LAB. MANAJEMEN DASAR UKURAN STATISTIK

NAMA
:
NPM
:
KELAS
:
KP
:
TUTOR
:
ASBAR
:
LAB. MANAJEMEN DASAR
vii
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
KATA PENGANTAR
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah, kami panjatkan puji dan syukur ata kehadirat-Nya,
yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah kepada kami. Sehingga kami dapat
menyelesaikan Modul Praktikum Statistika 1 PTA 2016/2017.
Adapun modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum
sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan
pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman mahasiswa dalam
melakukan penelitian-penelitian ekonomi.
Modul ini kami buat dengan usaha semaksimal mungkin agar mendapatkan hasil
yang terbaik. Namun tak lepas dari semua itu, kami menyadari bahwa modul ini jauh
dari sempurna baik dari segi penyusunannya, bahasa, atau dari segi lainnya. Oleh
karena itu dengan sikap terbuka dan lapang dada, kami bersedia membuka pendapat
bagi pembaca yang ingin memberi kritik dan saran bagi makalah kami. Sehingga
kami dapat memperbaiki kesalahan yang terjadi.Dan tentunya kami berharap agar
modul praktikum ini dapat dipergunakan dengan sebaik-baiknya dan dapat
bermanfaat bagi pembaca.
Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih kepada Tim Litbang PTA 2016/2017
Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penyusunan modul
praktikum ini.
Bekasi, 26 Agustus 2016
LAB. MANAJEMEN DASAR
ii
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
TIM LITBANG
TIM LITBANG STATISTIKA 1
PTA 2016/2017
Staff Laboratorium Manajemen Dasar
Penanggung Jawab
Vinnike Hermawanty
Ukuran Statistik
Distribusi Binomial
Distribusi Poisson
Distribusi Binomial
1. Marini Hartina
2. Lukhlu Rafika
3. Ulfah Giti
Nuladani
4. Yusi Nur Awalia
1. Maharani
Kinanti Djuanita
2. Devie Destiarini
3. Fredy Haryo
Saputro
4. Puti Melati
Khalishah
1. Della Novria
Zuari
2. Aulia Safitri
3. Bayu Kurniawan
4. Syintia Bahraini
1. Timotius
Lorenzs
2. Erlita Bebby
Aprilianti
3. Maya Utama NF
4. Sifa Fauziah
Programmer:
Muhammad Mujahid
Riyanto
Programmer:
Dida Adams Arizona
Programmer:
Dida Adams Arizona
Programmer:
Muhammad Mujahid
Riyanto
LAB. MANAJEMEN DASAR
iii
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ________________________________________________ ii
TIM LITBANG STATISTIKA 1 ________________________________________ iii
DAFTAR ISI ________________________________________________________ iv
DAFTAR RUMUS ___________________________________________________ vi
DAFTAR GAMBAR ________________________________________________ vii
MATERI 1 _________________________________________________________ 1
UKURAN STATISTIK _______________________________________________ 1
1.
Pendahuluan ___________________________________________________ 1
2.
Ukuran Pemusatan ______________________________________________ 2
3.
Ukuran Penyebaran _____________________________________________ 9
4.
Contoh Soal __________________________________________________ 11
MATERI 2 ________________________________________________________ 21
DISTRIBUSI BINOMIAL ____________________________________________ 21
1.
Konsep Dasar _________________________________________________ 21
2.
Ciri-ciri Distribusi Binomial _____________________________________ 22
3.
Menentukan Kombinasi _________________________________________ 23
4.
Mencari Probabilitas Menggunakan Distribusi Binomial _______________ 24
5.
Contoh Soal __________________________________________________ 24
MATERI 3 ________________________________________________________ 41
DISTRIBUSI POISSON ______________________________________________ 41
1.
Konsep Dasar Distribusi Poisson __________________________________ 41
LAB. MANAJEMEN DASAR
iv
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DAFTAR ISI
2.
Ciri-Ciri Distribusi Poisson ______________________________________ 41
3.
Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial ________________________ 42
4.
Probabilitas Proses Poisson ______________________________________ 42
5.
Contoh Soal __________________________________________________ 43
MATERI 4 ________________________________________________________ 52
DISTRIBUSI NORMAL _____________________________________________ 52
1.
Pengertian Probabilitas__________________________________________ 52
2.
Definisi dan Konsep Dasar ______________________________________ 52
3.
Menemukan Nilai Z tabel _______________________________________ 54
4.
Kurva Normal_________________________________________________ 56
DAFTAR PUSTAKA
LAB. MANAJEMEN DASAR
71
v
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DAFTAR RUMUS
DAFTAR RUMUS
1.1.
Rumus Rata-Rata Hitung
2
1.2.
Rumus Letak Median 1
3
1.3.
Rumus Letak Median 2
3
1.4.
Rumus Letak Kuartil
4
1.5.
Rumus Jangkauan ( Range )
9
1.6.
Rumus Ragam ( Variance ) Untuk Sampel
9
1.7.
Rumus Ragam ( Variance ) Untuk Populasi
9
1.8.
Rumus Standar Deviasi Untuk Sampel
10
1.9.
Rumus Standar Deviasi Untuk Populasi
10
2.1
Rumus Kombinasi
23
2.2
Rumus Distribusi Binomial
24
3.1
Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial
42
3.2
Rumus Proses Poisson
43
4.1
Rumus Distribusi Normal
53
LAB. MANAJEMEN DASAR
vi
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR GAMBAR
1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander
6
1.2 Gambar New Data Set
7
1.3 Gambar New Data Editor
7
1.4 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set)
8
1.5 Gambar Tampilan Software R-Commander
12
1.6 Gambar New Data Set Contoh Soal 2
13
1.7 Gambar Data Editor Contoh Soal 2
13
1.8 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 2
14
1.9 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise) 2
15
1.10 Gambar Tampilan Software R-Commander
17
1.11 Gambar New Data Set Contoh Soal 3
18
1.12 Gambar Data Editor Contoh Soal 3
18
1.13 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 3
19
1.14 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise) 3
20
2.1 Gambar Tampilan Software R-Commander
26
2.2 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 1
27
2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 1
27
2.4 Gambar Tampilan Software R-Commander
30
2.5 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2
31
2.6 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal
31
2.7 Gambar Tampilan Software R-Commander Contoh Soal 3
34
2.8 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 3
35
2.9 Gambar Tampilan Software R-Commander
37
2.10 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4
38
2.11 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4
38
3.1 Gambar Tampilan Software Rcommander
45
LAB. MANAJEMEN DASAR
vii
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DAFTAR GAMBAR
3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 2
46
3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities)
47
3.4 Gambar Poisson Probabilities
47
3.5 Gambar Output Poisson Probabilities
48
3.6 Gambar Tampilan Software Rcommander
49
3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites
50
3.8 Gambar Poisson Probabilities
50
3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3
51
4.1 Gambar Tampilan Software R-Commander
59
4.2 Gambar Tampilan Software Normal Properties
60
4.3 Tampilan Normal Probabilities Contoh Soal
61
4.4 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 1
61
4.5 Gambar Tampilan Software R-Commander
63
4.6 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities
64
4.7 Tampilan Normal Probabilities Contoh Soal 2
65
4.8 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 2
65
4.9 Gambar Tampilan Software R-Commander
67
4.10 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3
68
4.11 Gambar Tabel Z
69
LAB. MANAJEMEN DASAR
viii
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
MATERI 1
UKURAN STATISTIK
1.
Pendahuluan
Banyak orang yang masih terkecoh dengan pengertian statistika dengan statistik.
Memang terlihat sama, namun memiliki pengertian yang berbeda. Berikut ini akan
dijelaskan mengenai pengertian keduanya. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang
berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan
data, penarikan kesimpulan, dan pembuatan keputusan yang cukup beralasan
berdasarkan fakta yang ada. Sedangkan untuk statistik adalah suatu kesimpulan fakta
berbentuk angka yang disusun dalam bentuk daftar atau tabel yang menggambarkan
suatu persoalan.
Statistika terdiri dari dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika
inferensial. Statistika deskriptif adalah statistika yang menggambarkan kegiatan
berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data
dalam bentuk tabel, grafik ataupun diagram. Statistika inferensial adalah statistika
yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari data yang
telah disusun dan diolah.
Dalam statistika terdapat dua istilah penting, yaitu populasi dan sampel.
Populasi adalah keseluruhan data yang diamati oleh penguji atau dapat dikatakan
populasi adalah keseluruhan objek penelitian yang dapat terdiri dari manusia, benda,
hewan, tumbuhan, gejala, nilai, atau peristiwa sebagai suatu sumber data yang
mewakili karakteristik tertentu dalam suatu penelitian. Sampel adalah bagian dari
populasi yang diteliti oleh penguji yang diharapkan bahwa hasil yang diperoleh akan
memberikan gambaran yang sesuai dengan sifat populasi yang bersangkutan.
Dalam bab ini akan dibahas mengenai dua hal, yakni ukuran pemusatan dan
ukuran penyebaran yang akan dibahas pada bagian berikutnya.
LAB. MANAJEMEN DASAR
1
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
2.
UKURAN STATISTIK
Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan
gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh
data. Ukuran pemusatan memiliki beberapa macam ukuran yang akan dibahas pada
bab ini, yakni Mean ( rata-rata hitung ), median, modus, dan kuartil.
A. Mean (rata-rata hitung)
Rata-rata hitung merupakan ukuran pemusatan yang paling sering digunakan
oleh peneliti untuk menghitung rata-rata dari data karena perhitungannya yang mudah
dipahami. Perhitungan rata-rata dapat digunakan untuk data tunggal dan data
berkelompok. Untuk data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan
seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data. Dan untuk data berkelompok
dapat dihitung dengan cara menjumlahkan hasil perkalian antara nilai dengan
frekuensinya lalu membaginya dengan jumlah frekuensi yang ada.
1.1 Rumus Rata-rata Hitung
sampel
X = ∑Xi
n
Populasi
µ = ∑Xi
N
Data Berkelompok
X = ∑Xi . fi
∑fi
Dimana :
X
= Rata-rata hitung Sampel
µ
= Rata-rata hitung Populasi
Xi
= Nilai dari observasi ke-i
n atau N = Banyaknya observasi ukuran sampel/populasi
fi
= Frekuensi dari observasi ke-i
LAB. MANAJEMEN DASAR
2
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
B. Median
Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan dari data
terkecil hingga data terbesar. Cara mudah untuk mendapatkan nilai tengah dari
suatu data yang belum dikelompokkan adalah dengan menentukan satu titik angka
yang berada ditengah. Akan tetapi, untuk menentukan letak median dapat dibedakan
dengan melihat jumlah data. Untuk data sederhana yang berjumlah ganjil, maka data
yang berada diposisi tengah merupakan nilai median. Sedangkan untuk data
berjumlah genap, maka median diambil dengan rata-rata hitung dua data yang ada
ditengah. Median dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus dibawah ini.
1.2 Rumus Letak Median Untuk Data Ganjil
Me = n + 1
2
1.3 Rumus Letak Median Untuk Data Genap
Me = n + n + 1
2
2 2
2
Dimana :
Me
= Letak Median
n
= Jumlah data
LAB. MANAJEMEN DASAR
3
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
C. Modus
Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang
frekuensinya paling besar. Modus memiliki beberapa jenis dan tergantung pada ada
tidaknya modus pada data.
1. Jika tidak terdapat modus atau data dengan jumlah terbanyak, maka disebut
Amodus. Biasanya terdapat pada data yang memiliki frekuensi sama disetiap
datanya.
2. Jika terdapat satu modus, maka disebut modus atau monomodus.
3. Jika terdapat dua modus, maka disebut bimodus.
4. Jika terdapat lebih dari dua modus, maka disebut multi-modus.
D. Kuartil
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat
bagian yang sama besar. Nilai kuartil dari sebuah data dapat ditentukan jika data
tersebut sudah diurutkan dari nilai terendah hingga nilai tertinggi.
25%
25%
Q1
25%
Q2
25%
Q3
1.4 Rumus Letak Kuartil
Letak Kuartil = i ( n + 1 )
4
Dimana :
i
= 1, 2, 3
Q1 = Kuartil Bawah
Q2 = Kuartil Tengah
Q3 = Kuartil Atas
LAB. MANAJEMEN DASAR
4
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
n
UKURAN STATISTIK
= jumlah data
Contoh soal
1. Sebuah dealer motor memiliki data penjualan per bulan. Berikut ini
adalah data penjualan untuk 11 bulan terakhir, yaitu 10, 50, 65, 70, 77,
51, 66, 55, 60, 50, 57. Carilah rata-rata penjualannya, median, modus dan
berapakah kuartil Q1, Q2, Q3! Dan analisislah !
Dik
: 10, 50, 50, 51, 55, 57, 60, 65, 66, 70, 77
Dit
: Mean, Median, Modus, Q1, Q2, Q3
Jawab :
1. x = ∑Xi
n
= 10 + 50 +50 + 51 + 55 + 57 + 60 + 65 + 66 + 70 + 77
11
= 55,55
2. Me = n + 1 = 11 + 1 = 6 , data ke-6 = 57
2
2
3. Modus = 50
4. Letak kuartil 1 = i ( n + 1 ) = 1 ( 11 + 1 ) = 3. Data ke 3 = 50
4
4
5. Letak kuartil 2 = i ( n + 1 ) = 2 ( 11 + 1 ) = 6. Data ke 6 = 57
4
4
6. Letak kuartil 3 = i ( n + 1 ) = 3 ( 11 + 1 ) = 9. Data ke 9 = 66
4
4
Analisis: Jadi, rata-rata penjualan per bulan dealer motor sebesar 55,55
dengan median sebesar 57, modus sebesar 50 serta Q1= 50 ; Q2= 57 ; Q3 = 66.
LAB. MANAJEMEN DASAR
5
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander,
berikut ini adalah langkah-langkahnya:
1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti
berikut.
1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander
2. menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK.
LAB. MANAJEMEN DASAR
6
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
1.2 Gambar New Data Set
3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat
dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var
1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ).
1.3 Gambar Data Editor
LAB. MANAJEMEN DASAR
7
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu
summaries, lalu pilih Active data set.
1.4 Gambar Hasil Software R-Commander
LAB. MANAJEMEN DASAR
8
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
3.
UKURAN STATISTIK
Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar
nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau
seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Ukuran
penyebaran yang akan dibahas pada bab ini adalah Jangakauan ( range ), ragam (
variance ), dan standar deviasi.
A. Jangkauan (Range)
Range merupakan ukuran penyebaran yang paling sederhana dan paling mudah
untuk menentukan nilainya. Range didefinisikan sebagai selisih antara nilai
maksimum dan minimum yang terdapat dalam data.
1.5 Rumus Jangkauan (Range)
R = Xmax – Xmin
Dimana :
R
= Range ( jangkauan )
Xmax = Nilai Tertinggi Dari Suatu Data
Xmin
= Nilai Terendah Dari Suatu Data
B. Ragam (Variance)
Ragam mengukur variasi data terhadap rataan hitungnya. Dirumuskan sebagai
rata-rata dari jumlah kuadrat penyimpangan setiap nilai data terhadap rataan hitung
data.
1.6 Rumus Ragam Untuk Sampel
1.7 Rumus Ragam untuk Populasi
S2 = ∑(Xi – X)2
n–1
LAB. MANAJEMEN DASAR
σ2 = ∑(Xi – µ)2
N
9
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
Dimana :
S2
= Varians ( Sampel )
σ2
= Varians ( Populasi )
Xi
= Nilai Observasi Sampai Dengan Ke-i Pada Sampel
n
= Jumlah Data Pada Sampel
N
= Jumlah Data Pada Populasi
X
= Rata-Rata Pada Sampel
µ
= Rata-Rata Pada Populasi
C. Standar Deviasi
Standar Deviasi atau biasa disebut simpangan baku merupakan ukuran
penyebaran data yang paling sering digunakan. Standar deviasi menunjukkan
tingkat penyimpangan setiap nilai data terhadap rataan hitungnya, yang secara
matematis merupakan akar kuadrat dari ragam. Semakin besar penyimpangan
data terhadap pusatnya, semakin besar pula nilai dari standar deviasi.
1.8 Rumus Standar Deviasi Sampel
1.9 Rumus Standar Deviasi Populasi
S = √ S2
σ = √ σ2
Dimana :
S
= Standar Deviasi Pada Sampel
S2 = Varians Pada Sampel
σ
= Standar Deviasi Pada Populasi
σ2 = Varians Pada Populasi
LAB. MANAJEMEN DASAR
10
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
Dari penjelasan diatas mengenai ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran dapat
dibedakan bahwa ukuran pemusatan merupakan ukuran statistik yang menyatakan
bahwa satu nilai tunggal dapat mewakili keseluruhan distribusi nilai yang sedang
diteliti. Sedangkan ukuran penyebaran merupakan ukuran yang menyatakan seberapa
banyak nilai-nilai data berbeda dengan nilai pusatnya atau seberapa jauh
penyimpangan nilai-nilai data dari nilai pusatnya atau biasa juga disebut sebagai
ukuran penyimpangan ( measurement of dispertion ).
4.
Contoh Soal
2. ( Dengan Kasus yang sama dengan ukuran pemusatan )
Sebuah dealer motor memiliki data penjualan untuk 11 bulan terakhir,
yaitu 10, 50, 65, 70, 77, 51, 66, 55, 60, 50, 57. Tentukanlah Range,
Varians, dan Standar Deviasinya!
Dik
: 10, 50, 50, 51, 55, 57, 60, 65, 66, 70, 77
Dit
: R, s2, s ?
Jawab :
1. Range = Xmax – Xmin = 77 – 10 = 67
2. S2 = ∑(Xi – X)2
n–1
= ( 10 – 55,55 )2 + ( 50 – 55,55 )2 + ( 50 – 55,55 )2 +
( 51 – 55,55) + ( 55 – 55,55 )2 + ( 57 – 55,55 )2 +
( 60 – 55,55 )2 + ( 65 -55,55)2 + ( 66 – 55,55 )2 +
( 70 – 55,55 )2 + ( 77 – 55,55 )2 / ( 11- 1)
= 304,67
3. S = √ S2 = √ 304,67 = 17,45
Analisis : Jadi, dari data penjualan per bulan dealer motor tersebut diperoleh
jangkauan sebesar 67, varians sebesar 304,67 , dan standar deviasi sebesar 17,45.
LAB. MANAJEMEN DASAR
11
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander,
berikut ini adalah langkah-langkahnya:
1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti
berikut.
1.5 Gambar Tampilan Software R-Commander
2. Pilih menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK.
LAB. MANAJEMEN DASAR
12
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
1.6 Gambar New Data Set Contoh Soal 2
3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat
dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var
1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ).
1.7 Gambar Data Editor Contoh Soal 2
4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu
summaries, lalu pilih Active data set.
LAB. MANAJEMEN DASAR
13
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
1.8 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 2
5. lalu pilih menu statistics, pilih summaries, pilih numerical summarise, maka
akan muncul tampilan berikut.
LAB. MANAJEMEN DASAR
14
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
1.9 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summaries) 2
Jadi, untuk hasil software dapat dilihat nilai range 67 (max-min), standar deviasi
17,45 (sd).
LAB. MANAJEMEN DASAR
15
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
3. Tentukan mean, modus, dan jangkauan dari data pada tabel dibawah ini !
Skor ( x )
100
550
650
700
Frekuensi
5
6
7
1
Dik
Dit
: x1 = 100
f1 = 5
X2 = 550
f2 = 6
X3 = 650
f3 = 7
X4 = 700
f4 = 1
: x , modus, median, dan jangkauan
Jawab :
X= ∑Xi . fi
∑fi
= ( 100 x 5 ) + ( 550 x 6 ) + ( 650 x 7 ) + ( 700 x 1 )
19
= 9050
19
= 476,32
Modus = 650
Median = n + 1 = 19 + 1 = 10 , data ke-10 = 550
2
2
Jangkauan = Xmax – Xmin = 700 – 100 = 600
Analisis : Jadi, dari data tersebut diperoleh mean = 476,32 ; modus =
650; median = 550; dan jangkauan = 600.
LAB. MANAJEMEN DASAR
16
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander,
berikut ini adalah langkah-langkahnya:
1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti
berikut.
1.10
Gambar Tampilan Software R-Commander
2. Pilih menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK.
LAB. MANAJEMEN DASAR
17
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
1.11
Gambar New Data Set Contoh Soal 3
3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat
dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var 1.
Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ).
1.12
LAB. MANAJEMEN DASAR
Gambar Data Editor Contoh Soal 3
18
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu
summaries, lalu pilih Active data set.
1.13
Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 3
LAB. MANAJEMEN DASAR
19
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
UKURAN STATISTIK
5. Lalu pilih menu statistics, pilih summaries, pilih numerical summarise,
maka akan muncul tampilan berikut.
1.14 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summaries) 3
Jadi, untuk hasil software dapat dilihat nilai mean 476,32 (pembulatan), Median
550, dan jangkauan 600 (max-min)
LAB. MANAJEMEN DASAR
20
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
MATERI 2
DISTRIBUSI BINOMIAL
1. Konsep Dasar
Distribusi Binomial merupakan distribusi probabilitas dengan data
diskrit yang biasa diterapkan pada beberapa peristiwa. Distribusi ini ditemukan
oleh Jacob Bernoulli, sehingga, Distribusi Binomial sering disebut juga
Distribusi Bernoulli.
Biasanya distribusi ini digunakan pada beberapa eksperimen dengan
tujuan tertentu. Setiap eksperimen akan menghadapi 2 hasil, yaitu (a) tujuan
tercapai atau (b) tujuan tidak tercapai. Dalam hal ini kita berhadapan dengan 2
sisi kemungkinan.
Misalnya, kita mengajar dengan menggunakan metode A dengan tujuan
siswa akan memiliki pengetahuan lebih baik dari pada biasanya (menggunakan
metode konvensional).
Hasil percobaan metode A mengandung 2 kemungkinan:
a. Kemungkinan pertama : tujuan tercapai (siswa yang diajar dengan metode
A memiliki pengetahuan lebih baik dari pada menggunakan metode
konvensional)
b. Kemungkinan kedua : tujuan tidak tercapai (siswa yang diajar dengan
metode A tidak memiliki pengetahuan lebih baik dari pada sebelumnya /
menggunakan metode konvensional)
Jadi, setiap eksperimen mengandung 2 kemungkinan: “berhasil” (p) atau
“gagal” (q).
Distribusi Binomial memiliki syarat dalam penggunaannya, yaitu
- Besar sampel (n) < 20 (kurang dari 20)
- Nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0,05
LAB. MANAJEMEN DASAR
21
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
Perlu kita ingat, popolasi merupakan kumpulan dari seluruh objek/ elemen yang
di teliti, sedangkan sampel adalah bagian dari populasi.
2. Ciri-ciri Distribusi Binomial
Pada umumnya, distribusi binomial memiliki cirri-ciri sebagai berikut
1.
Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap
2.
Setiap eksperimen dikategorikan menjadi “berhasil” dan “gagal”.
Dalam aplikasinya harus jelas apa yang dimaksud sukses tersebut
- Lulus (sukses)
, tidak lulus (gagal)
- Senang (sukses)
, tidak senang (gagal)
- Setuju (sukses)
, tidak setuju (gagal)
- Puas (sukses)
, tidak puas (gagal)
- Barang bagus (sukses)
, barang rusak (gagal)
Peluang sukses disimbolkan dengan p dan peluang gagal
disimbolkan dengan q sehingga p + q= 1
Untuk lebih mudah membedakan, kejadian yang menjadi pertanyaan
atauun ditanyakan
dari suatu permasaahan bisa dikategorikan
sebagai kejadian “sukses atau berhasil”
3.
Probabilitas suksesnya sama pada setiap eksperimen (percobaan)
4.
Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya hasil
eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen yang lain
Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan symbol yang tepat, misalnya
-
Kurang dari ( < )
-
Lebih dari ( > )
-
Kurang dari sama dengan, paling banyak, sebanyak – banyaknya,
maksimal (
-
)
Lebih dari sama dengan , paling sedikit, sekurang – kurangnya,
minimal, sedikitnya (
LAB. MANAJEMEN DASAR
)
22
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
3. Menentukan Kombinasi
Probabilitas dalam distribusi binomial berkaitan dengan kombinasi,
adapun rumus dari kombinasi adalah sebagai berikut :
2.1. Rumus Kombinasi.
n Cx 
dimana:
n!
(n  x)! x!
C = kombinasi
n = banyaknya kejadian
x = banyak kejadian yang ingin kita cari
! (dibaca faktorial) merupakan perhitungan kelipatan, misalnya:
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
0! hasilnya adalah 1
1! hasilnya adalah 1
Contoh: Tuan Fredy seorang penjual daging segar mengatakan bahwa diantara
seluruh daging yang dikemas rapi, ada yang rusak. Suatu hari ada seorang
pembeli yang ingin membeli 3 buah daging lalu memilihnya secara acak. Berapa
jumlah kombinasi terpilihnya 2 daging segar?
Jawab:
n=3
x=2
n
Cx 
3 C2
=
3 C2
=
n!
(n  x)! x!
=
=3
Dengan demikian, jumlah kombinasi terpilihnya 2 daging segar adalah 3.
Kalau kita mengurutkan beberapa kombinasi yang mungkin muncul dari contoh
soal diatas, maka kombinasi tersebut adalah:
LAB. MANAJEMEN DASAR
23
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
DS DS DS
DB DB DB
DS DS DB
DB DB DS
DS DB DS
DB DS DB
DS DB DB
DB DS DS
Kita juga bisa menggunakan kalkulator scientific untuk menyelesaikan contoh
soal diatas, caranya adalah:
Tekan 3
tekan nCr maka akan muncul huruf C pada layar
lalu tekan 2
lalu tekan =
4. Mencari Probabilitas Menggunakan Distribusi Binomial
Untuk menghitung probabilitas distribusi binomial kita menggunakan (1)
banyaknya percobaan, dan (2) probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan.
Probabilitas binomial dihitung melalui rumus :
2.2. Rumus Distribusi Binomial.
P( X )  B( x; n, p) n Cx p x q n x
dimana:
C = kombinasi
n = banyaknya kejadian
p = probabilitas keberhasilan dalam sekali perlakuan (p = 1 – q)
q = probabilitas kegagalan dalam sekali perlakuan (q = 1 – p)
x = banyak kejadian yang ingin kita cari
5. Contoh Soal
1. Wan Gi adalah pemilik toko parfum, ia melakukan pengamatan minat dari
pembelinya apakah aroma bunga atau aroma kayu-kayuan yang diminati.
Hasilnya 66% pelanggan memilih aroma bunga, sisanya memilih aroma
LAB. MANAJEMEN DASAR
24
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
kayu-kayuan. Apabila ditanyakan pada 15 pembeli, berapa probabilitas
ada 6 pembeli yang menyukai aroma bunga?
Diketahui :
p = 66%
= 0,66
q = 1-0,66
= 0,34
n = 15
x=6
Ditanya : P (X = 6)
Jawab :
Jumlah sampel 15, berarti anggotanya 1 sampai 15
Karena P(x=6), jadi nilai x nya hanya 6
B (x;n;p)
= nCx px qn-x
B (6;15;0,66)
= 15C6 (0,66)6 (0,34)15-6
= 5.005 (0,08265395) (0,00006071699)
= 0,025117588
= 2,51 %
Analisis : Jadi, probabilitas ada 6 pembeli yang memilih aroma bunga
adalah 2,51 %
Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander,
berikut adalah langkah-langkahnya :
 Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti
dibawah ini :
LAB. MANAJEMEN DASAR
25
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.1 Gambar Tampilan Software R-Commander
Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution
>> Binomial probabilities
 Input angka sesuai dengan soal
 Binomial trial = 15 (sebagai nilai n),
 Probabilities of success = 0,66 (sebagai peluang berhasil)
 Kemudian klik OK
LAB. MANAJEMEN DASAR
26
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.2 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 1
 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas probabilitas ada 6
pembeli yang memilih aroma bunga adalah 2,51%
2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 1
LAB. MANAJEMEN DASAR
27
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
Hasil output software diatas adalah 2,511759e-02 ( = 0,02511759 )
maksudnya adalah 2,5117591 x 10-02
2
Berdasarkan penelitian yang dilakukan pada 2EB41, diketahui 65%
mahasiswa dikelas tersebut sudah pernah bekerja. Sedangkan sisanya
belum pernah bekerja, apabila ditanyakan pada 16 mahasiswa di kelas
tersebut, berapa sekurang-kurangnya ada 5 mahasiswa yang sudah pernah
bekerja?
Diketahui :
p = 65%
= 0,65
q = 1- 0,65
= 0,35
n = 16
x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
Ditanya : P (X ≥ 5)
Jawab :
Jumlah sampel 16, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16
Karena (x ≥ 5), jadi nilai x nya adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16
{(x=5) + (x=6) + …..+ (x=16)}, atau (1-{(x=0) + (x=1) +…..+ (x=4)})
B (x;n;p)
= nCx px qn-x
B (0;16;0,65)
= 16C0 (0,65)0 (0,35)16-0
= 1 (1) (0,0000000507942775)
= 0,0000000507942775
B (1;16;0,65)
= 16C1 (0,65)1 (0,35)16-1
= 16 (0,65) (0,0000001448840793)
= 0,000001506794425
B (2;16;0,65)
= 16C2 (0,65)2 (0,35)16-2
= 120 (0,4225) (0,0000004139545122)
LAB. MANAJEMEN DASAR
28
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
= 0,00002098749377
B (3;16;0,65)
= 16C3 (0,65)3 (0,35)16-3
= 560 (0,274625) (0,000001182727178)
= 0,0001818916127
B (4;16;0,65)
= 16C4 (0,65)4 (0,35)16-4
= 1.820 (0,17850625) (0,000003379220508)
= 0,001097845805
P (X ≥ 5)
= (1-{(x=0) + (x=1) +…..+ (x=4)})
= 1- (0,0000000507942775 + 0,000001506794425 +
0,00002098749377 + 0,0001818916127 +
0,001097845805)
= 1- 0,0013022825
= 0,998677717
= 99,87%
Analisis : Jadi, nilai probabilitas sekurang-kurangnya 5 mahasiswa yang
sudah pernah bekerja adalah 99,87%
Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander,
berikut adalah langkah-langkahnya :
 Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti
dibawah ini :
LAB. MANAJEMEN DASAR
29
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.4 Gambar Tampilan Software R-Commander
Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution
>> Binomial tail probabilities
 Input angka sesuai dengan soal
 Variable value (s)* = 4, jika yang ditanyakan ≥ v, maka Variable
value yang diinput pada software adalah v – 1
 Binomial trial = 16 (sebagai nilai n)
 Probabilities of success = 0,65 (sebagai peluang berhasil)
 Setelah itu pilih Upper tail, kemudian klik OK
LAB. MANAJEMEN DASAR
30
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.5 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2
 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas sekurangkurangnya 5 mahasiswa yang sudah pernah bekerja adalah 99,87%
2.6 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2
LAB. MANAJEMEN DASAR
31
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
CATATAN:
Untuk penginputan Variabel Value pada software memiliki beberapa
ketentuan, diantaranya:
3

Jika yang ditanyakan ≥ v, maka angka yang diinput adalah v – 1

Jika yang ditanyakan > v, maka angka yang diinput adalah v + 1

Jika yang ditanyakan ≤ v, maka angka yang diinput adalah v

Jika yang ditanyakan < v, maka angka yang diinput adalah v – 1
Dilakukan penelitian di kelas 2EA30 tentang mahasiswa untuk
menggunakan laptop Acer atau Hp. Dari penelitian tersebut dihasilkan
76% mahasiswa lebih memilih menggunakan laptop Acer, sedangkan
sisanya memilih menggunakan laptop Hp. Apabila ditanyakan kepada 16
orang mahsiswa. Berapakah probabilitas ada 1 orang sampai 5 orang
mahasiswa yang memilih menggunakan laptop Acer?
Diketahui :
p = 76%
= 0.76
q = 24%
= 0.24
n = 16
x = 1, 2, 3, 4, 5
Ditanya: P (1 ≤ x ≤ 5)
Jawab:
Jumlah sample sebanyak 16 orang, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Karena (1 ≤ x ≤ 5), jadi nilai x nya adalah 1 sampai 5
{(x = 1) + (x = 2) + ..... + (x = 5)}
B (x;n;p)
= nCx px qn-x
B (1;16;0.76)
= 16C1 (0,76)1 (0,24)16-1
= 16 (0,76) (0,000000000504857283)
LAB. MANAJEMEN DASAR
32
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
= 0,000000006139064561
B (2;16;0.76)
= 16C2 (0,76)2 (0,24)16-2
= 120 (0,5776) (0,000000002103572012)
= 0,0000001458027833
B (3;16;0.76)
= 16C3 (0,76)3 (0,24)16-3
= 560 (0,438976) (0,000000008764883385)
= 0,000002154641131
B (4;16;0.76)
= 16C4 (0,76)4 (0,24)16-4
= 1.820 (0,33362176) (0,00000003652034744)
= 0,00002217484831
B (5;16;0.76)
= 16C5 (0,76)5 (0,24)16-5
= 4.368 (0,5625) (0,0000001521681143)
= 0,0001685288471
P (1 ≤ x ≤ 5)
= {(x = 1) + (x = 2) + (x = 3) + (x = 4) + (x = 5)}
= 0,000000006139064561 + 0,0000001458027833 +
0,000002154641131 + 0,00002217484831 +
0,0001685288471
= 0,0001930102784
= 0,019%
Analisis : Jadi, nilai probabilitas ada 1 orang sampai 5 orang mahasiswa
yang memilih menggunakan laptop Acer adalah sebesar 0,019 %
Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander,
berikut adalah langkah-langkahnya :
 Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan
software, kemudian input peritah mencari probabilitas binomial pada script
window
sum(dbinom(x,n,p))
LAB. MANAJEMEN DASAR
33
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
Untuk no. 3, tuliskan seperti ini:
sum(dbinom(1:5,16,0.76))
2.7 Gambar Tampilan Software R-Commander Contoh Soal 3
 Block semua yang ada pada script window, lalu klik submit maka pada
output window akan muncul probabilitas ada 1 sampai 5 mahasiswa yang
memilih menggunakan laptop Acer adalah sebesar 0,019 %
LAB. MANAJEMEN DASAR
34
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.8 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 3
4
Berdasarkan data yang diperoleh dari Kantor Maju Terus, diketahui 50%
pegawainya lebih memilih naik mobil pribadi saat pergi ke kantor,
sedangkan sisanya memilih naik angkutan umum. Apablia ditanyakan
Kepada 5 orang pegawai, berapakah probabilitas paling banyak 1 pegawai
yang memilih naik mobil pribadi ?
Diketahui :
p = 50%
= 0,5
q = 1 – 0,5
= 0,5
LAB. MANAJEMEN DASAR
35
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
n=5
x = 0 dan 1
Ditanya : P (x
1)
Jawab :
Jumlah sampel 17, berarti anggotanya 0 sampai 17
Karena (x
1), jadi nilai x nya adalah 0 dan 1
{(x=0) + (x=1)} atau {1 – ((x=2) + (x=3) +....+ (x=17))}
B(x;n;p) = nCx px qn-x
B(0;5;0,5) = 5C0 (0,5)0 (0,5)5-0
= 1 (1) (0,03125)
= 0,03125
B(1;5;0,5) = 5C1 (0,5)1 (0,5)5-1
= 5 (0,5) (0,0625)
= 0,15625
P (x
1) = {(x=0) + (x=1)}
= 0,03125 + 0,15625
= 0,1875
= 18,75%
Analisis : Jadi, nilai probabilitas paling banyak 1 pegawai yang memilih
naik mobil pribadi adalah sebesar 18,75%
Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander,
berikut adalah langkah-langkahnya :
 Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti
dibawah ini :
LAB. MANAJEMEN DASAR
36
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.9 Gambar Tampilan Software R-Commander
Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution
>> Binomial probabilities
 Input angka sesuai dengan soal
 Variable value (s) = 1 jika yang ditanyakan
v, maka Variable value
yang diinput pada software adalah v
 Binomial trial = 5 (sebagai nilai n)
 Probabilities of success = 0,5 (sebagai peluang berhasil)
 Setelah itu pilih Lower tail, kemudian klik OK
LAB. MANAJEMEN DASAR
37
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.10 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4
 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas paling banyak 1
pegawai yang memilih naik mobil pribadi adalah sebesar 18,75%
2.11 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4
LAB. MANAJEMEN DASAR
38
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
MATERI 3
DISTRIBUSI POISSON
1. Konsep Dasar Distribusi Poisson
Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon Denis
Poisson. Distribusi ini merupakan suatu distribusi probabilitas yang menjelaskan
berapa kali atau berapa kemungkinan sebuah kejadian terjadi selama interval tertentu.
Interval tersebut dapat berupa waktu, jarak, luas, atau volume. Distribusi poisson
masuk kedalam distribusi probabilitas diskret acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3
dan seterusnya.
Distribusi poisson tidak hanya menjelaskan kejadian dalam proses Poisson saja,
akan tetapi distribusi ini dapat juga digunakan sebagai penaksiran untuk distribusi
binomial.
Berikut adalah beberapa contoh percobaan yang membentuk Distribusi Poisson:

Banyaknya barang yang rusak dalam satu kali proses produksi

Jumlah kendaraan yang terjual setiap tahun

Jumlah pasien per bulan yang datang ke puskesmas
2. Ciri-Ciri Distribusi Poisson
Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah data tersebut termasuk dalam kriteria
Distribusi Poisson atau tidak. Adapun ciri-ciri tersebut adalah:

Variabel acaknya adalah berapa kejadian yang terjadi selama interval waktu
tertentu

Interval-interval nya saling bebas, tidak berpengaruh ke interval lain

Jumlah total percobaan n sangat besar, dan probabilitas sukses p sangat kecil
LAB. MANAJEMEN DASAR
41
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
3. Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial
Distribusi poisson juga merupakan suatu bentuk distriusi binomial yang terbatas
ketika probabilitas sebuah kejadian sukses sangat kecil, dan nilai n sangat besar.
Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan
rumus sebagai berikut:
3.1 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial
P(x ; µ) =
Dimana:
e
= konstanta yang nilainya 2,71828
µ
= rata-rata keberhasilan (n.p)
x
= banyaknya unsur berhasil dalam sampel
n
= banyaknya kejadian/banyaknya percobaan
4. Probabilitas Proses Poisson
Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi.
Sebagai ilustrasi, misalkan kita tertarik mengetahui jumlah telpon yang diterima cs
bank setiap jam nya. Ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan
jumlah telpon yang masuk dalam interval waktu, jika prosesnya mempunyai
karakteristik sebagai berikut:
1. Jumlah telpon yang masuk rata-rata setiap unit waktu adalah konstant. Dalam
ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika jumlah telpon yang masuk rata–rata
untuk periode jam adalah 10 telpon setiap jam, maka tingkat ini
melambangkan interval waktu: yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata–
rata yaitu contoh 5 telpon untuk setiap ½ jam.
2. Jumlah telpon yang masuk pada interval waktu tidak bergantung pada apa
yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat
LAB. MANAJEMEN DASAR
42
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
berarti bahwa kesempatan dari telpon di jam berikutnya adalah sama, tidak
lebih besar atau lebih kecil.
3. Semakin pendek interval, maka semakin mendekati nol probabilitas jumlah
telpon yang masuk. Dalam ilustrasi tadi, berarti bahwa adalah tidak mungkin
untuk lebih dari satu telpon yang masuk dalam waktu satu detik.
Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson
digunakan rumus sebagai berikut:
3.2 Rumus Proses Poisson
P(x) =
Dimana:
t
= jumlah unit waktu
λ
= tingkat rata-rata telpon yang masuk setiap unit waktu
x
= jumlah telpon yang masuk dalam t unit waktu
5. Contoh Soal
1. Jika rata-rata kedatangan bus tujuan Bandung adalah 10 bus per jam. Berapakah
probabilitas dalam interval waktu 50 menit dan ada 5 bus yang akan datang?
Gunakanlah proses poisson!
Diketahui
:
= 10/jam
t =
= 0,83
x=5
Ditanya
: P untuk x = 5 ?
Dijawab
: P (x) =
P (x) =
LAB. MANAJEMEN DASAR
43
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
P (x) =
P (x) = 0,08 (8%)
Analisis
: Jadi besarnya probabilitas dalam interval waktu 50 menit
dan ada 5 bus yang akan datang adalah 0,08 atau 8 %.
2. Seorang pembuat roti membuat roti-roti untuk dijual. Roti yang akan dibuat
berjumlah 60 buah. Pembuat roti ini memperkirakan akan ada 5% dari jumlah roti
yang akan gagal dibuat atau tidak terpanggang sempurrna, maka berapakah
probabilitas 10 roti yang akan gagal atau tidak terpanggang sempurna?
Diketahui
: n = 60
P = 5% = 0,05
Ditanya
: P untuk x = 10 ?
Dijawab
: 𝜇 = n . p = 60 . 0,05 = 3
P(x;𝜇)=(
.
)/x!
P (10 ; 3 ) = (
.
) / 10 !
= 0,0008
= 0,08%
Analisis : Jadi, probabilitas 10 roti yang akan gagal atau tidak terpanggang
sempurna adalah 0,0008 atau 0,08%.
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R.
Langkah-langkah adalah sebagai berikut:
 Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti
gambar berikut :
LAB. MANAJEMEN DASAR
44
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
3.1 Gambar Tampilan Software RCommander
 Tuliskan pada Script window dpois (10 , 3). Angka 10 menunjukan nilai x dan
angka 3 menunjukan nilai μ yang didapat dari perkalian n*p (60*0.05). kemudian
tekan tombol Submit.
LAB. MANAJEMEN DASAR
45
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 2
 Maka probabilitas 10 roti gagal adalah = 0.0008101512 jika ditanyakan dalam
bentuk prosentase (%) maka jawabannya adalah 0,08%.
 Atau cara lain, tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discrete
distribution > poisson distribution > poisson probabilities.
LAB. MANAJEMEN DASAR
46
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities)
 Kemudian masukan mean = 3 (didapatdari n * p ) = 60 * 0.05
3.4 Gambar Poisson Probabilities
Lihat kolom paling kiri x = 10 yaitu 0.0008 atau sama dengan 0,08%. (cara ini
terdapat sedikit perbedaan hasil karena yang diambil dibelakang koma hanya 4
angka)
LAB. MANAJEMEN DASAR
47
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
3.5 Gambar Output Poisson Probabilities
3. Dalam penerbangan tujuan Papua – Jakarta terdapat 561 orang penumpang yang
menaiki pesawat Lion White. Pihak bandara memperkirakan terdapat 1% dari
penumpang tersebut yang tidak mempunyai tiket. Hitunglah probabilitas paling
banyak 5 orang yang tidak mempunyai tiket.
Diketahui
: n = 561
Ditanya
: p untuk x ≤ 5?
Dijawab
:µ=n.p
p = 1% = 0.01
= 561 . 0.01 = 5.61
P (x ; µ ) = (e -µ.µx) / x !
LAB. MANAJEMEN DASAR
48
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
P ( x ≤ 5;5.61)
= P (0;5.61) + P (1; 5.61) + P (2; 5.61) + P(3: 5.61)
+ P (4; 5.61) + P (5; 5.61)
= 0.5101647 atau 51.01%
: Jadi, peluang penumpang paling banyak 5 orang yang
Analisis
tidak mempunyai tiket adalah 0.5101647 atau 51.01%
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R.
Langkah-langkah adalah sebagai berikut :
 Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti
gambar berikut :
3.6 Gambar Tampilan Software RCommander
LAB. MANAJEMEN DASAR
49
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
 Kemudian pilih
DISTRIBUSI POISSON
menu Distributions, discrete distribution, poisson tail
probabilities.
3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites
 Kemudian masukan variabel value (s) sebesar 5 (didapat dari nilai x) dan mean
sebesar 5,61 (didapat dari nilai µ).
3.8 Gambar Poisson Probabilities
Maka dari P(5 ; 5,61) adalah 0,5101647 atau 51%
LAB. MANAJEMEN DASAR
50
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI POISSON
3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3
LAB. MANAJEMEN DASAR
51
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
MATERI 4
DISTRIBUSI NORMAL
1. Pengertian Probabilitas
Probabilitas merupakan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat
terjadinya suatu kejadian yang acak. Probabilitas juga membahas tentang ukuran
atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa. Apabila nilai – nilai probabilitas
dinyatakan untuk mewakili semua nilai yang terjadi dari suatu variabel random
X,baik dengan suatu daftar (tabel) maupun dengan fungsi matematis,hasilnya disebut
distribusi probabilitas. Variabel random itu sendiri merupakan besaran yang
nilainya berubah-ubah tanpa kontrol pelaku observasi atau pelaku ekperimen.
Misalnya tingkat permintaan suatu produk merupakan variabel random karena kita
tidak bisa menentukan berapa tingkat permintaan di masa yang akan datang .
Variabel random dibagi kedalam dua bentuk yaitu diskrit dan kontinyu. Variabel
random diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya berupa bilangan bulat atau utuh
dan berhubungan dengan proses perhitungan ,misalnya banyaknya kecelakaan mobil
per tahun di provinsi DKI Jakarta adalah variabel diskrit karena tidak ada kecelakaan
mobil dalam bilangan pecahan,misalnya 15,7 mobil.Sedangkan variable random
kontinyu merupakan variabel yang menampung semua nilai baik bilangan bulat
maupun bilangan pecahan dan berhubungan dengan pengukuran,misalnya tinggi
badan siswa kelas 3 SD bisa saja terjadi bahwa tinggi badannya 115,7 cm.
2. Definisi dan Konsep Dasar
Distribusi normal atau pula sering disebut Distribusi Gauss yang diambil dari
nama penemunya yaitu Carl Fredich Gauss, seorang ahli matematika yang banyak
memberikan andil pada pengembangannya di awal abad ke-19 merupakan distribusi
variabel random kontinyu. Distribusi ini juga merupakan suatu model matematik
yang menggambarkan penyebaran probabilitas dari pengamatan yang tidak terbatas
LAB. MANAJEMEN DASAR
52
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
dan diukur terus menerus sehingga banyak digunakan dalam bidang statistika seperti
pemecahan soal maupun penelitian (observasi berat badan,nilai hasil ujian,industry).
Dalam mencari probabilitas dengan distribusi normal maka,harus diketahui
rata-rata populasi ( μ ) dan simpangan bakunya ( σ ). Perhitungan probabilitas
suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan transformasi nilainilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ).
Ciri-Ciri Distribusi Normal adalah
n
 30 dan n. p  5
Bentuk Umum dan Rumus Distribusi Normal
4.1 Rumus Distribusi Normal
Z
X 

Dimana :
Z
= Nilai Hitung

= Rata-rata Populasi
X
= Rata-rata Sampel

= Simpangan Baku
Tanda Baca Yang Digunakan Dalam Distribusi Normal
1.
Untuk
sekurang-kurangnya,
sedikitnya,
paling
sedikit,dan
minimal
maka,tandanya ( ≥ )
Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung kebun binatang Taman
Safari sedikitnya 160 orang per hari ? ( Berarti yang ditanya : P (X ≥ 160) ? )
2. Untuk sebanyak-banyaknya, paling banyak dan maksimal maka, tandanya( ≤ )
Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Mall NN sebanyakbanyaknya 150 orang per hari? (Berarti yang ditanya: P (X ≤ 160) ?)
LAB. MANAJEMEN DASAR
53
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
3. Untuk kurang dari,maka,tandanya ( < )
Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Kebon Raya Bogor kurang
dari 170 orang per hari ? ( Berarti yang ditanya :P (X < 170) ? )
4. Untuk lebih dari,maka,tandanya ( > )
Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Seaworld lebih dari 110
orang per hari ? ( Berarti yang ditanya :P (X > 110) ? )
3. Menemukan Nilai Z tabel
Didalam menemukan nilai Z tabel dengan menggunakan rumus distribusi normal
maka,terdapat beberapa cara yang harus dilakukan yaitu sebagai berikut.
4. Hitung nilai Z dengan menggunakan rumus distribusi normal sampai
menemukan nilai dua desimal.
5. Dalam tabel distribusi normal (tabel Z),cari nilai dari hasil perhitungan
nilai Z hitung yang mana pada baris paling atas turun ke bawah
digunakan untuk desimal pertama dan desimal keduanya dicari pada
kolom paling kiri sampai ke kanan.
6. Dari tabel Z di kolom kiri sampai ke kanan dan dari baris atas turun ke
bawah,maka didapat nilai Z tabel yang dicari. Bilangan yang didapat
harus ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).
Contoh Kasus :
Dari penelitian terhadap 150 insudtri tekstil di Indonesia didapatkan rata-rata
memproduksi baju (μ) sebesar 150 baju per hari dan simpangan baku (σ)
sebesar 15 .Berapakah nilai Z tabel,jika industry tekstil memproduksi baju
lebih dari 170 baju ?
Diketahui
: µ = 150
𝜎 = 15
X = 170
LAB. MANAJEMEN DASAR
54
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
Ditanya
: P (X > 170) ?
Jawab
:
Z
=
=
X 
Desimal Kedua

170  150
 1,33
15
1,33  1,3  0,03
Desimal Pertama
Setelah ketemu nilai Z hitung,selanjutnya lihat pada tabel normal berapa nilai Z tabel
untuk nilai Z = 1,33
Desimal Kedua
4.1
Desimal
Pertama
Jadi,berdasarkan tabel Z,untuk nilai Z hitung 1,33 ,nilai Z tabelnya adalah 0,4082.
LAB. MANAJEMEN DASAR
55
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
4. Kurva Normal


x
Kurva normal digunakan dalam menentukan probabilitas dari
distribusi
normal . Kurva normal berbentuk seperti lonceng , maka dari itu sering disebut kurva
lonceng ,yang berarti simetris di kanan dan di kirinya dengan nilai tengahnya “mean
( μ )”.Kurva ini memiliki luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri maupun ke kanan
adalah 0,5.Dalam menentukan suatu bentuk kurva normal maka diperlukan dua
parameter yaitu rata-rata ( μ ) dan simpangan baku (σ).
Dalam mencari luas daerah pada suatu kurva normal dengan menggunakan tabel :
P ( 0 ≤ Z ≤ a ) = Nilai Tabel a
P ( Z ≥ a ) = 0.5 – Nilai Tabel a
P ( Z ≥ -a ) = 0,5 + Nilai Tabel (-a)
( Z ≤ a ) = Nilai Tabel a + 0,5





LAB. MANAJEMEN DASAR



56

LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
P(
P (-
5.
≤Z≤
≤Z≤
) = Nilai Tabel
) = Nilai Tabel
DISTRIBUSI NORMAL
- Nilai Tabel
+ Nilai Tabel

Mencari Probabilitas Suatu Objek
Dalam mencari probabilitas suatu objek seperti dalam distribusi normal.
Maka,probabilitas dapat dicari ketika telah diketahui nilai Z tabel yang didapat dari
nilai Z hitung dengan menggunakan rumus distribusi normal dikurangi atau
ditambah dengan 0,5 . Berikut ini akan dibahas beberapa contoh soal dalam mencari
probabilitas dengan distribusi normal.
6. Contoh Soal
1. Diketahui bahwa rata-rata pengunjung Kebun Binatang Ragunan mencapai
155 orang per hari dengan simpangan baku 15 orang
. Jika jumlah
pengunjung tersebut terdistribusi normal,berapakah probabilitas dari
pengunjung kebun binatang Ragunan lebih dari 165 orang per hari ?
Analisislah!
LAB. MANAJEMEN DASAR
57
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
Diketahui :
  155
  15
X  165
Ditanya : P(X > 165)?
Jawab :
Z
=
=
X 

165  155
 0,666  0,67
15
Z tabel= 0,2486
Wilayah Nilai Ztabel
Wilayah Nilai
Probabilitas
155
165
0,2486
0,2514
0,5 – 0,2486= 0,2514
Analisis: Jadi, Probabilitas pengunjung kebun binatang Ragunan lebih dari
165 orang per hari adalah 0,2514 atau 25,14 %
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
 Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti
gambar berikut :
LAB. MANAJEMEN DASAR
58
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
4.1 Gambar Tampilan Software R-Commander


Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal
Probabilities
LAB. MANAJEMEN DASAR
59
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
4.2 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities


Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value =
165. input nilai mean = 155. Input nilai Standar Deviation= 15. Pilih “Upper
Tail” (karena P(X > 165) atau lebih dari selalu menggunakan upper tail).
Kemudian tekan OK.
LAB. MANAJEMEN DASAR
60
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
4.3 Tampilan Normal Probabilities

Maka pada output window diperoleh P(X > 165) = 0,2524 (hasil tidak sama
persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang
koma yang diambil).
4.4 Gambar Output Software R-Commander
LAB. MANAJEMEN DASAR
61
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
2. Diketahui bahwa rata-rata penjualan Motor di Honda Motor Gemilang
mencapai 1.600 unit per bulan . Dengan stándar deviasi 16 unit per bulan.
Jika penjualan motor tersebut berdistribusi normal,berapakah probabilitas
dari penjualan motor kurang dari 1.567 unit ? Analisislah !
Diketahui :
  1.600
  16
X  1.567
Ditanya : P(X < 1.567) ?
Jawab :
Z
=
=
X 

1.567  1.600
 2,06
16
Z tabel = 0,4803
Wilayah Nilai Ztabel
Wilayah Nilai
Probabilitas
1.567
0,0197
1.600
0,4803
0,5 – 0,4803 = 0,0197
Analisis: Jadi, Probabilitas dari penjualan motor kurang dari 1.567 unit
adalah 0,0197 atau 1,97 %.
LAB. MANAJEMEN DASAR
62
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti
gambar berikut :
4.5 Gambar Tampilan Software R-Commander


Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions,
Normal Probabilities
LAB. MANAJEMEN DASAR
63
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
4.6 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities


Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value =
1.567. input nilai mean = 1.600. Input nilai Standar Deviation = 16. Pilih
“Lower Tail” (karena P(X < 1.567) atau kurang dari selalu menggunakan lower
tail). Kemudian tekan OK.

LAB. MANAJEMEN DASAR
64
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
4.7 Tampilan Normal Probabilities

Maka pada output window diperoleh P(X < 1.567) = 0,01958 (hasil
tidak sama persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah
angka dibelakang koma yang diambil)
4.8 Gambar Output Software R-Commander
LAB. MANAJEMEN DASAR
65
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
3. Diketahui bahwa rata-rata pembeli Rainbow Cake di Sweet Bakery mencapai
75 orang per hari dengan simpangan baku 50 orang per hari.Jika jumlah
pembeli Kue tersebut terdistribusi normal. Berapakah probabilitas pembeli
Rainbow Cake tersebut antara 16 orang sampai 77 orang per hari ?
Analisislah!
Diketahui :
  75
  50
X 1  16
X 2  77
Ditanya : P(16 ≤ X ≤ 77) ?
Jawab :
Z1 
X 

=
16  75
 1,18
50
Ztabel = 0,3810
Z2 
X 

=
77  75
 0,04
50
Ztabel = 0,0160
Wilayah Nilai Ztabel
16
75
77
0,3810 0,0160
0,3810 + 0,0160 = 0,397
Analisis: Jadi, Probabilitas dari pembeli Rainbow Cake tersebut antara 16 orang
sampai 77 orang per hari adalah 0,397 atau 39,7 %
LAB. MANAJEMEN DASAR
66
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DISTRIBUSI NORMAL
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti
gambar berikut :
4.9 Gambar Tampilan Software R-Commander

Lalu di script window, ketikkan nilai probabilitas X1 ditambah X2
LAB. MANAJEMEN DASAR
67
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
4.10
DISTRIBUSI NORMAL
Gambar Output Software Normal Probabilities
LAB. MANAJEMEN DASAR
68
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
4.11
DISTRIBUSI NORMAL
Gambar Tabel Z
LAB. MANAJEMEN DASAR
69
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
LAB. MANAJEMEN DASAR
DISTRIBUSI NORMAL
70
LITBANG PTA 16/17
STATISTIKA 1
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR PUSTAKA
Algifari. 1996. Probabilitas Dalam Pengambilan Keputusan Bisnis. Yogyakarta:
BPFE
Drs.Subana, M.Pd,dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Bandung : CV.Pustaka Setia.
Irianto, Agus. 2015. Statistik Konsep Dasar, Aplikasi, & Pengembangannya Edisi
Keempat. Padang : Kencana Perdanamedia Group
Kustituanto, Bambang. 1988. Statistika Untuk Ekonomi Dan Bisnis. Yogyakarta:
BPFE.
Lind, Douglas A., William G. Marchal & Samuel A. Wathen. 2007. Teknik-teknik
Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Global,
Edisi 13. Jakarta: Salemba Empat
Mulyono,Sri. 2006. Statistika Untuk Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : LPFE UI.
Nur Indah Susanti, Meilia. 2010. Statistika Deskriptif dan Induktif. Yogyakarta :
Graha Ilmu.
Sarini Abdullah dan Taufik Edy Sutanto. 2015. Statistika Tanpa Stres. Jakarta
Selatan : TransMedia.
Sigit Nugroho,Ph.D. 2007. Dasar-dasar Metode Statistika. Jakarta Barat : Grasindo.
Subiyakto, Haryono. 1994. Statistika 2. Jakarta: Penerbit Gunadarma.
Sudjana.2013.Metoda Statistika,edisi ke VII .Bandung : Tarsito
Supratno, Johanes. 2009. Statistik Teori dan Aplikasi Edisi Ketujuh. Jakarta : Penerbit
Erlangga
Walpole, Ronald E. 2015. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta : PT. Gramedia
Pustaka Utama.
Wathen, Lind Marchal. Teknik-Teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi 1 Edisi
15. New York : Salemba Empat
LAB. MANAJEMEN DASAR
52
LITBANG PTA 16/17