kuliahkalkulus1-tatapmuka1-121005131809

Fungsi Invers,
Eksponensial, Logaritma,
dan Trigonometri
Tim Kalkulus I
1
JENIS-JENIS FUNGSI
Fungsi
Fungsi aljabar
Fungsi
irrasional
Fungsi non-aljabar
(transenden)
Fungsi rasional
F. Polinom
F. Linier
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat
F.Pangkat
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
2
FUNGSI TRANSENDEN
• Fungsi invers
• Fungsi logaritma dan eksponen
• Turunan dan integral fungsi eksponen dan
logaritma
• Fungsi invers trigonometri
• Turunan dan integral fungsi invers
trigonometri
3
Fungsi Invers
Definisi
Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi
f ( g ( x))  x untuk setiap x dalam domain g
g ( f ( x))  x untuk setiap x dalam domain f
Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g
adalah invers dari f,
Atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers.
4
5
Definisi
Jika fungsi f mempunyai invers, maka
dikatakan bahwa y  f (x) dapat diselesaikan
untuk x sebagai fungsi dari y dan dikatakan
x  f 1 ( y) merupakan penyelesaian dari y  f (x)
untuk x sebagai fungsi y.
6
Teorema
Jika f fungsi satu-satu, maka grafik dari y  f (x)
1
y

f
( x) adalah pencerminan dari fungsi
dan
satu dengan fungsi yang lain terhadap garis y  x
Contoh suatu fungsi dan inversnya:
7
8
9
10
11
Contoh:
Carilah invers dari f ( x)  3x  2
y  3 x  2 , kemudian x dan y ditukar
x  3y  2
x2  3y  2
y

1 2
x 2
3
Maka

f 1 ( x) 


1 2
x 2 , x0
3
12
13
f(x) = x2
Syarat apa yang harus dipenuhi agar f
mempunyai invers?
14
15
16
Latihan
Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi di bawah ini
mempunyai invers tentukan fungsi inversnya jika
ada.
1. f ( x)  2  x  x 2
2. f ( x)  x3  3x 2  3x  1
3. f ( x)  e1/ x 3
x
4. f ( x)  x 2  1
17
Turunan fungsi invers
Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada
interval I, dan bila f’(x) ≠ 0 pada suatu titik x
dalam interval I, maka invers f dapat diturunkan di
titik y = f(x) dan berlaku
1
( f )' ( y ) 
f ' ( x)
1
dx
1

dy dx / dy
18
1. Jika f ( x)  x  2 x  1
5
 
maka tentukan f 1 ' (4)!
2. Misal f ( x)  x  2
3
  ' (6)!
maka tentukan f
1
19
20
Fungsi Logaritma Natural
dan
Eksponensial Natural
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Fungsi Eksponensial Natural
30
31
32
33
34
35
FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONENSIAL
UMUM
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Fungsi Invers Trigonometri
Definisi
1
sin
Fungsi invers sinus, dinotasikan
, didefinisikan
sebagai invers dari fungsi sin x,   / 2  x   / 2
Fungsi invers cosinus, dinotasikan cos ,1 didefinisikan
sebagai invers dari fungsi cos x, 0  x  
1
tan
Fungsi invers tangen, dinotasikan
, didefinisikan
sebagai invers dari fungsi tan x,   / 2  x   / 2
Fungsi invers secan, dinotasikan sec ,1 didefinisikan
sebagai invers dari fungsi sec x, 0  x   / 2 atau   x  3 / 2
45
Teorema
 1  x  1
y  sin x  sin y  x jika 
  / 2  y   / 2
 1  x  1
1
y  cos x  cos y  x jika 
0  y  
    x  
1
y  tan x  tan y  x jika 
  / 2  y   / 2
x 1

 x  1
1
y  sec x  sec y  x jika 
atau 
0  y   / 2
  y  3 / 2
1
46
Fungsi
Domain
sin 1 x
1,1
Range
  / 2,  / 2
Hubungan
sin 1 (sin x)  x jika   / 2  x   / 2


sin sin 1 x  x jika  1  x  1
cos 1 x
1,1
0,  
cos 1 (cos x)  x jika 0  x  
cos(cos 1 x)  x jika  1  x  1
tan 1 x
 ,  
  / 2,  / 2
tan 1 (tan x)  x jika   / 2  x   / 2
tan(tan 1 x)  x jika    x  
sec 1 x  ,1 1, 0,  / 2   ,3 / 2
sec 1 (sec x)  x jika 0  x   / 2 at   x  3 / 2
sec(sec 1 x)  x jika x  1at x  1
cot 1 x
 ,  
0,  
cot 1 (cot x)  x jika 0  x  
cot(cot 1 x)  x jika    x  
csc 1 x
 ,1 1,   , / 2 0,  / 2
csc 1 (csc x)  x jika    x   / 2 at 0  x   / 2
csc(csc 1 x)  x jika x  1at x  1
47
48
49
Turunan & Integral Fungsi Invers Trigonometri
Teorema






d
1
1
sin x 
dx
1 x2
d
1
1
tan x 
dx
1 x2
d
1
1
sec x 
dx
x x2 1






d
1
1
cos x  
dx
1 x2
d
1
1
cot x  
dx
1 x2
d
1
1
csc x  
dx
x x2 1
50






d
1 du
1
sin u 
dx
1  u 2 dx
d
1 du
1
tan u 
dx
1  u 2 dx
d
1
du
1
sec u 
dx
u u 2  1 dx






d
1 du
1
cos u  
dx
1  u 2 dx
d
1 du
1
cot u  
dx
1  u 2 dx
d
1
du
1
csc u  
dx
u u 2  1 dx
51

du
1
 sin u  C
1 u
du
1

tan
u C
 1 u2
du
1

sec
u C
 u u 2 1
2
du
u
 a 2  u 2  sin a  C
du
1 1 u
 a 2  u 2  a tan a  C
du
1 1 u
 u u 2  a 2  a sec a  C
1
52
Contoh
Hitunglah 
Substitusi
ex
1 e
2x
dx
u  e x , du  e x dx

ex
1  e2 x
dx  
du
1 u2
 sin 1 u  C  sin 1 (e x )  C
53
Latihan
1. Carilah dy/dx dari
a. y  sin 1 ( x 3 )
1
x
y

sec
(
e
)
b.
c. sin 1 ( xy)  cos 1 x  y 
x
e
2. a.
dx
 1 e
3
b. 
1
2x
dx
x  x  1
54