diberikan dan lain sebagainya. Dengan membaca outline kuliah ini

diberikan dan lain sebagainya. Dengan membaca outline kuliah ini orang akan
dapat melihat keleluasaan dan kedalaman isi kuliah itu, kcmampuan mahasiswa
yang sudah mengikuti kuliah ini dan bagaimana bentuk pclaksanaannya.
Untuk mengetahui kebenaran apakah proses pembclajaran berjalan dengan
baik perlu ditelusuri lebih lanjut dalam bentuk penelitian perbaikan proses
pembclajaran mata kuliah tersebut.
V.
Topik
K A L K U L U S PEUBAH B A N Y A K
: Pengertian, cara mengungkapkan dan cara menggambarkan
fungsi
skalar dengan dua peuhah dan lebih (multivariabel)
Turunan parsial, limit dan kekontmiuan,
keterdefferensialan.
'I'urunan herarah, gradien, dan atiiran rantai.
Bidang singgung dan hampiran linier
Nilai ekstrim dan ekstrim bersyarat.
Integral ganda dan integral ulang koordinat Cartesius dan koordinat
kiituh
Pengertian dan interprestasi
Integral garis dan ketak bergantungan pada lintasan
Teorema Green di bidang
Integral permukaan dan teorema divergensi Gauss
Pembahasan ini diawali dengan :
Meninjau ulang aljabar vektor yang inendasar
Fungsi vektor bernilai real dan persainaan kurva
9
Beberapa persainaan permukaan yang sederhana
Bendekalan penyajian
Beberapa halyang akan diperhalikan dalam penyajian ini adalah :
-
Pembahasan lebih ditekankan pada fungsi dengan dua atau tiga
peubah
Menentukan bahwa berbagai konsep dalam kalkulus multivariabel
ini adalah sama atau merupakan perluasan konsep yang sama
yang dipelajari dalam kalkulus jiingsi dengan satu peubah.
Berbagai konsep ini senantiasa diberikan interprestasi dalam
situasi
nyata,
baik
sesudah,
maupun
dalam
mengawali
pembaliasan dan disana-sini dikaitkan dengan penerapannya
1. Pendahuluan
Aljabar vektor : Pembahasan dilakukan pada vektor sebagai garis berarah pada
bidang dan dalam ruang (secara geometri), dan sebagian besaran berkompK)nen
(secara aljabar). Pembahasan diutamakan mengenai jumiah, kombinasi linier,
produk sekalar, j^erkalian silang. Persamaan vektor untuk garis dan bidang datar.
Fungsi vektor bernilai real, dipandang sebagai kurva lintasan gerak sebuah titik
pada bidang dan dalam ruang, dan sebagai pemetaan suaiu selang keruang
berdemensi dua atau tiga. Dibahas pengertian kekontmiuan, turunan (vektor
singgung dan vektor normal), dan integral fungsi sepanjang kurva (integral garis),
parameter panjang busur, pemilihan parameter untuk mengubah arah kurva.
10
Persainaan permukaan dan cara mendapatkan persamaan |-)crmukaan yang
sederhana, seperti bidang, tabung, bola, kerucul, paraboloida putar, paraboloida
clips, paraboloida hiperbol.
2. Fungsi real dengan dua dan tiga peubah
Pengertian fungsi real dengan beberapa peubah ini diturunkan dari definisi
fungsi dengan daerah definisi suatu daerah pada bidang atau dalam ruang, dan
daerah nilainya dalam sistem bilangan real. Ingatkan definisi fungsi real dengan
satu peubah juga didefinisikan seperti itu juga. Diperkenalkan pula pengertian
fungsi dengan beberapa peubah sebagai fungsi dengan peubah vektor. Jika
mahasiswa sudah mengenai aljabar liniar, maka baiknya integral fungsi dengan
beberapa peub ah ini ditangani dengan memandangnya sebagai fungsi dengan
peubah vektor.
Grafik fungsi dengan dua peuhah digambarkan sebagai permukaan dalam ruang
atau sebagai sistem kurva yang disebut kurva ketinggian, sedangkan fungsi
dengan tiga peubah atau lebih tidak dapat digambarkan secara geometri.
Ditunjukkan contoh-contoh situasi nyata yang digambarkan sebagai fungsi dengan
dua atau tiga peubah.
Turunan parsial suatu fungsi didefinisikan sebagai turunan fungsi tersebut, bila
salah satu peubahnya
dipandang konstan, dan diberikan interprestasinya.
Pengertian Until dan kekoniiniuan ditunjukkan sebagai pengertian yang sama pada
fungsi dengan satu peubah dengan penyesuaian
ditunjukkan kesamaan interprestasinya.
beberapa pengertian, dan
Pengertian keterdefferensialan tidak didefinisikan sebagai adanya turunan
parsial, melainkan sebagai perluasan bentuk defenisi lain keterdefferensialan
fungsi dengan satu peubah. Dari pengertian keterdefferensialan ini dikembangkan
pengertian turunan berarah, dan dari sini didefinisikan pengertian turunan
berarah, serta ditunjukkan arti geometrinya. Dari sini pula dikembangkan
pengertian gradien dan aturan rantai. Diperkenalkan pula matriks Jacob! dalam
aturan rantai. Dengan membandingkan persamaan bidang singgung
suatu
permukaan di suatu titik dengan keterdefferensialan fungsi yang dinyatakan
permukaan itu, dapat disimpulkan bahwa bidang singgung itu merupakan
hampiran linear yang terbaik bagi permukaan tersebut disekitar titik itu.
Titik ekstrim suatu permukaan adalah titik tertinggi permukaan tersebut. Karena
itu arah manapun ia merupakan titik tertinggi, dan karena itu turunan kearaah
tersebut nol. Dari sini diturunkan syarat perlu bagi sebuah iitik stasioner dengan
demikian diturunkan pula syarat nilal ekstrim dan jenls ekstrlnmya itu.
Pembahasan ini dilanjutkan dengan pembahasan dan pengertian ekstrim bersyarat.
Pembahasan integral ganda dapat dimulai khusus untuk daerah yang bukan siku
empat. Pendetinisian ditunjukkan sebagai sama dengan proses pendetlnisian
fungsi dengan satu peubah. Pengertian ini segera ditunjukkan penerapannya dalam
berbagai masalah. Perbedaan untuk mendelinisikan integral dalam koordinat
cartesius dan integral dalam koordinat kutup terleteak pada pemilihan bentuk
partisis daerah tersebut. Integral ganda dua ini dilanjutkan ke integral ganda tiga
atau integral volume.yang bukan hanya untuk koordinat cartesius akan tetapi juga
integral dalam koordinat tabimg dan koordinat bola.
12
Integral pembukaan dibatasi pada integral medan skalar pada surat permukaan
yang
dihitung
dengan
menggunakan
integral
ganda
dua.
Dijelaskan
pendetlnisiannya sebagaimana perluasan pendetinisian integral ganda dua, dan
ditunjukkan bagaimana kaitan integral permukaan ini dengan integral luas
3. Medan Vektor
Medan vekior dipandang sebagai fungsi bemilai vektor dengan peubah vektor,
jadi fungsi dengan daerah definisi dan daerah nilainya merupakan himpunan
dalam ruang vektor, yang tidak perlu berdemensi sama. Diingatkan bahwa definisi
bernilai vektor dengan peubah real merupakan hai yang khusus sekali.
Ditunjukkan pula apa fenomena nyata yang diungkapkan sebagai medan vektor
ini.
Dibahas integral medan vektor sepanjang suatu kurva dan ditnjukkan kasus dalam
situasi nyata. Dibahas ketakbergantungan integral garis pada Imtasan, akan tetapi
hanya pada ujung-ujung lintasan pengintegralan saja.
Teorema Green pada bidang dituliskan dalam bentuk integral vektor. Dibahas
pula integral medan vektor pada suatu permukaan, kaitannya dengan integral
volume {teorema divergensi
Gauss),
dan ketcrkaitan integral
pada suatu
permukaan dengan integral sepanjang kurva batasnya (teorema Stakes}.
Catatan : Contoh-contoh sederhana perlu diberikan langsung setelah membawa
suatu konsep atau pengertian, untuk mendapatkan kejelasan mengenai pengertian
tersebut. Adalah suatu keharusan contoh itu tidak rumit, sehingga mahasiswa