galster dan miller

perumusan. Perkalian skalar dari dua
vektor-empat A dan B atau
≡( ,
) dan
≡( , )
dapat
didefinisikan sebagai :
(2.4)
∙ =
−
∙
serta invarian di bawah transformasi
Lorentz. Agar memudahkan didefinisikan
satu jenis vektor-empat yang lain :
≡ ( ,− )
(2.5)
Perkalian skalarnya dituliskan sebagai :
∙ =
=
=
(2.6)
=
dengan definisi tensor
sebagai :
= 1,
=
=
= −1
(2.7)
dan
= 0, ≠
dan perlu diperhatikan
serupa
dengan
.
Selain itu energi total E dan
momentum p dapat juga dinyatakan
dalam vektor-empat :
( , )≡( , , , )≡
(2.8)
Operator yang digunakan dalam vektorempat :
1.4. Hipotesis
1. Model penampang hamburan Galster
dan Miller memiliki perbedaan mulai
kisaran energi 0.3 sampai 1.0 GeV.
2. Model penampang hamburan Galster
dan Miller memiliki kesamaan pada
kisaran energi 1.0 sampai 3.5 GeV.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Satuan-satuan dan Notasi VektorEmpat
Dua konstanta dasar pada
mekanika kuantum relativistik adalah
konstanta Planck ħ, dan kelajuan cahaya
c. Untuk memudahkan perhitungan
dilakukan penyederhanaan rumus dengan
satuan alamiah :
c = ħ =1
(2.1)
Penyederhanaan yang dilakukan
menyebabkan satuan massa dan energi
dapat disetarakan, dalam hal ini dipilih
GeV, dan satuan untuk panjang dan waktu
GeV . Faktor konversi, satuan, dan
dimensi aktual dari dimensi massa,
panjang, dan waktu dapat dilihat pada
Tabel 2.1.
Konstanta struktur halus dapat dinyatakan
sebagai :
1
(2.2)
=
=
4 ħ
137
Kemudian
muatan
proton
dapat
dinyatakan sebagai :
(2.3)
= √4 ≈ 0.303
Vektor-empat merupakan hal
yang sangat penting dalam bidang fisika,
salah satunya dalam relativitas umum dan
elektrodinamika.
Penggunaan notasi
vektor-empat untuk menyederhanakan
=
,−
dan
(2.9)
=
,
2.2. Persamaan
Elektromagnetik
Maxwell
Persamaan Maxwell adalah satu
kumpulan persamaan diferensial yang
merupakan inti dari elektrodinamika
klasik. Empat buah persamaan Maxwell
dalam bentuk diferensial dituliskan pada
persamaan (2.10), (2.11), (2.12), dan
(2.13).
Tabel 2.1 Faktor konversi, satuan, dan dimensi aktual dari besaran-besaran massa,
panjang, dan waktu.
Nama besaran
Massa
Panjang
Waktu
Satuan
c = ħ =1
Faktor konversi
1 kg = 5.61 × 10
1 m = 5.07 × 10
1 sekon = 1.52 × 10
GeV
GeV
GeV
GeV
GeV
GeV
Dimensi aktual
GeV
c
ħ
GeV
ħ
GeV
2
×
.
=
(2.10)
.
=0
(2.11)
×
=−
(2.12)
=
+
(2.13)
Keempat persamaan Maxwell tersebut
dapat digantikan dengan dua buah
persamaan gelombang:
1
4π
(2.14)
−∇ =
c
1
(2.15)
−∇
= 4πρ
Dalam vektor-empat persamaan
Maxwell dapat disederhanakan menjadi:
=0
(2.16)
=0
(2.17)
Persaman ini sesuai dengan kontinuitas
listrik yang dituliskan sebagai:
(2.18)
+ . =0
Persamaan
kontinuitas
sendiri
didefinisikan sebagai laju pertambahan
muatan di suatu daerah digantikan
dengan oleh rapat arus yang masuk ke
daerah tersebut.
2.3. Persamaan Schroedinger
Operator energi total dan
momentum pada mekanika kuantum
dapat dituliskan sebagai :
=
dan
(2.19)
=−
Penjelasan
persamaan
Schroedinger secara umum:
( , )
ħ
( , )
ħ
=−
(2.20)
2
+ ( ) ( , )
( , ) tergantung terhadap posisi dan
waktu.
Laju perubahan peluang :
ħ
∗
( , )=−
2 ∗
(2.21)
−
sehingga
peluang:
( , )=
didefinisikan
ħ
2
rapat
arus
∗
∗
−
(2.22)
maka dapat dituliskan persamaan ini
persis
sama
dengan
persamaan
kontinuitas untuk muatan listrik dalam
satu dimensi:
( , )+
( , )=0
(2.23)
Dengan analogi yang sama dengan
persamaan kontinuitas listrik, persamaan
ini menyatakan laju pertambahan rapat
peluang di suatu daerah digantikan
dengan arus peluang total yang masuk ke
daerah tersebut.
2.4. Teori Kuantum Relativistik
Persamaan Schroedinger sebagai
teori kuantum non-relativistik, belum
dapat menjelaskan kemunculan struktur
halus, spektra atom berelektron banyak,
dan lain-lain. Pada tahun 1929 Dirac
mengembangkan persamaan diferensial
untuk mengatasi hal ini dengan
menggunakan
persamaan
energi
relativistik.
Einstein merumuskan hubungan
massa dan energi dari postulat relativitas
khususnya. Pada partikel bebas hubungan
massa dan energi dapat dituliskan
sebagai:
(2.24)
E 2  p 2c2  m 2c 4  m 2
dengan m merupakan massa diam.
2.4.1. Persamaan Dirac
Persamaan yang memerikan
partikel secara lengkap dikembangkan
oleh Dirac. Persamaan ini memiliki sifat
yang linear dalam ( / ) serta harus
kovarian dan memiliki sifat linear dalam
,
sehingga
didapatkan
bentuk
persamaan:
)
(2.25)
=( . +
Hubungan energi relativistik untuk
partikel bebas dapat digunakan untuk
menentukan koesien dan :
(2.26)
=
+
kemudian didapatkan persyaratan sebagai
berikut:
+
= 0;
= 1,2,3; = 1,2,3; ≠
(2.27)
+
= 0; = 1,2,3
=
= 1; = 1,2,3
Matriks 4 × 4 diambil sebagai
matriks yang memenuhi persyaratan
dengan dimensi terendah. Pilihan yang
3
digunakan salah satunya representasi
Dirac-Pauli yang sering dipakai yaitu:
0
0
(2.28)
=
, =
0
0
I merupakan matriks satuan 2 × 2 dan
merupakan matriks Pauli:
0 1
=
,
1 0
0 −
(2.29)
=
,
−
0
1 0
=
0 −1
Dengan penggunaan matriks – Dirac:
)
(2.30)
≡( ,
sehingga persamaan Dirac, dapat
dituliskan sebagai:
(2.31)
−
=0
Persamaan
tersebut
dinamakan
persamaan Dirac dalam bentuk kovarian.
Kemudian diperkenalkan spinor sekutu
yang merupakan matriks baris:
≡
(2.32)
sehingga didapatkan persamaan, yaitu:
(2.33)
+m = 0
Berikutnya,
sesuai
usulan PauliWeisskopf, dapat didefinisikan rapat arus
muatan:
(2.34)
≡( , )=( )
Dengan definisi (Ze) merupakan muatan
partikel tersebut.
Pada partikel yang dibahas
adalah elektron, maka rapat arus muatan
ini dapat dituliskan sebagai:
(2.35)
=−
serta memenuhi persamaan kontinuitas:
=0
(2.36)
2.4.2. Solusi persamaan Dirac untuk
partikel bebas
Persamaan Dirac memiliki solusi eigen
dalam bentuk umum:
(2.37)
  u ( p ) e  ip . x
dengan u(p) merupakan spinor bentuk
empat yang tidak tergantung terhadap x.
Dengan mensubsitusikan persamaan ini
ke persamaan (2.31) akan didapatkan
bentuk lain:



p  m u (p)  0
(2.38)
Dalam bentuk asal persamaan (2.25)
persamaan ini dapat dituliskan sebagai
berikut:
( )=( . +
) ( )
(2.39)
(
= u )
Pada partikel bebas solusinya terbagi
menjadi dua bagian yaitu sipinor-empat
energi positif berdasarkan nilai eigen
energinya :
u s 
  s 



 N   .p  s  , E  0
 

Em

(2.40)
dan solusi spinor-empat negatif :
u
 s 2 
   .p s  
 

 N  | E | m
, E  0 (2.41
)
  s 



dengan s =1,2 dan N adalah harga
normalisasi yang dapat dituliskan sebagai
berikut:
(2.42)
N  Em
Persamaan
(2.40)
dan
(2.41)
menunjukkan helisitas positif dan
helisitas negatif.
2.5. Penampang Hamburan
Pada fisika partikel, interaksi dan
sifat-sifat partikel dapat diketahui dari
eksperimen melalui hamburan dan
peluruhan partikel. Proses hamburan,
yang
diukur
adalah
penampang
hamburan pada reaksi tertentu. Berbeda
dengan proses peluruhan, yang diukur
adalah waktu hidup dari suatu partikel
untuk meluruh menjadi dua, tiga, atau
lebih.
Penampang hamburan didefinisikan
sebagai peluang partikel penembak
berinteraksi dengan partikel target. Partikel
target dimisalkan memiliki suatu bidang
dengan luas tertentu yang disebut sebagai
penampang terhadap partikel datang.
Setiap partikel datang yang masuk akan
berinteraksi dengan partikel target.
Besarnya peluang interaksinya ditentukan
oleh luas penampang.
2.6. Perumusan Hamburan Elastik
Neutron
Hamburan elekton merupakan
teknik dalam kategori yang sudah teruji
dengan baik untuk memeriksa distribusi
muatan yang terjadi pada suatu awan
4
muatan. Cara kerjanya adalah dengan
menembakkan berkas elektron pada awan
muatan, distribusi angular elektron yang
dihamburkan diukur dan dibandingkan
dengan penampang lintang hamburan
elektron dari suatu muatan titik, Ze.
nol karena struktur internal neutron
terdiri dari tiga buah quark (uud), dengan
quark-u bermuatan + , quark-d
bermuatan −
serta masing-masing
quark berspin
, maka bentuk formulasi
arus transisi netron,
, harus dapat
memasukkan struktur internal tersebut.
Sehingga arus transisi neutron dapat
dirumuskan pada persamaan (2.45).
Dengan faktor bentuk
dan , momen
magnetik anomalus ( ), dan massa
neutron ( ).
Pada
→ 0, yaitu dalam
pertukaran foton dengan panjang
gelombang besar, neutron akan terlihat
mempunyai momen magnetik
.
2.6.1.
Hamburan elastik elektronneutron
Interaksi elektromagnetik terjadi
pada hamburan elektron oleh neutron
seperti yang diperlihatkan pada Gambar
2.1. Pada interaksi ini, medan
elektromagnetik
dihasilkan dari arus
transisi neutron:
1
=−
(2.43)
serta digunakan pertukaran momentum:
=
−
(2.44)
Sehingga pada limit ini dapat dipilih:
(0) = 0 dan (0) = 1
(2.46)
Pada percobaan Galster dan Miller
didapatkan nilai
yang berbeda, untuk
Galster
= −1.913043 dan Miller
= −1.73.3,6
Pada
interaksi
elektromagnetik
penampang hamburan diferensial dapat
dihitung denga menggunakan formula
Rosenbluth pada persamaan (2.47).
Persaman (2.47) dapat disederhanakan
dengan memperkenalkan sepasang faktor
bentuk lain yang merupakan kombinasi
linear dari
dan
pada persamaan
(2.48). Sehingga persamaan (2.47) dapat
dituliskan kembali pada persamaan
(2.49). Dengan didefinisikan sebagai:
Gambar 2.1. Diagram Feynman pada
hamburan
elastik
elektron-netron8
≡−
Interaksi elektromagnetik terjadi
meskipun muatan total neutron adalah
=
Ω
(
̅
)
=
−
4
2
≡
Ω
+
4
2
)
4
−
) + (
4
∙
( )
2
dan
(
=
(
2
(2.50)
4
≡
−
(
2
(2.45)
)
+
2
+
(2.47)
(2.48)
)
2
+2 (
)
2
(2.49)
5
dan
berturut-turut memiliki
hubungan dengan distribusi muatan dan
momen magnetik neutron. Nilai numerik
dan
dapat ditentukan dari
berbagai eksperimen yang dinyatakan
dalam parametrisasi Galster dan Miller:
( )
1
(2.51)
( )
=−
1 + 5.6
( )=
( )
(2.52)
(
) = 1−
3.
(2.53)
dengan
adalah massa dipole vektor
yang bernilai 0.84 GeV dari hasil
hamburan elektron-proton.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian
dilakukan
di
Laboratorium Fisika Teori Departemen
Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor sejak bulan Agustus 2010 sampai
dengan Mei 2011.
3.2. Alat
Peralatan yang digunakan dalam
penelitian ini adalah perangkat lunak MS.
Office 2007 dan Plato IDE.
3.3. Prosedur Penelitian
Penelitian ini memiliki tahapantahapan
sebagai
landasan
untuk
mempermudah
merumuskan
hasil
penelitian dari tema yang diambil.
Tahapan-tahapan tersebut dijelaskan
sebagai berikut :
1. Tahap perumusan tema
dan
permasalahan
Tahapan ini merupakan suatu awal
bagi perumusan keseluruhan proses
penelitian ini.
2. Tahap pengumpulan landasan teori
dan data
Tahap
pengumpulan
teori
merupakan tahap lanjutan dari
penjabaran permasalahan. Tahap ini
secara makro memiliki tujuan
mencari berbagai literatur yang
4.
memiliki relevansi dari tema yang
diangkat penulis. Penelitian ini
dimulai dengan telaah pustaka dari
teori dasar Kuark dan Lepton dari
sumber pustaka khususnya J.D.
Bjorken and S.D. Drell dan F.
Halzen and A.D. Martin serta hasil
penelitian para peneliti mengenai
hamburan elektron-neutron.1,6
Tahap pengolahan data
Tahapan ini diperlukan untuk
memastikan bahwa cara penurunan
rumus dan teknik perhitungan yang
digunakan penulis memberikan hasil
yang sama dari yang sudah
dilakukan peneliti lain. Setelah itu
didapatkan cara penurunan rumus
dan teknik perhitungan yang sesuai.
Kemudian
diterapkan
pada
persoalan yang diteliti. Berikutnya
dilakukan perhitungan:
- Perumusan kinematika hamburan
en → en dengan menggunakan
aturan Feymann.
- Penghitungan penampang lintang
hamburan en → en untuk model
Galster dan Miller.
- Membandingkan
kedua
penampang hamburan Galster
dan Miller.
- Menguji faktor bentuk model
Galster dan Miller dengan data
BLAST7.
Tahap kesimpulan dan rekomendasi
Tahap
ini
bertujuan
untuk
menyimpulkan keseluruhan hasil
penelitian menjadi suatu pemahaman
yang utuh dan bersifat komprehensif.
Serta membandingkan hasil yang
diperoleh dari hipotesis yang
diangkat.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Batasan-batasan Perhitungan
Penampang
hamburan
( → )
differensial
pada
Ω
persamaan (2.49) merupakan pendekatan
dengan asumsi (− ) → 0. Dengan
demikian perlu diperhatikan nilai-nilai E
dan
yang sesuai dengan kriteria ini.
6