BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Hingga saat ini

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Hingga saat ini, pembahasan tentang masalah program taklinier integer
campuran (Mixed Integer Non-Linear Programming (MINLP)) masih menarik
untuk diteliti dengan tujuan agar pemecahannya dapat memberikan hasil yang
lebih baik dan waktu relatif singkat. Hal itu disebabkan beberapa alasan, antara
lain banyak masalah dalam kehidupan nyata dapat dimodelkan sebagai MINLP.
Beberapa aplikasi yang sudah dilakukan diberbagai sektor dapat dilihat seperti dalam bidang proses sistem sintesis (Duran dan Grossmann, 1986; Kocis dan
Grossmann, 1988; Floudas, et al,1989; Ryoo dan Sahinidis, 1995). Dalam bidang
proses kimia (Grossmann dan Sargent, 1979; Grossmann dan Floudas, 1987). Permasalahan alur kerja (Luyben dan Floudas, 1994), kawasan industri (Harjunkoski,
Westerlund, dan Porn, 1999; Kallrath, 2005), perencanaan penumpang pesawat
terbang (Briel, at al, 2005). Jaringan transmisi, seperti jaringan air (Cai, et al.
2001; Bragalli, at al, 2006), jaringan gas (Martin, Mller dan Moritz, 2006), dan
jaringan energi (Murray dan Shanbhag, 2006). dalam bidang teknik (Grossmann
dan Sahinidis, 2002), teknik kimia (Floudas, 2009), rancangan bangunan (Kravanja dan Zula, 2010), bidang transportasi (Fugenschuh, et al, 2010), perencanaan
produksi (Mawengkang, 2010), perencanaan struktur beton (Guerra, Newman
1
2
dan Leyffe, 2011), dan dalam vehicle routing problem (VRP) (Tambunan dan
Mawengkang, 2015).
Pada hakekatnya masalah MINLP mengacu pada pemrograman (program)
matematika dengan adanya variabel diskrit dan kontinu, ketaklinieran di dalam
fungsi tujuan dan kendala.
Masalah MINLP dapat dinyatakan dengan model berikut;
Min Z = cT y + f (x)
(1.1)
Kendala h(x) 6 0
(1.2)
g(x) + by 6 0
(1.3)
n
x ∈ X ⊂ R+
, y ∈ Y ⊂ Z+n
(1.4)
dimana f : Rn → R, h : Rn → Rp , dan g : Rn → Rq adalah fungsi kontinu dan
biasanya fungsi menggambarkan dimensi-n himpunan compact polyhedral convex,
X = {x : x ∈ Rn , A1 x 6 a1 }, U = {y : y ∈ Y , integer A2 y 6 a2 } adalah himpunan bilangan diskrit, yaitu titik-titik bilangan bulat tak negatif pada beberapa convex polytope, A1 , A2 , dan B adalah matriks, dan c, a1 , a2 , adalah vektor
kolom.
Terdapat beberapa bentuk karakteristik dalam MINLP, diantaranya jika
fungsi objektif dan beberapa atau semua kendala adalah fungsi taklinier dan daerah layak konveks, maka masalah adalah MINLP konveks. Jika fungsi objektif
dan beberapa atau semua kendala adalah fungsi tak konveks serta daerah layak
juga tak konveks, maka disebut masalah MINLP tak konveks.
3
Salah satu tujuan pemecahan masalah MINLP adalah untuk menemukan
solusi integer layak terhadap variabel diskrit, sehingga diperoleh solusi optimum.
Secara teori, masalah MINLP adalah masalah sulit atau NP-hard (Murtagh dan
Saunders, 1976; Mawengkang dan Murtagh, 1986; Murti, 1987; DAmbrosio, 2010).
Kesulitan ini disebabkan ketidaklinieran fungsi tujuan dan kendala, sehingga terdapat banyak titik optimal yang tidak diharapkan menjadi solusi global.
Pemecahan masalah MINLP termasuk pendekatan inovatif dan berkaitan
dengan teknik yang dikembangkan dalam program integer campuran (Mixed Integer Programming (MIP)) dan program tak linier (Nonlinear Programming (NLP)).
Pendekatan untuk pemecahan masalah MINLP dengan fungsi konveks maupun
tak konveks dapat dilakukan melalui pendekatan linier dengan mengganti fungsi
non-linier berdasarkan hasil linierisasi ke arah pendekatan yang dapat dipecahkan
dengan MILP (Belotti, et al, 2012).
Pendekatan yang sudah dilakukan dengan linierisasi fungsi objektif dan
kendala tak linier untuk mencari master MILP yang dapat memperkirakan dan
mewakili pemecahan masalah awal MINLP adalah Outer Approximation (OA)
(Duran dan Grosmann,1986; Fletcher dan Leyffer, 1994; Grossmann dan Sahinidis, 2002; Kesavan, et al, 2004). Generalized Benders Decomposition (GBD)
(Geoffirion, 1972). Cutting Plane (Westerlund dan Peterson, 1995). LP/NLP
berdasarkan Branch-and-Bound (B&B) (Gupta dan Ravidran, 1985; Borchers dan
Mitchell, 1991; Smith dan Pantelides, 1999; Adjiman, et al, 2000; Tawarmalani
4
dan Sahinidis, 2004; Liberti, 2006; Belotti, et al, 2009).
Pendekatan inovatif untuk pemecahan masalah MINLP juga dapat dilihat, seperti; Algoritma Improve Branchand-Branch (Marcovecchio, Bergamini dan
Aguirre, 2006), Algoritma Branch-and-Cut (Nowak dan Vigerske, 2007; Karuppiah dan Grossmann, 2008), Branch-and-Refine (Leyffer, Sartenaer dan Wanufelle,
2008), Deterministic Lagrangian (Khajavirad dan Michalek, 2009), metode deterministik stokhastik, yaitu kombinasi Branch-and-Bound dengan Outer-Approximations (Fernandes, et al,2010), pendekatan Hybrid, yaitu kombinasi Branch-andBound dengan Genetic Algoritm (BBGA) (Fernandes, et al 2011).
Pembahasan dalam Disertasi ini adalah pemecahan masalah MINLP tak
konveks dengan struktur subset variabel terbatas, dan diasumsikan variabel diskrit
terpisah dari variabel-variabel kontinu. Fungsi tujuan dan kendala adalah fungsi
tidak konveks dan umumnya daerah layak juga tidak konveks. Hal ini berakibat pemecahan semakin sulit, karena menghasilkan banyak minimum lokal yang
tidak diharapkan menjadi solusi basis. Pemecahan masalah MINLP tak konveks
adalah sulit karena generalisasi masalah MILP dalam mana termasuk pada NPhard (Garey dan Johnson, 1979).
Umumnya untuk mengatasi kesulitan pemecahan dilakukan dengan beberapa kemungkinan pendekatan, antara lain; mengatasi ketidakkonveksan dengan
cara merumuskan masalah kembali (bila mungkin). Akan tetapi merumuskan
kembali secara tepat dapat dilakukan hanya untuk masalah terbatas yang da-
5
pat diperoleh suatu formulasi MILP atau MINLP konveks yang ekivalen dengan
MINLP tak konveks. Pendekatan tersebut umumnya dilakukan berturut-turut
yang berhubungan erat dengan masalah non linear programming (NLP). Seperti
Branch and Bound dimulai dari suatu bentuk kontinu murni dalam masalah NLP
dengan mengabaikan syarat umum pada variabel diskrit dan sering disebut relaksasi MINLP (Relaxed MINLP atau rMINLP). Selain itu, tiap-tiap node yang
muncul pada pohon Branch and Bound menunjukkan solusi dari rMINLP dengan
batas biasa pada variabel diskrit. Dengan demikian pencarian solusi setiap node
pada pohon Branch and Bound harus dilakukan. Akan tetapi, bila variabel kontinu jumlahnya sangat banyak akan memerlukan waktu yang sangat banyak pula,
dengan demikian secara komputasi kurang efisien.
Pendekatan yang sudah dilakukan, khususnya mengatasi konveksitas adalah
metode convexcification dikombinasikan dengan metoda Branch-and-Bound (Li,
Sun dan McKinnon, 2000), algoritma Improve-and-Branch (Marcovecchio, Bergamini, dan Aguirre, 2006), teknik pengetatan dengan Branching and Bounds (Belotti, et. al, 2008), metode Dynamic Convexizzed (Zhu dan Lin, 2011), dan Disjunctive Cut (Belotti, 2012). Kemungkinan lain adalah menentukan suatu subset
dari MINLP tak konveks berdasarkan daerah layak konveks yang dapat menaksir
daerah layak tak konveks. Hal itu dilakukan dengan relaksasi masalah awal dengan batas bawah MINLP konveks dan dikombinasikan dengan optimisasi global
untuk variabel kontinu, seperti spatial Branch and Bound (Smith dan Pantelides,
6
1999; Belotti, et al, 2009), Branch and Reduce (Sahidis dan Tawarmalani, 2004),
Branch and Cut (Nowak dan Vigerske, 2008). Perbedaan diantara metode ini
adalah bentuk relaksasi yang dibuat dan melakukan percabangan dari variabel
diskrit dan kontinu.
Pendekatan heuristik untuk pemecahan masalah MINLP dapat dilihat, seperti; Local Branching, Feasibility Neighbourhood Search (Mawengkang dan Murtagh,
1986; Nannicini dan Belotti, 2009), Octane Heuristic, Pivot-and-Shift (Balas,
et al, 2001, 2004); Primal heuristic (Bonami dan Goncalves, 2008), Feasibility
Pump (Fishetti, Glover dan Lodi, 2005; Bonami, et al, 2009, DAmbrosio, et al,
2010; Nannicini dan Belotti, 2012), Undercover Heuristic (Berthold dan Glei- xer,
(2010), pendekatan Hybrid dengan penggunaan algoritma genetik (Fernades, et
al, 2011). Heuristic dengan beberapa skema algoritma (Nannicini dan Belotti,
2011), Heuristik berdasarkan Variable Neighborhood Search, Local Branching, dan
Branch-and-Bound yang disebut Relaxed-Exact-Continuous-Integer Problem Exploration (RECIPE) (Liberti, Mladenovic dan Nannicini, 2011), dan Heuristik
berdasarkan Iterative Rounding (Nannicini dan Belotti, 2012).
Dalam pendekatan heuristik, satu algoritma utama terkait dengan berbagai kesulitan untuk menemukan solusi layak dalam masalah MINLP. Dari kasus terburuk, kerumitan titik yang muncul dalam menemukan solusi layak masalah MINLP
adalah sesulit me- nemukan solusi layak pada Nonlinear programming, NP-hard
(Mawengkang dan Murtagh, 1986). Karena itu, masalah MINLP mudah disele-
7
saikan bila kendala linier jumlahnya sedikit.
Pemecahan masalah MINLP yang berfokus pada kendala dapat dilihat seperti mengidentifikasi kendala aktif, yaitu; Partial Smootness and Prox-regularity
(Lewis, 2004), teknik identifikasi Active set (Hare, Oberlin dan Wright, 2006).
Mencari kendala minimum lokal dengan Penalty Methods (Wah dan Chen, 2006),
External active set strategy (Chung, Polak dan Sastry, 2010), algoritma Lagragean
(Yu, et al, 2010). Mencari daerah layak dari daerah tak layak pada batas kendala
dengan modifikasi Genetic algorithm (Wasanapradit, et al, 2011); Local Search
(Bertsimas, Nohadani, dan Teo, 2011), memisahkan variabel nonbasic dari batasbatasnya dengan kendala aktif (Mawengkang dan Murtagh,1986).
Pembahasan dalam disertasi ini adalah pemecahan masalah MINLP tak
konveks berdasarkan masalah kendala yang disebut dengan strategi kendala aktif
(Active constrained strategy). Strategi ini dilakukan untuk pencarian titik optimal global sehingga solusi layak basis berada dekat dengan batasnya dan dikombinasikan dengan konsep variabel superbasic yang dikembangkan oleh Murtagh
dan Shaunders (1976; 1978), yaitu variabel yang tidak berada di batasnya.
Mengatasi ketidaklinieran fungsi tujuan dan kendala, dilakukan partisi variabel
linier dan taklinier dengan asumsi bahwa fungsi tak linier dapat dideferensialkan
secara kontinu dalam daerah layak, dan dapat diperoleh suatu titik layak pada
variabel tak linier. Ekspansi deret Taylor dan konsep variabel superbasic digunakan untuk menghasilkan kombinasi linier pada kendala aktif, sehingga solusi op-
8
timal berada disekitar kendala aktif dan solusi basis akan dekat dengan batasnya.
Selanjutnya, untuk menemukan solusi integer layak dari solusi kontinu diperoleh
melalu proses integerisasi dengan neigbourhood search (Scraf, 1986). Akhirnya
dapat diperoleh nilai-nilai variabel kontinu dan integer solusi layak yang dapat
mengoptimalkan fungsi objektif.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah dalam penelitian ini adalah sulit menemukan solusi integer layak
dari masalah MINLP tak konveks. Kesulitan diakibatkan ketidaklinieran dan
ketidakkonveksan fungsi objektif dan beberapa atau semua kendala. Pembahasan
adalah masalah MINLP tak konveks dengan struktur subset variabel terbatas dan
diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu. Pemecahan
dilakukan dengan strategi kendala aktif, yaitu suatu strategi untuk pencarian
solusi optimal global dengan cara mengeluarkan variabel nonbasic dari batasbatasnya sehingga solusi layak basis berada dekat dengan batasnya dan dikombinasikan dengan konsep variabel superbasic, yaitu variabel yang tidak berada
di batasnya. Akhirnya, melalui proses integerisasi dapat diperoleh solusi integer
layak yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif.
9
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan suatu pendekatan baru untuk memecahkan masalah MINLP tak konveks dalam rangka menemukan solusi
integer layak dari solusi kontinu yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif
1.4 Manfaat Penelitian
Pendekatan pemecahan masalah yang dihasilkan dalam penelitian ini dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan dibidang optimisasi yang terkait
dengan masalah MINLP tak konveks.