gb-TERHUBUNG DALAM RUANG TOPOLOGI

gb-TERHUBUNG DALAM RUANG TOPOLOGI
Abu Sufyan
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Pada artikel ini dibahas definisi, sifat, dan teorema-teorema gb-terhubung dalam ruang topologi. Dari beberapa sifat
dan teorema yang dipelajari, ditunjukkan adanya hubungan antara himpunan gb-terhubung dan terhubung dalam ruang
topologi. Jika suatu ruang topologi adalah
maka sebarang subhimpunan dari ruang topologi tersebut terhubung
jika dan hanya jika ia gb-terhubung.
Kata kunci: gb-terbuka, gb-terhubung, gb-tertutup, ruang topologi,
-space
1. PENDAHULUAN
Pada tahun 1996 Andrijevic memperkenalkan dan mempelajari kelas baru dari perumuman
himpunan terbuka dalam ruang topologi yang disebut himpunan b-terbuka yang selanjutnya dipelajari
oleh Nasef mengenai sifat-sifat dari himpunan b-tertutup. Sedangkan Ganster dan Steiner (2007)
memperkenalkan dan mempelajari sifat himpunan gb-tertutup yang merupakan generalisasi dari
himpunan b-tertutup pada ruang topologi.
Erat kaitannya dengan himpunan terbuka dan tertutup, himpunan terhubung pun tak luput
pengembangannya dari para matematikawan. Benchalli dan Bansali (2011) mempublikasikan paper
yang berjudul gb-Compactness and gb-Connectedness Topological Spaces. Dalam paper-nya,
Benchalli dan Bansali memperkenalkan dan mempelajari konsep gb-kompak dan gb-terhubung dalam
ruang topologi. Selain itu juga diberikan hubungan antara ruang topologi terhubung dan ruang
topologi gb-terhubung. Pada artikel ini diulas kembali definisi dan teorema yang berkaitan dengan
himpunan gb-terhubung dalam ruang topologi. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi dan
teorema tersebut akan ditunjukkan pula sifat-sifat himpunan gb-terhubung dan hubungannya dengan
himpunan terhubung pada ruang topologi pada umumnya.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi ruang topologi dan himpunan terhubung berikut dikutip dari buku karya Munkres
(2000). Sedangkan definisi himpunan b-terbuka, b-tertutup, dan b-penutup himpunan dikutip dari
paper karya Andrijević (1996).
Definisi 1. Diketahui himpunan tak kosong . Misalkan adalah keluarga himpunan bagian .
disebut topologi untuk jika memenuhi
i)
,
ii) gabungan dari sebarang subfamili dari termuat dalam ,
iii) irisan berhingga subfamili dari termuat dalam .
disebut ruang topologi. Anggota dari disebut titik. Anggota dari disebut himpunan terbuka.
Definisi 2. Sebuah himpunan bagian dari ruang topologi
dikatakan terhubung jika himpunan
tersebut tidak dapat disajikan dalam gabungan dua buah himpunan terbuka tak kosong yang disjoint.
Definisi 3. Misalkan
terbuka jika
(
dinotasikan dengan -
adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi
.
dikatakan b)
(
). Keluarga dari semua himpunan b-terbuka dalam
.
Teorema 1. Diketahui
adalah ruang topologi dan
maka himpunan b-terbuka.
. Jika
adalah himpunan terbuka
Bukti: Diketahui himpunan terbuka. Akan dibuktikan adalah himpunan b-terbuka.
terbuka
Karena
adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat , jelas
.
(
)
(
)
(
).
5
Terbukti bahwa
adalah himpunan b-terbuka.
Definisi 4. Misalkan
adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi
dikatakan
b-tertutup jika
b-terbuka. Keluarga semua himpunan b-tertutup dalam
dinotasikan dengan
.
Definisi 5. Diberikan himpunan bagian
dari . b-penutup
adalah irisan dari semua himpunan b-tertutup yang memuat .
yang dinotasikan dengan
-
2.1 gb-terhubung dalam Ruang Topologi
Definisi himpunan gb-tertutup dan gb-terbuka berikut dikutip dari paper karya Ganster dan
Streiner (2007). Sedangkan definisi himpunan gb-terhubung dikutip dari paper karya Benchalli dan
Bansali (2011).
Definisi 6. Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi
. dikatakan gbtertutup jika , untuk setiap himpunan terbuka yang memuat . Keluarga dari semua
himpunan gb-tertutup dalam
dinotasikan dengan .
Definisi 7. Misalkan
adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi
. Himpunan
dikatakan gb-terbuka jika
gb-tertutup. Keluarga dari semua himpunan gb-terbuka dalam
dinotasikan dengan .
Teorema 2. Diketahui
adalah ruang topologi dan
maka himpunan gb-terbuka.
. Jika
adalah himpunan b-terbuka
Bukti: Diketahui himpunan b-terbuka. Dibuktikan gb-terbuka.
b-terbuka
b-tertutup.
(
)
(
). Sehingga himpunan
Dibuktikan himpunan
gb-tertutup. Ambil sebarang himpunan terbuka yang memuat
-
.
,
untuk setiap himpunan terbuka yang memuat . Dengan kata lain,
Berdasarkan definisi terbukti bahwa adalah himpunan gb-terbuka.
adalah himpunan gb-tertutup.
Definisi 8. Sebuah himpunan bagian dari ruang topologi
dikatakan himpunan gb-terhubung
jika himpunan tersebut tidak dapat disajikan sebagai gabungan dari dua buah himpunan gb-terbuka tak
kosong yang disjoint.
{
} dan didefinisikan sebuah topologi pada
Contoh 1. Misalkan
yaitu
{ { }{
}{ }{
} }. Dari ruang topologi tersebut dapat ditentukan keluarga dari
{ { }{
}{ }{
}{
}{
}{
} }
himpunan gb-terbuka adalah Sehingga dapat disimpulkan bahwa gb-terhubung karena tidak dapat disajikan dalam gabungan
dua buah himpunan gb-terbuka tak kosong yang disjoint dan { } adalah himpunan bagian dari
yang gb-terhubung.
2.2 Sifat-sifat gb-terhubung
Sifat-sifat gb-terhubuung dalam ruang topologi berikut dikutip dari paper karya Benchalli dan
Bansali (2011). Definisi fungsi gb-kontinu dirujuk dari paper karya Vinayagamoorthi dan Nagaveni
(2012).
Teorema 3. Diberikan ruang topologi
Pernyataan berikut ekuivalen.
i)
gb-terhubung
ii) Hanya dan adalah subhimpunan dari yang gb-terbuka maupun gb-tertutup
iii) Setiap pemetaan gb-kontinu dari ke ruang diskrit dengan minimal dua titik adalah pemetaan
konstan.
Bukti:
Diketahui
gb-terhubung. Dibuktikan hanya
dan yang merupakan himpunan gb-terbuka dan
sekaligus gb-tertutup.
Ambil sebarang
dengan
gb-terbuka dan gb-tertutup, sehingga
gb-terbuka dan
sekaligus gb-tertutup. Karena gb-terhubung, tidak dapat disajikan dalam gabungan disjoint dari
6
dua buah himpunan gb-terbuka tak kosong, sehingga
gabungan dua buah himpunan gb-terbuka yakni dan
atau
.
dengan
atau
adalah
sehingga himpunan yang memenuhi hanya
Diketahui hanya
dan adalah subhimpunan dari
yang gb-terbuka maupun gb-tertutup. Akan
dibuktikan pemetaan gb-kontinu dari ke ruang diskrit dengan minimal dua titik adalah pemetaan
konstan.
Diketahui
adalah pemetaan gb-kontinu. Sehingga
gb-tertbuka dalam untuk
setiap himpunan terbuka
. Maka
ditutupi oleh gb-terbuka dan
adalah gb-tertutup yang
}. Karena himpunan gb-terbuka yang sekaligus gb-tertutup hanya dan ,
menutupi {
sehingga
atau untuk setiap
. Jika
untuk setiap
maka bukan
suatu pemetaan. Sehingga terdapat minimal satu titik
sedemikian sehingga
dan
pasti
. Hal ini menunjukkan bahwa adalah pemetaan konstan.
Diketahui Setiap pemetaan gb-kontinu dari
ke ruang diskrit dengan minimal dua titik adalah
pemetaan konstan. Akan dibuktikan gb-terhubung.
Misalkan
gb-terbuka dan gb-tertutup dalam . Diketahui
adalah pemetaan gbkontinu dan didefinisikan dengan
dan
{ } untuk sebarang titik
. Karena
adalah pemetaan konstan, sehingga
Misalkan
dengan dan adalah dua buah himpunan gb-terbuka tak kosong yang
disjoint, dengan
sehingga gb-terbuka dan gb-tertutup. Karena himpunan yang gb-terbuka
dan sekaligus gb-tertutup hanya dan , sehingga
yang memenuhi adalah
atau
.
Sehingga terbukti adalah ruang topologi gb-terhubung.
Definisi 9. Misalkan
dikatakan gb-kontinu jika
Teorema 4. Jika
terhubung.
dan
adalah dua buah ruang topologi. Sebuah fungsi
gb-tertbuka dalam untuk setiap himpunan terbuka dari .
adalah fungsi gb-kontinu yang surjektif dan
gb-terhubung, maka
Bukti: Diketahui
gb-terhubung dan
adalah fungsi gb-kontinu. Akan dibuktikan
terhubung.
Misalkan tidak terhubung. Sehingga
dimana dan adalah himpunan terbuka tak
kosong yang disjoint dalam . Karena adalah pemetaan gb-kontinu, maka
dimana
dan
adalah dua buah himpunan gb-terbuka tak kosong yang disjoint. Sehingga
tidak gb-terhubung.
Kontradiksi dengan yang diketahui yakni
gb-terhubung. Sehingga terbukti bahwa
terhubung.
Teorema 5. Dalam ruang topologi
maka tidak gb-terhubung.
dengan minimal dua titik, jika
-
-
Bukti: Diketahui . Akan dibuktikan tidak gb-terhubung.
Dari Teorema 2 kita tahu bahwa setiap himpunan b-terbuka adalah gb-terbuka sehingga
dan terdapat himpunan bagian tak kosong dari
yang gb-terbuka dan
sekaligus gb-tertutup. Jadi, dari kontraposisi Teorema 3 bagian pertama dikatakan bahwa jika terdapat
himpunan bagian dari yang gb-terbuka dan gb-tertutup selain dan maka tidak gb-terhubung,
sehingga terbukti bahwa tidak gb-terhubung.
2.3 Hubungan gb-terhubung dan Terhubung dalam Ruang Topologi
Sifat-sifat yang menyatakan hubungan gb-terhubung dan terhubung dalam ruang topologi serta
definisi
-space berikut dikutip dari paper karya Benchalli dan Bansali (2011).
Remark 1. Setiap ruang gb-terhubung adalah terhubung.
Bukti: Diketahui adalah gb-terhubung. Akan dibuktikan terhubung.
Misalkan tidak terhubung, maka dapat dituliskan
dengan dan adalah dua buah
himpunan terbuka tak kosong yang disjoint. Berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2, diketahui dan
7
adalah himpunan gb-terbuka tak kosong yang disjoint. Karena
maka
tidak gbterhubung.
Terjadi kontradiksi dengan yang diketahui yakni
adalah gb-terhubung. Jadi pengandaian
salah. Terbukti bahwa terhubung.
Definisi 10. Sebuah ruang topologi
dikatakan
tertutup dari adalah himpunan bagian tertutup dari .
Teorema 7. Misalkan
adalah sebuah
-space.
-space jika setiap himpunan bagian gb-
terhubung jika dan hanya jika
gb-terhubung.
Bukti: Diketahui
adalah
-space, sehingga setiap subhimpunan gb-tertutup dari
merupakan
subhimpunan tertutup dari .
diketahui terhubung, sehingga tidak dapat disajikan sebagai gabungan dua buah himpunan
terbuka tak kosong yang disjoint. Dibuktikan gb-terhubung.
Misalkan tidak gb-terhubung,
dengan dan merupakan himpunan gb-terbuka
tak kosong yang disjoint.
gb-tertutup dan
gb-tertutup. Karena adalah
-space dan
gb-tertutup menyebabkan
tertutup sehingga
subhimpunan terbuka dari .
dengan dan subhimpunan terbuka dari menyebabkan tidak terhubung. Terjadi
kontradiksi dengan yang diketahui. Sehingga pemisalan salah, terbukti gb-terhubung.
diketahui gb-terhubung. Dibuktikan terhubung.
Dari Remark 1 jelas bahwa setiap himpunan gb-terhubung pasti terhubung. Sehingga terbukti bahwa
terhubung.
3. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dipaparkan, ruang topologi
dikatakan gbterhubung jika tidak dapat disajikan dalam gabungan disjoint dari dua buah himpunan gb-terbuka
tak kosong. Dari beberapa sifat dan teorema yang telah dibahas, dapat disimpulkan bahwa Jika
adalah sebuah
-space maka terhubung jika dan hanya jika gb-terhubung.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Sa’adatul Fitri, Abdul Rouf Alghofari, dan Mohamad Muslikh
atas bimbingan dan saran yang diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Andrijević, D., (1996), On b-open Sets, Math Vesnik, 48, hal. 59-64.
Benchalli, S. S. dan Bansali, P. M., (2011), gb-Compactness and gb-Connectedness Topological
Spaces, International Journal Contemporary Mathematics Scienses,6, hal. 465-475.
Ganster, M. dan Steiner, M., (2007), On -closed Sets, Applications General Topology, 8, hal. 243247.
Munkres, J. R., (2000), Topology, Prentice Hall, Inc., Canada, hal. 148.
Vinayagamoorthi, L. dan Nagaveni, N., (2012), On Generalized b-Continuous Maps, On Generalized
b-open Maps and On Generalized b-closed Maps, International Journal of Mathematics
Analysis, 6, hal. 619-631.
8