Sifat Nilai Eigen Kompleks Matriks SCCM

V. CYCLE
Misalkan .4={aij), adalal~ matriks SCCM
yang merepresentasikan suatu cycle dengan
panjang n, Inaka secara umum lnatriks tersebut
berbentuk.
0
0
... a,,
-a,
0
... 0
a, -a2
-a,
... 0
A= 0
a2
. .
. .
0
0
... - a , - o
dengan ai > 0, i=l, ..., n dan a, adalah koefisien
aliran atau dalaln bentuk digraf sesuai dengan
galnbar 6 di bawah ini
vn
Ekspresi
i(a, - h)2
julnlali kuadrat deviasi dari koefisien aliran, yang
bernilai lninilnnm jika semua a, bemilai sama
(misalkan a).
Pada kasns semua ai bemilai salna yaitu a, nilai
eigen A dapat dillitung secara eksplisit karena
polinom karakteristihya adalah
f(d)=(d+a)"-an,
sellingga berdasarkan Lema 7, nilai eigennya
adalal~
Zldk1,r
. k=0:1:2 ,... n - 1 ,
A, =-a+ae
dan karena
1'5
Gambar 6. Cycle dengan panjang n.
sehingga batas atas dan batas bawah dari
adalah
JKD
Misalkan didefinisikan rata-nta koefisien aliian
1"
ole11 h = - C a , ,maka
n ;=I
dapat dikatakan sebagai
i=l
maka
1-1,
.,z
Selanjufnya akan dibahas hubungan antan
bagian real dan imajiner nilai eigen matriks SCCM.
Definisi 26 pisenfeld, Beltz & Gmdy, 19841
Suatu matriks A, yang dikategorikan ma&iks
SCCM dikatakan mempunyai nilai eigen utarna p,
jika
(i) p adalah nilai eigen real dari A
(ii)p adalah nilai terbesar dari bagian real Nlai
eigen A yang laimya.
Lema 15 [Kellog & Stephens, 19781
Misalkm KnXFadalab matriks nonnegatif dengh
nilai eigen Perron i' dan D adalali digraf yang
bersesuaian dengan K. Misalkan nr adalah panjang
dari cycle terpanjang D. Jika mS2 , maka seluua
nilai eigen K adalall real. Jika 17722, maka nilai
eigen A=p+i vdari A memenuhi
ICr= A*x
(A + q I ) ~ = a + ~
AX=@+- q)x
Ax= px,
Inaka p =A+-q adatall nilai eigen utzna dari A.
Misalkan n~ adalali panjang dari cycle
terpanjang pada digraf matriks K. Karena A dan K
mempunyai elemen selain diagonal yang identik,
maka keduanya ~ne~npunyai
digraf yang sana.
Menurut Lema 15 ,jika 17152.maka selnua nilai
eigen A adalah real. Jika rn >2, maka nilai eigen
A= (-p+q)+ i v dari K, memenuhi
KarenaA adalah SCCM, Inaka PO, sehingga
7c
72
p+/vItan-<A+.
Ivl tan-
111
sp
Ill
U
Bukti: L i a t Kellog & Stephens (1978).
Berdasarkan lasil Kellog dan Stephens &pat
diperoleh Iiubungan antam bagian real dan imajiner
nilai eigen mah'iks SCCM, sebagaimana Yang
terdapat pada teorema berikut ini.
Teorema 7 [Eisenfeld, Beltz & G m d y , 19841
Misalkan A adalah matriks SCCM dan D adalah
digraf yang bersesuaian dengan A. Misalkan m
adalal~panjang dari cycle terpanjang D. Jika m<2,
maka serum nilai eigen A adalah real. Jiia m>2,
xnaka ~ l aeigen
i
A=-p+ivdariA memenuhi
IT
Ivl tannr
rp
Buliti :
Misalkan A={aij},,, adalah matriks SCCM,
untuk setiap konstanta q yang memenuhi
q 2 maslail ,
15iin
I
maka K=A +qI adalah matriks nomegatif.
Misalkan x adalah vektor eigen
bersesuaian dengan A, nnlaka
A F ~
Teorema 8 [Walter, 19851
~ i ~ ~ lA=-p+ivadal&
k a n
bilangan kompleks yang
memenuhi persamaan (13), maka ada suatu matriks
yang merepresentasikan cycle dengan panjang m,
dimana Aadalah salah satu Nlai eigennya.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks SCCM dengan
panjang cycle m dan koefisien d i m ,
dengan O < a 51 dan P O ,
karakteristik dari A adalah
.
maka polin0111
.
p"' .
111!
Untuk PO, ~nakakoefisien aliran lnenjadi
- a(a+lXa+2)...(a+nr-l)
yang
sehingga A adalah nilai eigen A jika dan hanya jika
A+q adalah nilai eigen dari K.
Misalkan A+ adalah nilai eigeii Perron dari K
maka A' juga liilai eigen utallla dari K dan karena
yang berakibat digraf yang bersesuai dengan A
bukan cycle dan
yang berakibat matriks .4 lllempunyai nilai eigen
real berbeda.
Untuk a=l, selnua koefisien alinn sanla
dengm 0. dn
f,.p(n) =
-P",
yang nlenurut Lenla 7 nilai eigennya adalah
,2d/m
A=-P+Pe, , :
k=0,1. ... , m-1.
Untuk O<a<l, mla elgen tak no1 Al(a .p )
dengan modulus terkecil dan bagian imajiner
positif, bervariasi dari
A, (1, p)=-p +,Benn""
ke
n1( ~ , , ~ ) = - p n .
Lintasan yang dilalui oleh &(a ,P ) adalah
k w a kontinu yang dil~ubungkanoleh titik-titik
tersebut. Karena p hanya faktor skala, kurva Al(a
, p ) adalah tiruan skala dari kurva lainnya untuk
nilai B
, yang berbeda. Karena 0C.D <m , kurva 21 ( a
, p ) berada pada daeral~antara sinar z=arg/tl(l,l)
dan axis real negatif. Untuk melilmt hi, kunra
Rl(a.l) beraral~dari -l+cos(2n:/m)+ i sin(2nIi11) ke
-112.
Tiap
sinar ' dari
asal
z=O
untuk
argAl(l,l)=n12+rcln~
$ 0 5 n berpotongan dengan
kuna Al(a,l) sedikitnya sekali, sellingga tiap titik
pada suatu sinar berpotongan sedikitnya sekali
dengan M a 21(a, p ).
~
~ .p +
t p e""~ ' "~ = -,u+iv
i
inemnenuhi
persamaan (13). yaitu dari penurunan di bawah ini.
-p +pe'2"'rn= -,u+iv
-p +pcos2n /ni+ipsin 2n: /ni = -,u+iv,
yang berarti
-p+pco~Zn:/m=-p dan psinZn/rn=v.
- p +pcos2n /m = -,u
Untuk
.
maka
P
P = ~ - c o s ~ n / r: n
substitusikan ke persatnaan psin 2n/n1
diperoleli
=
v,
iT
vtan-=,u.
m
selingga s e m b m g nilai eigen dengan bagian
iinajiner positif memenulu persamaan (13) terletak
pada daerah ini dan merupakan nilai eigen dari
0
suatu cycle dengan panjang In.
VI. KO&@~INASI
CYCLE
6.1 IIustrasi Kombinasi Cycle
Bab ini akan membahas tentang nilai eigen
koinpleks dari inatriks SCCM A yang
~nerepreseritasikangabungan dari dua atau lebili
qxle.
f , ( ~ ) = - & I+(CI
2 + c>+c3) A+ CI c2+ cz c3+ c3 C I )
Perbatikan beberapa kasus di bawah ini.
(i) Jika ai= ci =l , i=1,2,3, maka
A(,?) =&A) =
+3 n+3),
sehingga
Contoh 5
Misalkan A adalah mahiks SCCM yang terdiri
dari dua cycle, yang ~nasing-masingpanjangnya
tiga, yaitu
yang berarti junlah kuadrat bagian imajiner dari
tiap cycle adalali sama, yaitu
-
-xn2
.
0
03
0
0
0
0
0
a, -a2
A= 0
n2 - a j - c 3
0
cI
0
-c2
0
0
c3
0
0
0
c2 - C 1 dengan ai > 0, i=1,2,3 adalal~koefisien aliran pada
cycle pertamna dan ci > 0, i=1,2,3 adalal~koefisien
aliran pada cycle kedua .
Polinom karakteristik dari mnatriks A adalah
. ~ n ) = ( n + a , ) ( n + a , m+~(n+c1)(n+c2mn)
)
+ x a + a l ) (n+a2)(n+cl)(n+cz),
dengan,fi(L)d m &(,I)adalali polinoin karakleristik
dari tiap cvcle, dimana
.I;(A)=-A(.1' +(al+ n2+a,) A+ a1 a2+a2a,-!-a? n l )
-al
Polinoin karakteristik untuk mahiks.4 adalah
(-aa2+3a+3))+ ( a + i ) (131)
~ ( 2=) (&I)
(-a(n2+3n+3))+ a(n+i) ( h i )( n + i )('+I)
= n (n+i)' {(n+i)2- 2(a2+3A+3))
= n (A+i)2(-n2
- 4 n - 51,
sellingga
Al=O, A=&= -1, A , , = - 2 i i ,
yang berarti jumlah kuadrat bagian imajiner dari
gabungan dua cycle adalah