pengukuran deskriptif - Radia Sari

PENGUKURAN
DESKRIPTIF
STATISTIK INDUSTRI I
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
1
PENGUKURAN DESKRIPTIF
Suatu pengukuran yang bertujuan untuk
memberikan gambaran tentang data yang
diperoleh
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
2
UKURAN
PEMUSATAN DATA
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
3
UKURAN PEMUSATAN DATA
Suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu data dan
dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data.
Beberapa macam ukuran pemusatan data:
•
•
•
•
•
•
Rata-rata hitung (Mean)
Median
Modus
Kuartil
Desil
Persentil
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
4
Rata–rata Hitung ( Mean )
 Nilai khas yang mewakili sifat tengah atau
posisi pusat dari sekumpulan data
Contoh :
• Tentukan nilai rata-rata dari data: 2,3,4,5,6
23 45 6
x
4
5
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
5
Data berbobot
• Contoh : Berat paket yang
diterima oleh suatu
perusahaan selama 1
minggu tercatat seperti
pada tabel disamping ini.
Rata-rata berat paket
dalam minggu tersebut
adalah
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Berat
(kg)
Frekuensi
5
6
7
8
6
8
12
4
f .x

x
f
Jawab:
Berat (kg)
Frekuensi
X
F
5
6
7
8
6
8
12
4
30
Jumlah
30
194
F. X
48
84
32
Jadi rata-rata berat paket = 6,47 kg
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
x
=
=
 f .x
f
194
30
= 6,47
Data kelompok
Cara I:
f .x

x
f
 x = Nilai tengah
Contoh :
Tentukan mean nilai tes
Matematika 20 orang siswa
yang disajikan pada
tabel disamping ini !
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Nilai
Frekuensi
3-4
5-6
7-8
9 - 10
2
4
8
6
Jumlah
20
Jawab :
x
=
Nilai
Frekuensi
x
3-4
5-6
7-8
9 - 10
2
4
8
6
3,5
7
5,5
22
7,5
60
9,5
57
Jumlah
20
146
20
= 7,3
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
F.x
146
Cara II:
x  x0
f.d


f
xo = rata-rata sementara, d = x - xo
x = nilai tengah
Contoh :
Jika rata-rata sementara pada
tabel adalah 67, maka nilai
rata-rata data tersebut adalah…..
Nilai
f
x
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
4
10
17
14
5
57
62
67
72
77
Jumlah
50
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Jawab :
Nilai
f
x
d
f. d
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
4
10
17
14
5
57
62
67
72
77
- 10
-5
0
5
10
- 40
- 50
0
70
50
Jumlah
50
30
 = 67 + 30
50
= 67,6
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
11
Median
bilangan yang ditengah-tengah setelah bilangan-bilangan
itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.
a. Data tunggal
 Jika n ganjil
Letak Me = data ke Jika n genap
(n  1)
2
Letak Me = ½ ( Xn/2 + Xn/2 + 1 )
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Contoh :
Nilai ulangan Mata Pelajaran Matematika dari 12 siswa adalah
sebagai berikut: 6,8,5,7,6,8,5,9,6,6,8,7.
Tentukan median dari data tersebut!
Jawab :
Data diurutkan : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9
jumlah data ( n ) = 12 ( genap )
Letak Me = data ke ½ ( X6 + X7 )
= ½ (6+7)
= 6,5
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Data berkelompok
𝑛
−
𝑓
2
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝐿𝑖 +
𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛
𝑙
𝑐
Dengan:
Li = tepi bawah dari kelas median
n = banyaknya data
(f)l = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median
fmedian = frekuensi kelas median
c = lebar interval kelas median
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
14
Contoh
◦ Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam
Breaking stress (kN/m2)
Jumlah (f)
900 – 999
4
1000 – 1099
19
1100 – 1199
29
1200 – 1299
28
1300 – 1399
13
1400 – 1499
7
Total (N)
100
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝐿𝑖 +
𝑛
−
2
𝑓 𝑙
𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛
𝑐 = 1099,5 +
100
−23
2
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
29
99 = 1191,7
15
Modus
 bilangan yang paling sering muncul atau nilai
yang memiliki frekuensi terbanyak.
Data tunggal / berbobot
Contoh :
Tentukan modus dari masing-masing kumpulan bilangan
di bawah ini:
a. 5,3,5,7,5
c. 2,5,6,3,7,9,8
b. 4,3,3,4,4,7,6,8,7,7
d. 2,2,3,3,5,4,4,6,7
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
16
Jawab :
a. Modus data tersebut adalah 5
b. Modus data tersebut adalah 4 dan 7
c. Modus data tersebut tidak ada
d. Modus data tersebut adalah 2,3,4
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
17
Data berkelompok
∆1
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 𝐿𝑖 +
𝑐
∆1 + ∆2
Dengan:
Li = tepi bawah dari kelas modus
1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
c = lebar interval kelas modus
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
18
Contoh
◦ Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam
Breaking stress (kN/m2)
Jumlah (f)
900 – 999
4
1000 – 1099
19
1100 – 1199
29
1200 – 1299
28
1300 – 1399
13
1400 – 1499
7
Total (N)
100
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑠 = 𝐿𝑖 +
∆1
∆1 +∆2
𝑐 = 1099,5 +
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
10
10+1
99 = 1189,5
19
Contoh
◦ Distribusi frekuensi hasil produksi setrika listrik (dalam buah) selama 100 hari
yang diproduksi adalah:
Hasil
Frekuensi
Tepi
Frekuensi
Produksi
20 - 34
8
35 - 49
24
50 - 64
27
65 – 79
20
80 – 94
8
95 – 109
8
110 – 124
4
125
- 139
1
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Kelas
19,5
Kumulatif
8
34.5
49,5
64,5
32
59
79
79,5
94,5
87
95
109,5
124,5
99
100
20
◦ Kuartil (Quartile)
Kelompok data yang telah diurutkan kemudian dibagi menjadi 4 (empat)
bagian sama banyak
Data tidak berkelompok
Data berkelompok
in  1
Qi  Nilai ke , i  1, 2, 3
4
 in


F


, i  1, 2, 3
Qi  L0  c 4
 f 




F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil
L0 : tepi bawah kelas kuartil
c : panjang interval kelas
n : jumlah semua frekuensi
f : frekuensi kelas kuartil
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
21
Contoh
◦Untuk contoh soal pengujian tegangan
rusak pada suatu logam; tentukan Q1,
Q2, Q3
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
22
◦ Desil
Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 (sepuluh) bagian
sama banyak
Data tidak berkelompok
Data berkelompok
in  1
Di  Nilai ke , i  1, 2, 3,...,9
10
 in
F

Di  L0  c 10
f





, i  1, 2, 3,...,9



F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil ke-i
L0 : tepi bawah kelas desil ke-i
c : panjang interval kelas desil ke-i
n : jumlah semua frekuensi
f : frekuensi kelas desil ke-i Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
23
Contoh
◦Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak
pada suatu logam;, tentukan D3, D7, dan D9
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
24
◦ Persentil
Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi
100 (seratus) bagian sama banyak
Data tidak berkelompok
in  1
Pi  Nilai ke , i  1, 2, 3,...,99
100
Data berkelompok
 in
F

Pi  L0  c 100
f





, i  1, 2, 3,...,99



F: jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil ke-i
L0 : tepi bawah kelas persentil ke-i
c : panjang interval kelas persentil ke-i
n : jumlah semua frekuensi
f : frekuensi kelas persentil
ke-i
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
25
Contoh
◦Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak
pada suatu logam; tentukan P25 dan P75
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
26
UKURAN DISPERSI
Ukuran Penyebaran Data
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
27
Pengertian Dispersi
Ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilainilai data dari nilai-nilai pusatnya
Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data
yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya
Dispersi serangkaian data akan lebih kecil bila nilai-nilai
tersebut berkonsentrasi di sekitar rata-ratanya, dan sebaliknya
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
28
Ukuran Dispersi
RENTANG (Range)
SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviasi)
SIMPANGAN BAKU (Standard Deviation)
VARIANSI (Variance)
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
29
Rentang/Range
Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil.
Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya
bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.
Contoh :
A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10
C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10
X = 55
r = 100 – 10
= 90
Rata-rata
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
30
Simpangan Rata-rata : nilai rata-rata
dari harga mutlak semua simpangan
terhadap rata-rata (mean) kelompoknya
Rata-rata
Simpangan Rata-rata Data Tunggal
Kelompok B
Kelompok A
Nilai X
X-X
|X – X|
Nilai X
X-X
|X – X|
100
45
45
100
45
45
90
35
35
100
45
45
80
25
25
100
45
45
70
15
15
90
35
35
60
5
5
80
25
25
50
-5
5
30
-25
25
40
-15
15
20
-35
35
30
-25
25
10
-45
45
20
-35
35
10
-45
45
10
-45
45
10
-45
45
Jumlah
0
250
Jumlah
0
390
DR = 250 = 25
10
DR = 390 = 39
10
n |Xi – X|
DR = Σ
n
i=1
Rata-rata
Makin besar simpangan,makin besar nilai deviasi rata-rata31
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
Simpangan Rata-rata Data Berkelompok
SR
f
= Simpangan rata-rata
= frekuensi
= titik tengah
= rata-rata
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
32
Simpangan Rata-rata Data Berkelompok
Contoh
Jadi, rata-rata nilai statistik 70 orang
mahasiswa
sebesar
77,64
dengan
simpangan rata-rata 5,5
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
33
Varians & Deviasi Standar
Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat
simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya;
melihat ketidaksamaan sekelompok data
Deviasi Standar : penyebaran berdasarkan akar dari
varians;
menunjukkan keragaman kelompok data
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
34
Varians & Deviasi Standar Sampel Kecil (n < 30)
Kelompok A
Varians Sampel Kecil
s2
n
2
= Σ (Xi – X)
n-1
i=1
Deviasi Standar Sampel Kecil
s=
√
n
(Xi – X)2
Σ
i=1 n-1
Kelompok B
Nilai X
X -X
(X–X)2
Nilai X
X -X
(X –X)2
100
45
2025
100
45
2025
90
35
1225
100
45
2025
80
25
625
100
45
2025
70
15
225
90
35
1225
60
5
25
80
25
625
50
-5
25
30
-25
625
40
-15
225
20
-35
1225
30
-25
625
10
-45
2025
20
-35
1225
10
-45
2025
10
-45
2025
10
-45
2025
8250
Jumlah
Jumlah
s=
√
8250
9 = 30.28
s=
√
15850
15850
9 = 41.97
Kesimpulan :
Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28
Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97
Maka
data
lebih
tersebar daripada kelompok A
Jurusan
Teknikkelompok
Industri UniversitasB
Brawijaya
Malang
35
Varians & Deviasi Standar Sampel Besar (n ≥ 30)
Varians Sampel Besar
s2
n
2
= Σ (Xi – X)
n
i=1
Deviasi Standar Sampel Besar
s=
√
n
(Xi – X)2
Σ
i=1 n
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
36
Varians & Deviasi Standar Data Berkelompok
Varians Sampel Kecil
s2
Varians Sampel Besar
n
2
= Σ f(Xi – X)
n-1
i=1
s2
n
2
= Σ f(Xi – X)
n
i=1
Deviasi Standar Sampel Kecil
Deviasi Standar Sampel Besar
n
f(Xi – X)2
Σ
i=1 n-1
n
f(Xi – X)2
Σ
i=1 n
s=
√
s=
√
Dimana Xi = titik tengah setiap kelas
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
37
Contoh
◦ Tentukan variansi dan standar deviasi untuk data berkelompok berikut:
Hasil Produksi
20 - 34
35 - 49
Frekuensi
8
24
50 - 64
65 – 79
80 – 94
95 – 109
27
20
8
8
110 – 124
4
125 - 139
1
Jurusan Teknik Industri Universitas Brawijaya Malang
38