ESTIMASI PARAMETER

Kuliah ke 9
ESTIMASI PARAMETER
Parameter : SATU POPULASI
Estimasi
Metode statistika yang berfungsi untuk
mengestimasi/menduga/memperkirakan nilai karakteristik dari populasi
atau parameter populasi berdasarkan nilai karakteristik sampel atau
statistik sampel.
Syarat : sampel harus dapat mewakili populasi  sampling dilakukan
secara acak.
Contoh :
Hasil pemilu dihitung secara cepat (Quickcount) dengan sampel untuk tiap
wilayah pemilihan, valid jika pengambilan sampel dilakukan secara acak.
Cara estimasi :
1. Estimasi Titik
Parameter populasi diestimasi dengan karakteristik sampel (Statistik)
Mean populasi =  = X
Variansi populasi = 2 = s2
standar deviasi =  = s
2. Estimasi Interval
Nilai parameter populasi diestimasi pada kisaran tertentu.
Misal X1,X2,X3,…Xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan 
adalah parameter populasi maka estimasi interval untuk  adalah :
P(B<  < A)=1-
Disebut dengan Interval konfidensi/kepercayaan untuk  dari B sampai A
yang dihitung pada probabilitas 1-.
Bila parameter yang diestimasi adalah H dan distribusi populasi yang
digunakan  (misal distribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)= 
dan statistik dari data sampel adalah k, maka kisaran parameter H pada suatu
interval kepercayaan (1-) dapat diestimasi dengan persamaan probabilitas:
P(h-  < H < h  )= 1- …….(1)
Dengan :
h-  = titik minimum (limit kepercayaan bawah)
h   = titik maksimum (limit kepercayaan atas)
1- = koefisien kepercayaan
(1-) 100% = interval kepercayaan
 = tingkat kesalahan yang masih ditolerir atau persentase nilai yang tidak
dapat diestimasi.
Parameter yang umum diestimasi:
1. Ukuran pemusatan : mean=, Selisih mean = 1 - 2 = 
Estimasi mean dan selisih mean dapat dilakukan dengan :
a. Distribusi Z :
- Jika sampel yang diamati berasal dari populasi yang variansinya
(2) dan standar deviasinya () diketahui.
- Jika sampel yang berasal dari populasi yang variansinya (2) dan
standar deviasinya () tidak diketahui ukuran sampel besar (n30).
b. Distribusi t-student (Distribusi t)
- Jika sampel berasal dari populasi yang tidak diketahui variansinya
(2) dan standar deviasinya () ukuran sampel kecil (n30).
2. Ukuran penyebaran : Variansi = 2, Rasio variansi dua populasi = F
Estimasi nilai variansi dilakukan dengan distribusi chi-kuadrat (X2),
sedangkan estimasi nilai ratio variansi dua populasi dengan distribusi
Fisher (F).
A. Estimasi Mean Populasi
1. Estimasi mean populasi sampel besar dengan distribusi Z
Misal x1,x2,x3….xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean 
tidak diketahui dan variasi 2, dan X= mean sampel maka :
Mean (X )=
Var (( X )=2/n
X 
Z

Menurut teorama limit pusat jika n besar variabel random
mendekati
/ n
distribusi normal
Maka rumus 1 akan berubah menjadi :
  / 2     / 2   1  
Jika nilai Z diganti menjadi :
  / 2 
X 
  1

 / n  / 2

 

 X   / 2
   X   / 2
  1
n
n

Biasanya 2 tidak diketahui, tetapi karena n besar maka 2 dapat diasumsikan
sama dengan s2.
Sehingga:
( X   / 2
s
s
   X   / 2
)  1
n
n
Contoh :
Suatu sampel produk ikan dalam kaleng sebanyak 400 buah mempunyai ratarata umur simpan 23,4 bulan dan standar deviasi s=6,2 bulan. Berapakah
kisaran umur simpan produk ikan dalam kaleng tersebut pada interval
kepercayaan 95%.
Jawab :
Diketahui : n besar maka digunakan distribusi Z dengan =s
X =23,4 bulan dan s=6,2
1-=95%=0,95  = 0,05
/2 = 0,025
Z0,025 = 1,96. Maka:
(23,4  1,96
6,2
6,2
   23,4  1,96
)  95%
400
400
(22,79    24,01)  95%
Kesimpulan: pada tingkat kepercayaan 95% maka umur simpas produk ikan
dalam kaleng adalah antara 22,79 – 24,01 bulan.
2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil.
- Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (2) dan standar
deviasinya () tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30).
- Jika
t
x
s/ n
adalah transformasi t dari sampel X1,X2,X3,…Xn. Jika
sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1)
ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan  populasi.
P(-tα/2 < t < t α/2)=1-α
Jika nilai t diganti menjadi :


X 
  t / 2 
 t / 2   1  
/ n



 

 X  t / 2
   X  t / 2
  1
n
n

Atau
s
s 

 X  t / 2
   X  t / 2
  1
n
n

B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi
Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n
x
x
(1  p)
(
1

)
mempunyai mean = p dan variasi P
untuk n besar harga n
n
n
(1  p)
n
Mendekati P
distribusi normal.
n
Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah:
x
P(  z / 2
n
x x 
 1 
n n 
n
x
 p   z / 2
n
x x 
 1 
n n 
)
n
= 1–α
Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar.
C. Estimasi Variansi populasi normal
Transformasi X
2

(n  1) s 2
2
S2 dihitung dari suatu sampel random X1,X2,X3,…Xn yang diambil dari populasi
berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X2 dengan derajat bebas =
n-1.
Tabel V :
Untuk 0<α<1 maka :
P( X 2 ( k ; / 2)  X 2  X 2 ( k ;1 / 2) )  1  
 (n  1) S 2
(n  1) S 2
2
P
 X 2 ( k ; / 2)    X 2 ( k ;1 / 2 )



  1

Untuk estimasi standar deviasi  digunakan :
 (n  1) S 2
P
 
 X 2 ( k ; / 2)

(n  1) S 2
X 2 ( k ;1 / 2)

  1


Contoh :
Ingin diteliti interval variansi (2) dan standar deviasinya () dari panjang buncis
yang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S2=0,01
inch dan S = 0,1 inch. Hitunglah interval variansi (2) dan standar deviasinya
() yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%.
Jawab :
Diketahui
n=20 derajat bebas= 20-1 = 19
1-α=95%
s2=0,01
α=5% = 0,05
s=0,1
α/2=0,025 1- α/2=0,975
Dari tabel V diperoleh : X2 (19;0,025)=32,85 dan X2 (19;0,975) =8,91 maka :
(20  1)0,01 
 (20  1)0,01
P
 2 
  95%
8,91
 32,85

P(0,0058 < ² < 0,0213) = 95%
Atau P(0,076 <  < 0,146) = 95%
Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah
0,0058 sampai dengan 0,0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisar
antara 0,076 sampai 0,146 inch.