grup monotetik topologi diskrit berhingga pada

Saintia Matematika
Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591–602.
GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT
BERHINGGA PADA DUALITAS
PONTRYAGIN
L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih
Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal, grup yang memiliki subgrup siklik yang padat menjadi hal yang sangat mendasar. Van Dantzig memperkenalkan
grup dengan struktur tersebut sebagai grup monotetik. Dualitas Pontryagin merupakan homomorfisma kontinu antara grup topologi G dan grup lingkaran T, yakni
Hom(G, T), dan himpunan semua homomorfisma tersebut membentuk grup dual,
b dengan
disimbolkan G,
b = {φ | φ : G → T, φ kontinu }.
G
Penelitian ini mengkaji struktur grup dual bilamana G adalah grup monotetik.
Akan diperlihatkan G dan grup dualnya memiliki orde yang sama dan keduanya
isomorfik.
1. PENDAHULUAN
Konsep siklisitas dalam Teori grup berkembang dengan menggunakan Teori
bilangan sebagai dasar dalam membangun struktur aljabarnya. Dalam Disquisitiones Arithmeticae tahun 1801, beberapa struktur grup diperkenalkan
menurut konteks bilangan secara teoritis, dan berdampak besar pada pengenalan teori grup abel berhingga. Gauss menunjukkan bahwa himpunan bilangan bulat tak kosong modulo bilangan prima p, masing-masingnya adalah
Received 24-10-2013, Accepted 25-11-2013.
2010 Mathematics Subject Classification: 37M20
Key words and Phrases: dualitas pontryagin, grup dual pontryagin, grup lingkaran, monotetik,
siklik.
591
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
592
perpangkatan dari setiap unsur yang disebut sebagai pembangkit grup siklik
Zp .
Dalam[1], grup G dikatakan grup siklik jika terdapat a ∈ G dengan
G = {an | n ∈ Z}. Unsur a disebut juga sebagai unsur pembangkit dan
n disebut orde G dengan n adalah bilangan bulat terkecil sehingga an =
e, yang merupakan unsur identitas. Oleh terminologi umum, suatu grup
siklik yang dibangun suatu unsur, andaikan g dan berorde m, maka struktur
umumnya dapat ditulis sebagai berikut
hgi = {e, g 1 , g 2 , ..., g m−1 }
Terminologi siklik juga dapat ditemukan pada grup topologi. Dalam
teori ruang topologi yang dijelaskan pada[2], bila ruang topologi tersebut
mengandung semua subhimpunan yang mungkin dibentuk, maka disebut
ruang topologi diskrit. Ruang topologi diskrit yang berstruktur grup disebut sebagai grup topologi diskrit. Penutup dari sebuah subhimpunan, misalkan A dalam ruang topologi adalah irisan dari semua subhimpunan yang
mengandung A. Subhimpunan A dikatakan padat (dense) jika penutup A
adalah ruang topologi tersebut.
Definisi 1 Suatu grup topologi G dikatakan grup monotetik (monothetic)
jika terdapat subgrup siklik H yang padat di G, atau penutup dari H adalah
G.
Suatu elemen x ∈ G disebut pembangkit G jika x membangkitkan
subgrup siklik dari G. Grup yang memiliki subgrup siklik yang padat mempunyai peranan yang sangat penting dalam teori grup topologi diskrit[3].
Grup lingkaran adalah grup bilangan kompleks oleh representasi vektor polar dengan panjang vektor satu. Grup lingkaran dengan operasi perkalian
vektor disimbolkan oleh T dan dapat ditulis T = {z | |z| = 1, z ∈ C}. Grup
lingkaran isomorfik dengan grup operasi penjumlahan R/Z. Oleh struktur
topologinya, Armacost[4] menjelaskan T adalah grup monotetik, dan setiap
subgrup sejatinya akan isomorfik dengan grup siklik berhingga Zn .
Definisi 2 Andaikan G adalah grup topologi yang kompak lokal, maka dualitas Pontryagin ditunjukkan dengan
Hom(G, T)
Bila φ adalah homomorfisma kontinu pada grup G, maka himpunan semua
b = {φ | φ : G → T, φ kontinu}. Penelitian
homomorfisma kontinu adalah G
ini menekankan bilamana G adalah grup monotetik.
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
593
2. LANDASAN TEORI
Istilah dan teori yang akan dijelaskan dalam sub bagian secara umum akan
mengacu pada[5] dan[2]. Secara umum, ruang topologi adalah himpunan
semua subhimpunan atau subhimpunan dari suatu himpunan pokok dengan
syarat-syarat tertentu.
Definisi 3 Andaikan sebuah himpunan tak kosong X, koleksi τ dari subhimpunan X disebut topologi pada X bila memenuhi sifat berikut
(i) ∅ ∈ τ dan X ∈ τ
(ii) Untuk setiap U, V ∈ τ , berlaku U ∩ V ∈ τ
(iii) Jika {Vi | i ∈ I} adalah koleksi elemen di τ , maka ∪i∈I Vi ∈ τ
Jika τ adalah topologi di X, maka pasangan berurut (X, τ ) disebut sebagai
ruang topologi, dengan elemen dari τ disebut sebagai subhimpunan buka.
Bila τ = {∅, X} adalah topologi terkecil yang mungkin dibentuk, maka τ
disebut topologi indiskrit. Dan jika τ = P(X) adalah topologi dari semua
subhimpunan X, maka τ disebut sebagai topologi diskrit.
Lingkungan (Neighborhood) dari suatu titik x, disimbolkan Nx dalam
himpunan tak kosong adalah subhimpunan buka yang mengandung titik
tersebut. Ruang topologi disebut juga sebagai ruang Hausdorff jika memenuhi
aksioma terpisah Hausdorff (Hausdorff Separated Axiom). Yaitu setiap titik
memiliki lingkungan yang terpisah atau saling asing.
Dalam ruang topologi (X, τ ), suatu titik, misalkan x disebut sebagai
titik penutup (closure point) pada subhimpunan A di X jika untuk setiap
lingkungan Nx oleh x mengandung paling sedikit satu titik dari A, atau
bila Nx ∩ A 6= ∅ untuk setiap lingkungan Nx oleh x. Himpunan dari semua
titik penutup di A adalah penutup (closure) A, dan disimbolkan dengan A.
Himpunan A disebut padat jika A = A. Jelaslah bahwa untuk setiap subhimpunan A di X, berlaku A ⊆ A. Sebagai akibatnya, A adalah himpunan
tutup terkecil yang memuat A. Ini termuat dalam teorema pada[2].
Teorema 1 Untuk setiap subhimpunan A pada ruang topologi (X, τ ), A
adalah himpunan tutup terkecil yang memuat A.
Bukti. Pertama, akan diperlihatkan bahwa A adalah tertutup. Andaikan
sebuah titik x ∈ X dengan x ∈
/ A maka terdapat Nx sehingga Nx ∩ A = ∅.
Jika terdapat x1 ∈ Nx maka terdapat pula Nx1 ⊆ Nx dengan Nx1 ∩ A = ∅
c
c
c
sehingga x1 ∈
/ A atau x1 ∈ A . Maka, Nx ⊆ A yaitu A adalah buka, maka
A adalah tutup. Selanjutnya, jika B subhimpunan tutup dengan A ⊆ B,
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
594
maka untuk setiap x ∈ B c terdapat Nx ⊆ B c , sehingga Nx ∩ B = ∅ yang
tentunya Nx ∩ A = ∅. Ini menunjukkan tidak ada titik penutup di B c
sehingga A ⊆ B.
Dari teorema 1 di atas, muncul suatu corollary yang menegaskan teorema tersebut.
Corollary 1 A tertutup jika dan hanya jika A = A.
Bukti. Telah diketahui bahwa A adalah tertutup dari pembuktian teorema
1. Jadi, jika A = A maka A tertutup. Sebaliknya, andaikan A tertutup.
Pada kejadian ini, A adalah himpunan tutup yang tentu mengandung A itu
sendiri, maka A ⊂ A. Di sisi lain, untuk sebarang subhimpunan A yaitu
A ⊂ A, jika x ∈ A, maka setiap Nx mengandung sebuah titik dari A, yaitu
x, sehingga jika A tutup, maka A = A.
Fungsi pada dua ruang topologi (X, τ ) dan(Y, τ1 ) ditulis sebagai f :
(X, τ ) → (Y, τ1 ) atau disingkat f : X → Y atau cukup dengan f .
Definisi 4 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ ) → (Y, τ1 ) antara dua ruang
topologi, f disebut kontinu pada a ∈ X jika untuk setiap lingkungan Nf (a)
oleh f (a) terdapat lingkungan f −1 (Nf (a) ) oleh a.
Jika f kontinu di semua titik di X, maka f disebut fungsi kontinu.
Pada ruang topologi dengan subhimpunan buka sebagai unsurnya, fungsi
kontinu pada dua ruang topologi akan mengakibatkan hasil pemetaannya
akan terbuka. Sama halnya pada himpunan tutup di ruang topologi.
Teorema 2 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ ) → (Y, τ1 ) antara dua ruang
topologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan
buka O ∈ Y , f −1 (O) adalah subhimpunan buka di X.
Bukti. Pertama andaikan f kontinu dan O subhimpunan buka di Y . Untuk setiap a ∈ f −1 (O), O adalah lingkungan f (a) sehingga f −1 (O) adalah
lingkungan a. Karena f −1 (O) adalah lingkungan untuk setiap titiknya,
f −1 (O) adalah subhimpunan buka di X. Sebaliknya, andaikan subhimpunan
buka O di Y , f −1 (O) adalah subhimpunan buka di X. Andaikan a ∈ X
dan lingkungan Nf (a) oleh f (a). Nf (a) mengandung O yang berisi f (a), jadi
f −1 (Nf (a) ) mengandung f −1 (O) yang berisi a, sehingga f −1 (Nf (a) ) adalah
lingkungan a dan f kontinu di a. Karena a sebarang di X, f adalah fungsi
kontinu.
Hal yang sama berlaku untuk subhimpunan tertutup pada ruang topologi. Ini sangat penting bagi ruang topologi Hausdorff diskrit yang akan
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
595
dibicarakan pada penelitian ini.
Teorema 3 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ ) → (Y, τ1 ) antara dua ruang
topologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan
tutup F ∈ Y , f −1 (F ) adalah subhimpunan tutup di X.
Bukti. Untuk membuktikan teorema ini, akan digunakan pembuktian pada
teorema 2. Mengingat bila F tutup di Y , maka F c adalah buka di Y . Dan
tentunya oleh teorema 2, f −1 (F )c adalah buka oleh kontinuitas, sehingga
f −1 (F ) adalah subhimpunan tertutup.
Homomorfisma memperlihatkan sifat dari bayangan pemetaan sehingga
dapat disimpulkan sifat dari grup asalnya. Oleh sifat mempertahankan operasi ini, perlu diperhatikan bahwa operasi biner pada masing-masing grup
dapat berbeda pada domain dan bayangannya. Berikut definisi homomorfisma oleh[1]
Definisi 5 Suatu homomorfisma φ dari grup G menuju G0 adalah pemetaan
yang mempertahankan operasi, yaitu φ(ab) = φ(a)φ(b) untuk setiap a, b ∈ G.
Bila terdapat dua grup hG, ∗i dan hG0 , ◦i, maka homomorfisma φ ditunjukkan oleh φ(a ∗ b) = φ(a) ◦ φ(b). Jika φ adalah pemetaan bijeksi, maka φ
disebut isomorfisma grup dan kedua grup disebut isomorfik, yaitu G ∼
= G0 .
Bijeksi yang dimaksud adalah pemetaan satu-satu dan pada, yaitu φ satusatu sehingga jika a 6= b maka φ(a) 6= φ(b), dan pemetaan pada jika untuk
setiap φ(a) ∈ G0 terdapat φ−1 (a) ∈ G. Homomorfisma kontinu adalah fungsi
kontinu yang mempertahankan operasi.
Grup topologi adalah himpunan yang memiliki dua buah struktur,
yaitu grup dan ruang topologi. Kedua struktur ini terhubung oleh sifatsifat aljabar pada grup yang mempengaruhi sifat pada ruang topologi, dan
sebaliknya. Berikut adalah definisi grup topologi berdasarkan[6].
Definisi 6 Suatu grup topologi, misalkan G dengan operasi *, adalah ruang
topologi yang juga merupakan grup. dan memenuhi :
(i) φ : (x, y) 7→ x ∗ y, dari φ : G × G → G, φ kontinu
(ii) φ : x 7→ x−1 dari φ : G → G, φ kontinu.
Himpunan semua homomorfisma dari sebarang grup topologi pada
grup lingkaran disebut sebagai grup dual Pontryagin, dan juga merupakan
grup topologi. Grup dual Pontryagin oleh homomorfisma grup monotetik
c, yaitu
M dan grup lingkaran T disimbolkan dengan M
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
596
c = {φ : M 7→ T}
M
Himpunan semua homomorfisma pada grup dual Pontryagin dari sebarang grup abelian, memiliki struktur yang abelian. Karena grup monotetik
adalah abelian, hal yang sama tentu berlaku. Andaikan φ1 dan φ2 adalah
homomorfisma pada grup dual Pontryagin dan suatu unsur g pada sebarang
grup abelian, maka operasi biner * dapat dinyatakan pada (φ1 ∗ φ2 )(g) =
φ1 (g) ∗ φ2 (g). Invers dari homomorfisma φ adalah homomorfisma yang
memetakan g pada φ(g)−1 , atau dapat ditulis φ−1 (g) = φ(g −1 ). Dan identitas grup dual Pontryagin adalah homomorfisma yang dipetakan pada unsur
identitas T yaitu φe (g) = 1. Hal ini diperjelas oleh[6] dalam sebuah teorema.
Teorema 4 Himpunan seluruh homomorfisma kontinu dari grup abelian
adalah abelian, dengan identitas adalah fungsi pada 1 dan inversnya adalah
fungsi pada invers pemetaannya.
Jelas bahwa unsur yang berbeda pada suatu grup abelian oleh homomorfisma akan memiliki bayangan berbeda dengan sifat abelian pula, sebagai akibat kontinuitas homomorfisma. Perhatikan unsur identitas pada T
yaitu 1, sehingga (φ ∗ φe )(g) = φ(g) ∗ φe (g) = φ(g), dan (φ ∗ φ−1 )(g) =
φ(g) ∗ φ−1 (g) = φ(g) ∗ φ(g)−1 = 1. Secara umum, hal diatas akan berlaku
c karena monotetik adalah abelian. Tetapi, hal yang akan ditekankan
pada M
dan diperlihatkan adalah sifat yang diperoleh sebagai akibat dari spesifikasi
grup abelian menjadi grup monotetik.
3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini akan membahas struktur grup topologi, yang dalam hal ini
membicarakan grup monotetik, dan akibat dari homomorfisma kontinu.
Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang akan dikerjakan.
1. Menjamin keberadaan bayangan pemetaan grup monotetik pada grup
lingkaran oleh homomorfisma kontinu.
2. Membangun struktur grup dual Pontryagin dengan berdasarkan pada
struktur grup monotetik.
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
597
4. PEMBAHASAN
Pada bab ini, pembahasan akan dimulai dari subbab yang akan menjamin keberadaan bayangan grup monotetik pada grup lingkaran oleh fungsi
kontinu.
Bayangan Grup monotetik pada Grup Lingkaran
Setiap grup topologi Hausdorff yang diskrit akan selalu tertutup. Grup
monotetik adalah grup topologi dengan memenuhi aksioma Hausdorff yang
diskrit sehingga akan bersifat tertutup. Melalui fungsi kontinu[5], menjamin
bahwa bayangan dari himpunan tutup adalah tertutup. Untuk M yang
merupakan grup monotetik diskrit yang tertutup, akan diperlihatkan bahwa
φ(M ) juga tertutup seperti pada lemma berikut ini.
Lemma 1 Andaikan φ adalah fungsi kontinu dan M adalah grup monotetik.
Jika M tertutup, maka φ(M ) juga tertutup.
Bukti. Andaikan sebuah titik dengan z ∈
/ M . Karena M adalah grup topologi diskrit, maka terdapat lingkungan Nz sehingga Nz ∩ M = ∅. Menurut
definisi 4, bahwa jika φ kontinu, maka terdapat φ(Nz ) yang merupakan
lingkungan dari φ(z). Untuk semua z sebarang oleh syarat z ∈
/ M , maka
c
dapat disimpulkan bahwa ∪z ∈φ(M
/
) Nz = φ(M ) adalah buka. Jadi, φ(M )
adalah tertutup.
Setiap unsur pada M akan dibawa oleh fungsi kontinu pada T. Dan
setiap subgrup di M juga akan dipetakan menjadi subgrup di T. Sebagai akibat dari lemma 1 yang menjelaskan bayangan grup monotetik akan
tertutup, maka bayangan subgrup monotetik juga akan tertutup.
Corollary 2 Andaikan M grup monotetik dan subgrup H ⊆ M , jika H
subgrup monotetik tertutup, maka φ(H) juga tertutup, dengan φ kontinu.
Bukti. Bila H adalah subgrup siklik di M , maka corollary 1 menyatakan
H adalah tertutup karena H padat di M . Berdasarkan teorema 3 dan
lemma 1 di atas, fungsi kontinu akan membawa himpunan tertutup menjadi
tertutup. Andaikan sebuah titik di M yakni z ∈
/ H, atau z ∈ H c , maka
terdapat lingkungan Nz ⊆ M tetapi Nz ∩ H = ∅. Sehingga untuk φ(z) ∈ T,
terdapat Nφ(z) ⊂ T. Karena Nφ(z) adalah buka, dan z adalah sebarang titik
di H c , maka φ(H)c adalah gabungan dari semua lingkungan buka, yang
juga merupakan subhimpunan buka di T. Karena φ(H)c buka, maka φ(H)
tertutup.
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
598
Andaikan M adalah grup monotetik dengan pembangkit m. Oleh homomorfisma kontinu φ, bayangan dari m adalah pembangkit, yaitu φ(m)
adalah pembangkit dari φ(M ).
Lemma 2 Jika M adalah grup monotetik dengan pembangkit m, maka
φ(M ) dibangkitkan oleh φ(m), dengan φ kontinu.
Bukti. Karena φ kontinu, setiap unsur yang berbeda dalam grup akan
dipetakan menjadi unsur yang berbeda pula. Karena unsur pembangkit
yang diperhatikan adalah tunggal, maka bayangan unsur pembangkit adalah
tunggal. Perhatikan bahwa H adalah subgrup siklik di M , dengan pembangkit m yaitu hmi = H, sehingga oleh teorema 1 penutup H yakni H
adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat H yang berakibat H =
hmi. Karena H padat di M , atau H = M , maka lemma 1 menegaskan
φ(H) adalah tertutup, dengan φ(H) = hφ(m)i. Oleh karena φ(H) padat di
φ(M ), maka φ(m) membangkitkan φ(M ).
Teorema 5 Andaikan M adalah grup monotetik topologi diskrit, φ(M ) adalah
monotetik jika dan hanya jika φ adalah fungsi kontinu.
Bukti. Jika φ kontinu, maka φ(M ) monotetik. Jelas bahwa lemma 1
menunjukkan bahwa φ(M ) adalah grup topologi tertutup, dan corollary
2 menyatakan bahwa subgrup siklik H dipetakan pada subgrup siklik φ(H),
serta lemma 2 menjelaskan bahwa φ(m) adalah pembangkit bila m juga
pembangkit. Oleh karena φ kontinu, maka φ(M ) adalah monotetik. Sebaliknya, teorema 3 menyatakan bahwa himpunan tutup akan dibawa menjadi himpunan tutup oleh fungsi kontinu pada dua ruang topologi. Karena
φ(M ) adalah monotetik yang tertutup, maka φ(M )c ∈ T adalah buka.
Sama halnya bila M tertutup, maka M c terbuka, dan dihubungkan oleh
φ : M c → φ(M )c . Karena φ(M )c terbuka dan mengandung lingkungan
pada setiap titik didalamnya, maka dapat ditulis φ(M )c = ∪Nφ (z), z 6∈ M .
Untuk sebarang z 6∈ M , maka φ−1 (∪Nφ (z)) adalah M c yang terbuka, sesuai
dengan teorema 3 dan 4, maka φ kontinu.
Struktur Grup Dual Pontryagin
Jika M adalah grup monotetik dengan subgrup siklik H, maka H adalah
subgrup tertutup yang dibangun oleh suatu unsur, andaikan m, dan orde
dari H adalah w, sehingga mw adalah identitas di H. Pertama-tama, suatu
unsur m di H akan dipetakan pada z ∈ T.
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
599
φ(m) = z ∈ T
Karena mw adalah identitas di H, oleh homomorfisma kontinu yang trivial,
φ(mw ) = 1, dengan 1 adalah identitas di T. Lemma 2 menyatakan bahwa
fungsi kontinu dari unsur pembangkit akan menjadi pembangkit pula oleh
bayangan H, sehingga
m →
7
φ(m)
φ(m)w = 1 ∈ φ(H)
zw = 1
Perhatikan bahwa banyaknya homomorfisma ditentukan oleh banyaknya z ∈ φ(H) yang memenuhi z w = 1. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa T
isomorfik dengan grup penjumlahan R/Z yang ditunjukkan oleh himpunan
bilangan riil [0, 1). Karena setiap unsur z = eiα ∈ T direpresentasikan oleh
setiap unsur α ∈ [0, 2π), α dapat dikonversikan menjadi bilangan riil pada
[0, 1) oleh fungsi kontinu f yaitu f : [0, 1) → [0, 2π).
f : [0, 1) → [0, 2π)
f (a) = α = a2π
dengan a ∈ [0, 1) dan α ∈ [0, 2π). Sehingga untuk z = eia2π , dan w sebarang
2π
orde H dapat dibentuk wk ∈ [0, 1) dengan 0 ≤ k ≤ w. Sehingga z = eik w
2π
yang berakibat z w = e(ik w )w = ei2πk , oleh identitas euler yang menyatakan
eiπ = −1, maka eiπ(2k) = 1. Dengan kata lain, untuk semua z ∈ φ(H) ⊂
T, merepresentasikan banyaknya homomorfisma antara H dan φ(H) ⊂ T.
Sehingga, grup dual H dapat dinyatakan oleh
b = {φ | φ : m 7→ z, hmi = H, ∀z ∈ φ(H) ⊂ T, φ homomorfisma kontinu}
H
Selain itu, diperoleh bahwa banyaknya unsur H sama dengan banyaknya
b atau dapat dinotasikan ||H|| = ||H||.
b Karena H padat di grup
unsur di H,
c
monotetik M , tentu berlaku pula ||M || = ||M ||.
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
600
c juga grup monotetik.
Teorema 6 Jika M adalah grup monotetik, maka M
c akan memenuhi definisi 6
Bukti. Sebelumnya, akan dijelaskan bahwa M
c detentang grup topologi. Andaikan homomorfisma kontinu φa , φb ∈ M
ngan m pembangkit M . Andaikan φa dan φb adalah homomorfisma kontinu
c yang membawa unsur pembangkit m ∈ M pada a dan b di T.
pada M
c×M
c dapat dipetakan oleh
Pasangan berurut (φa , φb ) yang terdapat di M
c oleh ψ : (φa , φb ) 7→ (φa φb )(m).
homomorfisma kontinu, misalkan ψ pada M
c×M
c → M
c
ψ: M
ψ : (φa , φb ) 7→ (φa φb )(m)
(φa φb )(m) = φa (m)φb (m)
Karena a ∈ T memiliki invers a−1 ∈ T, maka fungsi kontinu ψ juga membawa φa pada inversnya, yakni fungsi yang dipetakan pada a−1 . Dapat
c adalah grup topologi.
ditulis sebagai berikut, ψ : φa 7→ φa−1 . Sehingga M
c
b yang paSelanjutnya, M disebut monotetik jika memiliki subgrup siklik H
c. Ini dapat dibuktikan dengan memperlihatkan unsur pembangkit
dat di M
c
M . Bila m adalah unsur pembangkit di M dan φ(m) adalah unsur pembangkit di φ(M ), maka m dan φ(m) juga merupakan unsur pembangkit di
c yang membawa m
H dan φ(H). Sehingga terdapat homomorfisma φm ∈ M
pada φ(m). Operasi pada φm akan bergantung pada φm (m). Jika φm (m)
adalah unsur pembangkit di φ(M ), dapat ditulis
φm φm
φm φm φm
..
.
= φm (m)φm (m)
= φm (m)φm (m)φm (m)
= (φm (m))2
= (φm (m))3
φm φm · · · φm = φm (m)φm (m) · · · φm (m) = (φm (m))w
w−tuple
Bila w adalah orde di M dan φ(M ), maka φm (m)w = 1 ∈ φ(M ) yang
merupakan identitas di φ(M ). Karena menurut teorema 4 bahwa homomorfisma yang dipetakan pada identitas adalah homomorfisma identitas, maka
φm w = φe . Jadi φm yang memetakan m ∈ M pada φ(m) ∈ φ(M ) adalah
c.
unsur pembangkit di M
Perhatikan bahwa grup monotetik memiliki banyak unsur yang sama
dengan grup dualnya, oleh homomorfisma, akan muncul sifat mempertahankan operasi. Selanjutnya diperlihatkan bijeksi antara grup monotetik
c sehingga keduanya isomorfik.
M dan M
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
601
c
Teorema 7 Jika M adalah grup monotetik, maka M ∼
=M
Bukti. Dalam memperlihatkan kedua grup isomorfik, harus ada suatu
fungsi isomorfisma yang menghubungkan keduanya, misalkan sebuah fungsi
c adalah w. Operasi pada
kontinu ϕ. Andaikan banyak unsur di M dan M
M adalah ∗ yakni untuk ma , mb ∈ M , 0 ≤ a, b ≤ w dengan ma ∗ mb ∈ M .
Fungsi ϕ akan didefinisikan sebagai ϕ(ma ∗ mb ) = (φa φb )(m). Jika mb = e
sebagai unsur identitas, maka dihasilkan
c
ϕ : M → M
ϕ(ma ∗ e) = (φa φe )(m)
ϕ(ma )
= (φa )(m)
Sehingga untuk ma 6= mb diperoleh (φa )(m) 6= (φa )(m), yakni ϕ adalah
fungsi satu-satu. Selanjutnya, untuk setiap φa (m), terdapat ϕ−1 = ma , yang
menunjukkan ϕ adalah fungsi pada. Karena, ϕ merupakan fungsi satu-satu
dan pada, maka sifat bijektif telah dipenuhi. Berikutnya, untuk ma ∗mb ∈ M
berlaku
ϕ(ma ∗ mb ) = (φa φb )(m)
= φa (m)φb (m)
= ϕ(ma )ϕ(mb )
Sehingga ϕ adalah homomorfisma yang mempertahankan operasi. Oleh
karena ϕ memenuhi sifat bijektif dan mempertahankan operasi, maka ϕ
c.
adalah isomorfisma, atau M ∼
=M
5. KESIMPULAN
c adalah grup dual Pontryagin
Andaikan M adalah grup monotetik, dan M
oleh homomorfisma M pada grup lingkaran T, maka diperoleh kesimpulan
sebagai berikut.
1. Oleh homomorfisma kontinu φ, bayangan grup monotetik pada grup
lingkaran juga merupakan grup monotetik. Bila m membangkitkan
M , maka φ(m) membangkitkan φ(M ) ⊆ T. Dan jika H ⊆ M adalah
subgrup siklik tertutup, maka φ(H) ⊆ φ(M ) juga tertutup.
c ditentukan oleh pemetaan
2. Banyaknya homomorfisma kontinu φ ∈ M
unsur pembangkit m. Telah diperoleh bahwa subgrup siklik H isob maka berlaku juga M ∼
c.
morfik dengan H,
=M
L.F.D. Bali et al. – Grup Monothetic Topologi Diskrit
602
Daftar Pustaka
[1] Gallian, J. A., Contemporary Abstract Algebra 7th,
Brook/Cole, (2010).
Belmont:
[2] Aliprantis, C. D. & Burkinshaw, O., Principles of Real Analysis 2nd,
London: Academic Press, Inc , (1990).
[3] Falcone, G., Plaumann, P., Strambach, K., Monothetic Algebraic
Groups, J. Aust. Math. Soc. , Vol. 82, pp. 315-324, (2007).
[4] Armacost, D. L., The Structure of Locally Compact Abelian Groups,
New York: Marcel Dekker, Inc., (1981).
[5] Mendelson, B., Introduction to Topology 3rd, Boston: Allyn and Bacon,
Inc., (1975).
[6] Hewitt, E. & Ross, K. A., Abstract Harmonic Analysis 2nd, New York:
Springer-Verlag, (1979).
L.F.D. Bali: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural
Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia
E-mail: [email protected]
Tulus: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences,
University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia
E-mail: [email protected]
Mardiningsih: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural
Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia
E-mail: [email protected]