E - J urnal M atematika - Universitas Udayana Repository

E-Jurnal Matematika
1 of 5
http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index
E-Jurnal Matematika
OPEN JOURNAL SYSTEMS
Flag
Counter
N O T I FI CAT I O N S
View
Subscribe / Unsubscribe
JO U RN A L CO N T EN T
Se a rch
All
Search
B ro ws e
By Issue
By Author
By Title
Other Journals
2/2/2016 2:13 PM
FO N T SI Z E
I N FO RMAT I O N
For Readers
For Authors
For Librarians
KE Y W O RDS
ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger
causality test Heteroscedasticity Joint
Life Insurance Median Quantile
Regression Monte Carlo
Multicollinearity OLS Optimization
Outlier
Overdispersion
Poisson Regression
Portmanteau test Value at Risk
Vector Autoregression biplot
multicollinearity optimal lag test
stationary test
HOME
ABOUT
TEAM
CONTACT
LOG IN
REGISTER
Home
SEARCH
>
CURRENT
Vol 5, No 1 (2016)
E-Jurnal Matematika
ARCHIVES
EDITORIAL
E-Jurnal Matematika
3 of 5
http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index
E-Jurnal Matematika is one of the electronic journal at Udayana University, as a medium of communication among
enthusiasts in the field of mathematics and its application, such as statistics, financial mathematics, teaching mathematics
and other sciences in the field of applied mathematics. This journal was born as one of the real role of the Department of
Mathematics UNUD to support the acceleration of the achievement of quality targets UNUD, besides this journal issue is
driven by the Director General of Higher Education circular on requirements for the publication of scientific papers in the
journal Science Degree program. E-journal Mathematics also received the results of research that is not directly related to
the students' final assignment involves research or articles that are scholarly study.
2/2/2016 2:13 PM
E-Jurnal Matematika
4 of 5
http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index
Vol 5, No 1 (2016)
Table of Contents
Articles
PERBANDINGAN KEEF ISIENAN MET ODE NEWT ON- RAPHSON, MET ODE SECANT, DAN MET ODE BISECT ION
PDF
DALAM MENGEST IMASI IMPLIED VOLAT ILIT IES SAHAM
IDA AYU EGA RAHAYUNI, KOMANG DHARMAWAN, LUH PUTU IDA HARINI
1-6
ANALISIS P RIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN
PDF
MET ODE ANALY T IC NET WORK PROCESS
NI WAYAN NINING ISMIRANTI, I PUTU EKA N. KENCANA, I KOMANG GDE
7-13
SUKARSA
PENENT UAN MODEL PREMI T IDAK KONSTAN PADA ASURANSI DANA P ENSIUN
LIA JENITA, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI
PENERAPAN BOOT ST RAP DALAM MET ODE MINIMUM COVARIANCE DET ERMINANT (MCD) DAN LEAST
PDF
14-21
PDF
MEDIAN OF SQUA RES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA
NI PUTU IIN VINNY DAYANTI, NI LUH PUTU SUCIPTAWATI, MADE SUSILAWATI
PENENT UAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON- LINEAR BLACK- SCHOLES
PUTU AYU DENI, KOMANG DHARMAWAN, G. K. GANDHIADI
22-26
PDF
27-31
2/2/2016 2:13 PM
E-Jurnal Matematika
5 of 5
http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index
PENENT UAN CADANGAN PREMI UNT UK ASURANSI JOINT LIFE
PDF
NI LUH PUTU RATNA DEWI, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA
32-37
NILAKUSMAWATI
This work is licensed under a
Crea tive Commons At t ribution 4.0 Int ernat ional Lic ense .
ISSN: 2303-1751
2/2/2016 2:13 PM
Editorial Team
1 of 3
http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/about/editorialTeam
E-Jurnal Matematika
OPEN JOURNAL SYSTEMS
Flag
Counter
N O T I FI CAT I O N S
View
Subscribe / Unsubscribe
JO U RN A L CO N T EN T
Se a rch
All
Search
B ro ws e
By Issue
By Author
By Title
Other Journals
2/2/2016 2:14 PM
FO N T SI Z E
I N FO RMAT I O N
For Readers
For Authors
For Librarians
KE Y W O RDS
ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger
causality test Heteroscedasticity Joint
Life Insurance Median Quantile
Regression Monte Carlo
Multicollinearity OLS Optimization
Outlier
Overdispersion
Poisson Regression
Portmanteau test Value at Risk
Vector Autoregression biplot
multicollinearity optimal lag test
stationary test
HOME
ABOUT
TEAM
CONTACT
LOG IN
REGISTER
Home
Editorial Team
>
SEARCH
About the Journal
CURRENT
>
ARCHIVES
Editorial Team
EDITORIAL
Editorial Team
3 of 3
http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/about/editorialTeam
Chief-in-Editor
Desak Put u Eka Nilakusumawa ti,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Indonesia
Associate Editor
I Made Eka Dw ipayana ,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Editorial Board
Dr. T jokorda Ba gus Oka ,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Dr. Komang Dharmawan ,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Drs. GK Gandhiadi,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Ir. I Komang Gde Sukarsa ,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Ir. I Put u Eka Nila Kenc a na ,
I Gust i Ayu Made Srinadi,
Made Susilawat i,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
This work is licensed under a
Crea tive Commons At t ribution 4.0 Int ernat ional Lic ense .
ISSN: 2303-1751
2/2/2016 2:14 PM
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6
ISSN: 2303-1751
PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON,
METODE SECANT, DAN METODE BISECTION DALAM
MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILITIES SAHAM
Ida Ayu Ega Rahayuni§1, Komang Dharmawan2, Luh Putu Ida Harini3
1
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]]
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]]
3
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]]
§
Corresponding Author
2
ABSTRACT
Black-Scholes model suggests that volatility is constant or fixed during the life time of the option
certainly known. However, this does not fit with what happen in the real market. Therefore, the
volatility has to be estimated. Implied Volatility is the etimated volatility from a market mechanism
that is considered as a reasonable way to assess the volatility's value. This study was aimed to
compare the Newton-Raphson, Secant, and Bisection method, in estimating the stock volatility
value of PT Telkom Indonesia Tbk (TLK). It found that the three methods have the same Implied
Volatilities, where Newton-Raphson method gained roots more rapidly than the two others, and it has
the smallest relative error greater than Secant and Bisection methods.
Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility, Newton-Raphson Method, Secant Method,
Bisection Method
1. PENDAHULUAN
Salah satu alternatif instrumen investasi yang
dapat ditawarkan kepada investor didalam pasar
modal adalah opsi (option). Pada tahun 1973,
model Black-Scholes dikembangkan oleh Myron
Scholes dan Fischer Black. Model ini
memberikan solusi untuk penilaian call option
dan put option yang tidak memberikan dividen.
Pada model Black-Scholes, volatilitas bersifat
konstan atau tetap selama usia opsi diketahui
pasti. Namun, hal ini tidak sesuai dengan apa
yang terjadi pada pasar sebenarnya. Oleh karena
volatilitas bergerak secara random dan tidak
dapat diobservasi secara langsung, maka harus
dilakukan
penaksiran
nilai
volatilitas
(Dharmawan & Widana [2]). Nilai volatilitas
dapat ditaksir menggunakan Implied Volatility.
Implied Volatility adalah volatilitas yang
diestimasi dari mekanisme pasar dengan memilih
kontrak opsi dengan expiration date yang sama.
Berdasarkan keadaan persaingan pasar, Black
dan Scholes menunjukkan bahwa harga saham
mengikuti gerak Brown geometrik pada suku
bunga dan volatilitas tertentu. Pergerakan harga
saham tersebut dapat ditulis dalam bentuk
sebagai berikut
( )
dengan
: perubahan harga saham yang
mengikuti gerak Brown geometric
: rata-rata dari pengembalian saham
: perubahan waktu
: nilai volatilitas
: gerak Brownian
Menurut Lee [3], keadaan pasar yang demikian
dikatakan tidak ada arbitrase. Dengan kata lain,
pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa
harga opsi di pasar modal sama dengan harga
teoritis yang dihitung menggunakan formula
Black-Scholes, atau dapat ditulis sebagai
( )
( )
dengan
menyatakan harga opsi observasi
yang diperoleh dari harga pasar sebenarnya,
1
Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I
Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson,
Metode Secant, dan Metode Bisection…
dimana strike price ( ) dan masa jatuh tempo
opsi ( ) sama dengan
dan saham induk.
Dalam hal ini,
menyatakan harga opsi
teoritis dari formula Black-Scholes yang
didefinisikan oleh:
(
(
)
)
(
)
( )
Metode Bagi Dua (Bisection) dimulai dengan
sebuah interval [
, ], dimana (
) dan
( ) berbeda tanda (Mathews [4]). Secara
sistematis metode Bisection adalah metode
pencarian akar dengan mengurangi separuh
interval pertama untuk memilih titik
( )
dengan
( )
)(
(
)
√
( )
( )
√
dengan ( ) adalah fungsi distribusi normal
kumulatif standar.
Nilai volatilitas selalu positif karena
adalah konstan dan
monoton naik pada
[
) (Dharmawan & Widana [2]).
Pada penelitian ini, solusi dari volatilitas
akan diselesaikan menggunakan metode
Newton-Raphson, metode Secant dan metode
Bagi Dua (Bisection). Penurunan rumus metode
Newton Raphson dapat dilakukan secara
geometris dan dengan bantuan deret Taylor.
Jika
adalah hampiran saat ini, maka
hampiran selanjutnya adalah
yang dapat
ditulis sebagai berikut.
(
)
(
(
)
, dengan
sampai | |
| |
dan
|
)
( )
( )
|
(i) Jika (
) dan (
) berbeda tanda,
]
akar terletak di [
(ii) Jika (
) dan ( ) berbeda tanda, akar
]
terletak di [
(
)
(iii) Jika
, diperoleh bahwa akar
pada
Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii)
terjadi, diperoleh interval yang merupakan
setengah bagian dari interval pertama yang
mengurung akar dan mengurangi separuh
interval tersebut dengan proses yang sama.
Pada proses selanjutnya, separuh interval baru
tersebut dinamai [
, ] dan proses diulang
sampai | |
. Jika kasus (iii) terjadi, maka
akar adalah
.
Selanjutnya membandingkan perhitungan
antara metode Newton-Raphson, metode
Secant, dan metode Bisection dalam
mengestimasi nilai volatilitas saham.
2. METODE PENELITIAN
A. Jenis dan Sumber Data
.
Metode Secant merupakan modifikasi dari
metode Newton-Raphson, yaitu dengan
mengganti fungsi turunan yang digunakan pada
metode Newton-Raphson menjadi bentuk lain
yang ekuivalen. Metode ini dimulai dengan
hampiran awal
dan
untuk solusi .
Selanjutnya dihitung
sebagai hampiran
baru untuk , yaitu
sampai | |
dan kemudian menganalisa kemungkinan yang
akan timbul:
( )(
( )
.
(
)
)
Jenis data yang digunakan pada penelitian
ini adalah data sekunder yang berupa data
numerik. Adapun data yang digunakan terdiri
dari strike price, dan harga saham sekarang (15
Mei 2015) dari saham PT Telekomunikasi
Indonesia Tbk (TLK) dengan masa jatuh tempo
opsi selama tiga bulan yang diperoleh dari
http://finance.yahoo.com, data harga observasi
call option diperoleh dari http://optiondata.net.
( )
2
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6
B. Algoritma untuk Menaksir Implied
Volatility
Tahapan-tahapan yang dilakukan pada
penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari harga observasi call option (
)
yang memiliki masa jatuh tempo dan strike
price yang sama dengan saham induk, serta
mencari harga saham sekarang dari
underlying asset.
2. Menentukan fungsi volatilitas dan mencari
turunan pertamanya.
3. Menyelesaikan persamaan dari fungsi
volatilitas menggunakan metode numerik,
yakni metode Newton-Raphson, metode
Secant, dan metode Bisection.
a. Penyelesaian Menggunakan Metode
Newton-Raphson
Langkah 1: Tetapkan hampiran awal
(
),
, iterasi
maksimum
(
)
Langkah 2: Menghitung nilai
(
)
dan
turunan
pertama
)
fungsinya (
Langkah 3: Menentukan nilai hampiran
kedua ( ) yang terletak pada
perpotongan garis singgung
(
)) dengan
di (
sumbu
, dapat dihitung
menggunakan persamaan (6)
Langkah 4: Menghitung | | dengan
persamaan (7)
Langkah 5: Melakukan pengecekan:
(i) Jika | |
, maka iterasi
selesai dengan
sebagai
solusi dari fungsi volatilitas
( )
| |
(ii) Jika
,
maka
kembali ke langkah 1.
ISSN: 2303-1751
b. Penyelesaian
menggunakan
metode
Secant
Langkah 1: Tetapkan hampiran awal
dan
,
,
.
Langkah 2: Mengitung nilai (
) dan
( )
Langkah 3: Menentukan hampiran baru
dengan persamaan (8)
Langkah 4: Menghitung | | dengan
persamaan (7)
Langkah 5: Melakukan pengecekan
(i) Jika | |
, maka iterasi
selesai dengan
sebagai
solusi dari fungsi volatilitas
( )
| |
(ii) Jika
,
maka
kembali ke langkah 1 dengan
menjadikan
sebagai
dan
sebagai .
c. Penyelesaian
menggunakan
metode
Bisection
Langkah 1: Tetapkan hampiran awal
dan
,
,
.
(
) dan
Langkah 2: Hitung nilai
( ).
Langkah 3: Memeriksa bahwa fungsi
berubah tanda sepanjang
interval [
], ini dapat
diperiksa
dengan:
(
) ( )
.
Jika
terpenuhi, hampiran awal
dapat digunakan untuk iterasi
berikutnya, namun jika tidak
terpenuhi, pilih hampiran
awal baru.
Langkah 4: Hampiran ketiga
dapat
ditentukan
menggunakan
persamaan (9).
)
Langkah 5: Hitung nilai (
Langkah 6: Lakukan evaluasi sebagai
berikut untuk menentukan di
dalam subinterval mana akar
fungsi terletak:
(
) (
)
(i) Jika
,
maka
3
Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I
Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson,
Metode Secant, dan Metode Bisection…
(
) (
)
(ii) Jika
,
maka
Langkah 7: Menghitung | | dengan
persamaan (7)
Langkah 8: Melakukan pengecekan.
(i) Jika | |
, dengan
, maka iterasi
selesai dengan
sebagai
solusi
dari
fungsi
volatilitas ( )
(ii) Jika | |
, dengan
, maka kembali
ke langkah 4.
4. Membandingkan nilai taksiran Implied
Volatility,
kecepatan
iterasi,
serta
membandingkan
keakuratan
masingmasing metode dengan membandingkan
nilai error relatif | | dari masing-masing
metode.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi
sebagai
( )
volatilitas
(
(
dapat
(
)
didefinisikan
)
(
))
(
)
atau
( )
( )
( )
adalah kontinu dan memiliki turunan sebagai
berikut:
( )
( )
√
(
√
)
adalah kontinu.
Teorema Eksistensi dan Ketunggalan
(Waluya [5]), “Misalkan dan
kontinu,
maka solusinya ada dan tunggal”. Dalam hal
( )
ini, diperoleh bahwa ( ) dan
kontinu,
maka Teorema Eksistensi dan Ketunggalan
terpenuhi, yaitu terdapat solusi tunggal dari
persamaan (11).
Tabel 1 Iterasi dengan Menggunakan Metode Newton-Raphson
(
)
(
| |
)
1
0.060000
0.055815
-6.529788
0.068548
1.246985e-001
2
0.068548
-0.002051
-6.984392
0.068254
4.301345e-003
3
0.068254
-0.000002
-6.971129
0.068254
4.084282e-006
1
2
3
4
0.060000
0.100000
0.067609
0.068209
Tabel 2 Iterasi dengan Menggunakan Metode Secant
(
( )
)
0.055815
0.100000
-0.237620
0.067609
-0.237620
0.067609
0.004490
0.068209
0.004490
0.068209
0.000312
0.068254
0.000312
0.068254
-0.000001
0.068254
| |
4.791029e-001
8.806070e-003
6.568799e-004
1.393661e-006
4
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6
ISSN: 2303-1751
Tabel 3 Iterasi dengan Menggunakan Metode Bisection
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.060000
0.060000
0.060000
0.065000
0.067500
0.067500
0.068125
0.068125
0.068125
0.068203
0.068242
0.068242
0.068252
0.068252
0.068252
0.068253
(
)
0.055815
0.055815
0.055815
0.022433
0.005243
0.005243
0.000899
0.000899
0.000899
0.000354
0.000082
0.000082
0.000014
0.000014
0.000014
0.000005
0.100000
0.080000
0.070000
0.070000
0.070000
0.068750
0.068750
0.068438
0.068281
0.068281
0.068281
0.068262
0.068262
0.068257
0.068254
0.068254
( )
-0.237620
-0.084613
-0.012240
-0.012240
-0.012240
-0.003464
-0.003464
-0.001280
-0.000190
-0.000190
-0.000190
-0.000054
-0.000054
-0.000020
-0.000003
-0.000003
0.080000
0.070000
0.065000
0.067500
0.068750
0.068125
0.068438
0.068281
0.068203
0.068242
0.068262
0.068252
0.068257
0.068254
0.068253
0.068254
(
)
-0.084613
-0.012240
0.022433
0.005243
-0.003464
0.000899
-0.001280
-0.000190
0.000354
0.000082
-0.000054
0.000014
-0.000020
-0.000003
0.000005
0.000001
| |
2.500000e-001
1.428571e-001
7.692308e-002
3.703704e-002
1.818182e-002
9.174312e-003
4.566210e-003
2.288330e-003
1.145475e-003
5.724098e-004
2.861230e-004
1.430820e-004
7.153588e-005
3.576922e-005
1.788493e-005
8.942384e-006
Tabel 4 Perbandingan Nilai Volatilitas, Error Relatif dan Kecepatan Iterasi dari Metode NewtonRaphson, Metode Secant dan Metode Bisection
Metode
Newton-Raphson
Secant
Bisection
6,8254%
6,8254%
6,8254%
Implied Volatility ( )
3
4
16
Berhenti pada Iterasi ke4,084282e-006
1,393661e-006
8,942384e-006
Error Relatif | |
Berdasarkan Tabel 1, dapat ditarik
kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh
pada iterasi ke-3 yaitu dengan nilai
dan error relatif
| |
. Berdasarkan Tabel
2, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai
volatilitas diperoleh pada iterasi ke-4 yaitu
dengan nilai
dan
| |
error
relatif
.
Berdasarkan Tabel 3, dapat ditarik kesimpulan
bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi
ke-16 yaitu dengan nilai
% dan error relatif | |
. Berdasarkan Tabel 4 diperoleh hasil
simulasi menggunakan metode NewtonRaphson, metode Secant, dan metode Bisection
dengan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu
6,8254%. Simulasi berhenti secara berturutturut pada iterasi ke-3; 4; 16 dengan nilai error
relatif secara berturut-turut sebesar 4,084282e006; 1,393661e-006; 8,942384e-006. Implied
Volatility yang diperoleh menggunakan metode
Newton-Raphson, Secant, dan Bisection
memiliki nilai yang lebih besar dari nilai
Implied Volatility di pasar modal, yaitu sebesar
6,25%. Berdasarkan pemaparan pada bab II,
Implied Volatility yang tinggi mengakibatkan
harga opsi menjadi mahal dan berlaku
sebaliknya.
Berdasarkan tabel 1, 2, dan 3, diperoleh
bahwa pada iterasi ke-3 metode NewtonRaphson, metode Secant dan metode Bisection
secara berturut-turut memiliki error relatif
sebesar
4,084282e-006;
6,568799e-004;
7,692308e-002. Dalam hal ini, metode NewtonRaphson memiliki error relatif terkecil pada
iterasi ke-3 yaitu sebesar 4,084282e-006.
Artinya, metode Newton-Raphson lebih akurat
5
Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I
dibandingkan metode Secant dan metode
Bisection. Dengan demikian, dapat disimpulkan
bahwa metode Newton-Raphson adalah metode
terbaik dalam menaksir Implied Volatility
saham, karena metode Newton-Raphson
konvergen paling cepat dan paling akurat
dibandingkan metode Secant
dan metode
Bisection.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang
telah diuraikan pada bab sebelumnya, estimasi
Implied Volatility saham menggunakan metode
Newton-Raphson, metode Secant dan metode
Bisection dengan hampiran awal 0,06 dan
hampiran kedua 0,1 untuk metode Secant dan
metode Bisection memiliki perolehan nilai
Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254%
yang nilainya lebih tinggi dari Implied
Volatility di pasar modal, yaitu 6,25%. Implied
Volatility yang tinggi akan mengakibatkan
harga opsi menjadi mahal. Metode NewtonRaphson lebih cepat konvergen, yaitu pada
iterasi ke-3 dan menghasilkan nilai error relatif
yang lebih kecil dari pada metode Secant dan
metode Bisection. Dengan demikian dapat
disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson
adalah metode terbaik dalam menaksir Implied
Volatility saham, karena metode ini konvergen
paling cepat dan paling akurat dibandingkan
metode Secant dan metode Bisection..
Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson,
Metode Secant, dan Metode Bisection…
DAFTAR PUSTAKA
[1] Black, F. & Scholes, M., 1973. The Pricing
of Options and Corporate Liabilities. The
Journal of Political Economy, 81(3), PP.
637-659.
[2] Dharmawan, Komang & Widana, I
Nyoman., 2011. Aplikasi Algoritma
Biseksi dan Newon-Raphson dalam
Menaksir Nilai Volatilitas Implied. Jurnal
Matematika Vol. 2 No. 1, Desember 2011.
ISSN: 1693-1394.
[3] Lee, Roger. W., 2002. Implied Volatility:
Statics, Dynamics, and Probabilitic
Interpretation. Recant Advances in Applied
Probability 2005, pp. 241-268.
[4] Mathews, John H., 1992. Numerical
Methods. For Mathematics, Science, and
Engineering. Second edition. USA:
Prentice-Hall International, Inc.
[5] Waluya, St. Budi., 2006. Buku Ajar
Persamaan Diferensial, 21-23.
B. Saran
Metode Newton-Raphson, Secant dan
Bisection tidak dapat memberikan keputusan di
dalam pasar modal, metode ini hanya dapat
menaksir nilai Implied Volatility, yang dapat
digunakan sebagai gambaran/acuan dalam
melakukan suatu keputusan. Implied Volatility
juga dapat ditaksir menggunakan metode
GARCH (conditional volatility), Monte Carlo
dengan simulasi, dan Model Heston dengan
stokastik volatilitas.
6
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 7-13
ISSN: 2303-1751
ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS
DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE
ANALYTIC NETWORK PROCESS
Ni Wayan Nining Ismiranti§1,I Putu Eka N. Kencana2, I Komang Gde Sukarsa3
1
Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [email: [email protected]]
Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [email: [email protected]]
3
Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [email: [email protected]]
§
Corresponding Author
2
ABSTRACT
The aim of this research is to find the alternative solutions that could be used to handle the traffic
congestions in the Denpasar City and the priorities of each alternative. The main problem of this
research is determining the appropriateness of alternatives and its criterias that could be used to set
the priorities of the alternatives. Based on the interview with the transport experts of Denpasar City,
there are three main factors that affect the traffic congestion i.e (1) the ratio of the volume of vehicles
on the road capacity, (2) the existing traffic management, and the traffic regulation . The interviewee
also suggest that there are six alternatives that can be used to handle traffic congestion. These
alternatives are (1)improve the public transport system, (2) use technology to monitor and enforce the
rules,(3) create a 3 in 1 rule, (4) create road pricing rule,(5) optimize the existing management in
the road, and (6) create rule of road zoning. Based on the calculations by Analytic Network Process
(ANP) method, improving the public transport system is the best alternative among others that is
appropriate to handle traffic congestion in the Denpasar City.
Keywords: Analytic Network Process, Traffic Congestion, Priorities, Denpasar
1. PENDAHULUAN
Metode ANP (Analytic Network Process)
merupakan pengembangan dari Analytic
Hierarcy Process (AHP) yang dikembangkan
oleh Thomas L. Saaty yang digunakan untuk
memilih alternatif terbaik dari sejumlah
alternatif yang ada berdasarkan beberapa
kriteria. Metode ANP menguraikan suatu
masalah kedalam bentuk jaringan tanpa
membuat asumsi elemen yang tingkatnya lebih
tinggi dan elemen yang tingkatnya lebih rendah
seperti yang terdapat pada AHP (Saaty &
Vargas [3]).
Pada penelitian ini metode ANP akan
digunakan untuk mencari prioritas alternatifalternatif solusi yang bisa digunakan untuk
menangani kemacetan lalu lintas di Kota
Denpasar. Alternatif-alternatif solusi serta
kriteria-kriteria yang akan digunakan diperoleh
dari para narasumber yang merupakan para
pengamat transportasi di Kota Denpasar.
Adapun alternatif-alternatif solusi yang akan
dipaparkan merupakan alternatif solusi yang
termasuk ke dalam manajemen lalu lintas tanpa
pembangunan atau perluasan jalan.
ANP merupakan suatu teori pengukuran
multycriteria yang digunakan untuk mendapat
skala prioritas dari suatu penilaian individu yang
termasuk ke dalam sebuah skala fundamental
(Saaty [1]), seperti yang terdapat pada Tabel 1.
Tabel 1. Skala Fundamental
Intensitas
Kepentingan
Penjelasan
1
Dua aktivitas berkontribusi secara sama besar
3
Kontribusi suatu aktivitas sedikit lebih besar
dibandingkan yang lain
5
7
9
2,4,6,8
Kontribusi
suatu aktivitas
lebih besar
dibandingkan yang lain
Kontribusi suatu aktivitas jauh lebih besar
dibandingkan yang lain, aktivitas ini lebih
dominan dilakukan dalam kenyataan
Fakta menunjukkan bahwa suatu aktivitas
merupakan urutan tertinggi yang mungkin
dalam suatu penegasan
Untuk kompromi nilai-nilai di atas
7
Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G.
Langkah awal dari penggunaan metode
ANP adalah dengan membentuk suatu model
yang berbentuk sebuah jaringan yang saling
dihubungkan dengan tanda panah. Jaringan
tersebut menggambarkan hubungan saling
ketergantungan antara komponen satu dan
komponen yang lain dimana komponen yang
berada di pangkal tanda panah memberikan
pengaruh kepada komponen yang berada di
ujung tanda panah, seperti Gambar 1.
Jaringan timbal balik yang memiliki ketergantungan
dari dalam dan luar elemen
C4 ..
C2 ..
C3 ..
Gambar 1. Ilustrasi Jaringan ANP
Selain
dengan
menggunakan
jaringan,
hubungan saling ketergantungan juga bisa
digambarkan dengan menggunakan matriks
seperti matriks berikut:
 c11 c12  c1n 
c
c22  c2 n 
21





 


cn1 cn 2  cnn 
ci
: nilai perbandingan yang diberikan
n
narasumber ke k , k =1,2,..., n
: banyak narasumber
Matriks
perbandingan
berpasangan
merupakan matriks berukuran n n yang
berisikan bobot perbandingan yang dilakukan
terhadap elemen-elemen dalam suatu komponen
dimana elemen-elemen ini memengaruhi suatu
elemen lainnya. Misalkan terdapat suatu
C1
e11, e12 ,..., e1n 1
terhadap
komponen c j dan nilai 0 diberikan apabila tidak
ada pengaruh yang diberikan komponen ci
terhadap komponen c j . Dalam hal ini cij adalah
nilai ketergantungan komponen c j
Zk
komponen
Ketergantungan setiap komponen pada
suatu sistem dapat dibentuk dalam suatu
matriks nol-satu C dengan sifat nilai 1 pada
matriks diberikan apabila terdapat pengaruh
komponen
(1)
berpasangan kriteria Ai dengan A j
Putaran dalam komponen menunjukan
ketergantungan dari elemen elemen dalam suatu
komponen
diberikan
aij  ( z1.z 2 ..z n )
1
n
Dengan
: nilai rata-rata perbandingan
aij
feedback
yang
Pada penelitian menggunakan ANP
seringkali digunakan lebih dari satu narasumber
sebagai acuan. Hal ini akan memungkinkan
diperolehnya pendapat yang berbeda mengenai
bobot dari suatu perbandingan, akan tetapi
metode ANP hanya memerlukan satu bobot
untuk satu perbandingan dalam membentuk
suatu matriks perbandingan berpasangan.
Apabila hal ini terjadi maka bobot-bobot dari
para narasumber harus dirata-ratakan dengan
menggunakan persamaan geometric mean
(Saaty & Vargas [3]).
Tanda panah dari C4 ke C2 menunjukkan
ketergantungan elemen C2 pada elemen
yang terdapat pada C4
C1 ..
C nn
Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…
yang
berisi
elemen
dan elemen-elemen tersebut
memberikan pengaruh terhadap elemen e21
pada
komponen
C2
,
maka
matriks
perbandingan yang terbentuk adalah seperti
berikut:
 1 a12
a
1
A   21
 


an1 an 2
 a1n 
 a2 n 
  

 1 
terhadap
Nilai aij pada perbandingan berpasangan
komponen ci yang berisi nilai 0 atau 1, ci
merepresentasikan nilai kepentingan dari
elemen ke i terhadap elemen ke j pada
adalah komponen yang memberikan pengaruh
dan c j adalah komponen yang dipengaruhi.
komponen C1 berkaitan dengan e21 sebagai
faktor kontrol. Nilai
yang dimasukkan ke
8
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 7-13
ISSN: 2303-1751
dalam perbandingan merupakan nilai yang
terdapat pada Tabel 1 dan pengisiannya
dilakukan dengan prinsip resiprokal. Maksud
dari resiprokal adalah jika diketahui nilai dari
aij maka secara otomatis nilai dari a ji akan
langkah selanjutnya adalah membuat suatu
supermatriks. Supermatriks berisikan vektorvektor prioritas dari setiap perbandingan.
Misalkan suatu sistem memiliki N komponen
sama dengan kebalikan dari aij .
memiliki beberapa elemen. Komponenkomponen tersebut dihubungkan satu sama lain
hingga terbentuk suatu model jaringan dari
sistem yang diinginkan. Dari model tersebut
akan dibentuk matriks-matriks perbandingan
berpasangan yang masing-masing akan
menghasilkan vektor prioritas. Nilai vektor
prioritas dari setiap perbandingan dimasukkan
pada
kolom blok supermatriks
yang
bersesuaian. Blok-blok supermatriks tersebut
akan disusun menjadi satu supermatriks seperti
supermatriks berikut:
Setelah
membentuk
suatu
matriks
perbandingan A , selanjutnya akan dilakukan
suatu proses pencarian eigen vector. Eigen
vector diperoleh dari persamaan (Saaty &
Vargas [3]):
A.w  max .w
(2)
dengan
w
: eigen vector
max
: eigen value terbesar
A
: matriks perbandingan berpasangan
Eigen vector yang diperoleh dari proses ini
akan menjadi vektor prioritas dari elemenelemen yang dibandingkan dalam matriks A .
Konsistensi dari setiap perbandingan
berpasangan harus diuji, berikut adalah
persamaan untuk menguji konsistensi dari
matriks perbandingan berpasangan (Saaty &
Vargas [3]). .
CR 
CI
RI
(3)
: rasio konsistensi
: index konsistensi
: random consistency index
RI
Index konsistensi diperoleh dengan
(Saaty & Vargas [3]):
CI 
rumus
(max  n)
(4)
n 1
Tabel 2. Tabel Random Consistency Index
1
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49
Sumber: Saaty & Vargas, 2001, hal.9. [2]
Setiap
matriks
perbandingan
 W11 W12
W
W22
W   21
 


W N 1 W N 2
 W1N 
 W2 N 

 

 WNN 
Keterangan:
W : supermatriks yang terbentuk
Wij : matriks yang berisi bobot prioritas
Submatriks Wij yang terdapat dalam
supermatriks
disebut blok supermatriks.
sebuah matriks berukuran
Wij merupakan
ni  n j seperti yang ditampilkan pada matriks
berikut:
Nilai-nilai dari RI dapat dilihat pada Tabel 2
Orde
RI
dan setiap komponen
elemen-elemen dalam komponen ke i
terhadap elemen-elemen dalam
komponen ke j .
Keterangan:
CR
CI
yaitu C1 , C2 , , C N
dikatakan
konsisten apabila nilai CR tidak lebih dari 10%.
Setelah memastikan bahwa setiap matriks
perbandingan berpasangan cukup konsisten,
 w ( j1 )
 i(1j )
w 1
Wij   i 2

 (j )
 wini1

( jn ) 
 wi 2 j 
 
( jn ) 
 wini j 
( jn j )
wi(1j2 )  wi1
wi(2j2 )

( j2 )
ini
w
Keterangan:
wik( jl ) : nilai prioritas elemen ke k dari
komponen ke i terhadap elemen ke
l komponen ke j .
9
Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G.
Setiap perhitungan yang dilakukan pada
penelitian ini akan dilakukan dengan bantuan
software super decision. Perangkat lunak super
decision merupakan perangkat lunak yang
digunakan untuk membantu pengambilan
keputusan yang mengimplementasikan metode
ANP.
Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…
8. Ulangi langkah 5, 6, dan 7 pada semua
kriteria
9. Buat unweighted supermatrix
10. Buat weighted supermatrix
11. Buat limmiting supermatrix.
12. Ambil nilai dari alternatif yang
dibandingkan untuk mengetahui hasil akhir
perhitungan.
2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini
adalah data primer yang diperoleh melalui
proses wawancara yang dilakukan terhadap
para narasumber. Adapun narasumber yang
menjadi acuan dalam penelitian ini adalah
anggota satuan lalu lintas, dinas perhubungan
serta para pengamat transportasi yang terdapat
di Kota Denpasar.
Langkah-langkah penelitian yang dilakukan
pada penelitian ini adalah sebagai berikut
(Santoso, et al [4]):
1. Tentukan
narasumber
yang
akan
diwawancarai.
2. Melakukan
wawancara
terhadap
narasumber untuk memperoleh kriteria dan
alternatif solusi yang sesuai untuk
menangani kemacetan yang terjadi di Kota
Denpasar.
3. Membentuk model jaringan beradasarkan
hasil wawancara yang di peroleh pada poin
ke-2 serta menyusun angket beradasarkan
model jaringan yang terbentuk.
4. Melakukan
wawancara
terhadap
narasumber untuk mengetahui bobot dari
masing-masing kriteria dan alternatif.
Wawancara ini merupakan wawancara
terstruktur dengan menggunakan angket
yang telah dibuat.
5. Membuat
matriks
perbandingan
berpasangan
yang
menggambarkan
pengaruh setiap elemen terhadap kriteria.
6. Setelah semua bobot perbandingan
terkumpul,
masukkan
nilai-nilai
kebalikannya serta nilai di diagonal utama
kedalam
matriks
perbandingan
berpasangan, cari prioritas masing-masing
kriteria dan uji konsistensinya.
7. Cari vektor prioritas dari matriks yang
dibuat pada langkah ke-6.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Tahap awal dari penelitian ini adalah
pengambilan data yang menggunakan metode
wawancara. Wawancara dilakukan untuk
memperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan
lalu lintas serta solusinya.Wawancara ini
dilakukan terhadap para narasumber yang
merupakan para pengamat transportasi yang
juga
merupakan
anggota
Masyarakat
Transportasi Indonesia (MTI) yang berada di
Kota Denpasar. Setelah melakukan wawancara
terhadap para pengamat transportasi maka
diperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan
serta alternatif solusi yang bisa digunakan untuk
menanganinya. Faktor-faktor serta alternatif
solusi ini kemudian disusun menjadi suatu
jaringan ANP seperti Gambar 2.
Gambar 2. Jaringan ANP yang terbentuk
Hubungan inner dependence dan outer
dependence pada jaringan yang terdapat dalam
Gambar 2 akan di ilustrasikan dalam matriks
pada Gambar 3.
10
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 7-13
Alternatif
Manajemen
A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ
MP
Rasio
Regulasi
JK
JKU JP D PP
P
1
1 0 1 1
A1
0
0
0
0
0
0
0
0
A2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
A3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
A4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
A5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
A6
MJ
MP
JKP
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
JKU 1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
JP
D
PP
0
1
1
Gambar 3. Tabel yang Berisi Matriks
Ketergantungan
Dari matriks pada Gambar 3 akan dibentuk
sebuah angket perbandingan. Angket tersebut
digunakan sebagai alat bantu melakukan
wawancara untuk memperoleh bobot dari
setiap perbandingan. Bobot-bobot tersebut
kemudian disusun menjadi matriks-matriks
A1
A2
A3
A4
A5
A6
MJ
MP
JKP
JKU
JP
D
PP
A1
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.333
0.667
0.000
0.500
0.500
ISSN: 2303-1751
perbandingan berpasangan sesuai dengan item
pertanyaan yang terdapat pada angket. Setiap
bobot dimasukkan ke dalam matriks
perbandingan berpasangan dengan prinsip
resiprokal yang kemudian dicari vektor
prioritasnya.
Vektor-vektor prioritas tersebut kemudian
disusun menjadi sebuah supermatriks. Dalam
hal ini terdapat tiga buah supermatriks yang
akan terbentuk yaitu: unweighted supermatrix,
weighted supermatrix, dan limiting supermatrix.
Unweighted
supermatrix
merupakan
supermatriks yang dibuat dengan menyusun
setiap vektor prioritas pada kolom yang sesuai,
seperti Gambar 4.
A2
A3
A4
A5
A6
MJ
MP
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.833 0.833 0.833 0.833 0.750 0.800 0.800
0.167 0.167 0.167 0.167 0.250 0.200 0.200
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500
0.50000
0.500
0.50000
0.5000.50000
0.500 0.500
0.50000
0.500
0.50000
0.500
JKP JKU
JP
D
PP
0.206 0.477 0.000 0.047 0.050
0.073 0.047 0.000 0.308 0.355
0.065 0.093 0.000 0.103 0.091
0.166 0.122 0.000 0.224 0.201
0.223 0.111 0.000 0.119 0.155
0.267 0.150 0.000 0.199 0.150
0.500 0.000 0.000 0.000 0.000
0.500 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.500 0.800
0.250 0.000 0.000 0.500 0.200
0.750 0.000 0.000 0.000 0.000
0.750 0.000 0.000 0.000 0.000
0.250
0.50000
0.000
0.50000
0.0000.25000
1.000 0.000
0.00000 0.00000 1.00
Gambar 4. Unwiehted Supermatrix
Tabel ini menunjukan prioritas tiap alternatif
terhadap masing masing faktor. Dari tabel
pada Gambar 4 diperoleh bahwa berdasarkan
faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot
prioritas tertinggi yaitu 0,267, berdasarkan
faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot
prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan
faktor disiplin dan faktor pengawasan
alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu
0,308 dan 0,355. Gambar 4 ini hanya berisikan
bobot perbandingan antar elemen, belum
mencangkup perbandingan antar cluster
(komponen). Oleh karena itu nilai-nilai yang
terdapat pada Gambar 4 harus dikalikan
dengan nilai-nilai pada perbandingan cluster
untuk membentuk supermatiks baru yang
disebut weighted supermatrix.
11
Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
MJ
MP
JKP
JKU
JP
D
PP
A1
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.278
0.556
0.000
0.083
0.083
A2
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.694
0.139
0.000
0.083
0.083
A3
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.694
0.139
0.000
0.083
0.083
A4
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.694
0.139
0.000
0.083
0.083
A5
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.694
0.139
0.000
0.083
0.083
A6
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.625
0.208
0.000
0.083
0.083
Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…
MJ
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.533
0.133
0.000
0.167
0.167
MP
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.533
0.133
0.000
0.167
0.167
JKP
0.031
0.011
0.010
0.025
0.034
0.041
0.136
0.136
0.000
0.118
0.354
0.077
0.026
JKU
0.477
0.047
0.093
0.122
0.111
0.150
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
JP
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
D
0.004
0.029
0.010
0.021
0.011
0.019
0.000
0.000
0.083
0.083
0.000
0.000
0.740
PP
0.018
0.128
0.033
0.072
0.056
0.054
0.000
0.000
0.512
0.128
0.000
0.000
0.000
Gambar 5. Weighted Supermatrix
Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5
merupakan nilai prioritas yang diperoleh
dengan menggabungkan hasil perbandingan
elemen dan perbandingan clutser. Gambar 5
memperlihatkan bahwa berdasarkan faktor
JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas
tertinggi yaitu 0,041, berdasarkan faktor JKU
alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi
yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan
faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot
tertinggi yaitu 0,029 dan 0,128. Nilai-nilai
yang terdapat pada Gambar 5 digunakan untuk
memeperoleh sepermatriks baru yang disebut
limitting supermatrix.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
MJ
MP
JKP
JKU
JP
D
PP
A1
0.091
0.027
0.023
0.037
0.035
0.044
0.039
0.039
0.259
0.150
0.102
0.061
0.096
A2
0.091
0.027
0.023
0.037
0.035
0.044
0.039
0.039
0.259
0.150
0.102
0.061
0.096
A3
0.091
0.027
0.023
0.037
0.035
0.044
0.039
0.039
0.259
0.150
0.102
0.061
0.096
Pada weighted supermatrix yang terdapat
pada Gambar 5, alternatif yang mendapat
prioritas tertinggi pada setiap faktor masih
berbeda beda. Oleh karena itu supermatriks
ini terus dipangkatkan sampai setiap kolom
yang terdapat pada satu baris yang sama
memiliki nilai yang sama dan membentuk
supermatriks baru yang disebut limitting
supermatrix. Supermatriks pada Gambar 5
dipangkatkan
dengan
tujuan
untuk
mencangkup
semua
hubungan
saling
memengaruhi yang mungkin terjadi pada
setiap elemen dan alternatif, baik itu pengaruh
langsung maupun pengaruh tak langsung.
A 4 A 5 A 6 MJ
MP JKP
0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091
0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027
0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023
0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037
0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035
0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044
0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039
0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039
0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259
0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150
0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102
0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061
0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096
Gambar 6. Limiting Supermatrix
Limiting
supermatrix
akan
memperlihatkan prioritas dari masing-masing
alternatif beradasarkan seluruh kriteria yang
ada. Langkah selanjutnya adalah menyusun
alternatif-alternatif tersebut beradasarkan
JKU
0.091
0.027
0.023
0.037
0.035
0.044
0.039
0.039
0.259
0.150
0.102
0.061
0.096
JP
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
D
0.091
0.027
0.023
0.037
0.035
0.044
0.039
0.039
0.259
0.150
0.102
0.061
0.096
prioritas yang diperoleh
supermatrix, seperti Tabel 3.
dari
PP
0.091
0.027
0.023
0.037
0.035
0.044
0.039
0.039
0.259
0.150
0.102
0.061
0.096
limiting
12
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 7-13
Tabel 3. Prioritas Alternatif
Alternatif
Nilai Prioritas
Alternatif 1
0,091
1
Alternatif 6
Alternatif 4
Alternatif 5
0,044
0,037
0,035
2
3
4
Alternatif 2
Alternatif 3
0,027
0,023
5
6
Keterangan:
Alternatif 1: Memperbaiki sistem angkutan
umum
Alternatif 2: Menggunakan teknologi untuk
mengawasi dan menegakkan
aturan
Alternatif 3: Membuat aturan
Alternatif 4: Membuat aturan road pricing
Alternatif 5: Mengoptimalkan manajemen
jalan
Alternatif 6: membuat aturan zonasi jalan
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Beradasarkan hasil yang diperoleh, dapat
disimpulan bahwa alternatif-alternatif solusi
yang dapat digunakan dalam menangani
kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah
memperbaiki
sistem
angkutan
umum,
menggunakan teknologi untuk mengawasi dan
menegakkan aturan, membuat aturan 3 in 1,
membuat
aturan
road
pricing,
mengoptimalkan manajemen jalan, membuat
aturan zonasi jalan. Berdasarkan perhitungan
menggunakan Metode ANP, dari keenam
alternatif tersebut, alternatif terbaik yang bisa
digunakan untuk menangani kemacetan lalu
lintas di Kota Denpasar adalah alternatif
memperbaiki sistem angkutan umum.
Dalam penelitian ini masih terdapat
beberapa kekurangan salah satunya adalah
analisis yang digunakan hanya menggunakan
aspek traffic management analysis. Oleh
karena itu pada penelitian selanjutnya bisa
ditambahkan
aspek-aspek
lain
dalam
melakukan analisisnya misalnya aspek sosial
dan budaya.
ISSN: 2303-1751
DAFTAR PUSTAKA
[1] Saaty. 2004. Fundamental of The
Analytic Network Process Dependence
and Feedback in Decision Making With a
Singel Network. Journal of System
Science and System Engineering, 129157.
[2] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2001.
Models,
Methods,
Concepts
and
Applications of the Analytic Hierarchy
Process.
New
York:
Springer
Science+Business Media New York.
[3] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2006.
Decision Making With The Analytic
Network Process Economic Political,
Social and Technological Applications
with Benefits, Opportunities, Cost and
Risk (2 ed.). New York: Springer
Science+Business Media, LLC.
[4] Santoso, Leo Willyanto, Alexander
Setiawan & Januar R. Stanley. 2009.
Pembuatan Aplikasi Sistem Seleksi Calon
Pegawai dengan Metode Analytic
Network Process (ANP) di PT X. Teknik
Informatika, Fakultas Teknologi Industri
– Universitas Kristen Petra.
13
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21
ISSN: 2303-1751
PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN
PADA ASURANSI DANA PENSIUN
Lia Jenita§1, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3
1
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:[email protected]]
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:[email protected]]
3
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:[email protected]]
§
Corresponding Author
2
ABSTRACT
Pension plan is an effort to anticipate the life of old on the day. In the pension program, there are two
methods of normal due’s calculation to be paid by the insured each year, the Entry Age Normal
method, namely calculation of normal dues with constant premiums and projected unit credit method,
namely calculation of normal dues with Premium Increases Each year or is not constant. This paper
wants to develop an inconstant premium calculation method with constant premium increase
annually. Where the pension plan participants’ age when he joined the pension plan is 19 years and
the retirement age on this contract is 55 years, with premium increases of 5% of the normal dues
early. The large ratio of premiums is,
for dues normal at the age of 19
years until the age of 28 years, but
for dues normal at the age of 29
years to the age of 33 years and
to normal dues at the age of 34 years
old until the age of one year before retirement.
Keyword: Entry Age Normal, futures contract, Premium Increases Each, constant premium increase
annually
1. PENDAHULUAN
Asuransi dana pensiun merupakan salah
satu bentuk upaya perencanaan masa tua dengan
tujuan menjamin kesejahteraan hidup pada saat
memasuki usia pensiun. Program Asuransi
adalah suatu program yang mengupayakan
sejumlah pertanggungan dengan pihak-pihak
yang terlibat, yaitu pihak penanggung
(perusahaan asuransi) dan pihak tertanggung
(individual atau kelompok sebagai pemegang
polis). Pihak penanggung memberikan jaminan
suatu pengganti kerugian yang dialami atau
diderita tertanggung sesuai perjanjian dan
kesepakatan kedua belah pihak. Pihak
tertanggung
memiliki
kewajiban
untuk
membayarkan sejumlah uang yang disebut
dengan premi sesuai polis yang disepakati kedua
belah pihak pada awal perjanjian asuransi.
Oleh karena itu, Dana pensiun atau sering
disebut asuransi hari tua adalah asuransi yang
mengupayakan sejumlah nilai manfaat (benefit)
pensiun bagi pesertanya yang bertujuan
membentuk sejumlah dana untuk dapat
dipergunakan nantinya di hari tua setelah
mereka tidak bekerja lagi.
Menurut UU No.11 Tahun 1992 yang
berisikan tentang hal-hal yang menyangkut
tentang dana pensiun. Selain sebagai bentuk
jaminan masa tua para pegawai yang bekerja di
perusahaannya, dana pensiun juga merupakan
salah satu tanggung jawab perusahaan terhadap
semua pegawai yang telah bekerja keras selama
masa kerjanya di perusahaan itu.
Pada asuransi dana pensiun, ada beberapa
kesepakatan yang harus disetujui oleh pihak
tertanggung
dan
pihak
penanggung.
Kesepakatan itu adalah premi dan aktuaria,
dimana besar premi yang akan dibayarkan oleh
pihak tertanggung (pegawai) asuransi dana
pensiun harus disesuaikan dengan penghasilan
yang didapatkan, sehingga besar iuran premi
yang akan dibayarkan tidak membebani
tertanggung. Pembayaran premi akan dilakukan
14
Jenita, L., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.
Penentuan Model Premi Tidak Konstan pada Asuransi Dana Pensiun
dalam bentuk pembayaran iuran normal
dilakukan dalam bentuk pemotongan gaji
pegawai. Gaji yang dipotong menjadi investasi
selama masa kerja dan akumulasi dana untuk
pembayaran manfaat pensiun dalam memelihara
kesinambungan penghasilan peserta pada hari
tua (Futami [2]).
Dalam melakukan perhitungan premi,
penulis menggunakan formula baru yaitu
perhitungan premi tidak konstan dengan
kenaikan premi tiap tahunnya konstan. Metode
ini adalah metode perhitungan normal cost
dengan mengalokasikan total manfaat pensiun
secara merata sejak tanggal perhitungan
aktuaria. Metode tersebut menggunakan asumsi
skala gaji yang akan diestimasi pada masa depan
(future value) dan diasumsikan bahwa gaji
mengalami peningkatan.
Menurut Futami [3], jika seseorang
berinvestasi sebesar Rp.1,- pada saat sekarang
dan tingkat bunga yang berlaku sebesar maka
total pokok besar bunga sebesar bunga setelah
tahun adalah:
.
[
]
*
+
[
]
(4)
Nilai akhir anuitas yang dilakukan selama
tahun dengan peningkatan sebesar
| sehingga persamaan
dinotasikan dengan
di atas dapat ditulis menjadi:
| .
(5)
Sehingga
diperoleh
manfaat
pensiun
tertanggung sampai berusia tahun adalah
[
| ]
(6)
Present Value of Future Benefit
adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang
akan diterima oleh tertanggung saat memasuki
usia pensiunnya atau
tahun.
Sistem
pembayaran manfaat pensiun yang dilakukan
tiap tahun sampai tertanggung meninggal.
(1)
̈
r
r-x
[6]
(7)
Besar total manfaat yang didapatkan selama
tertanggung aktif bekerja dari umur
tahun
sampai dengan tahun, dinotasikan
sehingga
besar manfaat yang akan diterima oleh
tertanggung pada tahun
dinotasikan
(Sembiring [5]).
(2)
Manfaat yang didapatkan oleh peserta
pensiun merupakan proporsi gaji sebesar
persen yang kemudian diakumulasikan sesuai
waktu yang telah ditentukan selama
dan berdasarkan skala gaji berikut:
a. Asumsi Gaji Terakhir
Gaji terakhir pada usia
diharapkan dinotasikan dengan
tahun yang
.
Gambar 1. Skema Pembayaran
Keterangan:
r
̈
(3)
b. Asumsi Rata-Rata Gaji Selama Bekerja
Rata-rata gaji yang diharapkan selama
bekerja adalah
r-x
= nilai sekarang dari manfaat
pensiun normal di usia x tahun;
= besar manfaat pensiun normal;
= nilai sekarang dari anuitas
seumur hidup di usia pensiun
tahun;
= faktor diskonto selama
tahun; dan
= tingkat penyusutan aktuaria total
di usia x tahun hingga usia
tahun
15
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21
Present value of future normal cost
adalah nilai sekarang dari iuran
normal yang dibayarkan secara berkala oleh
peserta dimulai dari peserta berusia
tahun
sampai memasuki usia pensiun berusia –
tahun, yang dinotasikan dengan r
.
Besar pembayaran berkala iuran normal yang
dilakukan setiap awal tahun sebesar
dimulai
dari peserta masuk program pensiun (usia
tahun) sampai memasuki usia pensiun selang
waktu usia
tahun dapat dijelaskan dengan
skema pembayaran tampak pada Gambar 2.
ISSN: 2303-1751
peserta berusia
tahun adalah r
sedangkan nilainya akan sama dengan nilai
sekarang manfaat pensiun saat tertanggung
berusia tahun yaitu r
(Nurcahyani &
Endang [4]), sehingga diperoleh persamaan:
r
r
Sehingga berdasarkan persamaan (7) dan
(8), maka nilai NC dapat dirumuskan sebagai
berikut:
̈
r-x
∑
∑
̈
∑
̈
∑
̈
EAN
Berdasarkan skema pada Gambar 2
pembayaran iuran normal selama masa kerja
tertanggung selang waktu usia tahun sampai
dengan berusia
tahun adalah
2
r-1-a
.
Sehingga nilai sekarang iuran normal pada
saat tertanggung berusia
tahun yang
dinotasikan dengan r
dan dirumuskan
sebagai berikut
∑
r
(8)
2. Metode Perhitungan Premi
Metode Entry Age Normal adalah nilai
sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang
akan sama dengan nilai sekarang iuran normal
(premi) yang akan datang pada saat berusia
pensiun .
Pada dasarnya, iuran normal yang akan
dibayarkan oleh tertanggung secara berkala
(PVFNC) pada selang usia
tahun sampai
tahun,
dipergunakan
untuk
melakukan
pembayaran manfaat (PVFB) yang nantinya
akan diberikan kepada tertanggung pada saat
pensiun. Nilai sekarang dari iuran normal saat
r-x
̈
EAN
Gambar 2. Skema Pembayaran Iuran Normal Selama
Masa Kerja
r-x
̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅
(9)
Metode Projected Unit Credit
Metode Projected Unit Credit (PUC) adalah
merupakan metode perhitungan iuran normal
yang membagi total manfaat pensiun pada saat
usia pensiun. Dimana total dari masa kerja
peserta pensiun menjadi suatu unit manfaat
pensiun yang kemudian dialokasikan pada setiap
tahun pada masa kerja (Bower,et al. [7]).
Iuran normal (NC) seorang peserta yang
berusia dan pensiun pada usia didefinisikan
sebagai nilai sekarang dari manfaat yang akan
terima peserta pensiun dimasa yang akan datang
dan akan menyebar secara merata
setiap tahunnya selama masa kerja
(Futami [3]). Sehingga iuran normal untuk
metode ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
PUC
̈
r-x
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model (formula) Premi Tidak Konstan
Pada tahapan ini akan dicari formula premi
tidak konstan dengan kenaikan yang konstan
setiap tahunnya sebesar . Adapun rincian
kontrak dalam program asuransi adalah sebagai
berikut, mulai menjadi peserta program pensiun
16
Jenita, L., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.
Penentuan Model Premi Tidak Konstan pada Asuransi Dana Pensiun
saat berusia tahun dan akan terhitung pensiun
pada usia tahun.
Misalkan adalah nilai tunai yang harus di
bayarkan tertanggung setiap tahunnya. Pada
tahun pertama tertanggung membayarkan iuran
sebasar dan tahun kedua sebesar
dan
seterusnya mengalami peningkatan sebesar
setiap tahunnya sampai mencapai usia pensiun
satu tahun sebelum. Sehingga besar iuran
terakhir yang akan dibayarkan tertangngung
adalah
. Sebaliknya sebagai hak
yang akan didapatkan peserta pensiun bila hidup
sampai usia
, akan mendapatkan
tanggungan (uang pensiun) mulai usia tahun
sebesar
seumur hidup. Apabila peserta
pensiun meninggal sebelum mencapai usia
, maka peserta pensiun tidak mendapatkan
uang tanggungan apapun. Dari kontrak ini maka
nilai tunai dari premi yang akan dibayarkan
peserta pensiun adalah:
[
Berdasarkan prinsip ekuivalensi yang telah
dijelaskan terlebih dahulu pada persamaan (9)
dimana nilai uang yang masuk kedalam
perusahaan harus sama dengan nilai uang yang
dikeluarkan perusahaan. Sehingga dengan
mengunakan persamaan ekuivalensi dari
persamaan (11) dan (12) maka akan diperoleh
persamaan:
[
]
̈
[
]
̈
[
[ ]
]
̈
̈
Dimana [ ] menyatakan besar iuran normal
pada tahun pertama , sehingga besar premi pada
tahun ke_ adalah:
]
[
̈
]
[ ]
{
[
}
Contoh Kasus Penerapan
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Sehingga diperoleh nilai sekarang dari iuran
normal (premi) yang dibayarkan peserta pensiun
adalah :
[
]
(11)
Sedangkan untuk nilai tunai dari manfaat
pensiun yang akan dibayarkan oleh perusahaan
asuransi pensiun bagi peserta pensiun adalah:
Berdasarkan rumusan masalah yang telah
dijelaskan pada bab sebelumnya, maka akan
diberikan contoh kasus yang berkaitan dengan
permasalahan pada penelitian ini (Nurcahyani &
Endang [4]). Dalam hal ini, bila seorang
karyawan mulai menjadi peserta pensiun
semenjak berusia 19 tahun
dan akan
terhitung pensiun pada usia 56 tahun
,
dengan gaji pokok terakhir yang diterima
karyawan yang diakumulasikan dalam satu
tahun
adalah
sebesar
-.
Perhitungan (valuasi) dilakukan pada saat
peserta berusia 24 tahun. Kemudian untuk tahun
berikutnya iuran normal yang akan dibayar
ditambahkan dengan
sebesar 5% dari besar
manfaat pensiun dengan tingkat suku bunga
sebesar 11% dan sebesar 2,5% adalah:
a. Perhitungan Manfaat Pensiun
Seperti yang telah dijelaskan pada bagian
sebelumnya, pada penelitian ini perhitungan
17
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21
manfaat pensiun untuk premi tindak konstan
dengan peningkatan secara konstan, digunakan
asumsi rata-rata gaji yang diperoleh karyawan
selama masih aktif bekerja sebagai berikut:
Pada contoh kasus yang disajikan telah di
ketahui gaji pokok terakhir yang diterima
karyawan yaitu sebesar
- maka
selanjutnya untuk menentukan besar manfaat
pensiun berdasarkan besar gaji terakhir dapat
menggunakan persamaan(2) sehingga diperoleh:
ISSN: 2303-1751
̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅
Perhitunan Iuran Normal Metode Projected
Unit Credit
Berdasarkan persamaan (10) diperoleh iuran
normal yang akan dibayarkan peserta program
dana pensiun adalah:
PUC
,b. Perhitungan Nilai Sekarang Manfaat
Pensiun (Present Value of Future Benefit)
Perhitungan Nilai Iuran Normal dengan
Formula Baru
Pada kasus perhitungan nilai iuran premi
tidak konstan dengan kenaikan konstan, pada
penelitian ini menggunakan asumsi skala rata
rata gaji selama pegawai (peserta pensiun)
selama masih aktif bekerja sebagai berikut:
Perhitungan iuran yang harus dibayarkan
oleh peserta pensiun pada penelitian ini, dimana
pada setiap tahunnya premi yang wajib
dibayarkan peserta pensiun bertambah sebesar
. Seperti yang telah dijelaskan pada persamaan
(12), perhitungan nilai premi yang harus
dibayarkan adalah:
56
56-23
̈
56-23
̈
[ ]
(
)
(
(
)
)
(1)
Jadi, diperoleh nilai sekarang total manfaat
pensiun yang akan di peroleh peserta program
pensiun saat mencapai usia 23 tahun sebesar
Rp.
,-.
Sehingga diperoleh nilai adalah:
(
)
c. Perhitungan Iuran Normal (Premi)
Perhitunan Iuran Normal Metode Entry Age
Normal
Berdasarkan persamaan (9) diperoleh iuran
normal yang akan dibayarkan peserta program
dana pensiun adalah:
EAN
Sedangkan untuk perhitungan iuran normal pada
usia 24 tahun menggunakan persamaan
sehingga diperoleh:
[ ]
Berdasarkan perhitungan yang dilakukan
pada sub bab sebelumnya, penggunaan asumsi
skala gaji terakhir yang diperoleh oleh peserta
pensiun
digunakan
untuk
melakukan
perhitungan nilai sekarang manfaat pensiun tiap
tahun dan disajikan dalam bentuk grafik pada
Gambar 3.
̈
̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅
18
Jenita, L., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.
Penentuan Model Premi Tidak Konstan pada Asuransi Dana Pensiun
150000000
100000000
50000000
0
24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54
Gaji Terakhir
Gambar 3. Grafik Nilai Sekarang dari Manfaat
Pensiun (Present Value of Future Benefit)
dengan Asumsi Skala Gaji Terakhir.
Gambar 3 menunjukkan bahwa penggunaan
asumsi gaji terakhir menghasilkan manfaat
pensiun yang sangat tinggi. Hal ini menyatakan
bahwa penggunaan skala gaji terakhir akan
menunjukkan penggunaan asumsi gaji lainnya,
mengingat setiap tahun pegawai selalu
mendapatkan
peningkatan
gaji.
Tetapi
kekurangan saat mengunakan asumsi gaji
terakhir adalah perusahaan asuransi dapat saja
mengalami
kerugian
dikarenakan
harus
melakukan pembayaran kekurangan pembiayaan
yang terjadi diawal masa kepesertaan bagi
peserta program pensiun yang memperoleh
peningkatan penghasilan tiap tahunnya.
Sedangkan untuk perbandingan, perhitungan
pembiayaan iuran normal ditunjukkan pada
Gambar 4.
1400000.00
1200000.00
1000000.00
800000.00
600000.00
400000.00
200000.00
0.00
24 26 28 30 32 34 36 38 40
PUC
ILP
formula Baru
Gambar 4. Grafik Pembiayaan Iuran Normal
Mengunakan Metode Projected Unit
Credit (PUC), Individual Level Premium
(ILP) Berdasarkan Asumsi Gaji Terakhir
Grafik garis berbentuk layang-layang yang
ditunjukkan pada gambar 4 menunjukan bahwa
pembiayaan iuran normal (premi) dengan
mengunakan metode Projected Unit Credit akan
mengalami peningkatan setiap tahunnya. Pada
metode ini peningkatan iuran normal yang
terjadi setiap tahunnya tidak secara konstan,
sehingga pada saat peserta mencapai usia lebih
tua peningkatan besar iuran normal yang harus
dibayarkan peserta program dana pensiun
semakin melonjak tinggi disesuaikan dengan
perkiraan besar manfaat yang akan didapatkan
peserta pensiun jika membayar iuran normal
pada umur tersebut. Peningkatan iuran normal
mengunakan metode Projected Unit Credit
dapat dilihat dengan grafik garis yang berwarna
biru.
Sedangkan grafik garis berbentuk pesegi
yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukkan
pembiayaan iuran normal dengan mengunakan
metode Individual Level Premium. Perhitungan
iuran normal (premi) dengan mengunakan
metode ini cenderung tetap saat pegawai baru
menjadi peserta pensiun sampai pegawai
memasuki usia pensiun. Hal ini disebabkan
karena perhitungan pembiayaan iuran normal
dengan metode Individual Level Premium tidak
dipengaruhi oleh usia peserta program dana
pensiun saat tahun perhitungan aktuaria (saat
peserta berusia x tahun), tetapi dipengaruhi oleh
usia peserta program dana pensiun saat
memasuki program dana pensiun (saat peserta
berusia e tahun).
Sedangkan Grafik garis berbentuk persegi
tiga yang ditunjukkan pada gambar 4
menunjukkan, bahwa pembiayaan iuran normal
dengan menggunakan formula baru dengan
kenaikan yang terjadi secara konstan. Hal ini
disebabkan karena kenaikan iuran normal yang
terjadi setiap tahunnya adalah sebesar
.
Dimana dengan menggunakan formula ini
didapatkan iuran normal yang harus dibayarkan
peserta pensiun saat baru memasuki program
dana pensiun sampai akhir usia pembayaran
(satu tahun sebelum usia pensiun) berada di
tengah-tengah atau diantara perhitungan iuran
normal dengan mengunakan perhitungan dengan
metode Projected Unit Credit dan Individual
Level Premium.
19
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21
Berdasarkan hasil perhitungan pembiayaan
iuran normal setiap tahun, berikut ini diperoleh
perbandingan hasil nilai akhir perhitungan iuran
normal setiap tahunnya menggunakan tiga
formula yang berbeda. Pada perhitungan ini
diasumsikan bahwa setiap peserta yang
memasuki program dana pensiun pada usia
tahun dan masih hidup saat memasuki usia
pensiun (berusia tahun).
Berdasarkan perhitungan nilai akhir
pembiayaan iuran normal, diperoleh total akhir
pembiayaan iuran normal dengan Projected Unit
Credit
adalah
sebesar
Rp.12.695.636,-,
sedangkan total nilai akhir pembiayaan iuran
normal dengan mengunakan Entry Age Normal
adalah sebesar Rp.5.896.427,-, dan total nilai
akhir pembiayaan iuran normal dengan
menggunakan formula kenaikan kostan adalah
Rp.8.066.992,Penggunaan pembiayaan akhir menggunakan
formula kenaikan iuran normal secara konstan,
menghasilkan nilai akhir iuran yang lebih tinggi
dibandingkan dengan Individual Level Premium
dan lebih rendah dari nilai akhir iuran dengan
menggunakan metode Projected Unit Credit.
Oleh karena itu, perhitungan pembiayaan iuran
normal dari sudut pandang peserta asuransi
dapat memilih formula kenaikan iuran normal
secara konstan. Dengan demikian, peserta
pensiun tidak merasa terbebani dengan kenaikan
iuran normal setiap tahunnya dikarenakan
kenaikan yang terjadi setiap tahunnya selalu
konstan.
ISSN: 2303-1751
2. Bilamana usia peserta program dana
pensiun saat mengikuti program pensiun
adalah 19 tahun dan usia pensiun pada
kontrak ini adalah 55 tahun, dengan
kenaikan premi sebesar 5% dari iuran
normal awal. Adapun besar perbandingan
premi adalah sebagai berikut,
untuk
iuran
normal pada saat berusia 19 tahun sampai
usia 28 tahun, tetapi
untuk iuran normal pada saat
berusia 29 tahun sampai usia 33 tahun dan
untuk
iuran normal pada saat berusia 34 tahun
sampai usia satu tahun sebelum pensiun.
Adapun saran untuk pengembangan
penelitian selanjutnya agar peneliti selanjutnya
menggunakan asumsi tingkat suku bunga
pembiayaan investasi yang berbeda. Selain itu,
agar kontrak program dana pensiun yang
selanjutnya dapat diperbaharui dengan kontrak
program dana pensiun dimana peserta program
dana pensiun tetap memperoleh pembiayaan
usia tua (pensiun) pada saat peserta pensiun
mengalami sesuatu kejadian dipertengahan
sebelum mencapai usia pensiun.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Aitken, W. H 1994. A Problem Solving
Approach to Pensiun Funding And
Valuation. 2nd edition. Winsted: Actex
Publications.
[2]
Futami, T. 1993a. Matematika Asuransi
Jiwa Bagian I. Herliyanto, Gatot,
penerjemah.Tokyo: oriental Life Insurance
Cultural Development Center. Terjemahan
dari: Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92
revision).
[3]
Futami, T. 1993b. Matematika Asuransi
Jiwa Bagian II. Herliyanto, Gatot,
penerjemah.Tokyo: oriental Life Insurance
Cultural Development Center. Terjemahan
dari: Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92
revision).
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Penelitian ini menunjukkan bahwa:
1. Formula model premi tidak konstan dengan
kenaikan konstan pada tahun pertama
adalah:
̈
dengan
menyatakan besar iuran normal
pada tahun pertama, sehingga besar premi
pada tahun ke_ adalah:
[4] Nurcahyani, L. dan Endang W. 2014.
Penentuan Model Premi dengan Metode
Individual Level Premium Pada Asuransi.
Jurnal. Fakultas Matematika. Universitas
Brawijaya.
20
Jenita, L., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.
Penentuan Model Premi Tidak Konstan pada Asuransi Dana Pensiun
[5] Sembiring, R.K. 1986. Buku Materi Pokok
Asuransi I. Departemen Pendidikan dan
Kebudayaan Universitas Terbuka.
[6] Winklevoss. 1993. Pengertian Dana
Pensiun. http://wisuda.unud.ac.id. Diakses
tangal 16 Juni 2015.
[7]
Bower,et al.1997. Perhitungan Dana
Pensiun dengan Metode Projected Unit
Credit. http://download.portalgaruda.org.
Diakses tangal 23 juli 2015.
21
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 22-26
ISSN: 2303-1751
PENERAPAN BOOTSTRAP DALAM METODE MINIMUM
COVARIANCE DETERMINANT (MCD) DAN LEAST MEDIAN OF
SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA
Ni Putu Iin Vinny Dayanti§1, Ni Luh Putu Suciptawati2, Made Susilawati3
1
Jurusan Matematika Fakultas MIPA
Jurusan Matematika Fakultas MIPA
3
Jurusan Matematika Fakultas MIPA
2
Universitas Udayana [Email: [email protected]]
Universitas Udayana [Email: [email protected]]
Universitas Udayana [Email: [email protected]]
§
Corresponding Author
ABSTRACT
Ordinary Least Squares (OLS) Method is a good method to estimate regression parameters when
there is no violation in classical assumptions, such as the existence of outlier. Outliers can lead to
biased parameters estimator, therefore we need a method that can may not affected by the existence of
outlier such as Minimum Covariance Determinant (MCD) and Least Median of Squares (LMS).
However, the application of this method is less accurate when it is used for small data. To overcome
this problem, it was aplicated bootstrap method in MCD and LMS to determine the comparison of
bias in parameters which were produced by both methods in dealing outlier in small data. The used
bootstrap method in this study was the residual bootstrap that works by resampling the residuals. By
using 95% and 99% confidence level and 5%, 10% and 15% outlier percentage, MCD-bootstrap and
LMS-bootstrap give value of parameter estimators which were unbias for all percentage of outlier.
We also found that the widht of range which produced by MCD-bootstrap method was shorter than
LMS-bootstrap method produced. This indicates that MCD-bootstrap method was a better method
than LMS-bootstrap method.
Keywords: outliers, bias, robust, Minimum Covariance Determinant, Least Median of Squares,
bootstrap residual
1.
PENDAHULUAN
Analisis regresi linier berganda merupakan
analisis yang digunakan untuk menyelidiki
hubungan linier antara dua atau lebih peubah
prediktor terhadap peubah respon yang berskala
minimal interval (Neter, et al [1]).
Metode kuadrat terkecil (MKT) merupakan
metode penduga parameter regresi yang baik
bila tidak terjadi pelanggaran asumsi klasik,
seperti adanya pencilan. Pencilan merupakan
data yang pengamatannya berada jauh dari
sekelompok data amatan lainnya yang
menyebabkan penduga parameter bersifat bias
(Neter, et al [1]). Metode yang bisa mengatasi
pencilan
yaitu
Minimum
Covariance
Determinant (MCD) dan Least Median of
Squares (LMS). Namun penggunaan metode
MCD dan LMS kurang tepat apabila berhadapan
dengan data berukuran kecil. Penelitian ini
dilakukan dengan menerapkan bootstrap pada
kedua metode (MCD-bootstrap) dan (LMSbootstrap) untuk mengetahui perbandingan bias
pada parameter yang dihasilkan dalam
mengatasi pencilan pada data berukuran kecil.
Metode bootstrap yang digunakan adalah
bootstrap residual yang bekerja dengan
meresampling sisaannya (residual) (Efron &
Tibshirani [2]).
Metode Minimum Covariance Determinant
(MCD) memiliki prinsip kerja menggunakan
vektor rataan dan matriks kovarians dengan
membentuk subsampel yang berukuran dari
sampel berukuran
amatan yang matriks
kovariansnya memiliki determinan terkecil
(Hubert & Debruyne [3]). Nilai diperoleh dari:
⌊
⌋
(1)
22
Dayanti, N.P.I.V., Suciptawati, N.L.P., Susilawati, M.
Penerapan Bootstrap dalam Metode Minimum Covariance
Determinant (MCD) dan Least Median of Squares…
Selanjutnya dicari vektor rataan
dan
matriks kovarians
serta jarak mahalanobis
kekar
dengan menggunakan rumus (Hubert
& Debruyne [3]):
∑
∑
(2)
,
)
√(
-,
- (3)
(
) (4)
Selanjutnya ditentukan Fast MCD (Rousseeuw
[4]) yaitu terlebih dahulu dengan menentukan
subsampel
yang berukuran kemudian dapat
dihitung nilai
dan
dengan misalkan
sebagai
dan
serta menghitung determinan
dari
atau
( ). Jika
( )
maka
dilanjutkan dengan menghitung nilai
yang
diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Pada
iterasi berikutnya yaitu
akan diambil
sebanyak
pengamatan dengan jarak
terkecil. Demikian seterusnya hingga mencapai
konvergen
(
)
( ). Kemudian
pilih himpunan
yang memiliki determinan
terkecil serta menghitung nilai
dan
. Maka selanjutnya data dapat diboboti
dengan
{
(
)
(
)
Sehingga dapat dibentuk matriks
[
]
(
) (
) (5)
Least Median of Squares (LMS) merupakan
metode yang bekerja dengan meminimalkan
median (nilai tengah) dari kuadrat residual ( )
(Rousseeuw [5] yaitu:
*
⌉
(7)
Kemudian pada iterasi ke-2 ( ) diambil
pengamatan sejumlah
dari
dengan jarak
nilai ( ) yang minimum. Demikian seterusnya
sampai iterasi berakhir pada iterasi ke- yaitu
saat
Selanjutnya dapat dihitung bobot
dengan rumus:
|
{
dengan
̂
[
+
(6)
dilakukan pada urutan nilai residual kuadrat.
Langkah awal metode LMS adalah
menentukan kuadrat nilai error dari MKT
sehingga diperoleh nilai
. Selanjutnya
dihitung nilai dengan rumus:
̂|
(8)
]√
maka dapat dibentuk matriks
(9)
:
[
]
(10)
dengan entri matriks
, dengan
.
Penduga parameter regresi LMS dapat dihitung
dengan menggunakan rumus:
̂
(
) (
)
(11)
Langkah-langkah bootstrap residual (Efron
&Tibshirani [2]) adalah menentukan nilai ̂
yang dihasilkan oleh model analisis regresi,
selanjutnya dapat diperoleh nilai residual yaitu,
̂ . Selanjutnya mengambil sampel
bootstrap berukuran
dari
secara acak dengan pengembalian, sehingga
diperoleh sampel bootstrap pertama
(
). Kemudian hitung nilai bootstrap
untuk
dengan cara:
̂
Dan diperoleh penduga MCD
̂
⌈
(12)
Lebih lanjut lagi dihitung koefisien regresi
untuk sampel bootstrap
sehingga diperoleh
̂ . Iterasi terus dilakukan sampai pada batas
replikasi yang diinginkan.
2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan data simulasi
melalui pembangkitan data berdistribusi normal
dengan bantuan software R i386 3.1.3. Data ini
terdiri dari sisaan dan dua peubah prediktor
yang akan digunakan untuk menentukan peubah
responnya. Persentase pencilan yang diberikan
23
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 22-26
sebesar 5%, 10% dan 15%. Serta dengan
menggunakan alpha ( ) sebesar 0,05.
Langkah pembangkitkan data yaitu dengan
membangkitkan nilai sisaan ( ) berdistribusi
( ). Kemudian membangkitkan peubah
(
) dan
(
) sebanyak 40
amatan, dengan memisalkan
, dan
, akan diperoleh nilai
dengan
membentuk persamaan
ISSN: 2303-1751
memiliki nilai p-value < α, hal ini menunjukkan
data dengan pencilan memiliki sebaran data
yang tidak normal.
B. Pendeteksian Multikolinearitas
Untuk melihat masalah multikolinearitas
maka dilakukan dengan melihat nilai korelasi
yang dihasilkan antara peubah prediktor.
Tabel 2. Korelasi Antarvariabel
Variabel
.
Pencilan yang dibangkitkan pada data sisaan
dengan
dan
pada tiap persentase
pencilan. Selanjutnya menghitung nilai yang
sudah terkontaminasi pencilan. Kemudian
dilakukan uji kenormalan, pendeteksian
multikolinearitas, pemeriksaan pencilan dan
dilanjutkan menganalisis dengan MKT.
Langkah berikutnya menganalisis dengan
metode MCD-Bootstrap yaitu menduga nilai
dan
dari matriks kovarian robust yang
telah diperoleh dari penduga MCD. Resampling
sisaan dengan bootstrap residual sebanyak 500
dan 1.000 kali dilakukan dengan menggunakan
selang kepercayaan 95% dan 99%. Selanjutnya
menganalisis dengan metode LMS-Bootstrap.
Resampling sisaan yang diperoleh dari metode
LMS dengan bootstrap residual sebanyak 500
dan 1.000 kali dan dilakukan dengan
menggunakan selang kepercayaan 95% dan
99%. Kemudian membandingkan hasil yang
diperoleh dengan MCD-bootstrap dan LMSbootstrap.
3.
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Hasil Pengujian Asumsi Kenormalan
Data Dengan Uji Anderson-Darling
Berdasarkan hasil pengujian asumsi
kenormalan dapat dilihat pada tabel 1 berikut:
Tabel 1. Uji Kenormalan Data
Persentase
pencilan
Data awal (tanpa
pencilan)
5%
10%
15%
p-value
Keterangan
0,780
Normal
0,03635
<0,005
<0,005
Tidak normal
Tidak normal
Tidak normal
Hasil uji kenormalan pada Tabel 1, data
dengan pencilan sebesar 5%, 10% serta 15%
Y
0,309
0,052
0,873
0,000
0,161
0.321
Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa nilai
korelasi yang dihasilkan pada
dan
sebesar
-0,161 yang menunjukkan peubah
dan
memiliki hubungan yang berlawanan arah
namun tidak terjadi masalah multikolinearitas.
C. Pemeriksaan Pencilan atau Outlier
Pemeriksaan pencilan dilakukan dengan
menggunakan Robust Distance ( ) lalu
membandingkannya dengan nilai chi-square.
Dalam pemeriksaan menggunakan
diperoleh
hasil seperti pada Tabel 3:
Tabel 3.
Data
40
Pemeriksaan Pencilan dengan Robust
Distance ( )
Persentase
pencilan
5%
10%
15%
Data pengamatan keoutlier orthogonal
bad leverage
1, 2, 3, 4, 5, 6
31
1, 2, 4, 7, 18, 23, 25
3, 31
3, 7, 18, 23
1, 2, 31
Banyak
pencilan
7
9
7
Tabel 3 menunjukkan hasil pemeriksaan
pencilan yaitu dengan persentase pencilan 5%
terdeteksi 7 pengamatan sebagai pencilan dan 9
pengamatan yang merupakan pencilan pada
persentase 10% dan pada peresentase 15%
terdeteksi 7 pengamatan sebagai pencilan.
Pencilan yang terdeteksi merupakan jenis outlier
orthogonal maupun bad leverage.
D. Analisis Data dengan Metode Kuadrat
Terkecil (MKT)
Analisis data dengan MKT akan
menggunakan selang kepercayaan 95% dan
99%.
24
Dayanti, N.P.I.V., Suciptawati, N.L.P., Susilawati, M.
Penerapan Bootstrap dalam Metode Minimum Covariance
Determinant (MCD) dan Least Median of Squares…
Tabel 4. Penduga Parameter dengan MKT
Jumlah
Parameter Estimasi
Pencilan
Data tanpa
pencilan
5%
10%
15%
0.9752
1.0608
1.3865
1.0591
1.4079
1.1412
1.4283
1.1854
Selang Kepercayaan 95%
Selang Kepercayaan 99%
Selang
Kepercayaan
Selang
Kepercayaan
Ket
Ket
0.8514-1.0991 Tidak bias 0.8092-1.1412 Tidak bias
0.9952-1.1265 Tidak bias 0.9729-1.1488 Tidak bias
0.9669-1.1462
Bias
0.9059-1.3255
Bias
0.9641-1.1541 Tidak bias 0.9317-1.1864 Tidak bias
0.9021-1.1182
Bias
0.8286-1.3344
Bias
0.8732-0.9877
Bias
0.8343-1.0229
Bias
0.8549-1.0999
Bias
0.7715-1.3449
Bias
0.8816-1.0114
Bias
0.8375-1.1413
Bias
Karena nilai penduga penduga parameter
dan
yang dihasilkan oleh MKT bersifat tidak
bias hanya saat pencilan 5% untuk , hal ini
berarti MKT mengalami bias saat adanya
pencilan. Maka akan dilanjutkan dengan
menganalisis
dengan
metode
Minimum
Covariance Determinant (MCD)-Bootstrap dan
Least Median of Squares (LMS)-Bootstrap.
E. Analisis Data dengan Metode Minimum
Covariance Determinant (MCD)-Bootstrap
Berdasarkan hasil analisis dengan metode
MCD-bootstrap dengan resampling 500 dan
1000 kali dapat dilihat pada Tabel 5 dan 6
adalah berikut:
Tabel 5. Pendugaan parameter dengan metode
MCD-bootstrap dengan B=500 kali
resampling
Selang Kepercayaan 95%
Selang Kepercayaan 99%
Estimasi Selang
Selang
Ket
Ket
Kepercayaan
Kepercayaan
1.0929 0.9871-1.1938Tidak bias 1.0908 0.9592-1.2217Tidak bias
0.9676 0.9031-1.0368Tidak bias 0.9693 0.8841-1.0558Tidak bias
1.1929 1.0706-1.3156Tidak bias 1.1958 1.0243-1.3620Tidak bias
0.9065 0.8275-0.9874Tidak bias 0.905 0.7970-1.0179Tidak bias
1.1406 1.0014-1.2722Tidak bias 1.1366 0.9587-1.3149Tidak bias
0.9436 0.8593-1.0355Tidak bias 0.9466 0.8325-1.0623Tidak bias
Jumlah
Parameter Estimasi
Pencilan
5%
10%
15%
Tabel 6.
Pendugaan parameter dengan metode
MCD-bootstrap dengan B=1000 kali
resampling
Jumlah
Parameter Estimasi
Pencilan
5%
10%
15%
1.0897
0.9698
1.1919
0.9074
1.1354
0.9471
Selang Kepercayaan 95%
Selang
Ket
Kepercayaan
0.9879-1.1930 Tidak bias
0.9031-1.0369 Tidak bias
1.0723-1.3139 Tidak bias
0.8287-0.9862 Tidak bias
1.0050-1.2686 Tidak bias
0.8618-1.0330 Tidak bias
Estimasi
1.091
0.9689
1.1937
0.9063
1.1396
0.9443
Selang Kepercayaan 99%
Selang
Ket
Kepercayaan
0.9582-1.2227 Tidak bias
0.8840-1.0559 Tidak bias
1.0392-1.3471 Tidak bias
0.8070-1.0079 Tidak bias
0.9574-1.3162 Tidak bias
0.8307-1.0541 Tidak bias
MCD-bootstrap bersifat tidak bias dengan
resampling 500 maupun 1000 kali. Hal ini
berarti bahwa penduga parameter
dan
yang dihasilkan oleh metode bootstrap residual
berada di dalam selang kepercayaan 95% dan
99%.
F. Analisis Data dengan Metode Least
Median of Squares (LMS)-Bootstrap
Berdasarkan hasil analisis dengan metode
LMS-bootstrap dengan resampling 500 dan
1000 kali dapat dilihat pada Tabel 7 dan 8
adalah berikut:
Tabel 7. Pendugaan parameter dengan metode
Least Median of Squares (LMS)Bootstrap dengan 500 kali resampling
Jumlah
Parameter Estimasi
Pencilan
5%
10%
15%
0.9122
1.0854
0.908
1.0924
0.9264
1.0827
Selang Kepercayaan 95%
Selang
Ket
Kepercayaan
0.8474-1.0577 Tidak bias
1.0397-1.1764 Tidak bias
0.8355-1.0868 Tidak bias
1.0350-1.1979 Tidak bias
0.6754-0.9689 Tidak bias
0.9379-1.1294 Tidak bias
Estimasi
0.9079
1.088
0.9086
1.0915
0.9334
1.0781
Selang Kepercayaan 99%
Selang
Ket
Kepercayaan
0.8078-1.0973 Tidak bias
1.0142-1.2019 Tidak bias
0.7926-1.1297 Tidak bias
1.0072-1.2257 Tidak bias
0.6353-1.0090 Tidak bias
0.9127-1.1546 Tidak bias
Tabel 8. Pendugaan parameter dengan metode
Least Median of Squares (LMS)Bootstrap dengan 1000 kali resampling
Jumlah
Parameter Estimasi
Pencilan
5%
10%
15%
0.9102
1.0866
0.9073
1.0927
0.9314
1.0796
Selang Kepercayaan 95%
Selang Kepercayaan 99%
Estimasi Selang
Selang
Ket
Ket
Kepercayaan
Kepercayaan
0.8456-1.0595 Tidak bias 0.9062 0.8174-1.0877 Tidak bias
1.0386-1.1775 Tidak bias 1.0891 1.0201-1.1960 Tidak bias
0.8282-1.0941 Tidak bias 0.9132 0.7947-1.1276 Tidak bias
1.0302-1.2027 Tidak bias 1.0889 1.0086-1.2243 Tidak bias
0.6832-0.9611 Tidak bias 0.9316 0.6341-1.0102 Tidak bias
0.9436-1.1237 Tidak bias 1.0792 0.9122-1.1551 Tidak bias
Dari Tabel 7 dan 8 diperoleh bahwa dengan
menganalisis menggunakan metode LMSbootstrap, selang kepercayaan 95% dan 99%
dapat mencakup nilai parameternya. Hal ini
berarti hasil yang diperoleh dengan metode
LMS-bootstrap, nilai penduga parameter
dan
bersifat tidak bias.
Dari Tabel 5 dan 6 diperoleh bahwa
penduga parameter yang dihasilkan oleh metode
25
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 22-26
G. Perbandingan hasil MCD-Bootstrap dan
LMS-Bootstrap
Perbandingan hasil analisis dengan metode
MCD-bootstrap dan LMS-bootstrap dapat
dilihat pada Tabel 9 dan 10 adalah berikut:
Tabel 9. Lebar selang pada selang kepercayaan
95% untuk dan pada metode
MCD-bootstrap dan LMS-bootstrap
Parameter
Persentase
Pencilan
5%
10%
15%
5%
10%
15%
Metode
MCD-bootstrap
B= 500
0.2067
0.2449
0.2707
0.1337
0.1598
0.1762
B= 1000
0.205
0.2415
0.2635
0.1338
0.1574
0.1712
LMS-bootstrap
B= 500
B= 1000
0.2102
0.2138
0.2512
0.2658
0.2935
0.2778
0.1367
0.1389
0.1629
0.1725
0.1914
0.18
Tabel 10. Lebar selang pada selang kepercayaan
99% untuk dan pada metode
MCD-bootstrap dan LMS-bootstrap
Persentase
Parameter
Pencilan
5%
10%
15%
5%
10%
15%
Metode
MCD-bootstrap
B= 500
0.2625
0.3376
0.3562
0.1716
0.2208
0.2297
B= 1000
0.2644
0.3078
0.3588
0.1718
0.2008
0.2333
LMS-bootstrap
B= 500
B= 1000
0.2895
0.2703
0.3371
0.3329
0.3737
0.3761
0.1877
0.1759
0.2185
0.2157
0.2419
0.2428
ISSN: 2303-1751
DAFTAR PUSTAKA
[1] Neter, J., Wasserman, W., & Kutner, M.
1997. Model Linier Terapan Buku II:
Analisis Regresi Linier Sederhana.
(Terjemahan
Bambang
Sumantri).
Bandung: Jurusan FMIPA-IPB.
[2] Efron, B., & Tibshirani, R.J. 1993. An
Introduction to the Bootstrap. New York
London: Chapman & Hall.
[3] Hubert, M., & Debruyne, M. 2009.
Minimum Covariance Determinant. WIREs
Computational Statistics 2010, pp 36-43.
[4] Rousseeuw, P.J. 1999. Fast Algorithm for
the Minimum Covariance Determinant
Estimator. Technometrics, august 1999.
Vol. 41, No. 3 American Statistical
Association and the American Society for
Quality, pp.212-223.
[5] _____________,1984. Least Median of
Squares Regression. Journal of the
American Statistical Association, pp. 871880.
Dari Tabel 9 dan 10 menunjukkan bahwa
dengan selang kepercayaan 95% dan 99%,
metode MCD-bootstrap menghasilkan nilai
lebar selang yang lebih kecil dibandingkan
metode LMS-bootstrap untuk semua persentase
pencilan pada dan .
4. KESIMPULAN
Metode MCD-bootstrap maupun LMSbootstrap merupakan metode yang baik dalam
menduga nilai parameter saat data mengandung
pencilan. Pada selang kepercayaan 95% dan
99%, metode MCD-bootstrap dan LMSbootstrap menghasilkan nilai penduga parameter
yang bersifat tidak bias untuk seluruh persentase
pencilan. Karena lebar selang kepercayaan yang
dihasilkan metode MCD-bootstrap lebih pendek
dibanding metode LMS-bootstrap, maka dapat
dikatakan metode MCD-bootstrap lebih akurat.
26
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 27-31
ISSN: 2303-1751
DUL
PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN
PERSAMAAN NON-LINEAR BLACK-SCHOLES
Putu Ayu Deni§1, Komang Dharmawan2, G. K. Gandhiadi3
1
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]]
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]]
3
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]]
§
Corresponding Author
2
ABSTRACT
Option are contracts that give the right to sell and buy the asset at a price and a certain period of
time. In addition investors use option as a means of hedge against asset owned. Many methods are
used to determine the price of option, one of them by using the Black-Scholes equation. But its use
these in the assumption that the value for the constant volatility. On market assumption are not
appropriates, so many researchers proposed using a volatility calculation option that is non-constant
Black-Scholes equation modelled using the volatility is not constant in the range so as to produce a
non-linear equation of Black-Scholes. In addition to determine the value of hedge ratio. On
completions of this study, for the numerical solution of non-linear Black-Scholes equation using
method of explicit finite difference scheme. Option use in research us a stock YAHOO!inc. as the
underlying asset. The result showed that the price of the option is calculated using non-linear BlackScholes equation price close on the market. Therefore, it can produce hedge ration for a risk-free
portfolio containing of the option and stock.
Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility, non-linear Black-Scholes, hedge ration, finite
difference methods, explicit scheme
1. PENDAHULUAN
Perkembangan investasi ditunjukan dengan
munculnya
berbagai
macam
alternatif
instrumen investasi salah satunya adalah opsi.
Opsi merupakan kontrak yang memberikan hak
untuk membeli atau menjual aset pada harga
dan jangka waktu tertentu. Opsi kerap
digunakan oleh investor sebagai sarana untuk
melakukan lindung nilai (hedging) terhadap
aset yang dimiliki.
Terdapat berbagai cara yang dapat
dilakukan dalam menghitung harga opsi, salah
satu cara yang sering digunakan dalam dunia
keuangan adalah model Black-Scholes. Dengan
asumsi nilai volatilitas yang konstan, penerapan
persamaan Black-Scholes ini dianggap belum
sesuai dengan keadaan nyata dalam pasar
keuangan. Pada pasar, nilai volatilitas memiliki
kecenderungan tidak konstan. Sehingga model
diturunkan menggunakan persamaan diferensial
stokastik yang mengasumsikan diketahui
adanya rentang dalam nilai volatilitas. Model
tersebut mengubah asumsi bahwa volatilitas
yang dianggap konstan diubah menjadi tidak
konstan sehingga dapat ditentukan nilai
opsinya. Selanjutnya akan ditentukan nilai
hedge ratio menggunakan model Non-Linear
Black-Scholes.
2. TINJAUAN PUSTAKA
A. Persamaan Klasik Black-Scholes
Dalam sebuah opsi terdapat nilai
yang
merupakan fungsi dari berbagai macam
parameter, ditulis
. Dengan
, merupakan harga dari underlying asset;
adalah waktu ;
adalah drift dari ;
merupakan strike price; adalah batas waktu
akhir opsi; dan bunga bebas risiko (Qiu &
Lorenz [3]). Asumsi dasar dari model klasik
27
Penentuan Harga Opsi Dan Nilai Hedge Menggunakan…
Deni, P.A., Dharmawan, K., Gandhiadi, G.K.
Black-Scholes mengikuti:
1. Tingkat suku bunga bebas risiko diketahui
konstan, harga dari underlying asset
mengikuti log-normal random walk
2. Drift dan volatilitas diketahui konstan
3. Saham tidak membayarkan dividen
4. Tipe opsi adalah opsi Eropa
Diberikan merupakan portofolio dari nilai
opsi dan sebagai ukuran dari underlying asset
(1)
Dengan mengikuti asumsi bahwa harga dari
underlying asset mengikuti log-normal random
walk
(2)
Perubahan harga saham
dapat dimodelkan
dengan menggunakan lemma Ito. Dimisalkan ,
suatu peubah yang bergantung pada
perubahan harga saham dan waktu. Apabila
harga saham mengikuti persamaan (2) maka
diperoleh
(3)
Sehingga portofolio berubah menjadi
(
)
(
)
(8)
Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan
sehingga dapat ditulis kembali dengan
(9)
B. Persamaan Non-Linear Black-Scholes
Dalam perkembangannya model dari
volatilitas yang tidak pasti sangat populer dan
menarik (Zhang & Wang [5]).
Asumsi yang mendasari model BlackScholes akan dimodifikasi dalam parameter
volatilitas
, dalam hal ini akan difokuskan
pada asumsi volatilitas yang konstan. Pada
volatilitas yang tidak konstan merupakan
variabel stokastik yang tidak pasti. Terdapat
dua cara untuk mencari nilai volatilitas yaitu
dengan cara implied dan historical (Qiu &
Lorenz [3]).
Misalkan volatilitas terletak dalam rentang
(10)
Akan diasumsikan bahwa volatilitas
terdapat pada selang waktu tertentu yang akan
memberikan keuntungan atau kerugian pada
batas waktu jatuh tempo.
(4)
Selanjutnya diperoleh
Pada persamaan (4) akan mengeleminasi risiko
dengan menggunakan delta hedging, sehingga
dipilih
(5)
Dengan menggunakan persamaan (5) maka
perubahan nilai portofolio menjadi
(
)
(6)
Dengan asumsi dari arbitrage-free market,
perubahan
akan sama dengan pertumbuhan
dari dalam asset yang mendapat bunga bebas
risiko sehingga
(
)
(
(
)
)
Sekarang akan diamati bahwa volatilitas
akan dikalikan dengan gamma
opsi
tersebut. Oleh karena itu nilai
akan
memberikan nilai minimum atau maksimum
tergantung pada nilai gamma. Ketika gamma
positif dipilih
menjadi nilai terendah
dan ketika gamma bernilai negatif dipilih
menjadi nilai terbesar
. Diperoleh untuk
kasus terburuk dengan fungsi
memenuhi
(7)
Dengan mensubstitusi persamaan (6) ke dalam
(7), didapat persamaan diferensial BlackScholes sebagai berikut
28
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 27-31
dengan
ISSN: 2303-1751
Selanjutnya didefinisikan titik grid sepajang
jarak dan pada sumbu waktu
un uk
un uk
dan
{
ka
ka
Persamaan (12) dapat ditulis dalam bentuk
umum sebagai berikut
Untuk selanjutnya dapat diperoleh opsi
terbaik dengan fungsi
dan range yang
yang diperoleh memenuhi
(13)
Dari persamaan (13), diperoleh
(
)
(
)(
)
dengan
Untuk mencegah terjadinya osilasi, kondisi
tersebut harus memenuhi
dan
{
(
ka
ka
3. METODE PENELITIAN
C. Solusi Numerik dengan Metode Beda
Hingga
Pada kasus dengan satu aset akan dicari
solusi numerik dengan menggunakan metode
beda hingga. Dalam penelitian ini digunakan
skema eksplisit dengan pendekatan pada
persamaan
diferensial
Black-Scholes.
Selanjutnya dapat ditulis persamaan BlackScholes sebagai berikut
(11)
untuk
dengan syarat awal
dan syarat batas
Selanjutnya persamaan (11) dapat ditulis
sebagai
dengan kondisi awal
(
)
)
(12)
Jenis data yang digunakan dalam penelitian
ini adalah data sekunder berupa data harga opsi
dari Yahoo! Inc (YHOO) dengan periode pada
waktu jatuh tempo pada bulan September 2015.
Dalam penelitian ini mengambil data harga opsi
dari http://finance.yahoo.com//
Metode pengumpulan data yang dilakukan
dalam penelitian tugas akhir ini adalah dengan
observasi data sekunder harga opsi. Disamping
itu, studi literatur juga dilakukan yaitu
membaca dan mencatat data serta informasi dari
buku, jurnal, dan skripsi guna mendapatkan
pengetahuan tambahan mengenai hal-hal yang
terkait dalam penyusunan tugas akhir ini.
Langkah-langkah penentuan harga opsi
dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari dan menentukan data opsi
Data yang digunakan adalah data harga opsi
put dan call dalam periode Juli-Setember
2015. Data opsi tersebut dapat ditemukan
dalam alamat web
http://finance.yahoo.com/q/op?s=YHOO+O
ptions.
2. Menentukan parameter dan variabel.
Pada penelitian ini akan digunakan implied
volatilitas sebagai parameter volatilitas,
yang terdapat pada daftar harga opsi.
Langkah selanjutnya mencari variabel-
29
Deni, P.A., Dharmawan, K., Gandhiadi, G.K.
variabel yang diperlukan untuk menghitung
opsi, yaitu (harga saham awal), T (waktu
jatuh tempo opsi), K (harga eksekusi opsi), r
(suku bunga bebas risiko), dan harga
maksimum (S plus) dan minimum (S minus)
yang diperoleh dari data opsi.
3. Solusi numerik untuk persamaan diferensial
Black-Scholes tak linier.
Dalam penelitian ini persamaan diferensial
akan diselesaikan menggunakan skema
eksplisit, dengan kondisi yang bersyarat
yaitu
(
)
{
dengan gamma
Skema ini akan diselesaikan dengan
algoritma dari solusi numerik pada persamaan
(11) dan (12) (Dharmawan, K. [1])
Untuk
dan
(1) Masukkan nilai awal {
}
Penentuan Harga Opsi Dan Nilai Hedge Menggunakan…
Untuk menghitung nilai hedge ratio
diselesaikan mengikuti langkah berikut
untuk
i. Lakukan langkah berikut untuk
ii. Lakukan langkah diatas untuk
a a engan
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Implementasi Persamaan Non-linear
Black-Scholes
Pada penelitian ini digunakan volatilitas
yang tidak konstan. Pada persamaan klasik
Black-Scholes dimodelkan kedalam bentuk
persamaan non-linear Black-Scholes dengan
menggunakan pendekatan solusi numerik.
Solusi numerik diselesaikan menggunakan
metode beda hingga dengan skema eksplisit.
Hasil implementasi berikut menggunakan input
yaitu,
,
, , , , , , ,
dan
. Dengan menggunakan algoritma ,
diperoleh grafik sbagai berikut
(2) Definisikan titik grid dengan melakukan
langkah-langkah berikut untuk
i. Masukkan nilai
ii. Lakukan langkah berikut untuk
a a
iii. Cari nilai
dengan
iv. Jika
maka dipilih nilai
⁄
dengan
,
jika tidak maka dipilih nilai
⁄
dengan nilai
v. Selanjutnya hitung nilai
(3) Lakukan langkah yang sama seperti
langkah no 2 dengan
sampai dengan
4. Mencari hedge ratio
Dalam mencari hedge akan digunakan
turunan kedua dari persamaan (5) dengan
mengikuti algoritma berikut.
Pada gambar di atas dengan harga tebus (K)
sebesar 47,00, digunakan nilai opsi dengan
volatilitas yang berada pada rentang
dengan nilai sebesar 6,032. Dari
hasil diatas, dengan harga saham yang
ditawarkan sebesar 52 dan para pemegang opsi
menyepakati
harga
tebus
atau
harga
kesepakatan sebesar 47,00 maka diperoleh
harga opsi sebesar 6,032. Harga ini dipilih
karena harga tersebut didapat dengan
30
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 27-31
ISSN: 2303-1751
menggunakan volatilitas tidak konstan yang
sesuai dengan keadaan pasar.
5. KESIMPULAN DAN SARAN
B. Implementasi dalam Penentuan Nilai
Hedge Ratio
Perhitungan opsi menggunakan persamaan
non-linear Black-Scholes menghasilkan harga
opsi yang ideal karena sesuai dengan keadaan
pasar yang bergerak dengan volatilitas yang
tidak konstan. Dengan menggunakan volatilitas
antara 20% dan 30% diperoleh harga opsi
sebesar 6,032.
Dari perhitungan untuk nilai hedge ratio
diperoleh rasio untuk portofolio yaitu proporsi
untuk underlying asset dan opsi sehingga
diperoleh portofolio yang bebas risiko dengan
rasio sebesar 49,6% dan underlying asset 50,4%
pada harga tebus sebesar 47.
Hedge ratio adalah tingkat perubahan ratarata nilai opsi terhadap harga saham.
Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan
model Black-Scholes didapat rasio lindung nilai
terdapat pada persamaan (5). Dengan nilai
adalah total dari nilai opsi dalam portofolio,
yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio.
Hedge ratio menujukkan bahwa ada
kemungkinan membuat portofolio yang bebas
resiko yang terdiri dari opsi dan saham. Nilai
hedge ratio akan hitung menggunakan
persamaan non-linear Black-Scholes,yang akan
diselesaikan dengan algortima sehingga
diperoleh grafik sebagai berikut
A. Kesimpulan
B. Saran
Pada penelitian ini menggunakan opsi
dengan tipe Eropa, untuk pengembangan
penelitian diharapkan dapat menggunakan opsi
dengan tipe Amerika dan tipe Barier. Pada
penghitungan harga opsi dengan tipe Eropa
dapat disertakan deviden.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Dharmawan, K. (2005). Supperreplication
Method for Multi-asset Barrier Options.
Ph.D. Thesis. University of New South
Wales Library, Sydney.
[2] Husnan, S. (1998). Dasar-Dasar Teori
Portofolio. Yogyakarta: UPP AMP YKPM.
Dari gambar diatas menunjukkan bahwa
harga opsi dengan delta hedging diperoleh
sebesar 0,496 sehingga diperoleh besaran rasio
hedge utuk opsi 49,6% sedangkan untuk saham
50,4% sehingga terbentuk portofolio yang
terdiri dari aset yang berisiko dan yang bebas
risiko.
[3] Qiu, Y., & Lorenz, J. (2009). A Non-Linier
Black-Scholes Equation. Int. J. Business
Perform and Supply Chain Modelling, vol.1,
pp.33-40.
[4] Willmot, P. (1998). The Theory and Practice
of Financial Engineering. New York: John
Wiley & Sons.
[5] Zhang, K., & Wang, S. (2009). A
Computational Scheme for Uncertain
Volatility Model in Option Pricing. IMACS,
1754-1767.
31
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 32-37
ISSN: 2303-1751
PENENTUAN CADANGAN PREMI UNTUK ASURANSI JOINT LIFE
Ni Luh Putu Ratna Dewi§1, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3
1
Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]]
Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]]
3
Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]]
§
Corresponding Author
2
ABSTRACT
Premium reserve is a number of fund that need to be raised by insurance company in preparation for
the payment of claims. This study aims to get the formula of premium reserve as well as the value of
the premium reserve for joint life insurance by using retrospective calculation method. Joint life
insurance participants in this study are limited to 2 people. Calculations in this study is using
Indonesian Mortality Table (TMI) 2011, joint life mortality tables, commutation tables, value of
annuities, value of single premiums and constant annual premium and using constant interest rates of
5%. The results showed that by using age of the participant insurance joint life of x = 50 and y = 45
years and the premium payment period of t = 10 years, we obtained that the value of premium reserve
from the end of the first year until the end of the 11th year has increased every year, while the value
of premium reserves from the end of the 12th year and so on until a lifetime has decreased every year.
Keywords: Joint Life Insurance, Premium Reserve, Retrospective
1.
PENDAHULUAN
Asuransi jiwa dilihat dari jumlah
tertanggungnya dapat dibagi menjadi dua yaitu
asuransi jiwa tunggal dan asuransi jiwa
gabungan. Asuransi jiwa gabungan salah
satunya adalah asuransi joint life. Asuransi joint
life merupakan asuransi yang menanggung dua
jiwa atau lebih dalam satu polis asuransi.
Dalam asuransi jiwa, tertanggung akan
diberikan sejumlah uang yang disebut santunan
atau uang pertanggungan yang akan diberikan
oleh perusahaan asuransi. Tertanggung juga
mempunyai kewajiban kepada perusahaan
asuransi jiwa untuk membayar premi.
Premi yang telah terkumpul di perusahaan
asuransi jiwa nantinya akan digunakan oleh
perusahaan asuransi jiwa untuk membayar uang
pertanggungan. Dalam jangka waktu tertentu,
pendapatan yang diperoleh perusahaan asuransi
dari premi beserta bunganya biasanya akan jauh
lebih besar dari jumlah uang pertanggungan
yang harus dibayarkan oleh perusahaan
asuransi kepada pihak tertanggung. Kelebihan
dana inilah yang kemudian disimpan sebagai
cadangan premi.
Cadangan premi ini nantinya akan
digunakan
untuk
membayar
uang
pertanggungan apabila terjadi klaim dan premi
tidak mencukupi untuk membayar uang
pertanggungan tersebut sehingga perusahaan
asuransi tidak kesulitan untuk membayarnya.
Menurut Destriani & Mara [2], perusahaan
asuransi jiwa tidak sedikit yang mengalami
kerugian yang disebabkan karena perusahaan
tersebut tidak tepat dalam mengatur cadangan
preminya. Akibatnya, perusahaan asuransi tidak
mampu membayar uang pertanggungan kepada
pihak tertanggung ketika jumlah klaim yang
diajukan pihak tertanggung ternyata melebihi
jumlah klaim yang telah diprediksi sebelumnya.
Keadaan ini dapat diantisipasi jika perusahaan
asuransi jiwa memiliki dana cadangan premi
yang telah disiapkan dan dihitung dengan tepat.
Salah satu metode perhitungan cadangan
premi bersih adalah metode perhitungan secara
retrospektif. Perhitungan secara retrospektif
32
Ratna Dewi, N.L.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.
Penentuan Cadangan Premi Untuk Asuransi Joint Life
merupakan perhitungan cadangan premi
berdasarkan jumlah total pendapatan di waktu
yang lampau sampai dilakukan perhitungan
cadangan,
dikurangi
dengan
jumlah
pengeluaran di waktu yang lampau (Futami
[3]).
Pada penelitian ini, akan dicari formula
cadangan premi bersih tahunan pada asuransi
joint life dengan menggunakan metode
perhitungan
cadangan
premi
secara
retrospektif, dan untuk perhitungan premi
tahunan pada penelitian ini akan dihitung
dengan menggunakan formula premi tahunan
konstan untuk asuransi joint life yang telah
diteliti oleh (Matvejevs & Matvejevs [5]).
Peluang gabungan dari dua orang yang
berusia x dan y tahun akan tetap hidup selama t
tahun dinotasikan dengan
dirumuskan
sebagai berikut:
Premi tunggal pure endowment joint life
untuk peserta yang berusia x tahun dan y
tahun, dengan jangka waktu tertanggung t
tahun dan besar uang pertanggungan adalah
Rp. 1, dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai
berikut:
(1)
Peluang dua orang berusia x dan y yang
meninggal dalam jangka waktu t tahun
dinotasikan dengan
, (Futami [4]) dan
dirumuskan sebagai berikut:
(5)
⌉
Premi tunggal asuransi berjangka joint life
menurut (Matvejevs & Matvejevs [5])
dirumuskan sebagai berikut:
∑
(6)
⌉
Premi tunggal anuitas menaik pada
asuransi joint life dalam (Futami [4])
dirumuskan sebagai berikut:
(7)
⌉
∑
Menurut (Matvejevs & Matvejevs [5])
nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai
tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak
penanggung
dapat dirumuskan sebagai
berikut:
Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan
konstan pada joint life dapat dinyatakan
sebagai
(
Anuitas awal pada anuitas yang ditunda
dengan jangka waktu penundaan t tahun,
(Futami [3]) dirumuskan sebagai berikut:
| ̈
̈
)
⌉
(8)
Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan
oleh pihak penanggung dapat dinyatakan
sebagai
|
∑∑
(3)
Nilai sekarang anuitas awal dari anuitas
hidup berjangka joint life apabila x dan y tetap
hidup, dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai
berikut:
|
∑∑
⌉
| ̈
̅|
| ̈
̈
(9)
⌉
(4)
⌉
∑
Dengan menggunakan prinsip ekivalensi,
besar preminya adalah
̈
⌉
⌉
| ̈
| ̈
⌉
33
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 32-37
sehingga besarnya premi tahunan yang harus
dibayarkan oleh peserta asuransi adalah
| ̈
̅̅̅|
̈
⌉
| ̈
⌉
(10)
2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan pada penelitian ini
adalah data sekunder yang bersumber dari
Matvejevs & Matvejevs [5]. Data sekunder
yang digunakan adalah usia awal peserta pada
saat mengikuti kontrak asuransi joint life, masa
pertanggungan asuransi, tingkat bunga,
formula premi tahunan konstan asuransi joint
life. Pada penelitian ini juga menggunakan
Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011.
Langkah-langkah dalam proses penelitian
ini adalah: (1) Menentukan formula cadangan
premi tahunan pada asuransi joint life dengan
perhitungan
cadangan
premi
secara
retrospektif; (2) Menghitung nilai dari tabel
mortalitas joint life berdasarkan Tabel
Mortalitas Indonesia (TMI) 2011; (3)
Menghitung nilai tunai pembayaran untuk
tingkat bunga; (4) Menghitung nilai dari tabel
komutasi tunggal; (5) Menghitung nilai anuitas
awal dari anuitas hidup yang ditunda; (6)
Menghitung nilai premi tunggal pure
endowment, nilai premi tunggal asuransi
berjangka joint life, nilai premi tunggal anuitas
menaik pada asuransi joint life. (7)
Menghitung nilai premi tahunan konstan pada
asuransi joint life; (8) Menghitung nilai
cadangan premi tahunan pada asuransi joint
life menggunakan formula yang telah didapat
pada langkah pertama.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Formula Cadangan Premi Tahunan
Asuransi Joint Life
Kontrak asuransi joint life ini melibatkan
pasangan suami-istri dengan usia berturutturut x tahun dan y tahun dengan uang
pertanggungan sebagai berikut: (a) Apabila
kedua peserta asuransi joint life (x dan y)
ISSN: 2303-1751
masih hidup sampai kontrak berakhir maka
akan diberikan uang pertanggungan sebesar
dan kontrak asuransi berakhir; (b) Apabila
salah satu peserta asuransi joint life meninggal
dunia sebelum masa kontrak berakhir,
misalkan x meninggal, maka pembayaran
premi dihentikan dan pada akhir tahun
kematian dari x akan diberikan uang sejumlah
premi yang telah dibayarkan kepada
pasangannya yang masih hidup. Apabila
pasangannya yaitu y masih tetap hidup diakhir
kontrak, maka y akan diberikan uang sebesar
setiap tahunnya selama seumur hidup.
Begitu juga sebaliknya, apabila y meninggal
dunia maka x yang akan diberikan uang
sebesar
setiap tahunnya selama seumur
hidup. Namun apabila pasangannya juga
meninggal sebelum masa kontrak berakhir
maka
tidak
ada
pembayaran
uang
pertanggungan lagi; (c) Apabila x dan y keduaduanya meninggal ditahun yang sama sebelum
kontrak berakhir maka uang pertanggungan
sejumlah premi yang telah dibayarkan akan
diberikan kepada ahli warisnya dan kontrak
asuransi berakhir.
Berdasarkan kontrak asuransi tersebut
maka diperoleh formula cadangan premi untuk
asuransi joint life dengan metode perhitungan
secara retrospektif adalah sebagai berikut:
Cadangan premi akhir tahun pertama
adalah sebagai berikut:
(
)
dengan
merupakan premi bersih
tahunan yang dibayarkan pada permulaan
tahun pertama yang dibungakan selama
setahun kemudian dikurangi dengan
yang merupakan uang pertanggungan
yang dibayarkan pada akhir tahun pertama.
Selanjutnya untuk lebih memudahkan
penulisannya,
dimisalkan
(
)
dengan
dan merupakan lamanya masa
pembayaran premi atau lamanya kontrak
asuransi sehingga cadangan premi akhir tahun
kedua adalah sebagai berikut:
34
Ratna Dewi, N.L.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.
dengan
merupakan seluruh dana yang
berasal dari tahun pertama kemudian
ditambahkan dengan premi pada tahun kedua
yaitu
.
Keduanya
kemudian
dibungakan selama setahun lalu dikurangi
dengan (
) yang merupakan
uang pertanggungan yang dibayarkan pada
akhir tahun kedua. Selisih tersebut kemudian
dibagi dengan . Selanjutnya cadangan akhir
tahun ketiga sampai akhir tahun kemenggunakan formula yang sama seperti
cadangan akhir kedua.
(
)
Selanjutnya cadangan premi akhir tahun
keberbeda dengan cadangan premi akhir
tahun ke-t karena pada tahun kesudah
tidak ada pembayaran premi lagi.
Dimisalkan
(
)
dengan
sehingga
cadangan akhir tahun keadalah sebagai
berikut
(
(
)
(
)
meninggal sebelum akhir tahun ke- dan
masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- lalu
dibungakan selama setahun. Selisih tersebut
kemudian dibagi dengan
.
Selanjutnya cadangan premi akhir tahun
keadalah sebagai berikut:
(
)
(
(
)
)
dengan
merupakan seluruh
dana yang berasal dari tahun keyang
dibungakan selama setahun lalu dikurangi
dengan
(
)
yaitu uang
pertanggungan yang diberikan apabila
meninggal sebelum akhir tahun ke- dan
masih tetap hidup sampai akhir tahun kelalu dibungakan selama setahun, dan
(
)
yaitu
uang
pertanggungan yang diberikan apabila
meninggal sebelum akhir tahun ke- dan
masih tetap hidup sampai akhir tahun kelalu dibungakan selama setahun. Selisih
tersebut kemudian dibagi dengan
.
Cadangan premi akhir tahun kedan
seterusnya sampai seumur hidup dicari dengan
menggunakan formula yang sama seperti pada
cadangan premi akhir tahun ke.
3.2 Contoh Kasus
)
(
Penentuan Cadangan Premi Untuk Asuransi Joint Life
)
dengan
seluruh dana yang
berasal dari tahun ke-t kemudian dibungakan
selama setahun lalu dikurangi dengan
(
)
yaitu uang pertanggungan
yang diberikan apabila
dan
masih tetap
hidup sampai akhir tahun keyang
dibungakan selama setahun.
(
)
yaitu uang pertanggungan yang
diberikan apabila meninggal sebelum akhir
tahun ke- dan
masih tetap hidup sampai
akhir tahun ke- lalu dibungakan selama
setahun,
(
)
yaitu uang
pertanggungan yang diberikan apabila
Usia peserta mulai mengikuti asuransi
dalam kasus ini yaitu usia suami
adalah 50
tahun sedangkan untuk usia istri
adalah 45
tahun dengan masa pembayaran premi adalah
tahun. Tingkat suku bunga yang
digunakan dalam kasus ini adalah konstan
yaitu sebesar 5%.
Rincian uang pertanggungan yang
diberikan perusahaan asuransi kepada peserta
asuransi joint life adalah sebagai berikut: (a)
Apabila kedua peserta asuransi joint life (x dan
y) masih hidup sampai kontrak berakhir maka
akan diberikan uang pertanggungan sebesar
Rp.1
dan kontrak asuransi berakhir;
(b) Apabila salah satu peserta asuransi joint
life meninggal dunia sebelum masa kontrak
berakhir, misalkan x meninggal, maka
35
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 32-37
pembayaran premi dihentikan dan pada akhir
tahun kematian dari x akan diberikan uang
sejumlah premi yang telah dibayarkan kepada
pasanganya yang masih hidup. Apabila
pasangannya yaitu y masih tetap hidup diakhir
kontrak, maka y akan diberikan uang sebesar
Rp.1
(
setiap tahunnya selama
seumur hidup. Begitu juga sebaliknya, apabila
y meninggal dunia maka x
yang akan
diberikan uang sebesar Rp.1
setiap
tahunnya selama seumur hidup. Namun
apabila pasangannya juga meninggal sebelum
masa kontrak berakhir maka tidak ada
pembayaran uang pertanggungan lagi. (c)
Apabila x dan y kedua-duanya meninggal
ditahun yang sama sebelum kontrak berakhir
maka uang pertanggungan sejumlah premi
yang telah dibayarkan akan diberikan kepada
ahli warisnya dan kontrak asuransi berakhir.
Berdasarkan kontrak asuransi tersebut
dan berdasarkan persamaan (10) maka
diperoleh nilai premi tahunan konstan
untuk asuransi joint life adalah sebagai
berikut:
| ̈
⌉
̈
⌉
| ̈
⌉
Selanjutnya nilai cadangan premi untuk
asuransi joint life dengan menggunakan
formula yang telah diperoleh sebelumnya
dapat dilihat pada Tabel 3.1.
Dapat dilihat pada Tabel 3.1 hasil
perhitungan cadangan premi pada asuransi
joint life dengan menggunakan perhitungan
secara retrospektif untuk usia peserta
dan
diperoleh cadangan premi akhir
tahun ke-1 sampai dengan akhir tahun ke-11
mengalami peningkatan setiap tahunnya yang
disebabkan karena uang yang masuk ke
perusahaan asuransi dari pembayaran premi
sangat besar dan terus meningkat setiap
tahunnya jauh melampaui jumlah uang
pertanggungan yang harus dibayarkan
ISSN: 2303-1751
sehingga cadangan premi yang diperoleh juga
terus meningkat setiap tahunnya.
Tabel 3.1 Nilai Cadangan Premi Asuransi Jiwa
Joint Life untuk
dan
Jangka
Waktu
(w)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
0.21957
0.44660
0.68084
0.92203
1.16990
1.42415
1.68452
1.95068
2.22234
2.49927
13.67372
13.42691
13.17482
12.91677
12.65248
12.38185
12.10511
11.82236
11.53587
11.24550
10.95207
10.65609
10.35973
10.06286
9.76568
9.46727
9.16836
8.87004
8.57319
8.27878
7.98680
7.69779
7.41078
Jangka
Waktu
(w)
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
7.12545
6.84150
6.55873
6.28404
6.01835
5.75848
5.50432
5.25641
5.00598
4.76813
4.54290
4.33150
4.12583
3.89479
3.65545
3.42292
3.20895
3.03087
2.88485
2.77982
2.64108
2.49038
2.34529
2.20507
2.07042
1.94229
1.82246
1.71290
1.61176
1.51589
1.41525
1.28223
1.00000
Selanjutnya nilai cadangan premi dari
tahun ke-12 dan seterusnya mengalami
penurunan yang disebabkan karena dari tahun
ke-11 sudah tidak ada lagi pembayaran premi
sehingga tidak ada lagi uang yang masuk ke
perusahaan asuransi sedangkan perusahaan
asuransi harus tetap melakukan pembayaran
uang pertanggungan setiap tahunnya sehingga
cadangan premi yang terdapat diperusahaan
asuransi akan terus menurun setiap tahunnya.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang
telah dijelaskan, maka dapat disimpulkan
bahwa rumusan/formula cadangan premi
36
Ratna Dewi, N.L.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.
Penentuan Cadangan Premi Untuk Asuransi Joint Life
untuk asuransi joint life dengan perhitungan
secara retrospektif adalah sebagai berikut:
peneliti selanjutnya dapat menggunakan
tingkat suku bunga yang tidak konstan dan
menggunakan metode perhitungan cadangan
premi bersih lainnya seperti metode
perhitungan secara prospektif.
(
(
)
)
(
Dimisalkan
)
dengan
dan
merupakan lamanya masa pembayaran premi
atau lamanya kontrak asuransi sehingga
cadangan premi akhir tahun kedua sampai
akhir tahun ke- adalah sebagai berikut:
(
)
(
)
dengan
Selanjutnya dimisalkan
)
dengan
, sehingga cadangan akhir
sampai seterusnya adalah
.
(
tahun kesebagai berikut:
(
(
)
(
)
)
(
[1] Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC,
Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1997.
Actuarial
Mathematics.
2nd
ed.
Schaumburg : The Society of Actuaries.
[2] Destriani, Satyahadewi, N. & Mara,
M.N., 2014. Penentuan Nilai Cadangan
Prospektif pada Asuransi Jiwa Seumur
Hidup Menggunakan Metode New
Jersey. Buletin Ilmiah Mat.Stat dan
Terapannya (BIMASTER), 03, pp.7-12.
[3] Futami, T., 1993. Matematika Asuransi
Jiwa Bagian I. Herliyanto G, penerjemah.
Tokyo (JP): Oriental Life Insurance
Cultural
Development
Center.
Terjemahan dari: Seime Hoken Sugaku
Gekan ("92 Revision).
[4]
)
(
(
DAFTAR PUSTAKA
)
(
)
)
dan seterusnya
Berdasarkan formula cadangan premi
tersebut serta untuk kasus usia awal peserta
laki-laki
tahun dan perempuan tahun dan
lama pembayaran premi
tahun, diperoleh
nilai cadangan premi akhir tahun ke-1 sampai
akhir tahun ke-11 mengalami peningkatan
setiap tahunnya, sedangkan nilai cadangan
premi dari akhir tahun ke-12 dan seterusnya
sampai seumur hidup mengalami penurunan.
Pada penelitian ini, penulis hanya dapat
meneliti bagaimana cara menentukan formula
dari cadangan premi tahunan pada asuransi
joint life menggunakan metode perhitungan
secara retrospektif dengan tingkat suku bunga
konstan. Tidak menutup kemungkinan untuk
,1994. Matematika Asuransi
Jiwa
Bagian
2.
Herliyanto
G,
penerjemah. Tokyo (JP): Oriental Life
Insurance Cultural Development Center.
Terjemahan dari: Seime Hoken Sugaku
Gekan ("92 Revision).
[5] Matvejevs, A. & Matvejevs, A., 2001.
Insurance Models for Joint Life and Last
Survivor Benefit. Informatica, 12(4),
pp.547-58.
37