Momentum Linear dan Tumbukan

Mekanika
VII. MOMENTUM LINEAR DAN TUMBUKAN
1. PUSAT MASSA
Dalam gerak translasi, tiap titik pada benda mengalami pergeseran yang sama dengan
titik lainnya sepanjang waktu, sehingga gerak dari salah satu partikel dapat
menggambarkan gerak seluruh benda. Tetapi, walaupun di dalam geraknya, benda juga
berotasi atau bervibrasi, akan ada satu titik pada benda yang bergerak serupa dengan
gerak partikel, titik tersebut disebut pusat massa.
m1
m2
mn
x1
x2
xn
Misalkan terdapat n buah partikel dengan massa masing-masing, m1, m2, ..., mn,
sepanjang garis lurus dengan jarak dari titik asal masing-masing x1, x2, ..., xn
didefinisikan mempunyai koordinat pusat massa :
m1x1 + m2x2 + ... + mn xn
m1 + m2, + ... + mn
 mixi
 mi
 mixi
M
Dengan cara yang sama bila partikel terdistribusi dalam 3 dimensi (ruang), koordinat
pusat massanya adalah
 mixi
M
 miyi
M
 mizi
M
Untuk benda pejal, misalkan bola, silinder dsb, dianggap benda tersebut tersusun atas
partikel-partikel yang terdistribusi secara kontinu. Bila benda terbagi menjadi n buah
elemen dengan massa masing-masing m dan untuk m
0 koordinat pusat
massanya :
37
Mekanika
 mixi
 mi
 x dm
 dm
 x dm
M
 miyi
 mi
 y dm
 dm
 y dm
M
 mizi
 mi
 z dm
 dm
 z dm
M
2. GERAK PUSAT MASSA
Terdapat sekumpulan partikel dengan massa masing-masing : m1, m2 , ... , mn dengan
massa total M. Dari teori pusat massa diperoleh :
M rpm = m1r1 + m2r2 + ... + mn rn
dengan rpm adalah pusat massa susunan partikel tersebut.
Bila persamaan tersebut dideferensialkan terhadap waktu t, diperoleh
M drpm /dt= m1 dr1/dt + m2 dr2/dt + ... + mn drn/dt
M vpm = m1v1 + m2v2 + ... + mn vn
Bila dideferensialkan sekali lagi, diperoleh
M dvpm /dt= m1 dv1/dt + m2 dv2/dt + ... + mn dvn/dt
M apm = m1 a1 + m2 a2 + ... + mn an
Menurut hukum Newton, F = m a, maka F1 = m1 a1, F2 = m2 a2 dst.
F1
F2
Fn
M apm = F1 + F2 + ... + Fn
38
Mekanika
Jadi massa total dikalikan percepatan pusat massa sama dengan jumlah vektor semua
gaya yang bekerja pada sekelompok partikel tersebut. Karena gaya internal selalu
muncul berpasangan (saling meniadakan), maka tinggal gaya eksternal saja
M apm = Feks
Pusat massa suatu sistem partikel bergerak seolah-olah dengan seluruh sistem
dipusatkan di pusat massa itu dan semua gaya eksternal bekerja di titik tersebut.
3. MOMENTUM LINEAR
Untuk sebuah partikel dengan massa m dan bergerak dengan kecepatan v,
didefinikan mempunyai momentum :
p = m v.
Untuk n buah partikel, yang masing, masing dengan momentum p 1, p2 , ... , pn, secara
kesuluruhan mempunyai momentum P,
P = p1 + p2 + ... + pn
P = m1v1 + m2v2 + ... + mn vn
P = M vpm
“Momentum total sistem partikel sama dengan perkalian massa total sistem partikel
dengan kecepatan pusat massanya”.
dP/dt = d(Mvpm)/dt
= M dvpm/dt
dP/dt = M apm
Jadi
Feks = dP/dt
4. KEKEKALAN MOMENTUM LINEAR
Jika jumlah semua gaya eksternal sama dengan nol maka,
dP/dt = 0
39
Mekanika
atau
P = konstan
Bila momentul total sistem P = p1 + p2 + ... + pn, maka
p1 + p2 + ... + pn = konstanta = P0
Momentum masing-masing partikel dapat berubah, tetapi momentum
konstan.
sistem tetap
5. SISTEM DENGAN MASSA BERUBAH
t + t
t
M
M
v
u
M - M
v + v
Sebuah sistem bermassa M dengan pusat massa bergerak dengan kecepatan v. Pada
sistem bekerja gaya eksternal Feks.
Selang waktu t sistem melepaskan massaM yang pusat massanya bergerak dengan
kecepatan u terhadap pengamat dan massa sistem berubah menjadi M - M dan
kecepatannya menjadi v + v.
Dari hukum Newton,
Feks = dP/dt
Feks  P/t = (Pf -Pi)/ t
dengan Pi adalah momentum mula-mula = M v, dan
Pf adalah momentum akhir = (M - M) (v + v) + M u
Feks  [{(M - M) (v + v) + M u} - M.v ] /t
Feks = M v/t + [ u - (v + v) ] M/t
Untuk v 0,
v/t  dv/dt
M/t  - dM/dt
v  0
maka
Feks = M dv/dt + v dM/dt - u dM/dt
atau
Feks = d(Mv)/dt - u dM/dt
40
Mekanika
atau
Feks = M dv/dt + (v - u) dM/dt
M dv/dt = Feks + (u - v) dM/dt
dimana (u - v) merupakan kecepatan relatif massa yang ditolakkan terhadap benda
utamanya.
M dv/dt = Feks + vrel dM/dt
Untuk kasus roket, vrel dM/dt merupakan daya dorong roket.
6. IMPULS dan MOMENTUM
Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul, tongkat
bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada
waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada bola. Gaya yang cukup
besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini disebut gaya impulsif.
v’
v
Perubahan gaya impulsif terhadap waktu ketika terjadi tumbukan :
F(t)
Fr
t
t
Tampak bahwa gaya impulsif tersebut tidak konstan. Dari hukum ke-2 Newton diperoleh
F = dp/dt
41
Mekanika
tf
pf
 F dt =  dp
ti
pi
tf
I =  F dt = p = Impuls
ti
Dilihat dari grafik tersebut, impuls dapat dicari dengan menghitung luas daerah di
bawah kurva F(t) (yang diarsir). Bila dibuat pendekatan bahwa gaya tersebut konstan,
yaitu dari harga rata-ratanya, Fr , maka
I = Fr t = p
Fr = I /t =p/t
“ Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel “.
7. KEKEKALAN MOMENTUM DALAM TUMBUKAN
F12
F21
m1
m1
m2
Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat bertumbukan kedua partikel saling
memberikan gaya (aksi-reaksi), F12 pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F21 pada partikel
2 oleh partikel 1.
Perubahan momentum pada partikel 1 :
tf
p1=  F12 dt = Fr12 t
ti
Perubahan momentum pada partikel :
tf
p2 =  F21 dt = Fr21 t
ti
Karena F21 = - F12 maka Fr21 = - Fr12
oleh karena itu
p1 = - p2
42
Mekanika
Momentum total sistem : P = p1 + p2 dan perubahan momentum total sistem :
P = p1 + p2 = 0
“Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidak mengubah
momentum total sistem”.
Catatan : selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gaya gesek) sangat kecil
dibandingkan dengan gaya impulsif, sehingga gaya eksternal tersebut dapat diabaikan.
8. TUMBUKAN SATU DIMENSI
Tumbukan biasanya dibedakan dari kekal-tidaknya tenaga kinetik selama proses. Bila
tenaga kinetiknya kekal, tumbukannya bersifat elstik. Sedangkan bila tenaga kinetiknya
tidak kekal tumbukannya tidak elastik. Dalam kondisi setelah tumbukan kedua benda
menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik sempurna.
8.1. Tumbukan elastik
sebelum
m1
m2
v1
m1
v2
sesudah
m2
v’1
v’2
Dari kekekalan momentum :
m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2
Dari kekekalan tenaga kinetik :
1/2 m1 v12 + 1/2m2 v22 = 1/2m1v’12 + 1/2 m2v2’2
Dan diperoleh : v1 - v2 = v’2 - v’1
8.2. Tumbukan tidak elastik
Dari kekekalan momentum :
m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2
Kekekalan tenaga mekanik tidak berlaku, berkurang/bertambahnya tenaga mekanik ini
berubah/berasal dari tenaga potensial deformasi (perubahan bentuk).
Dari persamaan ketiga tumbukan elastis dapat dimodifikasi menjadi :
43
Mekanika
v1 - v2
v’1 - v’2
e : koefisien elastisitas,
e = 1 untuk tumbukan elastis
0 < e < 1 untuk tumbukan tidak elastis
e = 0 untuk tumbukan tidak elastis sempurna
8.3. Tumbukan tidak elastis sempurna.
Pada tumbukan ini setelah tumbukan kedua benda bersatu dan bergerak bersama-sama.
Dari kekekalan momentum :
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2)v’
9. TUMBUKAN DUA DIMENSI
y
v’2
m2
m1
v1
2
1
x
v’1
Dari kekekalan momentum , untuk komponen gerak dalam arah x :
m1 v1 = m1v’1 cos 1+ m2v’2 cos 2
untuk komponen gerak dalam komponen y :
0 = m1v’1 sin 1- m2v’2 sin 2
44
Mekanika
Bila dianggap tumbukannya lenting :
1/2 m1 v12 + 1/2m2 v22 = 1/2m1v’12 + 1/2 m2v2’2
Bila keadaan awal diketahui, masih ada 4 besaran yang tidak diketahui, tetapi
persaamannya hanya 3, oleh karena itu slah satu besaran keadaan akhir harus diberikan.
45