3. Menerapkan Konsep Limit Fungsi dan Turunan Fungsi

H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
3. Menerapkan Konsep Limit Fungsi dan Turunan Fungsi
A. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari Kegiatan belajar pada Modul 16 ini diharapkan siswa dapat :
1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di titik tak hingga.
2. Menggunakan sifat-sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri.
3. Mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi sebagai turunan fungsi secara definitif.
4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
5. Memahami tafsiran geometri dari turunan fungsi.
6. Mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turunan menggunakan aturan turunan.
7. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenisnya.
Kegiatan Belajar 1.
A. Tujuan Kegiatan Belajar 1.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :
1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik
tertentu.
2. menjelaskan arti limit fungsi di tak hingga melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik
tersebut, dan
3. melakukan kajian pustaka tentang definisi eksak limit fungsi.
B. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1.
1. Pengertian Limit Fungsi
Secara umum Limit didefinisikan bahwa lim it f ( x ) = L
x→a
dan disingkat lim f ( x ) = L , diartikan
x→a
bahwa jika x mendekati a dengan x a, nilai ƒ(x) mendekati L.
Limit Fungsi adalah nilai
pendekatan di sekitar suatu titik (baik dari kiri maupun dari kanan titik itu), atau pada suatu
titik tak hingga. Perhitungan nilai limit disekitar titik dapat dilakukan dengan pendekatan
dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan). Perhatikan contoh berikut :
Diketahui fungsi f (x ) =
x2 − 9
, tentukan nilai ƒ(x) untuk x mendekati 3 jika dihitung
x−3
dengan pendekatan dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan).
Jawab :
Pendekatan dari kiri (limit kiri) :
x
2,5
2,6 2,7
2,8 2,9
2,95
2,99
2,999
….
3
x2 − 4
f (x) =
x−2
5,5
5,6 5,7
5,8 5,9
5,95
5,99
5,999
….
6
Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kiri), maka nilai
mendekati 6,
Pendekatan dari kanan (limit kanan) :
x
3,5
x2 − 4
f (x) =
x−2
6,5
3,4 3,3
6,4
6,3
3,2 3,1
3,01
3,001
3,0001
….
3
6,2 6,1
6,01
6,001
6,0001
….
6
42
ƒ(x)
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
Sehingga dapat ditulis bahwa : f (x ) =
ƒ (x) w . d o c
x2 − 9
= 6 (baik dari kiri maupun dari kanan)
x−3
Catatan :
a. Nilai limit ada jika nilai limit kiri sama dengan limit kanan.
b. Nilai limit tidak ada jika nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan.
2. Limit fungsi di titik tak hingga ( ~ )
Untuk memberikan gambaran perhatikan contoh berikut :
f (x ) =
1
, tentukan nilai fungsi ƒ(x) untuk x mendekati tak hingga
x
1
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
1
0,1
0,1
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
Diketahui fungsi
(x
~ ).
Jawab :
x
f (x ) =
1
x
…
.
…
.
~
0
Dari tabel terlihat bahwa jika x mendekati tak hingga, maka nilai ƒ(x) mendekati 0, dan dapat
1
=0
x→ ∞ x
ditulis : lim
C. Lembar Kerja Siswa 1
Jawablah dengan singkat dan benar !
Tentukan nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsi ƒ(x) berikut ini :
1. ƒ(x) = 2x + 3 ( untuk x mendekati 2 )
2. ƒ(x) = 3x + 3 ( untuk x mendekati 2 )
3.
f (x ) =
4.
f (x ) =
5.
x2 − 4
( untuk x mendekati 2 )
x−2
x 2 − 25
( untuk x mendekati 5 )
x −5
x2 − x −6
f ( x) =
( untuk x mendekati 3 )
x −3
Tentukan nilai fungsi ƒ(x) untuk x mendekati tak hingga (x
:
6.
7.
8.
9.
f (x ) =
1
x −1
8
f (x ) =
2x + 2
2x
f (x ) =
4x − 3
x
f (x ) =
x+5
43
~ ) dari beberapa fungsi berikut
m
o
Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kanan), maka
mendekati 6,
lic
k
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
u-tr a c
k.
c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
w
Kegiatan Belajar 2.
A. Tujuan Kegiatan Belajar 2.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :
1. menggunakan sifat-sifat limit fungsi
2. menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit.
3. melakukan penghitungan limit dengan manipulasi aljabar
4. mengenal macam-macam bentuk bilangan tak tentu :
5. menghitung nilai limit bentuk tak tentu , dan
6. menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat
limit fungsi.
B. Uraian Materi
1. Sifat-sifat limit fungsi
Untuk menyelesaikan permasalahan limit dengan menggunakan beberapa sifat limit berikut :
a. lim k = k
x →a
( dengan a dan k suatu konstanta)
b. lim x = a
x→a
c. lim f ( x) = f (a )
x →a
d. lim k . f ( x) = k lim f ( x)
x →a
x →a
e. lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x ) ± lim g ( x )
( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)
lim [ f ( x ).g ( x)] = lim f ( x ). lim g ( x)
( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)
x →a
f.
x→a
x →a
x→a
x →a
x→ a
f ( x)
 f ( x)  lim
g. lim 
= x→a

x → a g ( x)
g ( x)

 lim
x →a
[
dengan lim g ( x ) ≠ 0
x →a
]
h. lim [ f ( x )]n = lim f ( x ) n
x →a
i.
x→a
lim n f ( x ) = n lim f ( x) dengan catatan lim f (x ) ≥ 0 untuk n bilangan genap
x →a
x→a
x→a
2. Limit Fungsi Aljabar
Nilai limit sebuah fungsi dapat dihitung dengan cara subtitusi langsung terhadap variabelnya
(sifat b). Jika hasil perhitungan dengan subtitusi langsung didapat bilangan bentuk tak tentu,
yaitu bentuk :
0
,
0
∞
∞
atau
∞−∞
perhitungan nilai
limit harus dengan cara lain,
misalnya pemfaktoran, penyederhanaan, dikalikan sekawannya dll.
Contoh 1 :
Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. lim x 2 − x − 2
x→0
(
)
44
.d o
m
2x − 5
5x
o
10. f ( x ) =
lic
k
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
lic
k
b. lim
x → −2
x + x−2
Penyelesaian :
(
)
a. lim x 2 − x − 2 = 0 2 − 0 − 2 = − 2
x→0
x 2 + 3x + 2
b. lim
x → −2
x2 + x − 2
(− 2)2 + 3(− 2) + 2 0
=
(bentuk tidak tentu), selanjutnya fungsi itu dapat
(− 2 )2 + (− 2) − 2 0
=
difaktorkan sebagai berikut :
lim
x 2 + 3x + 2
x → −2
x + x−2
2
Contoh 2 :
= lim
x → −2
(x + 2)(x + 1)
=
( x + 2)(x − 1)
lim
x → −2
( x + 1)
(−2 + 1) 1
=
dengan substitusi akan didapat
(x − 1)
(− 2 − 1) 3
x−2
x→2 x2 − 4
Tentukan nilai dari lim
Penyelesaian :
Dengan substitusi lansung akan didapatkan bentuk tidak tentu
0
0
penyelesaian dapat
dilakukan dengan mengalikan factor sekawan, menjadi;
lim
x→2
x−2
1
x−2
1
= lim
= lim
=
2
x
2
→
2
→ (x − 2 )( x + 2 )
x
x+2 4
x −4
Contoh 3 :
Tentukan nilai dari lim
5x 2 − 2
x→∞
3x 2 + 4 x − 5
Penyelesaian :
Penyelesaian dengan substitusi akan mendapatkan bilangan tidak tentu bentuk
selanjutnya dibagi dengan variable pangkat tertinggi, menjadi;
5x 2 − 2
lim
x →∞
5−
2
5−
∞
∞
2
5−0
5
x
x
∞2
=
=
= lim
=
4 5
4
5
x→∞
3+ 0 − 0 3
3x + 4 x − 5
3+ − 2
3+ − 2
2
x
∞
x
∞
x
2
2
2
3. Limit Fungsi Trigonometri.
a. Pengertian Limit Fungsi Trigonometri.
Limit fungsi trigonometri adalah nilai pendekatan untuk sudut tertentu pada suatu fungsi
trigonometri, untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan cara
subtitusi langsung, jika didapat bentuk tak tentu (
limit fungsi trigonometri harus dengan cara lain.
Contoh 4 :
Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut :
a. lim1 sin x
x → 3π
b. lim
x →0
sin 2 x
sin x
45
0 ∞
, , atau ∞ − ∞ ), maka perhitungan nilai
0 ∞
.d o
m
w
2
o
.c
C
x 2 + 3x + 2
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
Catatan :
1. Jika π diikuti oleh fungsi
trigonometri, nilai π = 180º
2. sin² x + cos² x = 1
Penyelesaian :
a. lim1 sin x = sin 13 π = sin 60 o =
x → 3π
sin 2 x
1
3
2
3. sin
sin 2.0
0
b. lim
=
= (bentuk bilangan tidak tentu)
x → 0 sin x
sin 0
0
untuk menyelesaikan dapat dilakukan dengan mengubah
sin 2x dengan kesamaan trigonometrinya menjadi
lim
sin 2 x
x →0
sin x
= lim
x→0
2 sin x cos x
sin x
4.
x = 2 sin
1
1
x . cos x
2
2
cos x = 1 − 2 sin 2
5. sin 2x = 2.sin x.cos x
6. cos 2x = 1 –2.sin² x
= lim 2 cos x = 2 cos 0 = 2
x→0
b. Rumus dasar penyelesaian limit fungsi terigonometri
Rumus-rumus limit fungsi trigonometri untuk x mendekati 0 :
sin ax
sin x
= 1 atau lim
=1
x
→
0
ax
x
3. lim
ax
x
=1
= 1 atau lim
x → 0 sin x
x → 0 sin ax
4. lim
1. lim
x →0
2. lim
tan x
x →0
x
= 1 atau lim
x→0
tan ax
ax
=1
x
ax
= 1 atau lim
=1
x → 0 tan x
x → 0 tan ax
Contoh 5 :
Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut :
a. lim
x →0
sin 6 x
x
b. lim
x→0
x
tan 6 x
Penyelesaian :
sin 6 x 0
= (bentuk bilangan tak tentu), penyelesian dengan rumus dasar
x →0
x
0
a. lim
sin 6 x
sin 6 x 6
sin 6 x 6
= lim
. = lim
. = 1. 6 = 6
x→0
x→0
x
x 6 x→ 0 6x 1
lim
x
0
=
(bentuk bilangan tak tentu), penyelesaian dapat dilakukan;
x → 0 tan 6 x
0
x
x
6
6x 1
1 1
lim
= lim
. = lim
. = 1. =
x → 0 tan 6 x
x → 0 tan 6 x 6
x → 0 tan 6 x 6
6 6
b. lim
C. Lembar Kerja Siswa
Jawablah dengan singkat dan benar !
1. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :
3
2
a. lim 2 x − x + 3x − 1
x → −2
(
)
46
1
x
2
.d o
m
o
.c
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
lic
k
w
x 2 − 25
x−5
d. lim
x →5
e.
x3 − 8
x→2 x − 2
lim
2. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berkut ini !
a.
b.
c.
x −1
x −1
lim
x →1
x2 − 3
3 x− 3
lim
x→
16 + x − 16 − x
3x
lim
x →0
3. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :
5x2 − 7
x→∞ 2x +1
4x + 9
b. lim
x→∞ 5 − 2x2
x2 − 9
c. lim
x → ∞ ( x − 3)( x + 1)
a.
lim
d.
2
(
2 x − 2)
lim
e.
x →∞
{
4x + 6
lim ( x − 2) − x 2 + 6 x − 10
x →∞
}
4. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
a. lim1 cos 2 x
x → 3π
b. lim sin (2 x − 13 π )
x →π
c.
d.
lim1 sin 2 2 x
x → 6π
(
lim sin 2 x − cos2 x
x → 14 π
)
5. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :
sin 2 x
3x
1
π
b. lim 2
x → 0 sin 2 x
tan 2 x
c. lim
x→0
3x
a.
lim
x→0
47
.d o
m
3 + x2
x→0
x
2
x − 5x
c. lim
x →5 x − 5
b. lim
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
w
Kegiatan Belajar 3.
A. Tujuan Kegiatan Belajar.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :
1. mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran secara geometris
2. merumuskan pengertian turunan fungsi
3. menghitung turunan fungsi aljabar
4. menentukan sifat-sifat turunan
5. menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri; serta
6. menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai.
B. Uraian Materi
Konsep dan Aturan Turunan Fungsi
Laju perubahan rata-rata nilai fungsi f(x) atau derivatif fungsi atau biasa disebut turunan
fungsi dapat dituliskan sebagai berikut :
f ' ( x ) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Jika limit tersebut ada untuk x = a, dikatakan bahwa f’(a) diferensial atau turunan f(x)
terhadap x untuk x = a.
Notasi untuk menyatakan turunan fungsi dari y = f(x) dapat menggunakan salah satu
dy
df
atau f ’(x) atau
dx
dx
berikut ini : y’atau
Contoh 1:
Tentukan turunan fungsi f(x) = 3x² –2x + 2 dengan rumus definisi turunan
Penyelesaian :
f ' ( x ) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
{3(x + h)
}{
}
− 2( x + h ) + 2 − 3 x 2 − 2 x + 2
h→0
h
2
2
3 x + 6 xh + 3h − 2 x − 2h + 2 − 3 x 2 + 2 x − 2
f ' ( x ) = lim
h→0
h
f ' ( x ) = lim 6 x + 3h − 2 dengan substitusi akan didapat
f ' ( x ) = lim
2
h →0
f ' (x ) = 6 x − 2
48
.d o
m
sin 3x
x → 0 tan 5 x
cos 2 x − 1
e. lim
x→0
3x 2
d. lim
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
1.
2.
3.
4.
5.
6.
jika f (x ) = k , maka f ' (x ) = 0 untuk k = konstanta
Jika f (x ) = x , maka f ' (x ) = 1
Jika f (x ) = a.x n , maka f ' ( x ) = na.x n−1 , untuk a dan n ∈ real
Jika f (x ) = k .u , maka f ' ( x ) = k .u ' di mana u adalah fungsi dalam x
Jika f ( x ) = u ± v , maka f ' ( x ) = u ' ± v ' , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x
Jika f (x ) = u . v , maka f ' (x ) = u '. v + u . v ' , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x
7. Jika f (x ) =
u '.v − u.v '
u
, maka f ' ( x) =
, di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x
v
v2
Contoh 2 :
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. f(x) = 4
d. f(x) = 3x² + 3x + 3
b. f(x) = 3x
e. f(x) = 3. x
c. f(x) = 3x²
Penyelesaian :
a. f (x ) = 4 , maka berdasar sifat pertama
b.
c.
d.
e.
f ' (x ) = 0
f ( x ) = 3x = 3 x , maka berdasar sifat ke-3 f ' ( x ) = 1. 3 x 0 = 3
f ( x ) = 3x 2 , maka berdasar sifat ke-3 f ' ( x ) = 6 x
f (x ) = 3x 2 − 3 x + 3 , maka berdasar sifat 1, 2, 3 dan 5
f ' (x ) = 6 x − 3
1
f ( x ) = 3 x = 3 x 2 , maka berdasar sifat ke-3 f ' ( x ) = 3 .
1
f ' (x ) = 6 x − 3 + 0 atau
1 − 12
3
3
x =
=
1
2
2x 2 2 x
Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri :
1. Jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x
2. jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = -sin x
Contoh 3 :
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. f(x) = 5.cos x
c. f(x) = -3. sin x + 4.cos x
b. f(x) = 4.sin x
d. f(x) = 2 x 5 − sin x
49
Catatan :
1
cos ec x
1
cos x =
sec x
sin x
tan x =
cos x
sin x =
cot an x =
cos x
sin x
sin² x + cos² x = 1
cos 2x = cos² x = sin² x
son 2x = 2.sin x.cos x
m
Rumus Rumus Turunan Fungsi Aljabar
w
.c
.d o
c u-tr a c k
Dari rumus definisi di atas dapat kita temukan rumus-rumus turunan fungsi aljabar sebagai
berikut :
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
lic
k
w
b. f(x) = 4.sin x
f ’(x) = 4.(cos x) = 4.cos x
c. f(x) = -3.sin x + 4.cos x
f ’(x) = -3.cos x + 4.(-sin x) = -3.cos x –4 sin x
d. f(x) = 2 x 5 − sin x
f ' (x ) = 10 x 4 − cos x
Turunan Fungsi Tersusun (Dalil Rantai)
Jika f(x) = u {v(x)} merupakan fungsi majemuk dari u(x), turunan dari f(x) dapat ditentukan
dengan rumus sebagai berikut : f ’(x) = u ’{v(x)}. v ’(x)
Contoh 4 :
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. f (x ) =  x 2 − 3 
1
2
2

b. f ( x ) = sin x
c. f (x ) = cos(3 x − π )
Penyelesaian :
2
2
a. f (x ) =  x 2 − 3  maka turunan pertama dapat dicari sebagai berikut
1
2

1

1

f ' ( x ) = 2 x 2 − 3 .x = 2 x x − 3  (coba cek kembali jawaban ini secara aljabar)
2

2

b. f ( x ) = sin 2 x
f ' ( x ) = 2 sin x cos x = sin 2 x
c. f (x ) = cos(3 x − π )
f ' ( x ) = − sin (3x − π ) . 3 = − 3 sin(3x − π )
C. Lembar Kerja Siswa
Jawablah dengan singkat dan benar !
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) berikut ini dengan menggunakan rumus
definisi
lim
x→0
f (x + h) − f (x)
, jika :
h
a. f(x) = 2x - 7
b. f(x) = x² + 2x –1
c. f(x) = 2x² - 3x + 7
2. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. f(x) = 2x + 7
b. f(x) = x² - 4x + 5
c. f(x) = (2x + 1) (x - 5)
d.
f (x ) =
x −1
3 + x2
50
.d o
m
Penyelesaian :
a. f(x) = 5.cos x
f ’(x) = 5.(-sin x) = -5.sin x
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
e. f ( x ) = sec x
4. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. f(x) = 3x - 2.sin x
b. f(x) = 4.sin x –3.cos x
c. f(x) = 3.Sin x.cos x
d. f ( x ) = 5. cos x − 2 x
5. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.
b.
c.
d.
f ( x ) = (3x − 1)
6
f ( x ) = (3 − 2 x )
5
f (x ) = sin 2 ( x − π )
f ( x ) = 3cos2 (2 x − π )
2
(
6. Tentukan f ' (2 ), f ' (− 2 ), f ' (k ) dari f ( x ) = 8 − 2 x 2
)
2
Kegiatan Belajar 4
A. Tujuan Kegiatan Belajar.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :
1. mengenal tafsiran secara geometris dari turunan fungsi,
2. menentukan persamaan garis singgung fungsi,
3. mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turun menggunakan aturan turunan,
4. menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya,
5. memahami kecepatan sesaat suatu benda bergerak sebagai turunan fungsijarak
tempuhnya.
B. Uraian Materi
1. Tafsiran geometris dari turunan fungsi
Turunan pertama dari sebuah fungsi merupakan gradient garis singgung kurva itu. Dengan
kata lain : Gradient garis singgung kurva y = f(x) di titik A dengan absis x = a adalah f ‘(a).
Contoh 1;
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x 2 + 6 pada titik yang berabsis 2.
Penyelesaian :
Untuk y = x 2 + 6 maka y ‘= 2x
Di titik yang berabsis 2 artinya x = 2
Untuk x = 2 titik yang dilalui kurva itu adalah (2, 10) dan gradiennya m = 2x = 4
Persamaan garis melalui (2, 10) dengan gradient m = 4 adalah
y –10 = 4 ( x –2)
y = 4x + 2 atau 4x –y + 2 = 0
2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Suatu fungsi f(x) yang terdefinisi dalam suatu interval dapat dikatakan fungsi naik atau turun
dengan hasil turunan pertamanya, yaitu sebagai berikut :
a. Fungsi f(x) naik jika f ’(x) > 0
b. Fungsi f(x) turun jika f ’(x) < 0
51
.d o
m
w
o
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. f(x) = 5.sin x
b. f(x) = 2x.cos x
c. f(x) = 2.cos x.sin x
d. f ( x ) = cos ec x
lic
k
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
turun
(2, - 9)
3. Nilai Stasioner dan Titik Stasioner
Jika sebuah fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f ’(a) = 0, maka f(a)
merupakan nilai stationer f(x) di x = a. Titik P(a, f(x)) yang terletak pada grafik fungsi y = f(x)
disebut sebagai titik stationer atau titik ekstrem atau titik kritis. Nilai x yang menyebabkan
f(x) mempunyai nilai stationer dapat ditentukan dari syarat f ’(x) = 0.
Contoh 3 :
Tentukan titik stationer dan nilai staionernya jika diketahui fungsi f(x) = x² - 4x –5
Penyelesaian :
f(x) = x² –4x –5
f ’(x) = 2x –4 syarat stasioner adalah f ’(x) = 0
2x –4 = 0
2x = 4
x=2
untuk x = 2 diperoleh f (2) = 2 2 − 4 . 2 − 5 = −9
jadi titik stasionernya adalah (2, - 9)
dengan nilai stasioner = - 9
perhatikan kembali gambar di atas
y
x
2
-1
5
(2, - 9)
Titik stasioner
4. Titik Stasioner dan Jenisnya.
Keadaan titik stasioner suatu fungsi f(x) di titik P(a, f(x), mempunyai tiga jenis, yaitu titik
balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok, dengan ketentuan sebagai berikut :
a. Titik balik maksimum terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda
positif (fungsi naik) menjadi tanda negarif (fungsi turun) dari kiri ke kanan.
b. Titik balik minim terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda
negative (fungs turun) menjadi tanda positif (fugsi naik) dari kiri ke kanan.
c. Titik belok terjadi jika di sekitar titik x = a tidak ada perubahan tanda.
52
m
C
Contoh 2 :
w
.c
.d o
c u-tr a c k
Diketahui fungsi f(x) = x² - 4x – 5 Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik dan fungsi f(x)
turun.
y
Penyelesaian :
f(x) = x² –4x –5
f ’(x) = 2x –4
x
2
2x –4 > 0
-1
5
2x > 4
x>2
fungsi f(x) naik pada interval x > 2
f ’(x) = 2x –4
2x –4 < 0
2x < 4
x<2
Fungsi f(x) turun pada interval x < 2
Perhatikan gambar di samping
o
.c
naik
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
Lebih jelas perhatikan gambar berikut ini :
A (a, (f(a))
f(a)
y
Titik balik maksimum
Titik belok horizontal
b
++++
a
-----
------
x
++++
f(b)
Titik balik maksimum
B (b, (f(b))
Contoh 4 :
Tentukan nilai stationer , titik stasioner dan jenis titik stasionernya
1
f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 21x + 7
3
dari fungsi
Penyelesaian :
1
f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 21x + 7
3
f ' ( x ) = x 2 − 4 x − 21 syarat stasioner adalah f ' ( x ) = 0
x² –4x –21 = 0
⇔ (x + 3)(x –7) = 0
⇔ x = - 3 atau x = 7
1
nilai stasioner untuk x = - 3 adalah f (− 3) = (− 3)3 − 2(− 3)2 − 21(− 3) + 7 = 43
3
1 3
371
nilai stasioner untuk x = 7 adalah f (7 ) = (7 ) − 2(7 ) 2 − 21(7 ) + 7 = −
3
3
Jenis titik stasioner ;
Untuk titik (-3, 43), merupakan titik balik maksimum
371 
Untuk titik  7, −
 , merupakan titik balik minimum
3 

5. Nilai Ekstreem Suatu Fungsi sebagai Model Penyelesaian
Nilai ekstrem fungsi (nilai maksimum atau nilai minimum) pada dasarnya sama dengan
menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Contoh 5 :
Diketahui jumlah dua bilangan asli adalah 45. Jika perkalian salah satu bilangan dengan
kuadrat bilangan yang lainnya mencapai nilai maksimum, tentukan bilangan-bilangan itu
dan nilai maksimumnya.
Penyelesaian :
Misalnya, salah satu bilangan itu = x, maka bilangan yang lainnya = 45 –x
f(x) = (45 –x).(x²)
f ( x ) = 45x 2 − x 3
53
.d o
m
o
.c
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
Contoh 6 :
Selembar kertas karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran 24 cm X 9 cm. Kertas itu
akan dibuat kotak tanpa tutup dengan tinggi kotak t cm. Tentukan ukuran kotak tersebut
agar memiliki volume maksimum dan tentukan volumenya.
t
Penyelesaian :
Perhatikan gambar di samping !
t
t
Miaslnya, tinggi kotak = t,
panjang kotak p = 24 –2t
lebar kotak l = 9 –2t
V=pxlxt
V = (24 -2t) (9 –2t) (t)
24 cm
V = 24 –2t)(9t -2t²)
V = 216t –66t ²+ 4t³
V’= 216 –132t + 12t² , syarat maksimum V ‘= 0
216 –132t + 12t² = 0
t² –11t + 18 = 0
(t –9) (t - 2) = 0
t = 9 atau t = 2, tinggi kotak yang mungkin adalah t = 2 cm, maka
Panjang kotak adalah p = 24 –2(2) = 20 cm
Lebar kotak adalah l = 9 –2(2) = 5 cm
Volume maksimum kotak adalah V = 20 X 5 X 2 = 200 cm³
t
6. Memahami Kecepatan Sesaat Suatu Benda Bergerak Sebagai Fungsi Turunan
Kecepatan rata-rata (Vt) sebuah benda bergerak dalam selang waktu tertentu adalah
perbandingan perubahan jarak ( ∆ s) dengan perubahan waktu ( ∆ t), dapat dituliskan
sebagai berikut :
vt =
∆s
∆t
Jika ∆ t mendekati nol maka diperoleh hasil bagi diferensial yang disebut laju perubahan
jarak terhadap waktu yang dinotasikan sebagai berikut :
∆s
––
∆t
dv
Vt = –– = lim
dt
∆t 0
Apabila perubahan waktu t membawa akibat perubahan kecepatan maka laju perubahan
kecepatan terhadap waktu disebut percepatan yang dinotasikan sebagai berikut :
54
m
C
f ’(x) = 90x –3x², syarat mencapai maksimum pada saat f ’(x) = 0
w
.c
.d o
c u-tr a c k
90x –3x² = 0
(x)(90 –3x) = 0
x = 0 atau x = 30 Nilai x yang menyebabkan f(x) maksimum adalah x = 30, maka nilai yang
lainnya = 45 –30 = 15
Jadi, bilangan-bilangan itu sebagai berikut : 30 dan 15
NIlai maksimum diperoleh untuk x = 30, adalah f (30) = 60 . 30 2 − 303 = 27.000
o
.c
9 cm
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
dv d²s
at = –– = ––
dt
dt²
(turunan kedua dari panjang lintasan benda bergerak)
Contoh 7 :
Sebuah peluru ditembakkan ke atas dengan kecepatan awal 50 m/dt sehingga peluru melaju
sesuai persamaan s =100t – 5t² m, dengan s menyatakan panjang lintasan peluru saat
meluncur setelah t detik.
Tentukan hasil perhitungan berikut :
a. tinggi peluru setelah 10 detik
b. kecepatan peluru pada saat t detik
c. waktu yang dibutuhkan hingga peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan
d. tinggi peluru saat tidak mampu menambah kecepatan, dan
e. percepatan setelah t detik.
Penyelesaian :
Panjang lintasan benda (tinggi)
s(t ) = 100t − 5t 2 meter
a. Tinggi setelah t = 10 detik adalah s(5) = 100.10 − 5 .10 2 = 500
Jadi, tinggi peluru saat 10 detik adalah 500 meter.
ds
b. Kecepatan saat t detik : v t =
= s ' (t ) = 100 − 10t m/dt
dt
c. Peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan berarti kecepatan (v) = 0
⇔ 100 –10t = 0
⇔
10t = 100
⇔
t = 10
Jadi setelah melaju selama 10 detik peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan.
d. s(10) = 100 . 10 –5 . 10² = 500
Jadi, tinggi peluru saat tidak menambah kecepatan adalah 500 meter.
e. a =
dv
= − 10 m / dt 2
dt
Jadi, percepatan setelah t detik adalah –10 m / dt²
C. Lembar Kerja Siswa
Jawablah dengan singkat dan benar !
1. Tentukan dalam interval mana fungsi f(x) berikut ini merupakan fungsi naik dan
interval mana merupakan fungsi turun.
a. f(x) = x² - 6x + 9
b. f(x) = x² + 3x - 5
c. f(x) = x²–9x + 20
d. f(x) = 5 + 2x –x²
e. f(x0 = 3 –2x –2x²
2. Tentukan nilai sationer, titik stasioner dan jenis titik stasioner dari fungsi berikut ini :
a. f(x) = 6 + x - x²
b. f(x) = x² –3x –4
c. f(x) = x3 + 3x² - 5x –5
d. f(x) = 12 –5x –2x² + x3
e.
f(x) = 2x³ + 3x² + 12x + 6
55
.d o
m
w
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
3.
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva dan dititik
berikut :
a. y = x² - 3x –10, melalui titik P(1, -12)
b. y = 2x² –5x + 6, melalui titik yang berbasis x = 2
c. y = x³ –5x + 4, sejajar dengan garis y = x –3
4. Sebuah roket ditembakkan ke atas dengan persamaan h(t) = 50 t – 2t2, h dalam km dan t
dalam menit tentukan :
a. Waktu yang diperlukan roket mencapai tinggi maksimum, dan
b. tinggi roket maksimum.
56
.d o
m
o
.c
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
EVALUASI KOMPETENSI
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan memilih salah satu jawaban yang ada berikut cara
pengerjaannya !
1. Hitunglah
lim ( 4 − x).( 2 x + 3) 2 = …
x→∞
(3 − 3 x ) 3
A. 4/27
lim
x→ 2
B. 4/9
2 x −3 x − 2
x−2
2
B. 1
2 x 2 −5 x − 7
2
x → −1 x + 3 x + 2
lim
A. –9
B. –7
lim 3. tan 2 x = … .
x → 0 sin 5 x
A. 3/5
B. 4/5
lim
x →∞
C. 3
D. 5
E. 7
C. –3 ½
D. –2 ½
E. 2
C. 6/5
D. 6
E. 10
C. 4
D. 6
E. 8
C. ¾
D. 4/5
E. 3/5
(2 x + 3)3
=….
2


( x −1) x + x +1


A. 1
B. 2
6. Hitunglah
lim 4. sin 3 x
=….
x → 0 5 tan 4 x
A. 4
B. 1
7. Turunan pertama dari f(x) =
3 x 2 + x − 1x +
2
x2
adalah … .
A.
6x + 1 +
1
x2
+
1
x3
C.
6x + 1 +
1
x2
−
1
x3
B.
6x + 1 +
1
x2
−
4
x3
D.
6x + 1 −
1
x2
−
4
x3
8. Nilai dari
lim 2 xx2 −−3x −x −69 = … .
A. 18
B. 9/5
9.
E. –4/3
= … ..
4. Hitunglah
5.
D. –4/27
adalah … .
A. 0
3. Nilai dari
C. –1/3
lim
x →∞
A. ∞
6x + 1 −
1
x2
+
4
x3
2
x →3
4 x + 7 x+ 5
3− x + 2 x 2
2
E.
C. 2
D. ½
E. 0
C. 4/3
D. 2
E. 4
= … ..
B. 0
10. Turunan pertama dari f(x) = 4 cos 3x –2 sin 4x adalah … .
A. - 12 sin 3x–8 cos 4x
D. - 4/3 sin 3x –½ cos 4x
B. - 12 sin 3x + 8 cos 4x
E. 4/3 sin 3x + ½ cos 4x
C. 12 sin 3x –8 cos 4x
11. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 5 sin 2x –cos 3x adalah … .
A. 5 cos 2x –sin 3x
C. -10 cos 2x + sin 3x
E. -10 cos 2x –3 sin 3x
B. 5 cos 2x + sin 3x
D. 10 cos 2x + 3 sin 3x
57
.d o
m
o
.c
2.
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
12. Turunan pertama dari f(x) =
A. -19
B. -14
2x3
+ 4x –5 dititik x = -1 adalah … .
C. 17
D. -2
E. -1
13. Jarak S meter yang ditempuh oleh benda bergerak dalam t detik dinyatakan oleh S = t2 + 2t. Kecepatan
benda setelah bergerak 5 detik adalah … .
A. 35 m/det
B. 20 m/det
C. 15 m/det
D. 12 m/det
E. 11 m/det
14. Turunan pertama dari f(x) = (3x2 –x).2x adalah … .
A. 18x2 –4x
B. 5x2 –x
C. 6x2 –2x
D. 12x2 –2x
E. 6x3 –2x
15. Diketahui f(x) = 4x3 –2x2 + 3x +7, jika f’(x) turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(3) adalah… .
A. 99
B. 97
C. 91
D. 63
E. 36
16. Jika f(x) = –(cos2 x –sin2 x) maka f ′(x) adalah … .
A. 2 (sin x + cos x)
C. 4 sin x cos x
B. 2 (cos x –sin x)
D. 2 sin x cos x
E. 6 sin x cos x
17. Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 15 adalah … .
A. -32
B. -16
C. 1
D. 16
E. 32
18.Titik balik minimum kurva y = x³ –12x + 1 adalah … .
A. (-2, 17)
B. (-1, 12)
C. (0,1)
D. (1, -10)
E. (2, -15)
19. Kurva f(x) = x³–+ 3x² –9x + 7 naik pada interval … .
A. x < -1 atau x > 3
B. x < -3 atai x > 1
D. -3 < x < 1
E. x > 0
C. . -1 < x < 3
20.Persamaan garis singgung kurva y = -x² –6x + 3 pada titik yang berabsis x = -2 adalah … .
a. y + 2x –7 = 0
b. y + 2x –14 = 0
c. y + 2x + 15 = 0
d. y –2x –23 = 0
e. y –2x –15 = 0
21. Panjang lintasan suatu benda bergerak dinyatakan dengan persamaan S = 3t2 –24t + 40. Benda akan berhenti
setelah berjalan … ..detik.
a. 4
c. 18
d. 24
e. 40
b. 6
22. Sebuah peluru ditembakkan vertical dengan persamaan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t2. Tinggi
maksimum peluru adalah … .
A. 925 m
B. 1015 m
C. 1025 m
D. 1125 m
E. 1225 m
23. Luas bahan minimum yang digunakan untuk membuat kotak dengan volume 72 dm2 yang panjang alasnya
dua kali lebarnya adalah … .
A. 720 dm2
B. 180 dm2
C. 144 dm2
D. 108 dm2
E. 96 dm2
24. Sebuah roket ditembakkan selama t detik dan memenuhi persamaan lintasn h(t) = 600t – 5t², h
dalam meter. Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah … m
A. 40.000
B. 36.000
C. 27.000
D. 24.000
E. 18.000
25. Sebuah kotak tertutup volumenya 36 dm3, alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjangnya tiga
kali lebarnya. Jika kotak tersebut dibuat dengan luas permukaan seminimal mungkin maka panjang kotak
tersebut adalah … .
A. 2 dm
B. 3 dm
C. 4 dm
D. 6 dm
E. 8 dm
58
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c