Teorema Dasar

Teknik Pengintegralan
• Integral Parsial
• Integral Rasional
Teorema Dasar
Berdasarkan pada pengitegralan
rumus turunan hasil dua kali fungsi :
Jika u dan v adalah fungsi x yang
dapat dideferensiasi :
d(uv) = udv + vdu
udv = d(uv) – vdu
 udv  uv   vdu
Aturan yg hrs diperhatikan
1. Bagian fungsi yang dipilih sebagai
dv
harus
dapat
segera
diintegrasikan
2.
 vdu
tidak boleh lebih sulit
daripada udv

Contoh 1 :
 x cos xdx
a. Misal : u = x
du = dx
dv = cos x dx
v = sin x
Rumus integralnya :
 x cos x dx  x sin x   sin xdx
u
dv
u v
-
v du
= x sin x + cos x + c
Misal diambil :
u = cos x
dv = x dx
du = -sin x dx
v = x2/2
Rumus Integral Parsialnya :
2
2
x
x
 cos x x dx  (cos x) 2   2 ( sin x dx)
Penting Sekali
pemilihan u dan v
Integralnya lebih susah
Pengintegralan Parsial
Berulang
Seringkali ditemui pengintegralan parsial
berulang beberapa kali
2
x
 sin xdx
Misal : u = x2
du = 2x dx
dv = sin x dx
v = -cos x
Maka :
2
2
x
sin
xdx


x
cos x  2 x cos xdx

- Tampak bahwa pangkat pada x berkurang
- Perlu pengintegralan parsial lagi
Dari contoh 1 :
x
2
sin xdx
  x cos x  2( x sin x  cos x  c)
2
= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K
Contoh 3 :
e
sin
xdx

x
Misal :
u = ex
dan dv = sinx dx
du = exdx
dan v = - cosx
Maka :
e
x
cos xdx  e cos x   e cos xdx
x
x
Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua
x
e
 cos xdx 
u = ex
dv = cos x dx
du = exdx
v = sin x
Sehingga :
e
x
cos xdx  e sin x   e sin xdx
x
x
Bila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama
 e sin xdx  e cos x  e sin x  e
2 e sin xdx  e cos x  e sin x  C
x
x
x
x
x
x
sin xdx
x
1 x
 e sin xdx  2 e (cos x  sin x)  K
x
Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial
• Fungsi rasional diekspresikan sbb
P( x)
R( x) 
Q( x)
dimana P( x) dan Q( x) adalah polinomial
• Untuk menghitung integral fungsi rasional,
perlu dilakukan dekomposisi pecahan-parsial
dari fungsi rasional tersebut.
Metode pecahan parsial adalah suatu
tehnik
aljabar
dimana
R(x)
didekomposisi menjadi jumlahan sukusuku:
P ( x)
R( x ) 
 p( x )  F1 ( x )  F2 ( x )    Fk ( x ),
Q( x)
dimana p( x ) suatu polinomial dan Fi ( x ) pecahan - parsial
A
berbentuk
(faktor linier) atau
n
(ax  b)
Bx  C
(faktor kuadratik)
2
n
(ax  bx  c )
A, B, C , a , b, c adalah konstanta - konstanta.
Contoh
x3 1
Hitung  3
dx
x x
x3 1
1 x
Dekomposisi integrand : 3
 1
x x
x ( x 2  1)
Suku ke - 2 adalah fungsi rasional yg dapat didekomposisi
1 x
A Bx  C
pecahan - parsial :
  2
2
x ( x  1) x
x 1
Konstanta A,B dan C diperoleh dengan mengalikan kedua sisi
dgn fungsi penyebut:
1  x  A( x 2  1)  ( Bx  C ) x
1  x  ( A  B ) x 2  (C ) x  A
Diperoleh A  1, B  1, C  1. Jadi
1 x
1  x 1

 2
.
2
x ( x  1) x x  1
Jadi fungsi rasional semula didekomposisi menjadi
x3  1
1 1 x
 1  2
3
x x
x x 1
x3  1
 1 1 x 
 x3  x dx   1  x  x 2  1 dx
 x  ln | x |  12 ln( x 2  1)  tan 1 x  c
Faktor-faktor Linier
1. Jika Q(x) adalah (ax +b)n ( kelipatan n
dari faktor ax +b), maka dekomposisinya
An
A1
A2


,
2
n
ax  b (ax  b)
(ax  b)
A1 , A2 ,, An konstanta
2. Jika Q(x) adalah faktor-faktor linier
dengan kelipatan n = 1
Q( x)  (a1 x  b1 )(a2 x  b2 )  (an x  bn )
maka dekomposisi :
An
A1
A2


(a1 x  b1 ) (a2 x  b2 )
(an x  bn )
EX
3x  5
1.
dx
2
( x  2)
x
2.
dx
2
( x  1)( x  1)
x5
3. 2
dx
x  2x  3
x
4. 2
dx
x  4x  5
Faktor Kuadratik
3.Jika Q(x) adalah (ax2 + bx
(kelipatan n dari faktor kuadratik
bx + c), dimana ax2 + bx + c tidak
difaktorkan i.e. b2 –4ac <0,
dekomposisi R(x)
+ c)n
ax2 +
dapat
maka
Bn x  Cn
B1 x  C1
B2 x  C2


2
2
2
ax  bx  c (ax  bx  c)
(ax 2  bx  c) n
B1 , B2 ,, Bn , C1 , C2 ,, Cn konstanta - konstanta.
4.
Jika
faktor-faktor
kuadratik
mempunyai kelipatan n=1, maka
dekomposisi
Bn x  C n
B1 x  C1
B2 x  C 2


2
2
2
a1 x  b1 x  c1 a 2 x  b2 x  c 2
a n x  bn x  c n
B1 , B2 ,, Bn , C1 , C 2 ,, C n konstanta - konstanta.
Jika Q(x) kombinasi dari faktor linier
dan kuadratik, gunakan dekomposisi
yang sesuai untuk masing-masing
faktor.
EX
4  2x
1. 2
dx
2
( x  1)( x  1)
16 x  32
2. 2 2
dx
2
x ( x  4)
Example
5x  3x  2 x  1
dx
4
2

x x
x 4  x 2  x 2 ( x 2  1)
3
2
5 x 3  3 x 2  2 x  1 A B Cx  D
  2 2
4
2
x x
x x
x 1
PR
5
1. 
dx.
2 x  1 x  2
2.

4 x 2  3x  4
dx
3
2
x  x  2x