Induksi matematika

INDUKSI MATEMATIKA
Perhatikan jumlah bilangan ganjil pertama :
11
1 3  4
Muncul dugaan bahwa :
1 3  5  9
P(n)  1  3  5  (2n  1)  n
1  3  5  7  16
1  3  5  7  9  25
Bagaimana membuktikannya ?
 Induksi Matematika
1. Basic step : Tunjukkan bahwa proposisi P(1) adalah benar
2. Inductive step : Tunjukkan bahwa implikasi P(n)  P(n+1) juga
benar untuk setiap bilangan bulat positip
[P(1)  n(P(n)  P(n+1)]  n P(n)
2
Contoh Soal No. 1
Use mathematical induction to prove that the sum of the first n
odd positive integers is n2
Jawab :
1  3  5  (2n  1)  n
Untuk n = 1 :
2
1 = 12 benar
Bila 1 + 3 + 5 ……..+ (2n-1) = n2 benar, maka :
1  3  5  (2n  1)  (2n  1) 
n 2  (2n  1)  n 2  2n  1  (n  1) 2
benar
Contoh Soal No.2
Show that if n is a positive integer,
Jawab :
1(1  1) 2
  1 benar
Untuk n = 1 : 1 
2
Bila : 1  2  3   n 
2
n (n  1)
benar, maka
2
n (n  1)
n (n  1)  2(n  1)
1  2  3   n  (n  1) 
 (n  1) 
2
2
n 2  3n  1 (n  1)( n  2) benar

2
2
Contoh Soal No.3
Use mathematical induction to prove that n3 – n is divisible by 3
whenever n is a positive integer
Jawab :
Untuk n = 1 :
1  1  0 dapat dibagi 3
3
(n  1)3  (n  1)  n 3  3n 2  3n  1  (n  1)
(n 3  n )  3n 2  3n  (n 3  n )  3(n 2  n )
Dapat dibagi 3
Contoh Soal No.4
Use mathematical induction to prove that 22n – 1 is divisible by 3
for n 1
Jawab :
Untuk n = 1 : 22(1)  1  3
dapat dibagi 3
22( n 1)  1  22 n  2  1  22 n 22  1  4 22 n  1  22 n  322 n  1
(22 n  1)  322 n Dapat dibagi 3
Contoh Soal No.5
Use mathematical induction to show that
1  2  22  2n  2n 1  1
for all nonnegative integers (n = 0,1,2 ….)
Jawab :
Untuk n = 0 :
2 2
0
( 01)
 1 benar
n  1  1  2  22  2n  2n 1 
2n 1  1  2n 1  22n 1  1  2n  2  1