Review Teori Probabilitas Rekayasa Trafik Sukiswo [email protected] [email protected] Rekayasa Trafik, Sukiswo 1 Outline Arti Probabilitas Counting Method Random Variable Discrete RV Continuous RV Multiple RVs Rekayasa Trafik, Sukiswo 2 Arti Probabilitas Rekayasa Trafik, Sukiswo 3 Apakah Probabilitas Arti probabilitas – Situasi tdk dp secara eksak direplikasi – Tetapi tdk chaotic (memp suatu pola) Rekayasa Trafik, Sukiswo 4 Probabilitas Definisi – Logika probabilitas Aksioma – Fakta tanpa bukti/proof Teorema – Diturunkan dari Definisi, Aksioma, atau Teorema lainnya Rekayasa Trafik, Sukiswo 5 Matematik Probabilitas Teori set – Operasi set – Set properties Rekayasa Trafik, Sukiswo 6 Set Properties Penting Rekayasa Trafik, Sukiswo 7 Eksperimen Apakah suatu eksperimen? – Metoda utk mencari sejumlah fakta/konklusi Berikan suatu contoh? – Utk film “Matrix Reloaded”, apakah fun? – Berdiri di depan bioskop – Tanya audiences, fun atau tdk? Komposisi dari suatu eksperimen – Prosedure – Observasi Mengapa eksperimen diperlukan? – Ketidakpastian Rekayasa Trafik, Sukiswo 8 Eksperimen Concern mengenai film “Matrix Reloaded” – Apakah sebaiknya saya tanya laki-laki dewasa, perempuan dewasa atau remaja? – Pengalaman dari audiences – Pengetahuan dari audiences Complicated experiment perlu Model – Eksperiment nyata: terlalu rumit – Tangkap hanya bagian penting – Contoh Model: • Perlakukan semua audiences sama • Jawaban hanya akan suka/tdk suka Rekayasa Trafik, Sukiswo 9 Eksperimen Contoh: – Lempar suatu coin 3 kali, observasi deretan heads/tails – Lempar suatu coin 3 kali, observasi jumlah heads Rekayasa Trafik, Sukiswo 10 Definisi dalam Probabilitas Outcome – Sembarang observasi yg mungkin Sample Space – Finest-grain: masing-masing outcome berbeda – Mutually exclusive: jika satu outcome muncul, lainnya tdk akan – Collectively exhaustive: tiap outcome harus dlm sample space Event – Set dari outcomes (harus tahu semua outcomes) – Event ⊂ Sample Space Rekayasa Trafik, Sukiswo 11 Contoh-Contoh Event Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,…,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5} Rekayasa Trafik, Sukiswo 12 Set vs Probabilitas Rekayasa Trafik, Sukiswo 13 Probabilitas dari Event P[ ] Dari eksperimen: Lempar dadu Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,…,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5} Rekayasa Trafik, Sukiswo 14 Aksioma-Aksioma Probabilitas Aksioma 1: Utk sembarang event A, P[A] ≥ 0 Aksioma 2: P[S] = 1 Aksioma 3: Utk events A1, A2,…, An yg mutual exclusive events Rekayasa Trafik, Sukiswo 15 Contoh Teorema-Teorema Teorema: Jika A dan B disjoint maka Teorema: Jika B = B1 B2 B3 … Bn dan Bi Bj = maka Rekayasa Trafik, Sukiswo 16 Equally Likely Teorema: Utk suatu eksperimen dg sample space S={s1,…, sn} Jika tiap outcome adalah equally likely, Rekayasa Trafik, Sukiswo 17 Konsekuensi Dari Aksioma-Aksioma Teorema: P[∅] = 0 P[Ac] = 1 - P[A] Utk sembarang A dan B (tdk harus disjoint) – P[A ∪ B] = P[A] + P[B] – P[A∩B] – Jika A ⊂ B , maka P[A] ≤ P[B] Rekayasa Trafik, Sukiswo 18 Suatu Teorema yg Berguna Mis B1, B2,…,Bn eventEvent yg mutual exclusive Dimana gabungannya (union) Sama dg sample space S partisi dari S Utk sembarang event A Teorema Rekayasa Trafik, Sukiswo 19 Conditional Probability Dlm praktek, mungkin tdk mungkin utk menemukan outcome yg persis dari suatu eksperimen Namun, jika kita tahu bhw Event B telah terjadi (outcome dari Event A adalah dlm set B) – Probabilitas dari A jika B muncul dp dinyatakan – Masih belum tahu P[A] Rekayasa Trafik, Sukiswo 20 Conditional Probability Notasi: P[A|B] – Probabilitas dari A diberikan B – Condition probability dari event A diberikan kemunculan dari event B Definisi: Rekayasa Trafik, Sukiswo 21 Penjelasan Lanjut Rekayasa Trafik, Sukiswo 22 Law of Total Probability Mis B1, B2,…,Bn event- event mutual exclusive dimana union sama dg sample space S P[Bi] > 0 Rekayasa Trafik, Sukiswo 23 Bayes’ Theorem Rekayasa Trafik, Sukiswo 24 2 Independent Events Rekayasa Trafik, Sukiswo 25 Independent Interpretation Rekayasa Trafik, Sukiswo 26 Independent vs Disjoint Rekayasa Trafik, Sukiswo 27 3 Independent Events Rekayasa Trafik, Sukiswo 28 Most Common Application Asumsi bhw events dari eksperiments terpisah adalah independent Contoh: – Asumsi bhw outcome dari suatu toss coin toss independent dari outcomes dari semua toss coin sebelum dan sesudahnya P[H] = P[T] = ½ P[HTH] = P[H]P[T]P[H] = 1/2*1/2*1/2 = 1/8 Rekayasa Trafik, Sukiswo 29 Eksperimen Sekuensial Eksperimen: secara sekuensial subexperiments subexperiments Tiap subexp. bisa tergantung pd yg sebelumya Direpresentasikan dg suatu Tree Diagram Model Conditional Prob. Sequential Experiment Rekayasa Trafik, Sukiswo 30 Contoh Sekuensial Koordinasi waktu 2 lampu lalu lintas – P[lampuke-2 berwarna sama dg yg pertama] = 0.8 – Asumsi lampu ke-1 memp kemungkinan sama utk hijau atau merah Cari P[lampu ke-2 adalah hijau] ? Rekayasa Trafik, Sukiswo 31 Contoh Sekuensial Rekayasa Trafik, Sukiswo 32 Contoh Sekuensial P[lampu ke-2 adalah hijau] ? Rekayasa Trafik, Sukiswo 33 Counting Method Rekayasa Trafik, Sukiswo 34 Prinsip Counting Method Rekayasa Trafik, Sukiswo 35 K-permutations Rekayasa Trafik, Sukiswo 36 Pilih dengan Replacement Rekayasa Trafik, Sukiswo 37 K-combination Rekayasa Trafik, Sukiswo 38 Independent Trials Laksanakan pengulangan percobaan (trials) p = probabilitas sukses (1-p) = probabilitas gagal Tiap percobaan adalah independent Sk,n = event bahwa k sukses dlm n percobaan Rekayasa Trafik, Sukiswo 39 Independent Trial: Contoh 3 percobaan dg 2 sukses 000 001 010 011 100 101 110 111 Berapa banyak cara utk memilih 2 dari 3 – Berapa probabilitas sukses utk tiap cara? – p2 * (1-p) Rekayasa Trafik, Sukiswo 40 Independent Trial: Contoh Contoh: pd ronde pertama dari makanan, probabilitas suatu piring akan lulus test adalah 0.8 Dari 10 kandidat, berapa probabilitas bhw x kandidat akan lolos? P[x = 8]? Solusi: A = {suatu piring lolos test}, P[A] = 0.8 Testing suatu piring adalah suatu independent trial Rekayasa Trafik, Sukiswo 41 Independent Trials: Reliabilitas Mis probabilitas suatu komputer bekerja = p Series: P[A] = P[A1A2] = p2 Paralel: P[B] = ? P[B] = 1 – P[Bc] = 1 – P[B1cB2c] = 1 – (1 – p)2 Rekayasa Trafik, Sukiswo 42 Random Variabel Rekayasa Trafik, Sukiswo 43 Random Variable Suatu varibel yg menggambarkan outcome dari suatu aktivitas random seperti rolling a die Mendefinisikan sebuah pemetaan dari outcome menjadi suatu nilai (value) Has a range of values over which it can vary and a probability distribution with which it takes on these values Discrete random variable – can take on a finite or countable set of values, e.g., number of customers in system Continuous random variable – can take on values over a continuous interval, e.g., waiting time Rekayasa Trafik, Sukiswo 44 Random Variable Eksperimen (Model Fisik) Komposisi dari prosedur & observasi Dari observasi, kita dapat outcomes Dari semua outcomes, kita mendapatkan model probabilitas (matematis) disebut “Sample space” Dari model, kita dapat P[A], A S Rekayasa Trafik, Sukiswo 45 Random Variable Dari suatu model probabilitas Mis.: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan dari lampu S = {R1R2,R1G2,G1R2,G1G2} Jika dialokasikan suatu bilangan pd tiap outcome pd S, tiap bilangan yg kita observasi disebut “Random Variable” Observasi jumlah lampu merah SX = {0,1,2} Rekayasa Trafik, Sukiswo 46 Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo 47 2 Tipe Random Variable Discrete Random Variable Contoh: X = # jumlah shuttle-cocks yg digunakan pd suatu pertandingan badminton Continuous Random Variable Contoh: Z = # menit dari lama panggilan Rekayasa Trafik, Sukiswo 48 Discrete Random Variabel Rekayasa Trafik, Sukiswo 49 Discrete Random Variable Definisi: – X adalah suatu discrete random variable jika rentang/range dari X dp dihitung/ countable Sx = {x1,x2,…} – X adalah suatu finite random variable jika semua nilai dg probabilitas tdk nol ada dlm set terbatas Sx = {x1,x2,…,xn} Rekayasa Trafik, Sukiswo 50 Mengapa Kita Memerlukan suatu RV Utk suatu model probabilitas (eksperimen), outcome pd S dp dlm berbagai bentuk sembarang Jika kita implementasikan suatu Random Variable, kita dp kalkulasi rata-rata! Dlm Probabilitas, rata-rata disebut “expected value” dari suatu random variable Rekayasa Trafik, Sukiswo 51 Probability Mass Function Utk suatu model probabilitas (discrete), P[A] = [0,1] Utk suatu discrete random variable, model probabilitas disebut suatu “Probability Mass Function (PMF)” Rekayasa Trafik, Sukiswo 52 Probability Mass Function Rekayasa Trafik, Sukiswo 53 Contoh PMF Contoh: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan lampu S = { R1R2 , R1G2 , G1R2 , G1G2} Cari PMF dari T, jumlah dari lampu merah Rekayasa Trafik, Sukiswo 54 Contoh PMF T adalah suatu random variable dari # lampu merah Cari PT(t) PT(t) = P[T = t] Pertama-tama, cari probabilitas utk tiap t Tiap outcome adalah equally likely 1/4 P[T=0] = P[{G1G2}] = 1/4 P[T=1] = P[{R1G2 , G1R2 }] = 2/4 = 1/2 P[T=2] = P[{R1R2}] = 1/4 Rekayasa Trafik, Sukiswo 55 Contoh PMF Rekayasa Trafik, Sukiswo 56 Teorema PMF Rekayasa Trafik, Sukiswo 57 Discrete RV Yg Berguna Discrete Uniform Random Variable Bernoulli Random Variable Geometric Random Variable Binomial Random Variable Pascal Random Variable Poisson Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo 58 Discrete RV Yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo 59 Discrete RV Yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo 60 Cumulative Distribution Function (CDF) Memuat informasi lengkap mengenai model probabilitas dari random variable Rekayasa Trafik, Sukiswo 61 Teorema CDF Rekayasa Trafik, Sukiswo 62 Contoh CDF Utk suatu binomial RV, # durian jatuh dlm 5 test dg p = 0.2 Rekayasa Trafik, Sukiswo 63 Contoh CDF Rekayasa Trafik, Sukiswo 64 Rata-Rata Study RV rata-rata Berapakah rata-rata dari suatu RV? – Satu bilangan tunggal yg dp menggambarkan RV – Suatu contoh dari statistik Apakah Statistik? – Bilangan yg mengumpulkan semua informasi yg dibawah perhatian kita – Rata-rata: mean, mode, dan median Rekayasa Trafik, Sukiswo 65 Rata-Rata Mean: – Sum / #terms Mode: – Nilai yg paling sering – PX(xmod) ≥ PX(x) x Median: – Pertengahan dari set data – P[X < xmed] = P[X > xmed] Rekayasa Trafik, Sukiswo 66 Mean Expected Value Menambahkan semua pengukuran/ #terms Contoh: E[T] = ? = 0(1/4) + 2(3/4) = 3/2 Rekayasa Trafik, Sukiswo 67 Expected Value Rekayasa Trafik, Sukiswo 68 Discrete RV yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo 69 Discrete RV yg Berguna Rekayasa Trafik, Sukiswo 70 Variance & Standard Deviation Kita tahu rata-rata, E[X], kenapa kita perlu Variance & Standard Deviation? Seberapa jauh dari rata-rata? T = X – µx E[T] = E[X – µx] =0 Rekayasa Trafik, Sukiswo 71 Variance Ukuran yg berguna adalah E[|T|] E[T2] = E[(X – µx)2] Variance Rekayasa Trafik, Sukiswo 72 Standard Deviation σX andingkan dg µx Ex. σX = 15, Score +6 dari mean OK. Pertengahan kelas Ex. σX = 3,Score +6 dari mean Sangat baik dlm grup Top class Rekayasa Trafik, Sukiswo 73 Derived Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo 74 Mengapa Kita Perlu Derived Random Variable Dari harga sampel dari random variable, harga-harga ini utk menghitung quantities lain Contoh: – cari bentuk harga suatu decibel dari signal-to-noise ratio Y = g(X) Rekayasa Trafik, Sukiswo 75 Contoh-1 Random Variable X = # hal dlm satu fax PX(x) = jumlah hal dlm tiap fax Charging plan – Hal ke-1 = 100 Rupiah – Hal ke-2 = 90 Rupiah – … – Hal ke-5 = 60 Rupiah – Hal 6 – 10 = 500 Rupiah Cari charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax Rekayasa Trafik, Sukiswo 76 Contoh-1 Random Variable Y = charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax Rekayasa Trafik, Sukiswo 77 PMF dari Y P[Y=y] = Σ dari semua outcomes X = x dimana Y = y Rekayasa Trafik, Sukiswo 78 Conditional PMF Rekayasa Trafik, Sukiswo 79 Continuous Random Variabel Rekayasa Trafik, Sukiswo 80 Random Variable Rekayasa Trafik, Sukiswo 81 Continuous Sample Space Utk Discrete: Set bilangan countable – SX = {-1,0,1,3,4} – SX = {-1,0,9,0,0,5,1,1,8,2.25,2.9,3} Utk continuous: Set bilangan uncountable – SX = Interval antara 2 limit – SX = (x1,x2) = (-1,3) Rekayasa Trafik, Sukiswo 82 Probabilitas dari Suatu Continuous RV Mengukur T, waktu download ST= {t | 0 < t < 12} Tebak waktu download adalah (0, 10] menit Tebak waktu download adalah [5, 8] menit Tebak waktu download adalah [5, 5.5] menit Kemungkinan tebakan kita benar makin kecil Tebak waktu download adalah tepat 5.25 menit Probabilitas utk tiap outcome individual adalah nol. Probabilitas yg jadi perhatian adalah suatu interval Rekayasa Trafik, Sukiswo 83 CDF Utk Discrete: – Probability Mass Function PMF, PX(X) Utk Continuous: – Tdk mungkin utk mendefinisikan PMF – Cumulative Distribution Function (CDF) Rekayasa Trafik, Sukiswo 84 Teorema CDF Rekayasa Trafik, Sukiswo 85 Probability Density Function Rekayasa Trafik, Sukiswo 86 Probability Density Function Slope dari CDF pd suatu region dekat x Probabilitas dari random variable X dekat x Prob. Pd suatu region keci (∆) = slope * ∆ – Slope dari CDF PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo 87 Teorema PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo 88 Expected Values Rekayasa Trafik, Sukiswo 89 Expected Value & Varaiance Rekayasa Trafik, Sukiswo 90 Beberapa Continuous RV Berguna Uniform Exponential Gaussian Rekayasa Trafik, Sukiswo 91 Uniform Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo 92 Uniform Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo 93 Exponential Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo 94 Contoh Exponential Rekayasa Trafik, Sukiswo 95 Exponential Continuous RV Rekayasa Trafik, Sukiswo 96 Gaussian Random Variables Rekayasa Trafik, Sukiswo 97 Gaussian Random Variables Rekayasa Trafik, Sukiswo 98 Mixed Random Variable Discrete RV PMF & Summation Continuous RV PDF & Integral Kombinasi dari Discrete dan Continuous RV Unit impulse function Dp menggunakan formulas sama utk menyatakan kedua RVs Rekayasa Trafik, Sukiswo 99 PMF PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo 100 PMF PDF Rekayasa Trafik, Sukiswo 101 Contoh Rekayasa Trafik, Sukiswo 102 Summary Probability and Random Variable Discrete Random Variable – Uniform/Bernoulli/Geometric/… – PMF & CDF – Expected Value – Variance & Standard Deviation Continuous Random Variable – PDF – Uniform/Exponential/Gaussian Multiple Random Variables Stochastic Process Rekayasa Trafik, Sukiswo 103