PENYELESAIAN UTS GENAP 2014 TEORI BILANGAN 1. Temukan hasil bagi dan sisanya jika bilangan ๐ dibagi oleh bilangan ๐ sebagai berikut: A. ๐ = ๐๐๐๐; ๐ = −๐๐. B. ๐ = −๐๐๐๐; ๐ = ๐๐. C. ๐ = −๐๐๐๐; ๐ = −๐๐. Penyelesaian: ๐ = hasil bagi dan ๐ = sisa A. ๐ = 3473; ๐ = − 17. Karena ๐ < 0 maka ๐ = ๐ ๐ = 3473 −17 = −204 5 17 = −204. ๐ = ๐ − ๐๐ = 3473 − −204 −17 = 3473 − 3468 = 5. B. ๐ = − 1751; ๐ = 23. Karena ๐ > 0 maka ๐ = ๐ ๐ = −1751 23 3 = −76 23 = −77. ๐ = ๐ − ๐๐ = −1751 − −77 23 = −1751 + 1771 = 20. C. ๐ = −2337; ๐ = − 13. Karena ๐ < 0 maka ๐ = ๐ ๐ = −2337 −13 10 = 179 13 = 180. ๐ = ๐ − ๐๐ = −2337 − 180 −13 = −2337 + 2340 = 3. 2. Jika ๐ ๐๐ ๐, ๐ = ๐, buktikan A. ๐ ๐๐ ๐ + ๐, ๐ − ๐ = ๐ ๐๐ญ๐๐ฎ ๐. B. ๐ ๐๐ ๐ + ๐, ๐๐ + ๐๐ = ๐ ๐๐ญ๐๐ฎ ๐. C. ๐ ๐๐ ๐ + ๐, ๐๐ − ๐๐ + ๐๐ = ๐ ๐๐ญ๐๐ฎ ๐. Penyelesaian: A. Andaikan gcd ๐ + ๐, ๐ − ๐ = ๐ maka ๐|(๐ + ๐) dan ๐|(๐ − ๐). Diperoleh ๐| ๐ + ๐ + ๐ − ๐ = 2๐ dan ๐| ๐ + ๐ − ๐ − ๐ = 2๐. Karena ๐ faktor dari 2๐ dan 2๐ dan gcd ๐, ๐ = 1 maka ๐|2. Sehingga kemungkinan nilai dari ๐ hanyalah 1 atau 2. B. Andaikan gcd ๐ + ๐, ๐2 + ๐2 = ๐ maka ๐|(๐ + ๐) dan ๐|(๐2 + ๐2 ). Diperoleh ๐| ๐ + ๐ 2 + ๐2 + ๐2 = 2๐๐. Jika ๐|๐ maka ๐|๐ karena ๐|๐ + ๐. Tetapi gcd ๐, ๐ = 1 sehingga ๐ โค ๐ dan ๐ โค ๐. Kemungkinannya hanyalah ๐|2 sehingga nilai dari ๐ yang mungkin hanyalah 1 atau 2. C. Menggunakan teorema bahwa gcd ๐, ๐ = gcd ๐ + ๐๐, ๐ untuk ๐, ๐, ๐ ∈ โค, sehingga diperoleh gcd ๐ + ๐, ๐2 − ๐๐ + ๐2 = gcd ๐ + ๐, ๐2 − ๐๐ + ๐2 − ๐(๐ + ๐) = gcd ๐ + ๐, −2๐๐ + ๐2 = gcd ๐ + ๐, −2๐๐ + ๐2 + 2๐(๐ + ๐) = gcd ๐ + ๐, 3๐2 . Jika ๐|๐ maka ๐|๐ karena ๐|๐ + ๐, dan sebaliknya. Tetapi gcd ๐, ๐ = 1 sehingga ๐ โค ๐ dan ๐ โค ๐. Kemungkinannya hanyalah ๐|3 sehingga nilai dari ๐ yang mungkin hanyalah 1 atau 3. 3. Ketika Tuan Smith mencairkan ceknya di bank, sang kasir salah memberikan banyaknya pecahan cent sebagai banyaknya pecahan pecahan dolar, dan sebaliknya. Tanpa menyadari keadaan ini, Tuan Smith membelanjakan uangnya dan habis 68 dolar. Tuan Smith terkejut karena sisa uangnya adalah dua kali lipat dari jumlah nominal uang yang seharusnya dicairkan di bank. Berapa paling sedikit uang Tuan Smith yang dicairkan di bank tadi. (petunjuk: 1 dollar=100 cent) Penyelesaian: Misalkan ๐ฅ menyatakan banyak pecahan dolar pada cek, dan ๐ฆ menyatakan banyak pecahan cent pada cek yang sesungguhnya. Maka soal tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut ๏ท Nilai uang seharusnya dalam cent adalah 100๐ฅ + ๐ฆ. ๏ท Nilai uang yang diberikan kasir dalam cent adalah ๐ฅ + 100๐ฆ. ๏ท Sisa uang setelah dibelanjakan nasabah dalam cent adalah ๐ฅ + 100๐ฆ − 6800. Karena setelah belanja uang tersebut masih dua kali lipat dari seharusnya maka diperoleh persamaan 100๐ฆ + ๐ฅ − 6800 = 2(100๐ฅ + ๐ฆ), atau disederhanakan menjadi 199๐ฅ − 98๐ฆ = −6800 dengan syarat ๐ฅ ≥ 0 dan๐ฆ ≥ 0. Karena gcd(199, −98) = 1 maka dipastikan persamaan ini memiliki penyelesaian. Dengan menerapkan algoritma Euclid diperoleh identitas Bezoutnya adalah 1 = 199.33 + −98 . 67. Kedua ruas dikalikan dengan−6800 diperoleh −6800 = 199. −224400 + −98 . (−455600), sehingga diperoleh penyelesaian khususnya ๐ฅ0 = −224400 dan ๐ฆ0 = −455600. Penyelesaian umumnya adalah ๐ฅ = −224400 − 98๐ dan ๐ฆ = −455600 − 199๐, ๐ ∈ Ζ. Pemenuhan syarat: ๏ syarat ๐ฅ ≥ 0 −224400 − 98๐ ≥ 0 ↔ ๐ ≤ −2289,8 → ๐ = … , −2292, −2291, −2290 . ๏ syarat ๐ฆ ≥ 0 −455600 − 199๐ ≥ 0 ↔ ๐ ≤ −2289,4 → ๐ = … , −2292, −2291, −2290 . nilai ๐ yang memenuhi kedua syarat ini adalah ๐ = … , −2292, −2291, −2290 . Jadi penyelesaian yang bersesuaian adalah sebagai berikut ๐ ๐ฅ ๐ฆ −2290 20 110 −2291 118 309 −2292 216 508 โฎ โฎ โฎ Jadi uang Tuan Smith yang dicairkan di bank tadi paling sedikit adalah untuk ๐ = −2290 yaitu 20 + 110 100 = 11020 cent = 110 dollar 20 cent . 4. Buktikan kebenaran pernyataan berikut! A. Bilangan prima yang berbentuk ๐๐ − ๐ hanyalah 7. Penyelesaian: Faktanya ๐3 − 1 = ๐ − 1 (๐2 + ๐ + 1), maka terdapat beberapa kemungkinan sebagai berikut: Jika ๐ < 2 maka nilai faktor ๐ − 1 ≤ 0 dan faktor ๐2 + ๐ + 1 > 0. Sehingga nilai ๐3 − 1 ≤ 0, yang tidak memungkinkan bilangan ini prima. ๏ท Jika ๐ > 2 maka nilai faktor ๐ − 1 ≥ 2 dan faktor ๐2 + ๐ + 1 > 1. Sehingga ๐3 − 1 pasti mempunyai faktor selain 1 dan dirinya sendiri, yang artinya bilangan ini merupakan komposit. ๏ท Jika ๐ = 2 maka nilai faktor ๐ − 1 = 1 dan faktor ๐2 + ๐ + 1 = 7. Sehingga nilai ๐3 − 1 = 7, dimana 7 memenuhi definisi bilangan prima. Terbukti bahwa satu-satunya bilangan prima berbentuk ๐ 3 − 1 adalah 7. B. Setiap bilangan bulat yang berbentuk ๐๐ + ๐, ๐ > 1 adalah komposit. ๏ท Penyelesaian: Menerapkan algoritma pembagian pada ๐ dengan pembagi 6 maka kemungkinan bentuknya menjadi 6๐, 6๐ + 1, 6๐ + 2, 6๐ + 3, 6๐ + 4, dan 6๐ + 5. ๏ท ๏ท Jika ๐ genap (berbentuk 6๐, 6๐ + 2, atau 6๐ + 4) maka ๐4 + 4 ≥ 20 yang merupakan bilangan komposit. Jika ๐ = 6๐ + 1 maka ๐4 + 4 = (6๐ + 1)4 + 4 = 64 ๐ 4 + 4. 63 ๐ 3 + 63 ๐ 2 + 4.6๐ + 1 + 4 = 4 324๐ 4 + 63 ๐ 3 + 54๐ 2 + 6๐ + 1 + 1 ↔ 4๐ก + 1. Telah diketahui bahwa setiap bilangan kuadrat jika dibagi 4 akan bersisa 0 atau 1, sehingga bentuk terakhir yang diperoleh memenuhi bentuk bilangan kuadrat, yang artinya ada faktor selain 1 dan bilangan tersebut, atau dengan kata lain bilangan komposit. ๏ท Jika ๐ = 6๐ + 3 maka ๐4 + 4 = (6๐ + 3)4 + 4 = 64 ๐ 4 + 4.3. 63 ๐ 3 + 63 . 32 ๐ 2 + 4. 33 . 6๐ + 34 + 4 = 4 324๐ 4 + 3. 63 ๐ 3 + 54.9๐ 2 + 33 . 6๐ + 21 + 1 ↔ 4๐ค + 1. Seperti alasan sebelumnya, maka bilangan ini juga merupakan bilangan komposit. ๏ท Jika ๐ = 6๐ + 5 maka ๐4 + 4 = (6๐ + 5)4 + 4 = 64 ๐ 4 + 4.5. 63 ๐ 3 + 63 . 52 ๐ 2 + 4. 53 . 6๐ + 54 + 4 = 4 324๐ 4 + 5. 63 ๐ 3 + 54.25๐ 2 + 53 . 6๐ + 157 + 1 ↔ 4๐ + 1. Terbukti bahwa bilangan ini juga bilangan komposit. Dari semua kemungkinan bentuk bilangan tersebut telah terbukti selalu komposit. C. Jika ๐ > 4 komposit maka ๐ membagi (๐ − ๐)!. Penyelesaian: Jika n > 4 adalah bilangan komposit maka dapat ditulis ๐ = ๐๐, ๐, ๐ ∈ ๐ dengan dua kemungkinan rentangan nilai, yakni: 1. 2 ≤ ๐ ≤ ๐ − 1 dan 2 < ๐ ≤ ๐ − 1, atau 2. 2 < ๐ ≤ ๐ − 1 dan 2 ≤ ๐ ≤ ๐ − 1. Dari dua kemungkinan tersebut diperoleh kepastian bahwa ๐ atau ๐ pasti salahsatu diantara 2, 3, 4, … , ๐ − 1, atau dengan kata lain diperoleh ๐ atau ๐ adalah faktor dari ๐ − 1!, sehingga pastinya ๐ membagi (๐ − 1)!.