Distribusi X dan S

Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Distribusi X dan S 2
sampel acak distribusi normal
Andi Kresna Jaya
[email protected]
Jurusan Matematika
September 12, 2014
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Outline
1
Review
2
Distribusi mean sampel
3
distribusi variansi sampel
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Outline
1
Review
2
Distribusi mean sampel
3
distribusi variansi sampel
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Outline
1
Review
2
Distribusi mean sampel
3
distribusi variansi sampel
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Sasaran pembelajaran: Mampu memahami distribusi peluang
untuk mean sampel dan variansi sampel dari sebuah peubah
acak yang berdistribusi Normal
1
2
3
Kemampuan memahami konsep mean dan variansi sampel
acak dari distribusi normal
Ketepatan dalam memperoleh distribusi peluang untuk mean
sampel acak distribusi normal
Ketepatan dalam memperoleh distribusi peluang untuk
statistik variansi sampel acak distribusi normal
Metode: Kuliah dan Diskusi
Text book: Hogg dan Craig, Introduction to
Mathematical Statistics; Casella dan Berger,
Statistical Inference
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Opening
Pertemuan Dua Kereta Api Sebuah kereta api berangkat dari
Jakarta menuju Semarang pada jam 13.00 dengan kecepatan 50
km/jam. Tiga jam kemudian (jam 16.00), kereta api lain
berangkat dari Semarang menuju Jakarta dengan kecepatan 25
km/jam. Jarak antara Jakarta - Semarang adalah 450 km. Pada
jam berapa kedua kereta api ini akan berpapasan?
2
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
mean sampel
Sebelum kita memasuki sampel acak distribusi Normal,
berikut adalah teorema tentang distribusi dari fungsi peubah
acak normal.
Teorema
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling
bebas dan berdistribusi N(µi , σi2 ). Misalkan fungsi peubah acak
Y = k1 X1 + k2 X2 + · · · + kn Xn , dengan k1 , k2 , · · · , kn konstanta.
Maka Y berdistribusi Normal dengan mean
k1 µ1 + k2 µ2 + · · · + kn µn dan variansinya k12 σ12 + k22 σ22 + · · · + kn2 σn2 .
Misalkan X1 ∼ N(1, 0.36) dan X2 ∼ N(1, 0.64) maka Fungsi
peubah acak Y = (X1 + X2 )/2 ∼ N(1, 0.25).
Misalkan X1 , X2 sampel acak berukuran n = 2 dari distribusi
N(1, 0.50), maka mean sampelnya, Y = (X1 + X2 )/2
berdistribusi N(1, 0.25).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
mean sampel
Sebelum kita memasuki sampel acak distribusi Normal,
berikut adalah teorema tentang distribusi dari fungsi peubah
acak normal.
Teorema
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling
bebas dan berdistribusi N(µi , σi2 ). Misalkan fungsi peubah acak
Y = k1 X1 + k2 X2 + · · · + kn Xn , dengan k1 , k2 , · · · , kn konstanta.
Maka Y berdistribusi Normal dengan mean
k1 µ1 + k2 µ2 + · · · + kn µn dan variansinya k12 σ12 + k22 σ22 + · · · + kn2 σn2 .
Misalkan X1 ∼ N(1, 0.36) dan X2 ∼ N(1, 0.64) maka Fungsi
peubah acak Y = (X1 + X2 )/2 ∼ N(1, 0.25).
Misalkan X1 , X2 sampel acak berukuran n = 2 dari distribusi
N(1, 0.50), maka mean sampelnya, Y = (X1 + X2 )/2
berdistribusi N(1, 0.25).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
mean sampel
Sebelum kita memasuki sampel acak distribusi Normal,
berikut adalah teorema tentang distribusi dari fungsi peubah
acak normal.
Teorema
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling
bebas dan berdistribusi N(µi , σi2 ). Misalkan fungsi peubah acak
Y = k1 X1 + k2 X2 + · · · + kn Xn , dengan k1 , k2 , · · · , kn konstanta.
Maka Y berdistribusi Normal dengan mean
k1 µ1 + k2 µ2 + · · · + kn µn dan variansinya k12 σ12 + k22 σ22 + · · · + kn2 σn2 .
Misalkan X1 ∼ N(1, 0.36) dan X2 ∼ N(1, 0.64) maka Fungsi
peubah acak Y = (X1 + X2 )/2 ∼ N(1, 0.25).
Misalkan X1 , X2 sampel acak berukuran n = 2 dari distribusi
N(1, 0.50), maka mean sampelnya, Y = (X1 + X2 )/2
berdistribusi N(1, 0.25).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n ≥ 2
dari distribusi N(µ, σ 2 ).
Mean sampel dari distribusi Normal
n
1X
X =
Xi
n
i=1
X ∼ N(µ, σ 2 /n).
Contoh: Misalkan X adalah umur seseorang yang berasal dari
sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan mean,
µ = 27.0 dan standar deviasi, σ = 12.0. Tentukan peluang
bahwa seseorang dari populasi yang dipilih secara acak
berumur kurang dari 30 tahun.
Jika diambil sampel yang berukuran n = 36 dari populasi.
Tentukan peluang bahwa rata-rata umur dari 36 orang
tersebut kurang dari 30 tahun.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n ≥ 2
dari distribusi N(µ, σ 2 ).
Mean sampel dari distribusi Normal
n
1X
X =
Xi
n
i=1
X ∼ N(µ, σ 2 /n).
Contoh: Misalkan X adalah umur seseorang yang berasal dari
sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan mean,
µ = 27.0 dan standar deviasi, σ = 12.0. Tentukan peluang
bahwa seseorang dari populasi yang dipilih secara acak
berumur kurang dari 30 tahun.
Jika diambil sampel yang berukuran n = 36 dari populasi.
Tentukan peluang bahwa rata-rata umur dari 36 orang
tersebut kurang dari 30 tahun.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n ≥ 2
dari distribusi N(µ, σ 2 ).
Mean sampel dari distribusi Normal
n
1X
X =
Xi
n
i=1
X ∼ N(µ, σ 2 /n).
Contoh: Misalkan X adalah umur seseorang yang berasal dari
sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan mean,
µ = 27.0 dan standar deviasi, σ = 12.0. Tentukan peluang
bahwa seseorang dari populasi yang dipilih secara acak
berumur kurang dari 30 tahun.
Jika diambil sampel yang berukuran n = 36 dari populasi.
Tentukan peluang bahwa rata-rata umur dari 36 orang
tersebut kurang dari 30 tahun.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n ≥ 2
dari distribusi N(µ, σ 2 ).
Mean sampel dari distribusi Normal
n
1X
X =
Xi
n
i=1
X ∼ N(µ, σ 2 /n).
Contoh: Misalkan X adalah umur seseorang yang berasal dari
sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan mean,
µ = 27.0 dan standar deviasi, σ = 12.0. Tentukan peluang
bahwa seseorang dari populasi yang dipilih secara acak
berumur kurang dari 30 tahun.
Jika diambil sampel yang berukuran n = 36 dari populasi.
Tentukan peluang bahwa rata-rata umur dari 36 orang
tersebut kurang dari 30 tahun.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak berukuran n ≥ 2
dari distribusi N(µ, σ 2 ).
Mean sampel dari distribusi Normal
n
1X
X =
Xi
n
i=1
X ∼ N(µ, σ 2 /n).
Contoh: Misalkan X adalah umur seseorang yang berasal dari
sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan mean,
µ = 27.0 dan standar deviasi, σ = 12.0. Tentukan peluang
bahwa seseorang dari populasi yang dipilih secara acak
berumur kurang dari 30 tahun.
Jika diambil sampel yang berukuran n = 36 dari populasi.
Tentukan peluang bahwa rata-rata umur dari 36 orang
tersebut kurang dari 30 tahun.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Diketahui X ∼ N(27, 144),
⇒ P(X < 30) = 0.5987.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Diketahui X ∼ N(27, 144),
⇒ P(X < 30) = 0.5987.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Diketahui X ∼ N(27, 144), ukuran sampel acak n = 36, maka
X ∼ N(27, 4)
⇒ P(X < 30) = 0.9332.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Diketahui X ∼ N(27, 144), ukuran sampel acak n = 36, maka
X ∼ N(27, 4)
⇒ P(X < 30) = 0.9332.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa peluang rata-rata
umur 36 orang berusia kurang dari 30 tahun lebih besar
daripada peluang bahwa umur seseorang dari populasi kurang
dari 30 tahun.
Bandingkan dua peluang bahwa umur seseorang kurang dari
24 tahun dengan umur rata-rata 36 orang kurang dari 24
tahun.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa peluang rata-rata
umur 36 orang berusia kurang dari 30 tahun lebih besar
daripada peluang bahwa umur seseorang dari populasi kurang
dari 30 tahun.
Bandingkan dua peluang bahwa umur seseorang kurang dari
24 tahun dengan umur rata-rata 36 orang kurang dari 24
tahun.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Seperti yang telah dipelajari pada Teori Peluang kadang
bentuk distribusi normal, N(µ, σ 2 ) ditransformasi ke bentuk
distribusi normal baku, N(0, 1), yaitu dengan menggunakan
transformasi variabel/peubah,
X −µ
∼ N(0, 1).
σ
Misalkan X adalah mean sampel acak berukuran n = 25 dari
distribusi Normal, N(75, 100). Tentukanlah peluang
P(71 < X < 79).
Diketahui X ∼ N(75, 100) maka X ∼ N(75, 4). Maka
79 − 75
71 − 75
P(71 < X < 79) = P
<Z <
2
2
79 − 75
71 − 75
= Φ
−Φ
2
2
= 0.9772 − 0.0228 = 0.9544.
X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇒ Z =
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Seperti yang telah dipelajari pada Teori Peluang kadang
bentuk distribusi normal, N(µ, σ 2 ) ditransformasi ke bentuk
distribusi normal baku, N(0, 1), yaitu dengan menggunakan
transformasi variabel/peubah,
X −µ
∼ N(0, 1).
σ
Misalkan X adalah mean sampel acak berukuran n = 25 dari
distribusi Normal, N(75, 100). Tentukanlah peluang
P(71 < X < 79).
Diketahui X ∼ N(75, 100) maka X ∼ N(75, 4). Maka
79 − 75
71 − 75
P(71 < X < 79) = P
<Z <
2
2
79 − 75
71 − 75
= Φ
−Φ
2
2
= 0.9772 − 0.0228 = 0.9544.
X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇒ Z =
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Seperti yang telah dipelajari pada Teori Peluang kadang
bentuk distribusi normal, N(µ, σ 2 ) ditransformasi ke bentuk
distribusi normal baku, N(0, 1), yaitu dengan menggunakan
transformasi variabel/peubah,
X −µ
∼ N(0, 1).
σ
Misalkan X adalah mean sampel acak berukuran n = 25 dari
distribusi Normal, N(75, 100). Tentukanlah peluang
P(71 < X < 79).
Diketahui X ∼ N(75, 100) maka X ∼ N(75, 4). Maka
79 − 75
71 − 75
P(71 < X < 79) = P
<Z <
2
2
79 − 75
71 − 75
= Φ
−Φ
2
2
= 0.9772 − 0.0228 = 0.9544.
X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇒ Z =
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang
saling bebas dan berdistribusi N(µi , σi2 ).
Variansi sampel, S 2 didefinisikan sebagai
n
S2 =
1 X
(Xi − X )2 .
n−1
i=1
Pada beberapa literatur, variansi sampel dinyatakan sebagai
n
S2 =
1X
(Xi − X )2 .
n
i=1
Lemma1
Jumlah kuadrat dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn adalah
n
X
2
Xi2 = (n − 1)S 2 + nX .
i=1
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang
saling bebas dan berdistribusi N(µi , σi2 ).
Variansi sampel, S 2 didefinisikan sebagai
n
S2 =
1 X
(Xi − X )2 .
n−1
i=1
Pada beberapa literatur, variansi sampel dinyatakan sebagai
n
S2 =
1X
(Xi − X )2 .
n
i=1
Lemma1
Jumlah kuadrat dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn adalah
n
X
2
Xi2 = (n − 1)S 2 + nX .
i=1
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang
saling bebas dan berdistribusi N(µi , σi2 ).
Variansi sampel, S 2 didefinisikan sebagai
n
S2 =
1 X
(Xi − X )2 .
n−1
i=1
Pada beberapa literatur, variansi sampel dinyatakan sebagai
n
S2 =
1X
(Xi − X )2 .
n
i=1
Lemma1
Jumlah kuadrat dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn adalah
n
X
2
Xi2 = (n − 1)S 2 + nX .
i=1
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Lemma2
Jumlah kuadrat dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn terhadap ukuran
pemusatan mean, µ adalah
n
X
2
(Xi − µ) =
i=1
n
X
(Xi − X )2 + n(X − µ)2 .
i=1
Lemma3
Z ∼ N(0, 1) ⇒ Z 2 ∼ χ2 (1).
Lemma4
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak berdistribusi χ2 (1),
Y =
n
X
Xi ∼ χ2 (n).
i=1
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari distribusi
normal, N(µ, σ 2 ), maka fkp bersama X1 , X2 , · · · , Xn adalah
!
n X
1
(xi − µ)2
fX (x1 , x2 , · · · , xn ) =
exp −
2σ 2
(2π)n/2 σ n
i=1
Dengan transformasi variabel
Y1 = X
Y2 = X2 − X
⇒ X = Y1
⇒ X2 = Y1 + Y2
Y3 = X3 − X ⇒ X3 = Y1 + Y3
..
..
.
.
Yn = Xn − X
⇒ Xn = Y1 + Yn
diperoleh jacobinya adalah |J| = n.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari distribusi
normal, N(µ, σ 2 ), maka fkp bersama X1 , X2 , · · · , Xn adalah
!
n X
1
(xi − µ)2
fX (x1 , x2 , · · · , xn ) =
exp −
2σ 2
(2π)n/2 σ n
i=1
Dengan transformasi variabel
Y1 = X
Y2 = X2 − X
⇒ X = Y1
⇒ X2 = Y1 + Y2
Y3 = X3 − X ⇒ X3 = Y1 + Y3
..
..
.
.
Yn = Xn − X
⇒ Xn = Y1 + Yn
diperoleh jacobinya adalah |J| = n.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari distribusi
normal, N(µ, σ 2 ), maka fkp bersama X1 , X2 , · · · , Xn adalah
!
n X
1
(xi − µ)2
fX (x1 , x2 , · · · , xn ) =
exp −
2σ 2
(2π)n/2 σ n
i=1
Dengan transformasi variabel
Y1 = X
Y2 = X2 − X
⇒ X = Y1
⇒ X2 = Y1 + Y2
Y3 = X3 − X ⇒ X3 = Y1 + Y3
..
..
.
.
Yn = Xn − X
⇒ Xn = Y1 + Yn
diperoleh jacobinya adalah |J| = n.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Perhatikan bentuk
n
X
(xi − µ)2
i=1
dalam bentuk eksponens di fkp bersamanya.
Bentuk itu dapat ditulis ulang menjadi
n
n
X
X
(xi − µ)2 =
(xi − x)2 + n(x − µ)2 ,
i=1
maka
n
X
i=1
(xi − µ)2 = (x1 − x)2 +
i=1
n
X
(xi − x)2 + n(x − µ)2 .
i=2
Maka
n
X
(xi − µ)2 =
n
X
i=1
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
!2
yi
+
n
X
yi2 + n(y1 − µ)2 ,
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Perhatikan bentuk
n
X
(xi − µ)2
i=1
dalam bentuk eksponens di fkp bersamanya.
Bentuk itu dapat ditulis ulang menjadi
n
n
X
X
(xi − µ)2 =
(xi − x)2 + n(x − µ)2 ,
i=1
maka
n
X
i=1
(xi − µ)2 = (x1 − x)2 +
i=1
n
X
(xi − x)2 + n(x − µ)2 .
i=2
Maka
n
X
(xi − µ)2 =
n
X
i=1
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
!2
yi
+
n
X
yi2 + n(y1 − µ)2 ,
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Perhatikan bentuk
n
X
(xi − µ)2
i=1
dalam bentuk eksponens di fkp bersamanya.
Bentuk itu dapat ditulis ulang menjadi
n
n
X
X
(xi − µ)2 =
(xi − x)2 + n(x − µ)2 ,
i=1
maka
n
X
i=1
(xi − µ)2 = (x1 − x)2 +
i=1
n
X
(xi − x)2 + n(x − µ)2 .
i=2
Maka
n
X
(xi − µ)2 =
n
X
i=1
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
!2
yi
+
n
X
yi2 + n(y1 − µ)2 ,
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Perhatikan bentuk
n
X
(xi − µ)2
i=1
dalam bentuk eksponens di fkp bersamanya.
Bentuk itu dapat ditulis ulang menjadi
n
n
X
X
(xi − µ)2 =
(xi − x)2 + n(x − µ)2 ,
i=1
maka
n
X
i=1
(xi − µ)2 = (x1 − x)2 +
i=1
n
X
(xi − x)2 + n(x − µ)2 .
i=2
Maka
n
X
(xi − µ)2 =
n
X
i=1
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
!2
yi
+
n
X
yi2 + n(y1 − µ)2 ,
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Perhatikan bentuk
n
X
(xi − µ)2
i=1
dalam bentuk eksponens di fkp bersamanya.
Bentuk itu dapat ditulis ulang menjadi
n
n
X
X
(xi − µ)2 =
(xi − x)2 + n(x − µ)2 ,
i=1
maka
n
X
i=1
(xi − µ)2 = (x1 − x)2 +
i=1
n
X
(xi − x)2 + n(x − µ)2 .
i=2
Maka
n
X
(xi − µ)2 =
n
X
i=1
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
!2
yi
+
n
X
yi2 + n(y1 − µ)2 ,
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Sehingga fkp bersama Y1 , Y2 , · · · , Yn adalah
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = nfX (xi (yj ), i, j = 1, 2, · · · , n)
maka
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = κ exp(g (y )),
dengan
κ=n
1
,
(2π)n/2 σ n
dan


!2
n
n
X
1  X
yi
+
yi2 + n(y1 − µ)2 
g (y ) = − 2
2σ
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Sehingga fkp bersama Y1 , Y2 , · · · , Yn adalah
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = nfX (xi (yj ), i, j = 1, 2, · · · , n)
maka
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = κ exp(g (y )),
dengan
κ=n
1
,
(2π)n/2 σ n
dan


!2
n
n
X
1  X
yi
+
yi2 + n(y1 − µ)2 
g (y ) = − 2
2σ
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Sehingga fkp bersama Y1 , Y2 , · · · , Yn adalah
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = nfX (xi (yj ), i, j = 1, 2, · · · , n)
maka
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = κ exp(g (y )),
dengan
κ=n
1
,
(2π)n/2 σ n
dan


!2
n
n
X
1  X
yi
+
yi2 + n(y1 − µ)2 
g (y ) = − 2
2σ
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Sehingga fkp bersama Y1 , Y2 , · · · , Yn adalah
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = nfX (xi (yj ), i, j = 1, 2, · · · , n)
maka
fY (y1 , y2 , · · · , yn ) = κ exp(g (y )),
dengan
κ=n
1
,
(2π)n/2 σ n
dan


!2
n
n
X
1  X
yi
+
yi2 + n(y1 − µ)2 
g (y ) = − 2
2σ
i=2
Andi Kresna Jaya [email protected]
i=2
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Y2 , Y3 , · · · , Yn bebas terhadap Y1 , maka dapat dinyatakan
bahwa X saling bebas dengan S 2 .
Teorema
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak berdistribusi N(µ, σ 2 ), maka
X dan S 2 adalah dua peubah acak yang saling bebas.
P
Perhatikan (Xi − µ)2 = (n − 1)S 2 + n(X − µ)2 , maka
X Xi − µ 2 (n − 1)S 2 X − µ 2
√
=
+
σ
σ2
σ/ n
Karena
(Xi −µ)
σ
dan
X −µ
√
σ/ n
berdistribusi N(0, 1), maka menurut
lemma 3 kuadrat masing-masing berdistribusi χ2 (1).
Dengan menggunakan teknik pembangkit momen, maka
2
diperoleh (n−1)S
∼ χ2 (n − 1).
σ2
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Y2 , Y3 , · · · , Yn bebas terhadap Y1 , maka dapat dinyatakan
bahwa X saling bebas dengan S 2 .
Teorema
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak berdistribusi N(µ, σ 2 ), maka
X dan S 2 adalah dua peubah acak yang saling bebas.
P
Perhatikan (Xi − µ)2 = (n − 1)S 2 + n(X − µ)2 , maka
X Xi − µ 2 (n − 1)S 2 X − µ 2
√
=
+
σ
σ2
σ/ n
Karena
(Xi −µ)
σ
dan
X −µ
√
σ/ n
berdistribusi N(0, 1), maka menurut
lemma 3 kuadrat masing-masing berdistribusi χ2 (1).
Dengan menggunakan teknik pembangkit momen, maka
2
diperoleh (n−1)S
∼ χ2 (n − 1).
σ2
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Y2 , Y3 , · · · , Yn bebas terhadap Y1 , maka dapat dinyatakan
bahwa X saling bebas dengan S 2 .
Teorema
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak berdistribusi N(µ, σ 2 ), maka
X dan S 2 adalah dua peubah acak yang saling bebas.
P
Perhatikan (Xi − µ)2 = (n − 1)S 2 + n(X − µ)2 , maka
X Xi − µ 2 (n − 1)S 2 X − µ 2
√
=
+
σ
σ2
σ/ n
Karena
(Xi −µ)
σ
dan
X −µ
√
σ/ n
berdistribusi N(0, 1), maka menurut
lemma 3 kuadrat masing-masing berdistribusi χ2 (1).
Dengan menggunakan teknik pembangkit momen, maka
2
diperoleh (n−1)S
∼ χ2 (n − 1).
σ2
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Y2 , Y3 , · · · , Yn bebas terhadap Y1 , maka dapat dinyatakan
bahwa X saling bebas dengan S 2 .
Teorema
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak berdistribusi N(µ, σ 2 ), maka
X dan S 2 adalah dua peubah acak yang saling bebas.
P
Perhatikan (Xi − µ)2 = (n − 1)S 2 + n(X − µ)2 , maka
X Xi − µ 2 (n − 1)S 2 X − µ 2
√
=
+
σ
σ2
σ/ n
Karena
(Xi −µ)
σ
dan
X −µ
√
σ/ n
berdistribusi N(0, 1), maka menurut
lemma 3 kuadrat masing-masing berdistribusi χ2 (1).
Dengan menggunakan teknik pembangkit momen, maka
2
diperoleh (n−1)S
∼ χ2 (n − 1).
σ2
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan W =
g (w ) =
(n−1)S 2
,
σ2
maka fkp dari W adalah
1
w (n−3)/2 e −w /2 , 0 < w < ∞.
Γ((n − 1)/2)2(n−1)/2
Contoh: Tentukan mean dan variansi dari S 2 .
Perhatikan bahwa W ∼ χ2 (n − 1), maka E (W ) = n − 1 dan
V (W ) = 2(n − 1).
E (n − 1)S 2 /σ 2
= n−1
⇒ E S 2 = σ2
V (n − 1)S 2 /σ 2
= 2(n − 1)
2σ 4
.
⇒ V S2 =
n−1
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan W =
g (w ) =
(n−1)S 2
,
σ2
maka fkp dari W adalah
1
w (n−3)/2 e −w /2 , 0 < w < ∞.
Γ((n − 1)/2)2(n−1)/2
Contoh: Tentukan mean dan variansi dari S 2 .
Perhatikan bahwa W ∼ χ2 (n − 1), maka E (W ) = n − 1 dan
V (W ) = 2(n − 1).
E (n − 1)S 2 /σ 2
= n−1
⇒ E S 2 = σ2
V (n − 1)S 2 /σ 2
= 2(n − 1)
2σ 4
.
⇒ V S2 =
n−1
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
contoh kurva fkp χ2 (r )
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan S 2 adalah variansi sampel berukuran 6 dari distribusi
N(µ, 12). Tentukan Peluang P(2.30 < S 2 < 22.2).
Diketahui bahwa S 2 adalah variansi sampel berukuran 6 dari
N(µ, 12),
maka 5S 2 /12 berdistribusi χ2 (5). Maka
5 × 2.30
5S 2
5 × 22.2
2
P(2.30 < S < 22.2) = P
<
<
12
12
12
2
5S
= P 0.9583 <
< 9.2500
12
= 0.8664.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Misalkan S 2 adalah variansi sampel berukuran 6 dari distribusi
N(µ, 12). Tentukan Peluang P(2.30 < S 2 < 22.2).
Diketahui bahwa S 2 adalah variansi sampel berukuran 6 dari
N(µ, 12),
maka 5S 2 /12 berdistribusi χ2 (5). Maka
5 × 2.30
5S 2
5 × 22.2
2
P(2.30 < S < 22.2) = P
<
<
12
12
12
2
5S
= P 0.9583 <
< 9.2500
12
= 0.8664.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2
Review Distribusi mean sampel distribusi variansi sampel
Closing
Andi Kresna Jaya [email protected]
Distribusi X dan S 2