MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201

MA1201 MATEMATIKA 2A
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra Gunawan
Semester II, 2013/2014
Semester
II, 2013/2014
26 Maret 2014
Kuliah yang Lalu
yang Lalu
12.1 Fungsi
. u gs dua (atau lebih) peubah
eb ) peuba
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.3 Limit dan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12 5 Turunan berarah dan gradien
12.5 Turunan
12.6 Aturan Rantai
12 7 Bidang singgung dan aproksimasi
12.7 Bidang
12.8 Maksimum dan minimum
12 9 Metode pengali Lagrange
12.9 Metode
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini
12.1 Fungsi
. u gs dua (atau lebih) peubah
eb ) peuba
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.3 Limit dan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12 5 Turunan berarah dan gradien
12.5 Turunan
12.6 Aturan Rantai
12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I
12.7 Bidang
Bag I
12.8 Maksimum dan minimum
12 9 Metode pengali Lagrange
12.9 Metode
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAH
12.4 TURUNAN
• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah
mempunyaii turunan
t
di titik tertentu
t t t dan
d
menentukan turunannya
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Turunan Parsial Saja Tidak Cukup
Kita sudah
Kita
sudah mendefinisikan
turunan parsial dari suatu
fungsi dua peubah; tapi
peubah; tapi
eksistensi turunan parsial di
suatu titik tidak memberi kita
informasi tentang nilai fungsi
di sekitar titik tsb.
tsb
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
z
P
??
y
x
5
Bagaimana Mendefinisikan Turunan
Turunan dari fungsi
g satu p
peubah y = f(x) di
f( ) x = c didefinisikan sebagai
f (c  h )  f (c )
f ' (c)  lim
.
h 0
h
Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumum
untuk fungsi dua peubah
f (c  h )  f (c )
f ' (c )  lim
,
h 0
h
k
karena
pembagian
b
d vektor
dgn
k tidak
d k terdefinisi.
d f
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Turunan Fungsi Satu Peubah
Jika yy = f(x) mempunyai
f( )
p y turunan di x = c, yakni
,y
f (c  h )  f (c )
f ' (c)  lim
 m,
h 0
h
h
maka f linear secara lokal di x ≈ c, yaitu
f (c  h)  f (c)  hm
h  h (h),
)
dengan
 f (c  h )  f (c )

 m   0.
lim  (h)  lim 
h 0
h 0
h


3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Turunan Fungsi Satu Peubah
Sebaliknya, jika
y , j f linear secara lokal di x ≈ c, ,
sebutlah
f (c  h)  f (c)  hm  h (h),
)
dengan
 f (c  h )  f (c )

lim  (h)  lim 
 m   0,
h 0
h 0
h


maka f mempunyai turunan di x = c, yakni
f (c  h )  f (c )
f ' (c)  lim
 m.
h 0
h
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Turunan Fungsi Dua Peubah
Fungsi
g dua p
peubah f dikatakan mempunyai
p y
turunan di p = (a,b) jika dan hanya jika f linear p, y
secara lokal di sekitar p, yakni
f ( p  h )  f ( p )  ( f x ( p ), f y ( p ))  h   (h )  h ,
dengan  (h )  ( 1 (h ),  2 (h )), h  (h1 , h2 ),
dan lim  (h )  (lim  1 (h ), lim  2 (h ))  (0,0).
h 0
3/26/2014
h 0
h 0
(c) Hendra Gunawan
9
Turunan Fungsi Dua Peubah
Vektor f ( p ) : ( f x ( p ), f y ( p )) disebut
turunan atau gradien f di p.
Jadi f mempunyai turunan di p jika dan
Jadi, f
hanya jika
f ( p  h )  f ( p )  f ( p )  h   ( h )  h ,
dengan lim  (h )  0 .
h 0
Catatan: Operator disebut
d l
 d b operator del. 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
10
Beberapa Catatan
1. Jika turunan fungsi
g satu p
peubah merupa‐
p
kan bilangan f ’(p), maka turunan fungsi
peubah merupakan
p
vektor
dua p
f ( p ) : ( f x ( p ), f y ( p ))
2 Hasil kali dan
2.
kali f ( p )  h dan  (h )  h
merupakan hasil kali titik.
3. Definisi
f
turunan fungsi
f
tiga (atau
(
l b h)
lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa.
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Contoh
Turunan dari fungsi f ( x, y )  x  y di (1,2) (1 2)
adalah f (1,2)  (2 x,2 y ) (1, 2 )  (2,4).
Perhatikan bahwa untuk (h,k) ≈ (0,0) fungsi
(h k) ≈ (0 0) fungsi f
linear secara lokal:
2
2
f (1  h,2  k )  (1  h)  (2  k )
2
2
 1  2h  h  4  4k  k
2
2
 5  (2,4)  (h, k )  (h, k )  (h, k ).
Di sini  (h, k )  (h, k )  (0,0).
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Teorema
Jika f mempunyai turunan parsial fx dan fy yang yang
kontinu pada suatu cakram yang memuat (a,b), maka f mempunyai turunan di (a,b).
(a b)
Contoh. f(x,y) = x
C
h f( ) 2 2 + y2 2 mempunyaii turunan
parsial fx = 2x dan fy = 2y yang kontinu pada R, k
karena
i f mempunyaii turunan di setiap
itu
i titik. i ik
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Sifat Turunan
Operator del memenuhi:
Operator
del  memenuhi:
1. [ f ( p )  g ( p )]  f ( p )  g ( p )
2. [ . f ( p )]   .f ( p )
3. [ f ( p ) g ( p )]  f ( p )g ( p )  g ( p )f ( p )
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Teorema
Jika f mempunyai
f mempunyai turunan di p, maka
p maka
f kontinu di p.
Catatan. Kontraposisi teorema di atas berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyai
turunan di p.
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Soal
Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyai
turunan di titik (0,0).
xy
1. f ( x, y )  2
, f (0,0)  0.
2
x y
2. f ( x, y )  x  y .
2
3/26/2014
2
(c) Hendra Gunawan
16
Soal
Buktikan bahwa
 f  g f  f g
3.    
3
.
2
g
g
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
17
MA1201 MATEMATIKA 2A
12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN
– BAGIAN I
• Menentukan persamaan bidang singgung
pada suatu permukaan di titik tertentu
• Menghitung nilai hampiran dari suatu fungsi
di sekitar titik tertentu
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Hampiran Linear & Bidang
Linear & Bidang Singgung
Bila f mempunyai
p y turunan di p = (a,b), maka
( , ),
kita
mempunyai hampiran linear
f ( x, y )  f ( a , b )  f ( a , b )  ( x  a , y  b )
Dalam hal ini, persamaan
z  f ( a , b )  f ( a , b )  ( x  a , y  b )
 f (a, b)  f x (a, b)( x  a )  f y (a, b)( y  b)
merupakan
p
persamaan bidangg singgung
p
gg g p
pada
permukaan z = f(x,y) di titik (a,b).
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Contoh
Persamaan bidang singgung pada permukaan z = =
2
2
f ( x, y )  x  y di (1,2) adalah
z  f (1,2)  f x (1,2)( x  1)  f y (1,2)( y  2)
 5  2( x  1)  4( y  2)  5  2 x  4 y.
Menggunakan
k persamaan bidang
b
singgung ini, kita mempunyai hampiran
(1.1)2 + (1.9)2 ≈ 5 + 2(0.1) + 4(‐0.1) = 4.8.
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Diferensial
Misal z = f(x,y) mempunyai
f( ,y)
p y turunan di p = (a,b). ( , )
Jika dx dan dy adalah diferensial peubah bebas
y,
x dan y, maka
dz  df (a, b)  f (a, b)  (dx, dy )
di b diferensial
disebut
dif
i l dari
d i f di (a,b). Jadi, hampiran
( b) J di h
i
linear di sekitar (a,b) dapat dituliskan sebagai
f ( x, y )  f (a, b)  df (a, b)
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Contoh
Jika z = , maka
= f ( x, y )  x  y maka diferensial dari
f di (1,2) adalah
2
2
dz  f x (1,2)dx  f y (1,2)dy  2dx  4dy.
Jika dx = 0.1 dan dy = ‐0.1, maka
dz = 2(0.1) + 4(‐0.1) = ‐0.2.
( ) (
)
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Soal
Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V) gas P = k(T/V)
dinyatakan dalam suhu T dan volume V, dengan
k menyatakan suatu konstanta. konstanta
Jika dalam pengukuran T terdapat kesalahan
maksimum 1% dan
1% dan dalam pengukuran V
terdapat kesalahan maksimum 2%, taksirlah
kesalahan maksimum dalam perhitungan P?
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
23