absis – 4
b) Ber-ordinat 4
Penyelesaian :
a)
Ber-absis – 4
x = – 4 memenuhi x2 + y2 = 25
 (– 4)2 + y2 = 25
16 + y2 = 25
y=  9
y= 3
 Persamaan garis singgung pada  x2 + y2 = 25 adalah xx1 + yy1 = r2 yaitu,
  4 x  3 y  25 dan  4 x  3 y  25
b) Ber-ordinat 4
y = 4 memenuhi x2 + y2 = 25
 x2 + (4)2 = 25
x2 + 16 = 25
x2 = 9
x= 3
 Persamaan garis singgung pada  x2 + y2 = 25 adalah xx1 + yy1 = r2 yaitu,
  3x  4 y  25 dan  3x  4 y  25
3.7. PERSAMAAN GARIS KUTUB (GARIS POLAR)
Jika titik P(xo , yo) di luar lingkaran x2 + y2 = 0 , maka dapat ditarik dua garis singgung
melalui titik- titik S1 (x1 , y1) dan S2 (x2 , y2)
Kedua persamaan garis singgung itu adalah
S2
S1
S PS 1 : x1x + y1y = r2
S PS 1 : x2x +y2y = r2
karena kedua garis singgung tersebut melalui titik P(x0, y0)
maka berlaku bahwa
O
S PS 1 : x1x0 +y1y0 = r2 dan
S PS 2 : x2x0 + y2y0 = r2
Dari dua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik S1 dan S2 memenuhi
persamaan :
x0x + y0y = r2
Dan berarti juga bahwa persamaan garis itu melalui titik singgung S1 dan S2, hal itu biasa disebut tali
busur singgung dari titik P.
Bab III : Lingkaran|
36
Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknya sama dengan persamaan garis
singgung, jika titik P sebagai titik singgungnya. Tanpa memperhatikan letak titik P, di dalam, di luar,
atau pada lingkaran, maka persamaan x0x+ y0y = r2 dinamakan persamaan garis kutub di P(x0, y0)
terhadap lingkaran x2 + y2 =r2
Analog (dengan cara yang mirip / sama), maka kita dapat menentukan persamaan garis kutub (garis
polar) titik P(x0 ,y0) terhadap lingkaran (x – a)2 (y – b)2 = r2
Yaitu : (x0 – a) ( x - a) + (y0 – b) (y – b) = r2
Sedangkan persamaan garis kutub di titik P(x0, y0) terhadap lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
1
x0x + y0y + 1 A(x + x0) + B(y + y0) + C = 0
2
2
yaitu:
Dari penyelesaian dengan menggunakan rumus-rumus di atas, dapat disimpulkan bahwa :
1.
Jika titik P diluar , maka garis kutubnya berupa tali busur singgung
2.
Jika titik P pada , maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran
3.
Jika titik P dalam , maka garis kutubnya tidak memotong
Contoh 9 :
2
2
1) Buatlah persamaan garis singgung dari titik (–1,–3) pada lingkaran x  y  4 x  8 y  20 !
Penyelesaian:
2
2
Dari  x  y  4 x  8 y  20 , diperoleh pusatnya
1   1
1
 1

  A, B     4, (8) 
2   2
2
 2

 (2,4) dan
Jari-jari  :l r =
=
1
4
1
4
A 2  14 B 2  C
16  14 64  20  40
Kita periksa dulu apakah titik (–1,–3) di luar, di dalam, atau pada lingkaran
2
12   3  4 1  8 3  20
 1  9  4  24  20  10  0 , berarti titik (–1,–3) diluar lingkaran, ini berakibat ada dua garis
singgung yang dapat ditaksir dari titik (–1,–3) segingga menyinggung lingkaran tersebut.
Persamaan garis kutub dari titik (–1,–3)
 ( x  2)(1  2)  ( y  4)(3  4)  40
(x – 2) 1 + (y – 4) (-7) = 40
x + 2 – 7y + 28 – 40 = 0
x – 7y – 10 = 0 atau x = 7y + 10
x = 7y + 10 memotong pada lingkaran x 2  y 2  4 x  8 y  20
7 y  10 2  y 2  4(7 y  10)  8 y  20  0
y2 + 49y2 + 140y + 100 + 28y + 40 – 8y – 20 = 0
50y2 + 160y + 120 = 0
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
37 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
5y2 + 16y + 12 = 0
(5y + 6) (y + 2) = 0
y= 
untuk y = 
6
atau y = – 2
5
6
 x = 7y + 10
5
 6
 + 10
 5
= 7
= 
=
42
+ 10
5
8 6
  S1  ,  
5 5
8
5
Untuk y = – 2  x = 7y + 10
= 7 (-2) + 10
= -14 + 10
= -4
  S2  4,2 
 8 , 6  adalah
 
5 5
Jadi persamaan garis singgung yang melalui S1 
 (x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r2
8

 6

  x  2  2    y  4   4   40
5
5





18
36 26
104
x

y
 40  0
5
5
5
5

19x – 26y + 36 + 104 – 200 = 0
9x – 13y – 30 = 0
Persamaan garis singgung yang melalui S2  4,2 
 (x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r2

(x + 2) (- 4 + 2) + (y – 4) (-2 – 4) = 40

(x + 2) (-2) + (y – 4) (-6) = 40
- 2x – 4 – 6y + 24 – 40 = 0
- 2x – 6y – 20 = 0
x + 3y + 10 = 0
x (-1/2)
Bab III : Lingkaran|
38
2) Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang melalui titik (5,1) !
Penyelesaian :
Kita periksa dulu apakah titik (5,1) di luar, di dalam atau pada lingkaran
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
 52 + 12 – 4 (5) + 6 (1) – 12 = 25 + 1 – 20 + 6 – 12
= 0, berarti titik (5,1) pada 
Jadi, garis kutub = garis singgung lingkaran itu sendiri, yaitu ;
x1x + y1y +
5x + y +
1
1
A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0
2
2
1
1
(-4)(x+5) + (6) (y +1) – 12 = 0
2
2
 5x – 2x + y + 3y - 10 + 3 – 12 = 0
3x + 4y – 19 = 0
3) Tentukan persamaan garis kutub titik P(–1,3) terhadap lingkaran
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 selidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memotong
!
Penyelesaian:
Persamaan garis kutubnya :
x0 x  y 0 y 
1
1
A x  x0   B y  y 0   C  0
2
2
1
1
 1x  3 y  (2)( x  1)  (6)( y  3)  20  0
2
2
 1x  (1) x  3 y (3 y )  1  9  20  0
 2 x  28  0
x  14  0
Untuk menyelidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memoyong , cukup
dengan
P(–1,3),
2
2
2
  1  3  2 1  6(3)  20
 1  9  2  18  20  26  0
 Titik P(–1,3)  di dalam lingkaran, berati garis kutub tidak memotong lingkaran itu
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
39 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
4) Jika diketahui garis kutubnya terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y + 5 = 0 adalah x  2 y  12  0 .
Tentukan titik kutubnya!
Penyelesaian :
Misalkan titik kutubnya  x1 , y1  , maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalah :
x1 x  y1 y 
1
1
A x  x1   B y  y1   C  0
2
2
x1 x  y1 y   2 x  x1   3 y  y1   5  0
x,2x   y1  3y  2 x1  3 y1  5  0
Garis yang diperoleh ini berhimpit dengan garis x  2 y  12  0 , sehingga
x1 y1  3  2 x1  3 y1  5


atau
1
2
12
2 x1  4  y1  3

12 x1  24  2 x1  3 y1  5
2 x1  y1  7
 3 6 x1  3 y1  21
14 x1  3 y1  29  1 12 x1  3 y1  29
8 x1  8  x1  1
2 x1  y1  7  2(1)  y1  7
y1  5
 Titik kutub yang di cari adalah (1,5)
* KUASA DAN PANJANG GARIS SINGGUNG
Harga hasil kali yang tetap disebut kuasa titik P
Sb. Y
terhadap  M,
2
AA
B2
B1
PP(x1,y1)
C1
C2
2
Yaitu : PA = PM – AM
M(a,b)
D1
O
2
= (x1 – a)2 + (y1 – b )2 – r2
PA 2 = K
 K = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2
Sb. Y
D2
K , atau jika persamaan lingkarannya x2 + y2 +Ax + By + C = 0, maka kuasa titik
Jadi panjang PA =
P(x1, y1) terhadap  itu adalah hasil yang tetap yaitu ;
2
PA = PC1 . PC 2


= PM  r ) PM  r )
Bab III : Lingkaran|
40
2
= PM - r2
= (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2
Ingat : a = -
b=-
1
A
2
r2 =
1
B
2
2
PA  K = (x1 +
1 2 1 2
A + B –C
4
4
Jari-Jari Lingkaran dengan persamaan
2
2
lingkaran x + y +Ax + By + C = 0
1 2
1
A) + (y1 + B)2 – r2
2
2
= x12 + y12 + Ax1 + By1 + C
Jadi kuasa titik P(x1, y1) pada  x2 + y2 +Ax + By + C = 0
adalah x12 + y12 + Ax1 + By1 + C dan panjang garis singgungnya PA =
K
Catatan :
1. Jika titik P di luar lingkaran, maka harga K positif (K > 0)
2. Jika titik P pada lingkaran, maka K = 0
3. Jika P di dalam lingkaran, maka K < 0 (K negatif)
Contoh 10 :
1) Tentukan garis kuasa dan panjang dari titik P(2,1) pada lingkaran:
x2 + y2 – 2x + 4y + 1= 0
penyelesaian
K = x2 + y2 – 2x + 4y + 1
= 22 + 12 – 2 (2) + 4 (1)+ 1
= 5 – 4 +5
=6
Panjangnya P =
6
2) Tentukan kuasa dan panjangnya dari titik A(–1,4) pada lingkaran yang berpusat (2,–1) dan jari-jari 5!
Penyelesaian
Kuasa titik P(–1,4) terhadap 
x  22   y  12  5 2
2
adalah
2
K =  x  2   y  1  25
2
2
=  1  2   4  1  25
= 9 + 25 – 25
=9
 panjangnya = 3
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
41 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
* GARIS KUASA
Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik yang berkuasa sama terhadap dua lingkaran. Dengan
demikian ada beberapa kemungkinan :
1.
Jika kedua lingkaran itu berpotongan, maka garis kuasanya ialah garis yang melalui kedua
titik potong lingkaran itu
MN = garis sentral

K
K
A
= garis kuasa terhadap  M dan  N
MN selalu  terhadap garis kuasa K
M
N
K
Definisi :
a)
Sudut antara dua lingkaran yang di apit oleh garis-garis pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua
lingkaran itu. Jika
  90 atau kedua lingkaran saling  , maka berlaku  MNA siku-siku di A,
2
sehingga MN = rM 2 + rN 2
b) Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lain sedemikian hingga menjadi dua busur yang sama,  M
2
2
2
membagi dua  N, maka  MNA siku-siku di N, sehingga berlaku MN = rM - rN
45
A
o
M
N
K
2.
Jika lingkaran itu bersinggungan maka garis kuasanya adalah garis singgung persekutuan
antara dua lingkaran itu.
a)
MN = RM + RN
K
MN = Garis sentral
N
R
r
M
Garis kuasa M dan N adalah garis singgung
persekutuan dua lingkaran M dan lingkaran N
Bab III : Lingkaran|
b)
K
MN = RM - rN
Nr
M
MN = Garis sentral
R
Contoh 11
1
2
2
Tentukan nilai K, agar  x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0 membagi dua sama besar  x  ( y  1)  4!
Penyelesaian :
 x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0, berpusat di M(2,-3) dengan rM  13  k
2
2
 x (y1) 4, berpusat di N(0,1), dengan jari-jari rN = 2
Sehingga berlaku MN
(2 – 0)2 + (– 3 – 1) 2 =
2
2
 rM  rN
 13  k 
2
2
- 22
4 + 16 = 13 + k – 4
K = - 13 + 4 + 20
= 11
2.
Tentukanlah nilai K agar  x2 + y2 – 2x + 4y – k = 0 agar saling tegak lurus dengan 
x  2 2  y 2  9 dan tentukan pula persamaan garis kedua lingkaran itu !
Penyelesaian :
x2 + y2 – 2x + 4y – k = 0, berpusat di M(1,–2)  rm 
5 K
x  2 2  y 2  9 , berpuast di N(2,0), r = 3
Karena
2
  90 0 atau kedua  itu saling  , maka MN  rM 2  rN 2
(1  2) 2  (2  0) 2 

5 K

2
 32
1+4=5+K+9
K = 5 – 14
= –9
Persamaan garis sentral MN 
y  y1
x  x2

y 2  y1 x1  x1
 y  2x  4
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
42
43 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
3.8. PERSAMAAN GARIS KUASA
Ambil persamaan M  x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0
N  x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0
misal P(x1, y1) pada garis kuasa, kuasa P terhadap :
Lingkaran M  k1  x12 + y12 + A1x1 + B1y1 + C1
Lingkaran N  k2  x22 + y22 + A2x2 + B2y2 + C2
 P pada garis kuasa (berkuasa sama pada lingkaran M dan N)
K1 = K2
K1 – K2 = 0
x12
2
2
+ A1x1 + B1y1 + C1 – x2 + y2 + A2x2 + B2y2 + C2 = 0
(A1 – A2)x1 + (B1 – B2)y1 + (C1 – C2) = 0 atau
(A2 - A1)x + (B2 – B1)y + (C2 – C1) = 0
Secara simbolik lingkaran M kita misalkan L1 = 0, lingkaran N misalkan L2 = 0, maka persamaan garis
kuasa itu : L1 – L2 = 0
Sifat garis kuasa : Garis kuasa tegak lurus terhadap sentral dari dua lingkaran itu.
Contoh 12
Tentukan garis kuasa kedua lingkaran x2 + y2 = 25 dan x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0
Penyelesaian:
L1 – L2 = 0  L1 = L2
x2 + y2 – 25 = x2 + y2 – 6x – 8y – 11
6x + 8y – 14 = 0
3x + 4y – 7 = 0
TITIK KUASA
Titik kuasa adalah titik yang berkuasa sama besar terhadap 3 buah lingkaran, jadi titik kuasa dari 3
buah lingkaran adalah titik potong dari garis-garis kuasa pada pasang-pasangan lingkaran itu.
Cara melukis garis kuasa antara dua lingkaran yang terletak diluar sesamanya :

k1
Ambil sembarang lingkaran P memotong
lingkaran M dititik A dan B dan
memotong lingkaran N dititik C dan D

Tarik garis K1 = lingkaran M dan
lingkaran P
B
D

M
P
N
P
A
k2
Tarik garis K3 = lingkaran N dan lingkaran
K2 dan K3 berpotongsn dititik K( yaitu titik
C
kuasa ) yang berarti titik K terletak pada garis kuasa
k3
lingkaran M dan N. Garis K1 yang melalui K dan tegak
lurus MN adalah garis kuasa lingkaran N.
Bab III : Lingkaran|
44
3.9.BERKAS LINGKARAN
Seperti halnya garis :
g1 +
 g2 = 0
 berkas lingkaran berlaku demikian,
Misal : L1  x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 …..........................................(i)
L2  x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 .…......................................(ii)
Misal kita ambil sembarang harga
 L1 +  L2 = 0
x2 + y2 + A1x + B1y + C1+
 ( x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0
L3 = (1 + )x2 + (A1 + A2) x + (B1 + B2)y + C1 + C2 = 0
x2 + y2 +
L3
A1  A2
B  B2
C  C2
x 1
y 1
 0 ………..(iii)
1 
1 
1 
 x2 + y2 + A3x + B3y + C3 = 0 …….....………....……….........…(iv)
Pada persamaan (iii) setiap harga diperoleh satu harga yang dapat dimisalkan A3, B3, C3 sehingga
diperoleh persamaan (iv). Persamaan (iv) merupakan hasil perpotongan antara L1 (A) = 0, L2(A) = 0 atau
L1(B) = 0, L2(B) = 0. Dengan kata lain, semua lingkaran yang diperoleh bersama-bersama dengan L1 = 0
dan L2 = 0 membentuk berkas lingkaran dengan rumus :
L1 + L2 = 0
Catatan :
Kemungkinan-kemungkinan untuk titik-titik dasar :
1.
Jika titik dasar itu nyata maka semua anggota berkas berpotongan di titik itu. Anggota-berkas
yang terkecil adalah lingkaran yang berdiameter garis hubung kedua titik dasar.
2.
Jika kedua titik dasar berimpit tentulah semua anggota dari berkas juga melalui dua titik yang
berimpit itu dengan kata lain semua anggota berkas yang bersinggung di titik dasar berimpit itu
3.
Jika titik dasarnya khayal (lingkaran L1 dan L2 tidak bersinggungan) tentu semua anggota berkas
itu tidak berpotongan.
Sifat berkas lingkaran : Semua anggota berkas selalu melalui titik dasar membentuk pusat dari anggotaanggota berkas terletak pada sentral.
Contoh 13 :
Tentukan persamaan sebuah berkas lingkaran dengan L1
L2
 x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan
 x2 + y2 – 16 = 0, yang melalui titik (3,1) !
Penyelesaian :
x2 + y2 +
By : Turmudi
A1  A2
B  B2
C  C2
x 1
y 1
0
1 
1 
1 
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
45 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
x2 + y2 +
20
40
(4  16)
x
y
0
1 
1 
1 
x2 + y2 
2
4
(4  16)
x
y
0
1 
1 
1 
Karena melalui (3,1), maka :
(3)2 + (2)2 
2
4
(4  16)
3
1
0
1 
1 
1 
10  + 10 – 6 + 4 – (4 + 16) = 0
10  - 14 – 16 = 0
10  - 12 = 0
L3
6
12
44
 x2 + y2  x +
y 
=0
5
5
5
L3
 5x2 + 5y2  6 x + 12 y  44 = 0

12
10

6
5
Bab III : Lingkaran|
46
3.10. LATIHAN III
1.
Tentukan persamaan lingkaran yang memenuhi syarat berikut :
a)
Berpusat di titik A(-2,3) dan jari-jari 2 !
b) Melalui titik-titik P(1,3) dan Q(3,1) dan berpusat pada garis 3x – y = 2 !
2.
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 !
3.
Tentukan persamaan lingkaran melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, dengan
a)
A(4,5), B(1,-4), dan C(3,-2) !
b) A(1,1), B(2,0), dan C(1,-1) !
4.
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di M(1,6) mempunyai persamaan garis singgung x - y = 1!
5.
Tentukan harga m agar garis y = mx dan lingkaran x2 + y2 – 10x + 16 = 0
a)
Berpotongan di dua titik
b) Bersinggungan
c)
6.
Tidak berpotongan
Tentukan :
Kuasa titik A(1,3) terhadap lingkaran x2 + y2 – x = 0 !
a)
b) Letak titik A(1,3) terhadap lingkaran x2 + y2 = x !
7.
Tentukan sudut antara dua lingkaran x2 + y2 – 6x – 2y + 2 = 0 dan
x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0 !
8.
Tentukan persamaan sebuah garis yang melalui perpotongan lingkaran
L1
 x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0, dan
L2
 x2 + y2 - 4x – 2y - 11 = 0 serta :
a)
Melalui titik (0,1)
b) Sejajar dengan garis x + 3y + 2 = 0 !
c)
Tegak lurus dengan garis y = m – 1 !
d) Berpusat pada garis x + y = 0 !
9.
Diketahui A(2,3), B(0,-1), dan C(3,0). Tentukanlah :
a)
Persamaan lingkaran luar  ABC itu !
b) Titik pusat lingkaran luar  ABC itu !
c)
By : Turmudi
Jari-jari lingkaran tersebut !
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com