abstract - Digilib

MODEL MATEMATIK DAN NUMERIK
DARI ALIRAN FLUIDA DALAM JARINGAN PIPA
BERBASIS MER DENGAN FORMULASI AKAR TERKECIL
Ade Jamal,Agus Sainjati,Aris Suwatjono,LebongAndalaluna'
ABSTRAK
MODEL MATEMATIK DAN NUMERIK DARI ALmAN FLUffiA DALAM JARINGAN
PIPA BERBASIS MER DENGAN FORMULASI AKAR TERKECIL. PersamaanmatematisdaTi
analisis aliran fluida dalamjaringan pipa dibahas untuk diterapkandalam pemodelannumerik yang
sesuai.Dalam hal ini dipilih model numerik berbasisMetode ElemenHingga (MEH). Dalam rangka
menjagamodel numerik MEH ini dapatdiaplikasiseluas-luasnya
untuk segalakasusaliran fluida, maka
formulasiakar terkecil dipilih sebagaipenggantiformulasi Galerkin atau formulasi Residu. Persarnan
aliran fluida yang dikaji dibatasipada alirantunak dan tak-mampumampat.Selainitu, artikel ini dibatasi
hanya sampaipengembanganmodel numeriknya,tidak memasukkankajian lanjutan seperti prosedur
penyelesaain
modelyangdibuat.
ABSTRACT
MATHEMATICAL AND NUMERICAL MODEL OF FLUm FLOW IN A PIPE
NETWORK BASED ON FEM WITH LEAST ROOT FORMULATION. Mathematicalformulations
for analysis of fluid flow in a pipe network has been studied to be implementedin an appropriate
numericalmodel. In this case,a numerical model based on Finite ElementMethod (FEM) has been
chosen.In orderto keepthe range of applicability as wide as possible,a finite elementmodelhas been
derivedusingthe LeastSquare formulationin place of the frequentlyused WeightedResidual(Galerkin)
formulation.The fluid flow studiedhere is assumedto be incompressibleand steady.Furthermore,this
article was limited itself to the developmentof the numericalmodel. Hence, further studies,such as
solutionprocedureof the numericalmodel,areexcluded.
PENDAHULUAN
Jaringanpipa untuk aliranfluida, baik cairanmaupungas,dirancangsedemikian
rupa hingga tidak terjadi hambatanaliran yang menyebabkantidak ekonomisnya
energi tekananyang dibutuhkan. Sistemrancangandistribusi didasarkandua faktor
utama yaitu keperluanjumlah aliran (debit) dari fluida yang ditransportasikandan
besar tekanan (energi) yang dibutuhkan. Kegiatan rekayasa ini dikenal sebagai
.Pusat PengkajiandanPenerapan
Teknologi lnformasi danElektronika,BPPTeknologi
217
RisalahLokakaryaKornputasidalamgains daDTeknologiNuklir XIV, Juli 2003 (217-228)
analisis dan perancanganjaringan pipa. Analisis jaringan pipa juga dibutuhkan untuk
operasional clan pengontrolan, akuisisi suplai, optimisasi kinerja jaringan terhadap
biaya, clan lain-lain. Sistem tersebut dapat dimodelkan sebagai sambungan seri mapun
paralel daTi elemen-elemen pipa yang berhubungan satu sarna lain. Analisis clan
rancanganjaringan pipa menimbulkan masalah yang relatif kompleks, terutama sekali
jika jaringan terdiri daTi banyak pipa. Analisis tersebut umumnya menggunakan
program komputer. Tahapan yang kritis adalah penentuan individual penurunan
tekanan clan debit aliran dalam elemen pipa.
Model numerik yang dibuat di sini membatasi masalah aliran fluida yang tunak
(steadyflow), tak mampu mapat (incompressible flow), tapi tetap mengikut sertakan
peranan gesekan(viscos flow) baik untuk daerah laminar maupun turbulen.
Model Matematis Aliran Dalam Jaringan Pipa
Persamaan
fundamentaluntuk aliran fluida secaraumumdiatur olehtiga hukum
kekekalan,yaitu persamaankekekalanmasa, kekekalanmomentumdan kekekalan
energi[I], yaitu:.
persamaan
kekekalanmasa:
-8p +div(p'V)=O,
(1)
at
(2)
danpersarnaan
kekekalanenergi
p
Dh
= Dp +div(k.VT)+'rij
Dt
Dt
-avi
ax.J
(3)
Tiga persamaanini mengaturtiga variabeldasar:kecepatanE, tekananp, clan
temperatur T. Variabel sekunder yang diikutsertakan adalah entalpi h, densitas
fluida p.
Untuk aliran dalam saluranpipa, tiga persamaandi atas dapatdisederhanakan
menjadi problem satu dimensi. Selain itu permasalahandibatasi lebih jauh untuk
kondisi tunak (steady state) clan tak-mampu mampat (incompressible),sehingga
persamaan
umumnyaadalah[2]:
218
Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH
(Ade Jamal, et.al.»
persamaan
kekekalanmasaataupersamaan
kontinuitas
~=o,
ox
(5)
danpersamaan
kekekalanenergi
1
OQh+ oW = dE + -dp
+ V .dV + g .dZ
p
(6)
Variabel dasarnya adalah kecepatan aliran searahpipa u, tekanan dalam pipa p
dan temperatur T yang implisit dinyatakan dalam fungsi energi dalam E, dan energi
panas kedalam fluida Qh.Kerja yang dilakukan oleh fluida seperti gesekandinyatakan
dalam W merupakan variabel sekunder. Viskositas .u merupakan parameter fisis daTi
fluida. Kecepatan aliran rata-rata V didapat daTi persamaanberikut:
v =11U .dA,
(7)
Persarnaankesetimbangan gaya (5) yang mengikutsertakan viskositas (gesekan
fluida), juga disebut persamaanNavier-Stokes, secara umum sangatjarang diketahui
solusinya, kecuali untuk kasus-kasus yang sangatkhusus clan sederhana.Hal ini terjadi
karena persamaanini menghasilkan persarnaandiferensial parsial clantak-linear.
Salah satu pendekatan yang sering dipakai adalah pendekatan empiris di mana
penurunan tekanan (pressure drop) atau kerugian tekanan (pressure loss) didekatkan
dengan persamaanhasil percobaan seperti kerugian tekanan untuk aliran laminar daTi
Hagen-Poiseuille:
(8)
Q=V.A
(9)
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003
Untuk aliran turbulensi penuh digunakan persamaanempiris daTi DarcyWeisbach:
(10)
Metode Solusi Aliran Fluida Dalam Jaringan Pipa
Terdapatbeberapametodeyang tersediadalamliteraturyang seringdigunakan
untuk menyelesaikan
permasalahaliranfluida dalamjaringanpipa [3]. Padaumumnya
metode solusi ini berdasarkananalogi hukum Kirchhoff yang biasa dipakai untuk
jaringanelektrik,yaitu:
Penjumlahansecaraaljabar debit aliran yang masuk clan keluar daTi semua
cabang atau simpul (node) hams nolo Aturan ini diturunkan daTi persamaan
kontinuitas(4)
L Q masuk= LQkeluar
(11)
Penjumlahansecaraaljabarkerugiantinggi tekananpadasirkuit tertutup(closed
loop) barnsnolo Aturan ini diturunkan dan persamaankekekalanenergi (6) setelah
menerapkan
hukum-hukumtermodinamikamenjadi:
2
-
-
p'g
2.g
~+Zl+~
/
-:-:-+Z2 + V;
P2
2.g
=1
!i) loss
(12)
atau
(13)
~ -~ =hL
di mana
v.2
I
2.g
hL =
~
,p.g
loss
Metode yang menggunakan dua persamaan dasar ini antara lain metode
"koreksi debit" atau lebih dikenal dengan nama metode Hardy-Cross [3,4] di mana
debit untuk pipa awalnya diasumsikan untuk setiap pipa sehingga persamaan
kontinuitas terpenuhi di setiap titik simpul, lalu secara berturut-turut diterapkan
kesetimbangan energi pada setiap sirkuit untuk mendapatkan koreksi debit. Variasi
dari metode ini yang lebih mudah untuk diprogramkan dengankomputer, yaitu dengan
220
Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH
(Ade Jamal, et.al.»
cara persamaan untuk kesetimbangan diselesaikan secara serentak. Metode lain, di
mana debit aliran Q dalam persamaan kontinuitas dieliminasi dengan bantuan
persamaanenergi, sehingga persamaan yang harus diselesaikan hanya dalam variabel
tekanan tapi tak-linear sepenuhnya.Metode matriks [3] diperkenalkan oleh Steffer, di
mana persamaan kontinuitas dan energi diselesaikan secara bersamaan dalam bentuk
matriks berukuran besar. Metode matriks ini sederhana dan persamaan yang dicari
langsung didapat. Hanya saja, matriks ini sering terlalu besar dan tidak sempurna
(ill-conditioned).
Dari semua metode yang disebut di atas, yang paling populer adalah Metode
Hardy-Cross, karena dapat dilakukan secara hitungan tangan untuk jaringan pipa yang
kecil. Perlu dicatat di sini bahwa tidak ada satu metode pun yang menggunakan
persamaanmomentum dalam proses penyelesaiannya.
Metode Elemen Hingga (MEH) telah sangat populer sejak tiga dasawarsa
terakhir. Berangkat daTi mekanika solid dan struktur di dunia teknik pesawat terbang,
saat ini teknik MEH (FEM-Finite Element Method) telah diaplikasikan untuk
bermacama-macamanalisa media kontinum, termasuk fluida. Yang menarik adalah
kebanyakan literatur dan referensi yang ada hanya membahas MEH untuk aliran fluida
pada domain dua dimensi dan tiga dimensi [5-7]. Untuk masalah fluida satu dimensi
seperti aliran fluida dalam pipa tertutup, jarang yang mebahasnya [8], dan jika ada
dalam literatur hanya terbatas pada aliran laminar [9].
Model ElemenHingga Formulasi Akar Terkecil (LeastSquare Formulation)
Persamaandasar yang digunakan dalam model elemen hingga adalah
persamaankontinuitas (4) dan persamaanmomentum yang diturunkan dengan
pendekatanberdasarkankesetimbangangaya pada fluida dalam pipa seperti pada
gambarberikut:
\-'-
Gambar
PersamaanMomentum BerdasarkanKeseimbanganGaya pada
Fluida dalamPipa
221
RisalahLokakaryaKomputasidalamgainsdan TeknologiNuklir XN, Juli 2003
Suku terakhir daTi persamaan (14) adalah perubahan momentum aliran masuk
clankeluar, yang mana untuk pipa lurus menjadi hilang karena persamaankontinuitas.
Suku kedua merupakan gaya karena gravitasi, biasanya digabungkan dengan gaya
tekanan dengan memperkenalkan variabel tinggi tekanPhyaitu:
Ph =p+p.g.Z,
sehinggapersamaanmomentumuntukpipa lurus adalah:
-dph
4
D
(16)
dx
Berawaldan persamaan
kontinuitas(4), yangkita tulis ulang denganpersamaan
:7)menjadi
-=-'l",
av
ax
= 0,
bersama-samadengan persamaanmomentum(16), kita terapkan teknik elemen hingga
dengan formulasi akar terkecil, yaitu dengan cara mengasumsikan fungsi Ph dan V
untuk setiap elemen pipa sebagai fungsi linear dari variabel bebas x sebagaiberikut:
Ph
= Ph/N
v
= V IN
.<I>/N
+ PhOUT
.<I> OUT
':II IN + V OUT
\f OUT
Substitusipersamaan(18) kedalampersamaan
(17), lalu denganformulasi akar
terkecildidapat:
Tf
~N
=
y OUT
=
V
(20)
e'
yang tidak lain adalahkontinuitas dalam elemenpipa. Dengan menerapkan
formulasiakarterkecilpadapersamaan(17) clan(16), didapat:
Le
222
1
]{ Pl
-l
1
pz
4
'l'"e(Ve)
-'l'"e(Ve)
}.
Model Matematik dan Numerik daTi Aliran Fluida dalamjaringan Pipa Berbasis MEH
(Ade Jamal,et.al.»
Persamaanini diturunkan denganmenerapkansecaraimplisit persamaan(20)
clan asumsi bahwa faktor gesekan Te penyebab turunnya tekanan dalam pipa
tergantungpada kecepatantapi tidak padajarak, yang mana hal ini berlaku untuk
elemenpipa dengandiameterkonstan.Dua buahpersamaan
dalammatriks (21) saling
ketergantungan
sehinggahanyasatupersamaan
yangdipakaiyaitu:
}
[1 -ll!Pl
~P2
= 4.Le
~l"e(Ve
e
Persamaan(20) clan(22) merupakanpersamaanuntuk satuelemenpipa. Untuk
kasus aliran laminar, persamaanini sarna dengan model elemen hingga yang
tradisionalditurunkandenganformulasi Galerkin[9], yaitu:
1l".D4
128.p"Le
1
-1
~1]{;~}={~~}
di manaPi adalahtekananhidrostatisdi tiap ujung elemen,clanQi adalahdebit
yang masuk(positif) atau keluar (negatif) di ujung elemen.Pada saatpenggabungan
(assembly)semuamatriks elemenke dalam matriks sistemjejaring pipa, persamaan
kontinuitaspadatiap titik simpul N di terapkanpadasukukananpersamaan
(23).
Persamaan
kontinuitasitu adalah:
di mana qN adalah debit aliran yang keluar daTi sistem pipa di titik simpul N dan
jumlah pipa yang berhubungan dengan titik simpul adalah m. Dalam metode elemen
hingga tradisional ini tekanan Pi didetinisikan sebagai variabel primer, yang biasanya
harus dicari, dan debit aliran keluar/masuk qi adalah variabel sekunder, yang biasanya
diketahui. Jumlah variabel yang dicari sarna denganjurnlah persamaannya yaitu sarna
denganjumlah titik simpul.
Untuk kasus yang tidak dibatasi pada aliran laminar, gesekan 'ie mungkin
merupakan fungsi tak-linear daTi debit Qe (atau kecepatan fluida Ve=Q/Ae dalam
pipa), sehingga persamaan sistem jejaring pipa juga tidak linear dengan variabel yang
harus dicari selain tekanan pada setiap titik simpul Ph juga kecepatan aliran V atau
debit aliran Q dalam pipa. Sistem persamaanumum untukjejaring pipa yang terdiri M
elemen pipa dan N titik simpul adalah: sejumlah M persamaan (25) dan sejumlah N
persamaan(24). Sistem persamaan ini mengatur sejumlah N variabel tekanan Ph dan
RisalahLokakaryaKomputasidalamSainsclanTeknologi Nuklir XN, Juli 2003
sejumlah M variabel debit aliran Q:
~K] [T(Q)nJWh}
}= { {O}}
l[O] [q Jl {Q}
{q}
.
di mana matriks perbedaantekanan [Ke] berukuran(M*N), matriks gesekan
[Te(Q)] adalah matriks diagonal berukuran (M*M) clan matriks kontinuitas [C]
berukuran(N*M). Perlu dicatatbahwa sistemmatriks persamaan(25) tidak simetris
sepertibiasanyapadasistemmatriksMEH yangtradisional.
Setidaknyasatu persamaandalam matriks kontinuitas [C] bergantungsecara
linear denganyang lainnya, karenaitu minimal satudebit keluarq dijadikan variabel
menggantikan satu variabel Ph yang diketahui nilainya sebagai kondisi batas
(boundarycondition)agarpersamaan(25) diatasdapatdiselesaikan:
di mana variabel tekanan Ph diuraikan menjadi PhAyang diketahui dan PhByang dicari
serta matriks perbedaantekanan [K] diuraikan menjadi [KA] dan [KB] masing-masing
sesuai denganvariabel tekanan Ph yang diketahui dan dicari. Jika semua tekanan Ph di
semua titik simpul diketahui, maka sistem persamaanmatriks (26) menjadi:
~T(Q)] [0]If{!2J}= {{[-KJ {Ph}
L[C]
[-J]Jl{q}
{O}
}
Untuk kasusumum di mana gesekanmernpakanfungsi tidak linear daTivaribel
debit Q, maka persamaan(25), (26) clan (27) menjadi tidak linear clan harns
diselesaikandenganmetodeiterasi sepertipadametodeNewtonRaphson.
224
Model MatematikdanNumerik daTiAliran FluidadalamjaringanPipaBerbasisMEH
(Ade Jamal,et.al.»
KESIMPULAN DAN REKOMENDASI
Suatupendekatanyang lain untuk analisis aliran fluida tunak clan tak-mampu
mampattelah dikembangkandenganteknik ElemenHingga dengan formulasi akar
terkecil. Dengan metode MEH ini debit dalam pipa dapat langsung dihitung
bersamaandengan variabel lain di titik simpul yaitu tekanan atau debit yang
keluar/masukdi titik tersebut.Metode elemenhingga yang menggunakanformulasi
Galerkinsebagaianalogidari model elemenhinggadari strukturbatang,penghitungan
debit dalampipa dilakukansebagaianalisislanjut (post-analysis).Debit aliran dalam
pipa denganMetode Cross-Hardyjuga didapatsetelahiterasikoreksidebit.
Dibanding dengan Metode Matriks Steffer, keunggulanmetode ini adalah
terhindamya kemungkinan sistem matriks yang tidak sempurna (ill-conditioned
matrix)dari matrikskontinuitas.
Model elemenhingga untuk elemenpipa ini dapatdikembangkanlebih lanjut
untuk komponen-komponen
jaringan pipa lainnya sepertiuntuk elbow, klep, strainer
clan komponenlainya dengan tetap konsistenpada sistem pengembanganelemen
matriksnya.Selain itu algoritma clan prosedursolusi dari sistempersamaanmatriks
dapatdikaji lebih jauh untuk mendapatkanefisiensidari segi waktu perhitunganclan
jumlah memory komputer yang diperlukan denganmemperhatikanbentuk sistem
matriksyangkhususdari persamaan(26) clan(27).
DAFTARPUSTAKA
WHITE, F.M., ViscousFluid Flow, 2ndEd. MCGraw-Hill (1991)
2. BENEDICT, R. P., Fundamentalof PipeFlow, JohnWiley andSons(1980)
3
KODOATIE, R. J., Hidrolika Terapan-Aliran pada saluranTerbuka dan Pipa,
PenerbitAndi, Yogyakarta,(2002)
4. STREETER,V.L., WYLIE, E.B., Fluid Mechanics, 8ili Edition, McGrawHill
(1985)
5 DHA1T, G., Finite Element Modeling of Fluids in Computational Fluid
Dynamics, Lecture Series 1992-04, yon Karman Institute for Fluid Dynamics
(1992)
6. CONNOR, J.J., BREBIA, C.A., Finite Element Technicquesfor Fluid Flow,
Newnes-Butterworths,
London(1976)
225
RisalahLokakaryaKomputasidalamSainsdaDTeknologiNuklir XIV, Juli 2003
7. FERZIGER, J. H., PERIC, M., ComputationalMethods for Fluid Dynamics,
Springer2ndPrinted (1997)
8. ARASU, K., Analysis of Pipe Networks, EngineeringDevelopmentDivision,
hldira GandhiCentrefor Atomic Research(1993)
9. REDDY, J.N., An Introdcution to The Finite Element Method, McGrawHil1
(1985)
DISKUSI
HUDIHASTOWO
Apa ada rencana untuk mengembangkansoftware yang sudah dibuat untuk
menyelesaikanmasalahfluida dalam2 phasa?Permasalahan
ini banyak dijumpai di
bidang teknik nuklir, tetapi memang disadari tidak mudah. Bagaimana kita
menyelesaikan3 persamaankontinuitas momentumclan energi dalam 2 phaseyang
berbeda?
ADE JAMAL
Rencana2 phasebarn bisa dimulai jika model untuk rasegas (incompressible)telah
selesai.Tahapawal ini barn sampaialirancompressible.
ENDANG ROSADI
Apakah pengaruh temperatur fluida dilibatkan dalam formulasi/pemodelan ini?
ADE JAMAL
Pemodelanini hanya dilaksanakanuntuk air clanminyak saja.Denganasumsiyang
dipakai untuk aliran incompressible(tidak mampumampat),makafungsi temperatur
tidak dilibatkan. Untuk tahap pengembanganmodel selanjutnya di mana aliran
dihitung, makatemperaturharnsdiperhitungkan.
226
Model Matematika dan Numerik daTi Aliran Fluida dalam Jaringan Pipa Berbasis MEH
(Ade Jamal,et.al.
Dalam sebuahjaringan pipa, biasanyaada sebuahkomponenyang mengandung
tekanan clan volume besar. Apakah komponen seperti itu sudah termodelkan
denganmodelyangsekarang?
2. Model solusialiran fluida, untuk setiaptitik ada variabeltekanandan debit volume
yang salingbergantungan,tapi tidak dipengaruhinilai besarannya.Model numerik
selalu membutuhkansalah satu nilai daTi variabel tekanan atau debit volume.
Variabelyangbelumdiketahuinilainya dihitungdengankomputasi.
M. SYAMSA ARDISASMITA
Apa alasanSaudaramencari penyelesaianpemodelanmatematikadenganmetode
Kirchoff yangsederhanadibandingkandenganMetodeElemenHingga?
ADEJAMAL
Metode Kirchoff tidak kita gunakan dalam metode solusi yang kita kembangkan.
Metode Kirchoff ini dinaikkan sebagai gambar "state of the art" teknologi yang
digunakan oleh design manual dan textbook yang ada. Model ini dikembangkan murni
Metode Elemen Hingga dengan formulasi Kuadrat Terkecil.
227
Home