Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida

Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida
Evita Chandra (13514034)
Program Studi Teknik Informatika
Sekolah Teknik Elektro dan Informatika
Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
[email protected]
Abstract— Dalam bidang engineering, bilangan kompleks
sangat sering digunakan dan diaplikasikan untuk mengatasi
permasalahan-permasalahan yang ada. Oleh karena itu,
dalam makalah ini, akan dibahas penerapan bilangan
kompleks pada dinamika fluida. Di dalam teori yang
berhubungan dengan dinamika fluida, bilangan kompleks
banyak digunakan dalam fungsi –fungsi yang digunakan
untuk menjelaskan potensial aliran dalam 2 dimensi.
Kata kunci— bilangan kompleks, dinamika fluida, aliran,
inkompresibel, 2 dimensi, Cauchy-Riemann
I. PENDAHULUAN
Dinamika fluida adalah salah satu ilmu yang
mempelajari perilaku dari zat cair dan gas dalam keadaan
diam atau bergerak dan interaksinya dengan benda lain.
Cara penyelesaian dari permasalahan yang berhubungan
dengan dinamika fluida biasanya melibatkan perhitungan
seperti kecepatan, tekanan, kepadatan, dan suhu, sebagai
fungsi-fungsi kompleks yang beberapa juga menggunakan
bilangan kompleks dalam kompleks perhitungannya.
Salah satu aspek yang dikaji dalam dinamika fluida
adalah visualisasi aliran. Visualisasi dapat ditinjau secara
dua dimensi ataupun tiga dimensi. Dalam menjelaskan
sifat-sifat aliran potensial dua dimensi, digunakan
bilangan kompleks untuk memecahkan permasalah
tersebut. Oleh karena itu penulis ingin menjelaskan
penerapan bilangan kompleks dalam memvisualisasikan
fenomena aliran fluida dua dimensi.
i : bilangan imajiner dengan sifat i2 = −1.
Bilangan riil a disebut juga sebagai bagian riil dari
bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian
imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b
adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama
dengan bilangan real a. Sebagai contoh, 3 + 2i adalah
bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian
imajiner 2i.
Bilangan kompleks dapat dihitung seperti operasi
aritmatika biasa, yaitu ditambah, dikurang, dikali, dan
dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks
juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang unik. Setiap
persamaan aljabar polynomial pada bilangan kompleks
mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti
bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
a.
Operasi bilangan kompleks menggunakan sifat-sifat
aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan
dengan persamaan i2 = −1:
(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
(a + bi)(c + di)
= ac + bci + adi + bd i2
= (ac−bd) + (bc+ad)i
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang
bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) . (c,d) = (ac-bd, bc+ad)
II. LANDASAN TEORI
Agar lebih mudah memahami permasalahan dan solusi
yang ada dalam makalah ini, berikut akan dijelaskan
teori-teori yang digunakan.
2.1. Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah bilangan imajiner yang
memiliki bentuk:
a+bi
Dimana, a dan b : bilangan riil,
Makalah IF2120 Matematika Diskrit – Sem. I Tahun 2015/2016
Operasi Bilangan Kompleks
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan
spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil
(a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan
korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu
bidang yang dinamakan bidang kompleks.
b.
Bidang Kompleks
Limit dan kekontinuitasan dari suatu fungsi pada
suatu bidang kompleks dapat digunakan untuk mencari
tahu sifat analitik dari fungsi kompleks tersebut.
Suatu fungsi kompleks f(s) dikatakan
mempunyai limit l untuk s mendekati s0 jika untuk
suatu epsilon > 0 yang diketahui, ada sebuah delta >
0 sehingga | f(s)- l | < epsilon kalau 0 < | s- s0| < delta.
Dengan cara yang sama, f(s) dikatakan kontinyu
di s0 jika untuk sebuah epsilon > 0 yang diketahui,
ada sebuah delta > 0 sehingga | f(s)-f(s0) | < \epsilon
kalau | s- s0 | < delta. Pilihan lain, f(s) kontinyu di s0
jika lim{s-s0} f(s)= f(s_0).
Selanjutnya jika f(s) mempunyai limit untuk s =
s0, maka f(s) dikatakan analitik di s0.
Untuk u dan v adalah fungsi riil dari x dan y pada
{R}, syarat yang dibutuhkan adalhialah bahwa u dan
v memenuhi persamaan Cauchy-Riemann, yaitu :
Gambar 2.1. Bidang Kompleks
Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai
titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi
yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.
Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah
bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat
sirkulernya adalah r = |z|, yang disebut sebagai modulus,
dan φ = arg(z), yang disebut sebagai argumen kompleks
dari z (Format ini disebut format mod-arg). Setelah
dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:
Z = r (cos θ + i sin θ ) = r e
2.2. Dinamika Fluida
Fluida dinamis adalah fluida (bisa berupa zat cair, gas)
yang bergerak.
iθ
Ciri-ciri fluida dinamis yang ideal adalah:
• Tidak kompresibel, artinya bahwa dengan
adanya perubahan tekanan, volume fluida
tidak berubah.
Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah
unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen
kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat
dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama
(ekivalen).
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat
diperoleh:
Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti
penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan
bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi
dan pemanjangan secara bersamaan.
Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat
berlawanan dengan arah jarum jam (π/2 radian). Secara
geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90
derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (π radian).
c.
•
Tidak memngalami gesekan, artinya bahwa
pada saat fluida mengalir,gesekan antara
fluida dengan dinding tempat mengalir dapat
diabaikan.
•
Tidak memngalami gesekan, artinya bahwa
pada saat fluida mengalir,gesekan antara
fluida dengan dinding tempat mengalir dapat
diabaikan.
•
Aliran stasioner, artinya tiap partikel fluida
mempunyai garis alir tertentu dan untuk luas
penampang yang sama mempunyai laju aliran
yang sama.
Semua zat cair yang dapat mengalir dari satu tempat
ke tempat yang lain dapat dikelompokan ke dalam fluida.
Selain zat cair, zat gas juga termasuk fluida. Zat gas juga
dapat mengalir dari satu satu tempat ke tempat lain.
Teori Cauchy-Riemann
2.2.1. Jenis –Jenis aliran Dinamika Fluida
•
Makalah IF2120 Matematika Diskrit – Sem. I Tahun 2015/2016
Aliran 1D, 2D, dan 3D
Aliran 1D : aliran hanya terjadi pada satu
dimensi. Aliran 2D : aliran hanya terjadi pada
bidang 2 dimensi. Aliran 3D : aliran terjadi pada
ruang 3 dimensi.
• Compressible dan incompressible flow
Compressible flow adalah aliran dimana densitas
fluidanya tidak berubah didalam medan aliran (flow
field),
misalnya
aliran
air.
Sedangkan
incompressible flow adalah aliran dimana densitas
fluidanya berubah didalam medan aliran, misalnya
aliran udara.
Gambar 2.3. Steady Laminar
• Steady dan unsteady flow
Steady flow adalah aliran yang mana kondisi
alirannya (kecepatan, tekanan, densitas, dsb) tidak
berubah dengan waktu. Sebaliknya, unsteady flow
adalah aliran dimana kondisi alirannya berubah
dengan waktu.
Sebagai contoh, pada saat kita memutar penutup
kran maka air yang mengalir adalah unsteady flow.
Namun ketika bukaan kran tidak berubah maka
alirannya adalah steady flow.
Definisi yang lebih sempit adalah dengan
membatasi kondisi aliran pada kecepatan. Dengan
demikian, steady flow adalah aliran yang
kecepatannya tidak berubah dengan waktu,
sedangkan unsteady flow adalah aliran yang
kecepatannya berubah dengan waktu.
• Laminar dan turbulent flow
Aliran viscous fluid bisa dibedakan menjadi
aliran laminar dan aliran turbulent. Pada aliran
laminar, partikel-partikel fluida mengalir lembut
bagikan lapisan-lapisan laminar. Sebaliknya, pada
aliran turbulen, partikel-partikel fluida saling
bercampur dan mengalir secara tidak beraturan.
Untuk menyatakan besaran-besaran seperti
kecepatan, tekanan, dsb pada aliran turbulent,
biasanya dipakai statistical average. Kecepatan
fluida pada saat terjadi transisi antara laminer dan
turbulent disebut dengan kecepatan kritis.
Gambar 2.4. Unsteady Laminar
Gambar 2.5. Steady Turbulent
III. PEMBAHASAN
Pada pembahasan ini, kita akan membahas cara
menerapkan teori bilangan kompleks ke dalam kasus
penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel
dimensi 2.
Untuke menghitung potensial aliran, kita perlu
menggunakan persamaan Laplache, yaitu:
Aliran Potensial yang incompressible memenuhi
persamaan Laplache sehingga untuk kasus 2 dimensi
menjadi :
Apabila solusi dari persamaan ini telah didapatkan
maka kecepatan u1 & u2 dapat ditentukan.
Gambar 2.2. Contoh Aliran Laminar dan Turbulen
Persamaan kontinuitas untuk aliran incompressible
Makalah IF2120 Matematika Diskrit – Sem. I Tahun 2015/2016
2 dimensi dapat dipenuhi secara otomatis apabila kita
definisikan fungsi arus (ψ) seperti,
sehingga,
Kemudian kita lihat integral tertutup dari W.
Dengan demikian maka fungsi φ dan ψ dapat
dihubungkan menjadi persamaan,
dimana Γ adalah sirkulasi dan m adalah source
strength.
Dalam teori bilangan kompleks, persamaan diatas
dikenal sebagai persamaan Cauchy-Riemann.
Dengan menggunakan Terorema Residu, yang
merupakan salah satu teorema penting dalam teori
bilangan kompleks, yang berisi :
Persamaan ini menjelaskan kondisi yang harus
dipenuhi oleh sebuah fungsi F(z) apabila fungsi
tersebut adalah fungsi analitik dimana:
Apabila W adalah fungsi analytic kecuali di
beberapa titik dalam domain maka,
di mana Ak adalah residu dari W (Ak
bilangan real atau bilangan kompleks).
Dengan demikian, maka kita dapat menggunakan
hasil-hasil dari teori bilangan kompleks untuk
mendapatkan solusi dari aliran inkompresible potensial
2 dimensi dan hal tersebut sangat memudahkan secara
matematis.
Dengan demikian maka,
Kelemahan dari metode ini adalah bahwa metode
ini termasuk metode inverse. Atau dengan kata lain,
dalam metode ini kita menentukan sebuah fungsi F(z)
yang analitik kemudian baru kita lihat aliran apa yang
direpresentasikan oleh F(z).
Akan tetapi metode ini juga memiliki keuntungan
lain, yaitu dengan menggunakan metode ini kita tidak
perlu menyelesaikan persamaan diferensial parsial dan
ini tentunya sangat membantu
Apabila fungsi analitik F(z) telah ditentukan,
kecepatan u1 dan u2 didapatkan dengan mengambil
turunan dari F(z),
sehingga,
bisa berupa
IV. KESIMPULAN
Bilangan kompleks dapat dimanfaatkan untuk
menyelesaikan berbagai macam persoalan matematika
yang kompleks
Dalam makalah ini diaplikasikan bilangan kompleks
untuk bagian dari kajian ilmu dinamika fluida, yaitu
potensial aliran inkompresibel dimensi 2. Dalam
penerapannya digunakan juga persamaan Laplache,
Cauchy-Riemann, serta teroema residu. Dengan
menggunakan bilangan kompleks, sangat memudahkan
untuk mencari solusi dari aliran inkompresibel potensial 2
dimesi
secara
matematis
karena
tidak
perlu
menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Akan tetapi
metode ini juga memiliki kelemahan yaitu harus
menentukan dulu fungsi F(z) yang analitik barulah
kemudian bisa dilihat aliran apa yang direpresentasikan
oleh F(z).
Apabila kita gunakan koordinat polar seperti
digambarkan di atas maka,
UCAPAN TERIMA KASIH
Puji syukur, saya ucapkan kepada Tuhan yang Maha
Esa atas terselesaikannya penyusunan makalah guna
memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Geometri IF2123.
Terima kasih kepada Dosen Pengajar Mata Kuliah IF2123
Aljabar Geometri, Pa Rinaldi Munir dan Pa Judhi Santoso
Makalah IF2120 Matematika Diskrit – Sem. I Tahun 2015/2016
atas pengarahan, bimbingan, serta ilmu yang diberikan
dalam penyusunan makalah ini sehingga makalah ini
dapat selesai sesuai dengan yang diharapkan.
Makalah ini disusun dengan tujuan sebagai
informasi serta untuk menambah wawasan yang
berhubungan dengan bagian ilmu Aljabar Geometri.
Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat
kepada para pembaca. Mohon maaf apabila dalam
penyusunan makalah ini terdapat kesalahan baik dalam
kosa kata maupun isi dari keseluruhan makalah ini.
REFERENCES
[1]
[2]
[3]
[4]
Aliran
Inkompresibel
(2011).
https://labmefluftunhalu.wordpress.com/2011/12/. Tanggal Akses :
15 Desember 2015 pukul 07.06
Fluida
Dinamis
(2015).
http://muputipiapa.blogspot.co.id/2015/02/fluida-dinamis.html.
Tanggal Akses : 14 Desember pukul 23.50
Ivansyah Okto. “ Power and Complex Number”. Bandung
ITB.2012.
Sifat
Analitik
Fungsi
Kompleks
(2011).
https://matematiku.wordpress.com/2011/10/13/sifat-analitikfungsi-kompleks/. Tanggal Akses : 15 Desember 2015.
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya
tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau
terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.
Bandung, 8 Desember 2015
Evita Chandra / 13514034
Makalah IF2120 Matematika Diskrit – Sem. I Tahun 2015/2016