Integral

B
A
B
Integral
1
A.
Pengertian Integral
B.
Integral Tak Tentu
C.
Integral Tertentu
D.
Menentukan Luas Daerah
E.
Menentukan Volume
Benda Putar
Sumber: www.wallpaperbase.com
Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah
bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling
pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah
bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar,
kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah
kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran
baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat
mengetahuinya.
Bab 1 Integral
1
A. Pengertian Integral
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman
tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami
konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
• f1(x) 3x3 3
• f2(x) 3x3 7
• f3(x) 3x3 1
• f4(x) 3x3 10
• f5(x) 3x3 99
Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum
f(x) 3x3 c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan
f c(x) 9x2.
Jadi, turunan fungsi f(x) 3x3 c adalah f c(x) 9x2.
Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) dari
f c(x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f c (x), berarti menentukan
antiturunan dari f c(x). Sehingga, integral merupakan antiturunan
(antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.
Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat Fc(x)
merupakan antiturunan atau integral dari f(x).
f(x), maka F(x)
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.
³ f(x) dx
F(x) c
dengan:
³
notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang
matematikawan Jerman)
f(x)
fungsi integran
F(x) fungsi integral umum yang bersifat Fc(x) f(x)
c
konstanta pengintegralan
Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
•
g1(x)
x, didapat g1c(x)
Jadi, jika g1c(x)
•
g2(x)
g3(x) g4(x)
³ g2c(x) dx
x c 1.
1 2
x c 2.
2
x2.
x2 maka g3(x) ³ g3c(x) dx
1 6
x , didapat g4c(x)
6
Jadi, jika g4c(x)
³ g1c(x) dx
x.
x maka g2(x)
1 3
x , didapat g3c(x)
3
Jadi, jika g3c(x)
•
1 maka g1(x)
1 2
x , didapat g2c(x)
2
Jadi, jika g2c(x)
•
1.
1 3
x c 3.
3
x5 .
x5 maka g4(x)
³ g4c(x) dx
1 6
x c 4.
6
2
2
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x)
dapat dituliskan
³ x dx
n
xn, maka g(x) 1
xn 1 c , n z 1 .
n 1
1
x n 1 c atau
n 1
Sebagai contoh, turunan fungsi f(x) 3x3 c adalah f c(x) 9x2.
Ini berarti, antiturunan dari f c(x) 9x2 adalah f(x) 3x3 c atau dituliskan
³ f ‘(x) dx 3x2 c.
Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.
Jika f ‘(x)
xn, maka f(x) 1 n1
x
c, n z 1 dengan c suatu
n1
konstanta
Contoh
1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut!
a. f(x)
5x2 10
c.
b. f(x)
2x3 3x2 4x 5
d. f(x)
1 3
x 2x
2
f(x)
1 4 1 3
1 2
x x x 1
3
4
2
Jawab:
a. f ’(x)
b. f ’(x)
c.
f ’(x)
(2 ˜ 5)x2 1 0 10x
(3 ˜ 2)x3 1 (2 ˜ 3)x2 1 (1 ˜ 4)x1 1 0
6x2 6x 4
1· 31
§
(1 ˜ 2)x1 1
¨3 ˜ ¸ x
2¹
©
3 2
x 2
2
§
d. f ’(x) ¨ 4 ˜
©
1·
1· 41 §
1·
§
¨ 3 ˜ ¸ x3 1 ¨ 2 ˜ ¸ x2 1 0
¸x
3¹
4¹
2¹
©
©
x3 x2 x
2. Tentukanlah antiturunan x jika diketahui:
a. g1c(x)
x3
c.
g3c(x)
3x4 2x
b. g 2c(x)
2x6 3
d. g4c(x)
x2 4x 1
2
Jawab:
1
a. g 1(x) 1 x 3 1 x 4 c
31
4
b. g 2(x)
2 61
3
x
x0 1
61
0 1
c.
3
2
x4 1 x1 1 c
41
11
g 3(x)
Bab 1 Integral
2 7
x 3x c
7
3
5
2
2
x5 x2 3 5
x x2 c
5
3
d. g 4(x)
1
1
4 11
2 1
2
x
x
c
21
11
0 1x 0 1
1 3
4
1
x x2 x1 c
3
2
2
1 3
1
x 2x2 x c
3
2
B. Integral Tak Tentu
Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral
merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
d(F( x ))
didiferensialkan pada interval >a , b @ sedemikian hingga
f(x),
dx
maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) c.
Secara matematis, ditulis
³
di mana ³ dx
f(x)
c
Sebagai contoh,
karena
f ( x ) dx F(x) c
Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan
Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
Konstanta
dapat kalian tuliskan
x3
2
x
dx
c
³
3
·
d § x3
c¸
¨
dx © 3
¹
x2
Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai
wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai
konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan
teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung
integral.
Teorema 1
Jika n bilangan rasional dan nz 1, maka ³ x n dx
c adalah konstanta.
1 n1
x c di mana
n1
Teorema 2
Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka
³ kf ( x) dx
k ³ f ( x ) dx
4
4
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Teorema 3
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
³ ( f ( x ) g( x )) dx
³ f ( x )dx ³ g( x ) dx
Teorema 4
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
³ ( f ( x ) g( x )) dx ³ f ( x ) dx ³ g(x ) dx
Teorema 5
Aturan integral substitusi
Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan
1
r
( u( x ))r 1 c, di mana c
rasional tak nol, maka ³ ( u( x )) uc( x ) dx
r1
adalah konstanta dan r z 1.
Teorema 6
Aturan integral parsial
Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
³ u dv
uv ³ v du
Teorema 7
Aturan integral trigonometri
•
³ cos x dx
sin x c
•
³ sin x dx
cos x c
•
³ cos
1
2
x
dx
tan x c
di mana c adalah konstanta
Bab 1 Integral
5
Pembuktian Teorema 1
1
Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan
xn 1 c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
d n1
c ) (n 1)xn
(x
dx
1
d n1
ª x c º¼
˜
n 1 dx ¬
º
d ª xn1
c
dx «¬ n 1 »¼
Sehingga
³x
n
. . . kalikan kedua ruas dengan
1
n1
1
˜ n 1 x n
n1
xn
1 xn
n1
dx
1
c
Pembuktian Teorema 3 dan 4
Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan
³ f (x) dx r ³ g(x) dx
yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
d ª
f ( x ) dx r ³ g( x ) dx º
¼
dx ¬ ³
d ª
f ( x ) dx r ³ g( x ) dx º
¼
dx ¬ ³
d ª
d ª
f ( x ) dx º r
g( x ) dx º
¼
¼
dx ¬ ³
dx ¬ ³
f x r g x f ( x ) r g( x )
Sehingga didapat:
³ ( f ( x ) r g( x )) dx ³ f ( x ) dx r ³ g( x ) dx
Contoh
Hitunglah integral dari
³ (3x
2
3x 7) dx!
Jawab:
³
(3x 2 3x 7) dx
3 ³ x 2 dx 3 ³ x dx ³ 7 dx
(Teorema 2, 3, dan 4)
3 x 2 3 x 1 7 x c
21
11
x3 Jadi, ³ (3x 2 3x 7) dx
(Teorema 1)
3 2
x 7x c
2
x3 3 2
x 7 x c.
2
6
6
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Pembuktian Teorema 6
Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi
d
>u( x )v( x )@ u x ˜ v c x v x ˜ u c x dx
Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut.
Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan
seperti berikut.
f(x)
u(x) ˜ v(x) adalah
d
³ dx ¬ªu x ˜ v x ¼º
u x ˜ v x ³ u x ˜ vc x dx
³ u x ˜ vc x dx ³ v x ˜ uc x dx
³ u x ˜ vc x dx ³ v x ˜ uc x dx
u x ˜ v x ³ v x ˜ uc x dx
Karena
vc(x) dx dv dan u’(x) dx du
Maka persamaan dapat ditulis
³ u dv
uv ³ v du
B. 1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan
ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat
diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih
jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
Hitunglah integral dari:
a.
³x
9 x 2 dx
³
b.
sin x dx
x
c.
x
³ 1 2x2 4dx
Jawab:
a. Misalkan u
9 x2, maka du
x dx
2
³ x 9 x dx
2x dx
du
2
1
1
2
³ 9 x 2 x dx
1
1 ³ u 2 du
2
§ ·
³ u 2 ¨© du2 ¸¹
3
2
1 u 2u c
2
3
2
1 u u3 u 2 c 1 u u c
2
3
3
1 9 x2 9 x2 c
3
Jadi,
³x
Bab 1 Integral
9 x 2 dx
1 9 x2
3
9 x2 c .
7
1
x
b. Misalkan u
1 21
1
x
2
2 x
2 x du , sehingga
du
dx
dx
³
sin x
dx
x
x2
³
sin u
x
˜ 2 x du
2 ³ sin u du
2 cos u c
2 cos x c
c.
1 2x2, makadu
Misalkan u
4x dx
du
4x
dx
sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
³
x
1 2x 2
4
x
³u
dx
4
˜
du
( 4 x )
(Teorema 5)
1 4
u du
4³
§ 1 ·§ 1 · 3
¨ ¸¨ ¸ u c
© 4 ¹© 3 ¹
1 3
u c
12
Substitusi u
x
1 2x2 ke persamaan 12u3 c
1 3
u c
12
1 2x
1
(1 2x2 )3 c
12
1
x
dx
(1 2x2 )3 c
Jadi,
2 4
12
(1 2 x )
³
2
4
dx ³
1
c.
12(1 2 x 2 )3
Pembuktian Teorema 7
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri,
yaitu
d
(sin x)
dx
cos x,
d
(cos x)
dx
sin x, dan
d
(tan x)
dx
sec2x.
Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometri
menggunakan rumus tersebut. Caranya adalah dengan
mengintegralkan kedua ruas seperti berikut.
•
•
•
d
(sin x)
dx
d
Dari
(cos x)
dx
d
Dari
(tan x)
dx
Dari
cos x diperoleh ³ cos x dx
sin x diperoleh ³ sin x dx
sec2x diperoleh
³ sec
2
sin x c
cos x c
x tan x c
8
8
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
B. 2. Integral dengan Bentuk a2 x 2 , a2 x 2 , dan x 2 a2
Pengintegralan bentuk-bentuk a 2 x 2 , a 2 x 2 , dan x 2 a 2 dapat
dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x a sin t, x
a tan t ,
x a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.
x
a2 x 2
a cos t
2
2
a x
x
2
2
2
2
x 2 a2
a
x
a cos t
2
a
2
1 tan t 2
a sec t
a 2 sec 2 t a 2
a2 tan 2 t
Ingat
a 2 1 sin 2 t
a a tan t
a 2 sec 2 t
x
a 2 a 2 sin 2 t
a 2 sec 2 t 1
x 2 a2
2
x a
a
a2 x 2
(i)
cos (ax b) dx
³
sin (ax b) dx
³
sec2 (ax b) dx
1 sin
a
(ax b) c
a1 cos (ax b) c
1 tan
a
(ax b) c
a tan t
x
t
³
x
2
t
a
(ii)
t
(iii)
Gambar 1.1
Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri:
(i)
a2 x 2
a cos t , (ii)
a2 x 2
a sec t , (iii)
x 2 a2
a tan t
Contoh
1. Hitunglah setiap integral berikut!
a.
b.
³
sin (3x 1) cos (3x 1) dx
x2
9 x2
dx
Jawab:
a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus
mengubah sin (3x 1) cos (3x 1) ke dalam rumus trigonometri
sudut rangkap, yaitu
Bab 1 Integral
9
1
sin 2D.
2
sin D cos D
Dengan rumus ini, kalian mendapatkan:
³
sin (3x 1) cos (3x 1) dx
³
1
sin (6x 2) dx
2
1
sin (6x 2) dx
2 ³
1 § 1 ·
¨ ¸ cos (6 x 2) c
2 © 6 ¹
1
cos (6 x 2) c
12
Jadi,
³ sin 3x 1 cos 3x 1 dx b. Misalkan, x
3 sin t, maka sin t 1 cos 6 x 2 c
12
x
dan dx
3
3 cos t dt.
Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini!
Dari segitiga di samping,
cos t x
x2
9 x2
dx
a
³
(3 sin t )
˜ 3 cos t dt
3 cos t
³
Integral bentuk:
a 2 x 2 diubah
menjadi x a sin t
2
t
2
2
•
a x
menjadi x
•
x 2 a 2 diubah
menjadi x a sec t
³
x2
9x
diubah
a tan t
2
dx
9x
2
Ingat, rumus kosinus sudut rangkap
cos 2t 1 2 sin2 t
9 ³ sin 2 t
Ingat
•
3
x
3 cos t
9 x2
³
9 x2
3
1
(1 cos 2t ) dt
2
9
(1 cos 2t ) dt
2³
9§ 1
·
¨ t sin 2t ¸ c
2© 2
¹
9
9
t sin 2t c
2
4
9
2
t
9
sin t cos t c
2
9
2
x
3
9§x
2 ¨© 3
9
2
x
3
x
9 x2 c
2
sin 1 ¨ ˜
sin 1 Jadi,
³
x 2 dx
9 x2
9 x2
3
·
¸ c
¸
¹
9 sin 1 x x 9 x 2 c
2
3 2
10
10
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
2x 3 dan g(2)
2. Jika g’(x)
1, tentukanlah g(x).
Jawab:
³ g '( x ) dx
g(x)
³ (2 x 3) dx
x2 3x c
Karena g(2) 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut.
g(x) x2 3x c
g(2) 22 3˜2 c
1 46c
1 2 c
c 12
c 3
Jadi, g(x)
x2 3x 3
3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (2, 12) dan
memiliki persamaan gradien garis singgung
dy
dx
6 x 15 .
Jawab:
dy
dx
y
f(x)
6x 15
³ (6x
15) dx 3x2 15x c
3x2 15x c
Karena kurva melalui titik (2, 12), maka:
f(2) 3(2)2 15(2) c
12 3˜430 c
12 12 30 c
12 42 c
c 12 42
c 30
3x2 15x 30.
Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x)
Asah Kompetensi
1
1. Hitunglah setiap integral berikut!
a.
³ 2x
b.
³ (4x
3
1
dx
c.
³ (4 x
3x 5) dx
d.
³ (5x
2
2. Jika g’(x) 4x 5 dan g(3)
3
4
2 x 3 3) dx
10x 2 3x 1
) dx
4
6, tentukanlah g(x).
3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan memiliki gradien garis singgung
dy
dx
x3.
Bab 1 Integral
11
1
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 90 menit
1. Tentukanlah integral berikut!
2
3
a.
³x
b.
³
c.
³ (18x
d.
e.
(5x 4 S ) dx
8
25x 4 3x 2 ) dx
4 x 6 3x 5 8
dx
³
x5
4
3
³ ( x 5 x 4 ) dx
f.
³ (x
g.
³ 3x 2 dx
³ x ( x 5) dx
h.
3
2
³
j.
³
1 §
1·
1 ¸ dx
2 ¨
x ©
x¹
k.
³
l.
³ (x 2)
m.
³x
n.
³x
o.
³(
i.
dx
x ) dx
3
Bobot soal: 30
( x 4)3
dx
x
2
1
x 1 x
3
dx
x 2 4x 1 dx
4x 1
dx
1x
dx
2
2 x 4)dx
9
2. Tentukanlah setiap integral berikut!
Bobot soal: 30
cos 8x ·
§ sin x
4
¸ dx
6
x
sin 8x ¹
a.
³ (sin x cos x ) dx
f.
b.
³ (x
³ ©¨ cos
g.
³ (8 sin 9x cos 3x 6 sin 9x sin 3x ) dx
c.
³ sin x cos
h.
d.
³ (3 sin x 4 cos x ) dx
i.
³ (sin x )( x cos x ) dx
³ ( x 1) x ˜ sin ( x 1)
e.
³ sin 5x sin 4x dx
j.
³ (2 x 1)sin 3x dx
2
2 sin x ) dx
2
x dx
5
2
2
2
3
3
2
4
cos( x 2 1)4 dx
3. Tentukanlah fungsi g(t), jika diketahui:
a. g‘(t) 7 dan g(0) 0
b. g‘(t) 3t2 8t 1 dan g(2) 5
c. g‘(t) 6t2 4t 1 dan g(1) 5
d. g‘(t)
e. g‘(t)
f.
g‘(t)
g. g‘(t)
h. g‘(t)
1
1
4
2 dan g(2)
2
t
1
1
dan g(4) 3
t
3
t
1
dan g(3) 18
t1
1
2t 1 dan g( ) 1
2
3 t dan g(4) 19
Bobot soal: 20
t
UMPTN 1994
12
12
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
4. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (2, 8) dan memiliki
persamaan gradien garis singgung
dy
dx
§
©
2¨x Bobot soal: 10
1 ·
¸.
x2 ¹
5. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan gradien
garis singgung pada sebarang titiknya adalah setengah koordinat-y.
Bobot soal: 10
C. Integral Tertentu
C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah
Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah
grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang
batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah
aktivitas berikut.
A
ktivitas di
K
elas
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x)
9 x2 pada interval >0, 3@ .
2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing 'x titik x0 0 x1 x2 … xn 1 xn 3.
Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya 'x dan tingginya f(xi). Tentukan pula
luas setiap persegi panjang tersebut!
Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!
Dengan memilih 'x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari
hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi
kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3.
Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!
3.
4.
5.
6.
Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan
luasnya.
Setelah membagi interval >0, 3@ menjadi n selang bagian yang lebarnya
masing-masing 'x
x0
0
x1
'x
x2
2'x
6
n
x3
3'x
9
n
#
#
#
i'x
3i
n
xi
3
, memakai titikn
y
9
f(x)
9 x2
3
, kalian memperoleh:
n
3
n
Bab 1 Integral
'x
x0 O
x1
x3
3
x
Gambar 1.2
Daerah yang dibagi
menjadi n selang bagian
13
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
2
§
§ 3i · · 3
9
¨¨
¨ ¸ ¸u
© n ¹ ¹¸ n
©
3
§ 3i ·
f¨ ¸ u
n
n
© ¹
f (xi ) 'x
27 ·
§ 27
3 i2 ¸
¨
n
n
©
¹
Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.
L
f(x1)'x f(x2)'x . . . f(xn)'x
……(*)
§ 27 27 2 · § 27 27 2 · §
·
1 ¸ ¨
2 ¸ " ¨ 27 273 n2 ¸
¨
n3 ¹ © n
n3 ¹
n
© n
© n
¹
n. 27 3 12 2 2 ... n2
n
n
27 27 ª n n 1 2 n 1 º
»
6
n 3 ¬«
¼
9§
3
1
2 ¸·
¨2 2©
n
n ¹
27 18 9§ 3
1
2 ¸·
¨
2© n
n ¹
Dengan memilih 'x o 0 maka n of, sehingga akan diperoleh luas daerah
yang dibatasi kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3 sebagai
berikut.
L(R)
9 3 1 ·
§
lim ¨ 18 §¨ 2 ·¸ ¸
nof
2 © n n ¹¹
©
18
Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.
L(Rn)
f(x1)'x f(x2)'x … f(xn)'x
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan
tersebut sebagai berikut.
n
¦ f (x )'x
L(Rn )
i
i 1
Jika 'x o 0, maka akan diperoleh
L(Rn )
n
lim ¦ f ( xi )'x
'x o 0
i 1
Dengan mengambil batas daerah x1 a dan x2 b, maka bentuk di atas
merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai
L
b
³ f ( x ) dx
a
3
Sehingga diperoleh
2
³ (9 x ) dx
0
3
1 º
9x x 3 »
3 ¼0
27 9
Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka
18.
b
³ f ( x ) dx
adalah integral
a
tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai
berikut.
b
³ f (x ) dx > f x @
dengan:
f(x) fungsi integran
a
batas bawah
b
batas atas
a
b
a
F b F a 14
14
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu
b
³ f ( x ) dx
a
adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya
adalah fungsi.
Asah Kompetensi
2
Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut!
1
1.
³
5x dx
4.
0
1
2.
³
3.
³
³
sin x dx
0
3
( x 1) dx
5.
2
3
S
2
³
S
2
x dx
6.
0
x dx
3
³
cos 2 x dx
0
Sahabat Kita
Siapakah orang yang pertama kali menemukan integral tertentu? Dia
adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan
asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan
integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya
menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang
jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann.
Riemann meninggal pada tahun 1866.
Sumber: Calculus and Geometry Analitic
Sumber:
http://www-groups.dcs.stand.ac.uk
Gambar 1.3 Riemann
C. 2. Teorema Dasar Kalkulus
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu
teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.
Jika f kontinu pada interval >a, b@ dan andaikan F sembarang
antiturunan dari f pada interval tersebut, maka
b
³
f ( x ) dx
F(b) F(a).
a
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian
menggunakan teorema-teorema berikut.
Bab 1 Integral
15
Teorema 1
Kelinearan
Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta,
maka
b
b
³
a.
k ³ f ( x ) dx
kf ( x ) dx
a
a
b
³
b.
( f ( x ) g( x )) dx
a
b
c.
³
b
³
f ( x ) dx a
b
³
³ g(x ) dx
a
a
( f ( x ) g( x )) dx
b
b
³ g(x ) dx
f ( x ) dx a
a
Teorema 2
Perubahan batas
Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka:
a
³
a.
0
f ( x ) dx
a
³
b.
a
b
³ f (x) dx
f ( x ) dx
b
a
Teorema 3
Teorema penambahan interval
Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c,
maka
c
³
b
f ( x ) dx
a
³
a
c
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
b
Teorema 4
Kesimetrian
a
a. Jika f fungsi genap, maka
³
a
2 ³ f ( x ) dx
f ( x ) dx
a
a
b. Jika f fungsi ganjil, maka
³ f ( x ) dx
0
0
a
16
16
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Akan dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3.
Pembuktian Teorema 1a
1a. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
b
b
³ kf ( x) dx >kF( x )@a
a
kF(b) kF(a)
k(F(b) F(a))
b
k ³ f ( x ) dx
a
Jadi,
b
b
³ kf ( x ) dx
k ³ f ( x ) dx
a
a
Pembuktian Teorema 1b dan 1c
1b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan dari
f(x) dan g(x), maka
b
³
>F(x ) r
( f ( x ) r g( x )) dx
a
G( x )@a
b
(F(b) r G(b)) (F(a) r G(a))
(F(b) r F(a)) (G(b) r G(a))
b
b
³ f (x ) dx r ³ g(x ) dx
a
b
Jadi,
³
a
( f ( x ) g( x )) dx
a
b
³
a
b
f ( x ) dx ³ g( x ) dx .
a
Pembuktian Teorema 2b 1
2b. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
b
³
f ( x ) dx
a
b
¬ªF x ¼º a
F(b) F(a)
(F(a) F(b))
a
³ f ( x ) dx
b
b
Jadi,
³
a
Bab 1 Integral
a
f (x) dx
³ f ( x) dx .
b
17
Pembuktian Teorema 3 1
Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
c
³ f ( x) dx
[ F ( x)]ca
a
F(c) F(a)
(F(c) F(b)) (F(b) F(a))
c
³
b
b
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
a
c
³
Jadi,
c
b
b
c
b
a
a
b
³ f ( x ) dx ³ f ( x ) dx ³ f ( x ) dx ³ f ( x ) dx .
f ( x ) dx
a
Contoh
S
6
³ (sin 3x cos x ) dx .
1. Hitunglah
0
Jawab:
S
6
S
6
S
6
0
0
0
³ sin 3x cos x dx ³ sin 3x dx ³ cos x dx
(Teorema 1b)
S
S
ª 1
º6
« cos 3x » >sin x @06
¬ 3
¼0
S
S
1§
· §
·
¨ cos cos 0 ¸ ¨ sin sin 0 ¸
3©
2
6
¹ ©
¹
Jadi,
5
6
S
6
1
1
˜ 1 3
2
³ (sin 3x cos x ) dx
0
2. Tentukan
1
³x
2
5
.
6
dx .
1
Jawab:
Oleh karena untuk f(x) x2, berlaku f(x) f(x), maka f(x)
merupakan fungsi genap.
Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:
1
³
1
x 2 dx
x2
1
2 ³ x 2 dx
0
1
1
2 ª« x 3 º»
¬ 3 ¼0
18
18
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
1
2 3
(1 03)
3
2
3
³x
Jadi,
2
2
.
3
dx
1
4
3. Tentukanlah
³ f ( x ) dx
jika fungsi f didefinisikan sebagai
0
­ x 2, jika 0 d x 2
® 1 , jika x t 2
¯
f(x)
Jawab:
2
4
³
f ( x ) dx
³
0
0
4
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
(Teorema 3)
2
2
4
³ (x 2) dx ³ 1 dx
0
2
2
1 2
4
x 2x x 2
2
0
1
ª 1 2
«( ˜ 2 2 ˜ 2) ( ˜ 0 2 2 ˜ 0)º» >4 2 @
2
¬ 2
¼
242
8
4
³ f ( x ) dx
Jadi,
8.
0
Asah Kompetensi
3
1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini!
5
a.
³ 2x dx
e.
1
b.
S
2
³
(4 x 3 cos x ) dx
100
d.
³
0
f.
0
c.
1
³
2S
x 5 dx
³ (2 x
0
Bab 1 Integral
³ 3x
2
5x
0
g.
100
2
5
x2 7 x 6
x1
³
(cos x sin x ) dx
S
1) dx
3
h.
S
6
³ cos(3x 0
3
S ) dx
4
19
5
2. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah
³
f ( x ) dx
0
a.
f x ­ x 2, jika 0 d x 2
® 6 x , jika 2 d x d 5
¯
b.
f x ­ 4 x 2 , jika 3 d x 4
®
, jika 4 d x d 10
¯ 2
c.
f x ­ 9 x 2 , jika 0 d x d 3
®
, jika x t 3
¯ 5x
2
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit
1. Tentukanlah integral tertentu berikut!
a.
2
³ 4t 6t dt
e.
2
1
8
b.
³ (x
1
3
4
³
4
3
x ) dx
f.
d.
³
1
S
4
³ (sin
S
(2 x 1) x x 2 dx
g.
1
dt
(t 2)2
1
³
2. Jika
f ( x ) dx
x 3 1 dx
2
3
2 x cos 2 x ) dx
0
0
3
0
³ 3x
1
1
c.
Bobot soal: 80
h.
³
1 cos x dx
S
2
S
4
³ tan
4
x dx
0
4 dan
0
1
³ g( x ) dx
2 , hitunglah integral-integral
Bobot soal: 10
0
berikut!
a.
b.
1
1
³
3 f ( x ) dx
0
1
³ ( f ( x ) g( x )) dx
0
c.
d.
³ (2 g(x ) 3 f ( x )) dx
e.
³ (2 f (x ) 3x
0
0
2
) dx
1
1
³ (3 f ( x ) 2 g( x ) 2) dx
0
20
20
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap
1
dengan
³
f ( x ) dx
0
a.
Bobot soal: 10
1
³ g( x ) dx
3 . Tentukanlah integral-integral berikut!
0
1
³
f ( x ) dx
1
1
b.
³
g( x ) dx
1
1
c.
³
f ( x ) dx
1
D. Menentukan Luas Daerah
D. 1.
Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Pada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan limit
suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu.
Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas
daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis
x a, dan garis x b, dengan f(x) t 0 pada [a, b], maka luas daerah R
adalah sebagai berikut.
L(R)
b
³ f ( x )dx
a
y
y = f(x)
L(R)R
O
a
b
x
Gambar 1.4
Luas daerah di atas sumbu-x
Bab 1 Integral
21
Contoh
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh
kurva f(x) 4 x2, sumbu-x, garis x 0, dan
x 1.
y
4
x=1
Jawab:
Daerah tersebut adalah daerah R. Luas
daerah R adalah:
1
L(R)
³ (4 x
0
2
R
f(x) = 4 x2
) dx
2
1
O
1
2
x
1
1 3º
ª
«¬ 4 x 3 x »¼
0
1
(4 ˜ 1 ˜ 13 0)
3
3
2
3
Jadi, luas daerah R adalah 3
2
satuan luas.
3
D. 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x
Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis
x a, dan garis x b, dengan f(x) d 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas
di subbab D.1, maka luas daerah S adalah
b
L(S) ³ f ( x ) dx
a
y
a
b
O
x
S
y = f(x)
Gambar 1.5
Luas daerah di bawah sumbu x
22
22
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Contoh
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis y
sumbu-x, garis x
4, dan sumbu-y.
Jawab:
y
1
x 2,
4
x=4
1
1
3
2
1
y= 4x
O
1
2
1
3
4
5
6
7
8
2
x
S
2
3
Daerah tersebut adalah daerah S. Luas Daerah S adalah
L(S)
4
§1
·
³ ¨ x 2 ¸ dx
4
¹
0 ©
4
ª1 2
º
«¬ 8 x 2 x »¼
0
1 2
(( ˜ 4 2 ˜ 4) 0)
8
(2 8) 6
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6 satuan.
D. 3.
Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva
y f(x) dan sumbu-x
Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis
x a, dan garis x c, dengan f(x) t 0 pada [a, b] dan f(x) d 0 pada [b, c],
maka luas daerah T adalah
b
L(T)
³
f ( x ) dx c
³ f ( x ) dx
b
a
Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi T1 dan T2 masingmasing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1
sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas
daerah yang terletak di bawah sumbu-x.
y
y
T1
a
O
b
T2
c
f(x)
x
Gambar 1.6
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu-x
Bab 1 Integral
23
Contoh
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y
y
0 d x d2S, dan sumbu-x.
Jawab:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y f(x) sin x, 0d x d2S, dan sumbux adalah:
L L(A1) L(A2)
2S
³
sin x dx S
S
³
y
f(x)
1
sin x dx
A1
1
0
>cos x @S >cos x @0
(cos 2S cos S) (cos S cos 0)
(1 (1)) (1 1)
22
4
2S
sin x,
f(x)
S
2
O
1
3S
1
2
2
x
2S
2
A2
Jadi, luas daerah tersebut adalah
4 satuan luas.
–1
D. 4.
Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua
Kurva
Luas daerah U pada gambar di bawah adalah
L(U) Luas ABEF Luas ABCD
F
E
y1
U
f(x)
C y
2
D
A
a
g(x)
B
b
Gambar 1.7
Luas daerah yang terletak
di antara dua kurva
ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1
y 0 sehingga
b
Luas ABEF ³ f ( x ) dx
f(x), x
a, x
b, dan
a
Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2
x b, dan y 0 sehingga
g(x), x
b
Luas ABEF ³ g( x ) dx
a
Dengan demikian, luas daerah U adalah
b
L(U)
³
a
b
f ( x ) dx ³ g( x ) dx
a
b
³ ( f (x ) g(x )) dx
a
24
24
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
a,
Contoh
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi
oleh kurva f(x) 4 x2, garis x 0, dan di
atas garis y 1.
y
4
Jawab:
3 atau x2
4
x2
U
U
Luas daerah yang dimaksud adalah luas
daerah U.
Tentukanlah batas-batas pengintegralan,
yaitu absis titik potong antara kurva y f(x)
4 x2 dan garis y 1 di kuadran I.
Substitusi y 1 ke persamaan y 4 x2
sehingga didapat:
4 x2 1
x2 3
x1
f(x)
1
O
y
2
1
x
3
Oleh karena daerah U ada di kuadran I, maka batas-batas
3.
pengintegralannya adalah x 0 sampai x
Dengan demikian, luas daerah U adalah sebagai berikut.
3
L(U)
³ (4 x
0
3
2
³ (3 x
2
1) dx
) dx
0
3
1 3º
ª
«¬ 3x 3 x »¼
0
1
3 ˜ 3 ˜
3
3˜ 3 3
3
3
3 3
1
˜3 3
3
2 3
Jadi, luas daerah U adalah 2 3 satuan luas.
3
ASAH KEMAMPUAN
contoh
Waktu : 60 menit
1. Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut.
Kemudian, tentukan luas daerah tersebut!
a. f(x) 3x2 x3 dan sumbu-x.
b. g(x) 1 x3, sumbu-x, dan garis x 2
c. h(x) x2 3x, sumbu-x, x 0, dan sumbu simetri parabola
d. i(x) x, g(x) 2x, dan x 5
e. j(x) x2 3x 4 dan sumbu garis y 4
S
f. k(x) sin x dan g(x) cos x, untuk 0d xd
Bobot soal: 60
2
Bab 1 Integral
25
2. Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) x2 2x 8 dan sumbu-x
dibagi menjadi dua bagian oleh sumbu-y. Tentukan perbandingan luas
bagian masing-masing!
3. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah
yang dibatasi kurva y x2 dan garis y 4.
Bobot soal: 20
Bobot soal: 20
Olimpiade Matematika SMU, 2000
Titik (a, b) dan (a, b) dengan a dan b bilangan real positif merupakan dua titik pada parabola
f(x) 1 x2. Jika kedua titik tersebut dengan titik (1, 0) dan (1, 0) membentuk trapesium,
tentukanlah luas terbesar trapesium tersebut!
Sumber : Olimpiade Matematika SMU, 2000
E. Menentukan Volume Benda Putar
E. 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi
Sumbu-x
Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara
matematis, ditulis
V A.h
Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampangpenampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu.
Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di
x adalah A(x) dengan a d x d b. Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagi
a x0 x1 x2 ... xn b.
Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehingga
diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume
suatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu
'Vi | A( x )'xi dengan xi 1 d xi d xi .
Dengan jumlah yang kalian dapatkan V |
menjadi V
n
¦ A( xi ) 'xi ,
kemudian akan
t 1
b
³ A ( x ) dx .
a
A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini
berupa lingkaran, maka A(x) Sr2 jari-jari yang dimaksud merupakan
sebuah fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar
dapat dinyatakan sebagai V
b
S ³ f ( x ) 2 dx .
a
26
26
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis
x a, garis x b, dengan a b, maka volume benda putar yang diperoleh
dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah
V
y
y
f(x)
b
S ³ ( f ( x ))2 dx
a
R
O a
E. 2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi
Sumbu-y
Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x f(y), sumbu-y,
garis x a, garis x b, dengan a b, maka volume benda putar yang
diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.
b
x
Gambar 1.8
Volume benda putar yang
mengelilingi sumbu-x
y
b
y
2
V S ³ ( f ( y )) dy
f(x)
b
a
Contoh
a
Tentukanlah volume benda putar, jika
daerah yang dibatasi oleh grafik
f(x) 4 x2, sumbu-x, dan sumbu-y diputar
360° terhadap:
a. sumbu-x
b. sumbu-y
f(x) = 4 x2
R
2 1 O
Jawab:
O
y
1
2
x
Gambar 1.9
Volume benda putar yang
mengelilingi sumbu-y
x
a. Volumenya adalah:
V
2
2
0
0
S ³ (4 x 2 )2 dx S (16 8x 2 x 4 ) dx
³
2
8
1 º
ª
S «16 x x 3 x 5 »
3
5 ¼0
¬
8
1
§
·
S ¨ §¨ 16 ˜ 2 ˜ 2 3 ˜ 2 5 ·¸ 0 ¸
3
5
¹
©©
¹
64
32
§
·
S ¨ 32 ¸
3
5 ¹
©
256
S
15
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar
mengelilingi sumbu-x adalah
256
S satuan volume.
15
b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah
R diputar mengelilingi sumbu-y, kalian harus nyatakan persamaan
kurva y f(x) 4 x2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y.
y
4 x2 Ÿ x2
4y
Volume benda putar tersebut adalah
Bab 1 Integral
27
4
V
S ³ (4 y ) dy
0
4
1 º
ª
S «4y y 2 »
2 ¼0
¬
§
·
1
§
2 ·
S ¨¨ 4 ˜ 4 2 ˜ 4 ¸ 0¸
¹
©©
¹
S(16 8) 8S
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar
mengelilingi sumbu-y adalah 8S satuan volume.
E. 3.
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva
f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan f x t g x pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x seperti yang telah
dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah
sebagai berikut.
b
V(T)
S ³ f ( x ) g( x ) dx
2
2
a
y
y
y g(x)
T
O
a
f(x)
b
x
Gambar 1.10
Volume benda putar yang dibatasi kurva f(x)
dan g(x) jika diputar mengelilingi sumbu-x
Contoh
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik
f(x) x 2, sumbu-y, garis x 2, dan y 1 diputar 360° mengelilingi
sumbu-x
Jawab:
Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volume
nya adalah
2
V S ³ (( 1)2 ( x 2)2 )) dx
0
28
28
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
y
2
S ³ 1 ( x 2 4 x 4) dx
0
f (x)
§ 1
·
S ¨ x 3 2 x 2 3x ¸
© 3
¹
x2
2
0
O
ª§ 8
· º
S «¨ 8 6 ¸ 0 »
3
©
¹ ¼
¬
S
x
2
1
y
2
2
S
3
x
2
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah S diputar
mengelilingi sumbu-x adalah 4 61 S satuan volume.
E.4.
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva
f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan f ( y ) t g( y )
pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah
dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah
sebagai berikut.
b
2
V(U) S ³ (( f ( y )) g( y ) dy
2
y
x
g(y)
b
U
a
a
x
O
Contoh
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh
1
x 2, sumbu-x, garis x
4
grafik f(x)
0, dan garis x
4 diputar 360°
mengelilingi sumbu-y.
Jawab:
y
x
2
1
O
f(x)
1
2
3
x
Gambar 1.11
Volume benda putar yang
dibatasi kurva f(y) dan g(y)
jika diputar mengelilingi
sumbu-y
4
1
3
f(y)
4
U 5
6
7
8
1
x 2
4
x
1
2
3
Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-batas
pengintegralan, yaitu ordinat titik potong antara kurva
y
f(x)
1
x 2 dan garis x
4
Substitusi x
Bab 1 Integral
4.
4 ke persamaan y
1
x 2 sehingga diperoleh,
4
29
y
1
˜ 4 2
4
f(x)
1
Jadi, batas-batas pengintegralannya adalah y 1 sampai y 0.
Oleh karena daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-y, maka
kalian harus menyatakan persamaan kurva y
persamaan x dalam variabel y.
1
x2
4
Dari y
1
x
4
x
1
x 2 menjadi
4
y2
4y 8
Jadi, volume benda putar tersebut adalah
0
1
1
0
2
V S ³ ((4 y 8)2 4 2 ) dy S ³ (4 y 8)2 dy
1
S ³ (16 y 2 64 y 48) dy S ³ (16 y 2 64 y 64) dy
1
§ 16
·
S ¨ y 3 32 y 2 48y ¸
© 3
¹
0
2
§ 16
·
S ¨ y 3 32 y 2 64 y ¸
3
©
¹
1
1
2
16
ª
º
S «0 §¨ ˜ ( 1)3 32( 1)2 48( 1) ·¸ » ¹¼
¬ © 3
16
ª 16
º
S «¨§ ˜ ( 1)3 32( 1)2 64( 1) ¸· ¨§ ˜ ( 2)3 32( 2)2 64( 2) ¸· »
¹
© 3
¹¼
© 3
ª§ 16
§ 16
·
· § 16
·º
16 ¸ S «¨ 32 64 ¸ ¨
˜ 8 128 128 ¸ »
3
3
© 3
¹
©
¹
©
¹¼
¬
1
16
80
S
S
21 S 3
3
3
S ¨ Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi jika daerah U
diputar mengelilingi sumbu-y adalah
4
80
S satuan volume.
3
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit
Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini.
Kemudian, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah
tersebut diputar 360° mengelilingi sumbu-x dan volume jika diputar
360° mengelilingi sumbu-y.
1. y
x, sumbu-x, garis x
0, dan garis x
S
3S
6
º dan sumbu-x
sin x pada interval ª« ,
¬ 2 2 »¼
3. x2 y2 64, sumbu-x, dan sumbu-y
2. f(x)
Bobot soal: 20
Bobot soal: 20
Bobot soal: 20
30
30
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
4. y2
10x, y2
4x, dan x
4
Bobot soal: 20
EBTANAS 1989
5. f(x) 1 3
x 2, g(x)
4
2 x, dan x
2
Bobot soal: 20
angkuman
Rangkuman
1. Bentuk umum integral tak tentu
³ f ( x ) dx F(x) c
dengan
³ dx : Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan
f(x) : Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
c : Konstanta
2. Rumus integral tak tentu
1 n1
x c, di mana c adalah konstanta, n z 1
n1
•
³
•
³ kf ( x) dx
•
³ ( f ( x ) g( x )) dx
•
³ ( f ( x ) g( x )) dx ³ f ( x ) dx ³ g(x ) dx
•
³ (u(x )) uc(x ) dx r 1 (u(x )) c, di mana c adalah konstanta, n z 1
³ u dv uv ³ v du
³ cos xdx sin x c , di mana c adalah konstanta
³ sin x dx cos x c , di mana c adalah konstanta
1
³ cos x tan x c , di mana c adalah konstanta
•
•
•
•
x n dx
k ³ f ( x ) dx
³ f ( x )dx ³ g( x ) dx
1
r
r 1
2
3. Bentuk umum integral tertentu
b
³
f ( x ) dx
a
F(b) F(a)
di mana f kontinu pada interval >a, b @
4. Rumus-rumus integral tertentu
b
•
³
a
Bab 1 Integral
kf ( x ) dx
b
k ³ f ( x ) dx
a
31
b
•
³
( f ( x ) g( x )) dx
a
•
b
•
•
•
³
³
f ( x ) dx a
b
a
³
³
f ( x ) dx
0
³
f ( x ) dx
³ f (x) dx
a
a
a
•
b
f ( x ) dx ³ g( x ) dx
( f ( x ) g( x )) dx
a
a
•
b
b
³ g( x ) dx
a
a
b
b
c
b
³
f ( x ) dx
a
a
³
a
³ f ( x ) dx
a
a
³ f ( x ) dx
c
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
b
a
2 ³ f ( x ) dx di mana f fungsi genap
0
0 di mana f fungsi ganjil
a
5. Rumus luas daerah (L) yang terletak
a. di atas sumbu-x
b
³ f ( x ) dx
L(R)
a
b. di bawah sumbu-x
c.
b
di atas dan di bawah sumbu–x
L(S) ³ f ( x ) dx
a
b
³
L(T)
a
d. di antara dua kurva
L(U)
c
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
b
b
b
b
a
a
a
³ f ( x ) dx ³ g( x ) dx ³ ( f ( x ) g( x )) dx
6. Volume benda putar (V) yang diputar mengelilingi
a. sumbu-x
b
V
2
S ³ ( f ( x )) dx
a
b. sumbu-y
b
2
V S ³ ( f ( y )) dy
a
c.
sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)
b
V
S ³ (( f ( x ))2 g( x ))2 dx
a
d. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)
b
2
2
V S ³ (( f ( y )) g( y )) dy
a
32
32
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Ulangan Bab 1
○
○
Pilihlah jawaban yang paling tepat!
○
I.
○
A.
○
0
○
D. 6
E. 4
○
B.
○
○
○
○
5, maka
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1
○
12, maka nilai b
1
A. 12 S
5
4
D. 2 S
5
4
B. 11 S
5
E.
○
³ 2x 3 dx
7. Daerah yang dibatasi oleh kurva y x 7
dan y 7 x2 diputar mengelilingi sumbu-x
sejauh 360°. Volume benda yang terjadi
adalah . . . .
○
2
2 S
3
1
C. 2 S
5
8. Luas daerah terbatas di bawah ini
adalah . . . .
y
○
○
○
○
D. 5
E. 6
○
○
○
adalah . . . .
A. 2
B. 3
C. 4
○
b
3. Jika b ! 0 dan
○
4 3
x x2 5x 5
3
C.
1
satuan luas
216
1
satuan luas
432
1
satuan luas D.
36
1
satuan luas E.
72
1
satuan luas
108
○
2. Jika f(x) ³(x2 2x 5) dx dan f(0)
f(x) . . . .
1 3
A.
x x2 5x 5
3
1 3
x 2x2 5x 5
B.
3
2 3
x 2x2 5x 5
C.
3
2 3
D.
x x2 5x 5
3
E.
○
(3x2 3x 7) dx adalah . . . .
○
A. 12
B. 16
C. 10
³
○
2
1. Nilai dari
6. Luas bidang yang dibatasi oleh grafik
y 6x2 x dan sumbu-x adalah. . . .
○
p , maka nilai p adalah . . . .
1
○
1
○
³ (1 x ) dx
○
4. Jika
○
p
○
1 O
1
C.
5
1
2
○
E.
○
2
○
B.
x
○
D. 1
○
3
○
A.
2
○
○
○
○
○
○
○
○
B.
○
○
○
1
2
D. 2 2
1
2
E. 2 2
A.
○
○
C.
4
3
10
3
8
3
D. 2
E. 1
○
○
Bab 1 Integral
cos x dx adalah . . . .
○
1
2
A. 1 2
1
2
B. 1 2
1
2
C. 2 2
5
○
³ 2 sin x
S
4
○
5. Nilai dari
S
2
33
○
○
○
○
jauhkah jarak yang ditempuh bola dari awal
sampai berhenti?
○
○
○
○
○
4. Ayu dan Bernard berangkat dari tempat
yang sama pada saat t 0. Kecepatan pada
waktu t adalah v(t) dan jarak yang dijalani
a dan t
b adalah
○
Kecepatan Ayu seperti kurva yang terlihat
○
○
○
○
○
³ v t dt .
a
○
○
○
○
b
antara t
5
.
5
Berapakah jarak yang ditempuh mereka
masing-masing pada saat kecepatannya
sama?
pada gambar di bawah ini. Jika sin D
○
10. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-y,
kurva y x 2 1, dan kurva y x 2 19
adalah . . . .
A. 3
D. 60
B. 36
E. 72
C. 54
○
2
3
2
3
○
E. 14
○
C. 16
D. 16
○
B. 18
8 adalah . . . .
0
○
sampai x
2
A. 18
3
2
x x dari x
3
○
9. Panjang busur kurva y
○
○
○
○
y
○
○
○
○
○
1
x
O
1
2
○
○
○
○
○
○
tg D
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
5. Sekelompok bakteri dalam suatu lingkungan
hidup tertentu berkembang biak sesuai
d
0,5 N. Jika jumlah
dengan perumusan n
dt
bakteri pada keadaan awal adalah 200,
hitunglah jumlah bakteri setelah t 2 detik,
t 4 detik, t 8 detik, t 10 detik!
(Petunjuk: Nyatakan hasil perhitungan
dalam e 2, 71828 . . .)
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
3. Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang
datar dengan laju awal 4 m/det. Akibat
gesekan dengan bidang itu, bola mengalami
perlambatan 2 m/det2. Jika pada saat t 0
posisi benda berada pada s
0, berapa
○
○
2. Sebuah benda bergerak dengan laju
v m/det. Pada saat t 2 detik posisi benda
berada pada jarak 30 m dari titik asal.
Tentukanlah posisi benda sebagai fungsi
waktu t!
○
○
1. Proporsi dari pekerja yang mendapatkan upah
antara a ribu dan b ribu rupiah/hari adalah
x 2 6x y
dan dibatasi sumbu-x. Terletak
36
di antara a dan b yang bernilai 0 dan 6.
Berapakah persentase pekerja yang
mendapatkan upah di bawah Rp1.500,00?
○
○
II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas
dan tepat!
34
34
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam