PENYELESAIAN UTS GENAP 2014 TEORI BILANGAN

advertisement
PENYELESAIAN UTS GENAP 2014
TEORI BILANGAN
1. Temukan hasil bagi dan sisanya jika bilangan ๐’‚ dibagi oleh bilangan ๐’ƒ sebagai berikut:
A. ๐’‚ = ๐Ÿ‘๐Ÿ’๐Ÿ•๐Ÿ‘; ๐’ƒ = −๐Ÿ๐Ÿ•.
B. ๐’‚ = −๐Ÿ๐Ÿ•๐Ÿ“๐Ÿ; ๐’ƒ = ๐Ÿ๐Ÿ‘.
C. ๐’‚ = −๐Ÿ๐Ÿ‘๐Ÿ‘๐Ÿ•; ๐’ƒ = −๐Ÿ๐Ÿ‘.
Penyelesaian:
๐‘ž = hasil bagi dan ๐‘Ÿ = sisa
A. ๐‘Ž = 3473; ๐‘ = − 17.
Karena ๐‘ < 0 maka ๐‘ž =
๐‘Ž
๐‘
=
3473
−17
= −204
5
17
= −204.
๐‘Ÿ = ๐‘Ž − ๐‘ž๐‘ = 3473 − −204 −17 = 3473 − 3468 = 5.
B. ๐‘Ž = − 1751; ๐‘ = 23.
Karena ๐‘ > 0 maka ๐‘ž =
๐‘Ž
๐‘
=
−1751
23
3
= −76 23 = −77.
๐‘Ÿ = ๐‘Ž − ๐‘ž๐‘ = −1751 − −77 23 = −1751 + 1771 = 20.
C. ๐‘Ž = −2337; ๐‘ = − 13.
Karena ๐‘ < 0 maka ๐‘ž =
๐‘Ž
๐‘
=
−2337
−13
10
= 179 13 = 180.
๐‘Ÿ = ๐‘Ž − ๐‘ž๐‘ = −2337 − 180 −13 = −2337 + 2340 = 3.
2. Jika ๐ ๐œ๐ ๐’‚, ๐’ƒ = ๐Ÿ, buktikan
A. ๐ ๐œ๐ ๐’‚ + ๐’ƒ, ๐’‚ − ๐’ƒ = ๐Ÿ ๐š๐ญ๐š๐ฎ ๐Ÿ.
B. ๐ ๐œ๐ ๐’‚ + ๐’ƒ, ๐’‚๐Ÿ + ๐’ƒ๐Ÿ = ๐Ÿ ๐š๐ญ๐š๐ฎ ๐Ÿ.
C. ๐ ๐œ๐ ๐’‚ + ๐’ƒ, ๐’‚๐Ÿ − ๐’‚๐’ƒ + ๐’ƒ๐Ÿ = ๐Ÿ ๐š๐ญ๐š๐ฎ ๐Ÿ‘.
Penyelesaian:
A. Andaikan gcd ๐‘Ž + ๐‘, ๐‘Ž − ๐‘ = ๐‘‘ maka ๐‘‘|(๐‘Ž + ๐‘) dan ๐‘‘|(๐‘Ž − ๐‘). Diperoleh ๐‘‘| ๐‘Ž + ๐‘ + ๐‘Ž − ๐‘ =
2๐‘Ž dan ๐‘‘| ๐‘Ž + ๐‘ − ๐‘Ž − ๐‘ = 2๐‘. Karena ๐‘‘ faktor dari 2๐‘Ž dan 2๐‘ dan gcd ๐‘Ž, ๐‘ = 1 maka ๐‘‘|2.
Sehingga kemungkinan nilai dari ๐‘‘ hanyalah 1 atau 2.
B. Andaikan gcd ๐‘Ž + ๐‘, ๐‘Ž2 + ๐‘2 = ๐‘‘ maka ๐‘‘|(๐‘Ž + ๐‘) dan ๐‘‘|(๐‘Ž2 + ๐‘2 ). Diperoleh ๐‘‘| ๐‘Ž + ๐‘ 2 +
๐‘Ž2 + ๐‘2 = 2๐‘Ž๐‘. Jika ๐‘‘|๐‘Ž maka ๐‘‘|๐‘ karena ๐‘‘|๐‘Ž + ๐‘. Tetapi gcd ๐‘Ž, ๐‘ = 1 sehingga ๐‘‘ โˆค ๐‘Ž dan ๐‘‘ โˆค ๐‘.
Kemungkinannya hanyalah ๐‘‘|2 sehingga nilai dari ๐‘‘ yang mungkin hanyalah 1 atau 2.
C. Menggunakan teorema bahwa gcd ๐‘Ž, ๐‘ = gcd ๐‘Ž + ๐‘๐‘, ๐‘ untuk ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘ ∈ โ„ค, sehingga diperoleh
gcd ๐‘Ž + ๐‘, ๐‘Ž2 − ๐‘Ž๐‘ + ๐‘2 = gcd ๐‘Ž + ๐‘, ๐‘Ž2 − ๐‘Ž๐‘ + ๐‘2 − ๐‘Ž(๐‘Ž + ๐‘) = gcd ๐‘Ž + ๐‘, −2๐‘Ž๐‘ + ๐‘2 =
gcd ๐‘Ž + ๐‘, −2๐‘Ž๐‘ + ๐‘2 + 2๐‘(๐‘Ž + ๐‘) = gcd ๐‘Ž + ๐‘, 3๐‘2 . Jika ๐‘‘|๐‘Ž maka ๐‘‘|๐‘ karena ๐‘‘|๐‘Ž + ๐‘, dan
sebaliknya. Tetapi gcd ๐‘Ž, ๐‘ = 1 sehingga ๐‘‘ โˆค ๐‘Ž dan ๐‘‘ โˆค ๐‘. Kemungkinannya hanyalah ๐‘‘|3 sehingga
nilai dari ๐‘‘ yang mungkin hanyalah 1 atau 3.
3. Ketika Tuan Smith mencairkan ceknya di bank, sang kasir salah memberikan banyaknya pecahan
cent sebagai banyaknya pecahan pecahan dolar, dan sebaliknya. Tanpa menyadari keadaan ini, Tuan
Smith membelanjakan uangnya dan habis 68 dolar. Tuan Smith terkejut karena sisa uangnya adalah
dua kali lipat dari jumlah nominal uang yang seharusnya dicairkan di bank. Berapa paling sedikit
uang Tuan Smith yang dicairkan di bank tadi. (petunjuk: 1 dollar=100 cent)
Penyelesaian:
Misalkan ๐‘ฅ menyatakan banyak pecahan dolar pada cek, dan ๐‘ฆ menyatakan banyak pecahan cent pada cek
yang sesungguhnya. Maka soal tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut
๏‚ท Nilai uang seharusnya dalam cent adalah 100๐‘ฅ + ๐‘ฆ.
๏‚ท Nilai uang yang diberikan kasir dalam cent adalah ๐‘ฅ + 100๐‘ฆ.
๏‚ท Sisa uang setelah dibelanjakan nasabah dalam cent adalah ๐‘ฅ + 100๐‘ฆ − 6800.
Karena setelah belanja uang tersebut masih dua kali lipat dari seharusnya maka diperoleh persamaan
100๐‘ฆ + ๐‘ฅ − 6800 = 2(100๐‘ฅ + ๐‘ฆ), atau disederhanakan menjadi 199๐‘ฅ − 98๐‘ฆ = −6800 dengan syarat
๐‘ฅ ≥ 0 dan๐‘ฆ ≥ 0.
Karena gcd(199, −98) = 1 maka dipastikan persamaan ini memiliki penyelesaian. Dengan menerapkan
algoritma Euclid diperoleh identitas Bezoutnya adalah
1 = 199.33 + −98 . 67.
Kedua ruas dikalikan dengan−6800 diperoleh −6800 = 199. −224400 + −98 . (−455600), sehingga
diperoleh penyelesaian khususnya
๐‘ฅ0 = −224400 dan ๐‘ฆ0 = −455600.
Penyelesaian umumnya adalah
๐‘ฅ = −224400 − 98๐‘› dan ๐‘ฆ = −455600 − 199๐‘›, ๐‘› ∈ Ζ.
Pemenuhan syarat:
๏ƒ˜ syarat ๐‘ฅ ≥ 0
−224400 − 98๐‘› ≥ 0 ↔ ๐‘› ≤ −2289,8 → ๐‘› = … , −2292, −2291, −2290 .
๏ƒ˜ syarat ๐‘ฆ ≥ 0
−455600 − 199๐‘› ≥ 0 ↔ ๐‘› ≤ −2289,4 → ๐‘› = … , −2292, −2291, −2290 .
nilai ๐‘› yang memenuhi kedua syarat ini adalah ๐‘› = … , −2292, −2291, −2290 .
Jadi penyelesaian yang bersesuaian adalah sebagai berikut
๐‘›
๐‘ฅ
๐‘ฆ
−2290 20 110
−2291 118 309
−2292 216 508
โ‹ฎ
โ‹ฎ
โ‹ฎ
Jadi uang Tuan Smith yang dicairkan di bank tadi paling sedikit adalah untuk ๐‘› = −2290 yaitu
20 + 110 100 = 11020 cent = 110 dollar 20 cent .
4. Buktikan kebenaran pernyataan berikut!
A. Bilangan prima yang berbentuk ๐’๐Ÿ‘ − ๐Ÿ hanyalah 7.
Penyelesaian:
Faktanya ๐‘›3 − 1 = ๐‘› − 1 (๐‘›2 + ๐‘› + 1), maka terdapat beberapa kemungkinan sebagai berikut:
Jika ๐‘› < 2 maka nilai faktor ๐‘› − 1 ≤ 0 dan faktor ๐‘›2 + ๐‘› + 1 > 0. Sehingga nilai ๐‘›3 − 1 ≤ 0, yang
tidak memungkinkan bilangan ini prima.
๏‚ท Jika ๐‘› > 2 maka nilai faktor ๐‘› − 1 ≥ 2 dan faktor ๐‘›2 + ๐‘› + 1 > 1. Sehingga ๐‘›3 − 1 pasti
mempunyai faktor selain 1 dan dirinya sendiri, yang artinya bilangan ini merupakan komposit.
๏‚ท Jika ๐‘› = 2 maka nilai faktor ๐‘› − 1 = 1 dan faktor ๐‘›2 + ๐‘› + 1 = 7. Sehingga nilai ๐‘›3 − 1 = 7,
dimana 7 memenuhi definisi bilangan prima.
Terbukti bahwa satu-satunya bilangan prima berbentuk ๐‘˜ 3 − 1 adalah 7.
B. Setiap bilangan bulat yang berbentuk ๐’๐Ÿ’ + ๐Ÿ’, ๐’ > 1 adalah komposit.
๏‚ท
Penyelesaian:
Menerapkan algoritma pembagian pada ๐‘› dengan pembagi 6 maka kemungkinan bentuknya menjadi
6๐‘˜, 6๐‘˜ + 1, 6๐‘˜ + 2, 6๐‘˜ + 3, 6๐‘˜ + 4, dan 6๐‘˜ + 5.
๏‚ท
๏‚ท
Jika ๐‘› genap (berbentuk 6๐‘˜, 6๐‘˜ + 2, atau 6๐‘˜ + 4) maka ๐‘›4 + 4 ≥ 20 yang merupakan bilangan
komposit.
Jika
๐‘› = 6๐‘˜ + 1
maka
๐‘›4 + 4 = (6๐‘˜ + 1)4 + 4 = 64 ๐‘˜ 4 + 4. 63 ๐‘˜ 3 + 63 ๐‘˜ 2 + 4.6๐‘˜ + 1 + 4 =
4 324๐‘˜ 4 + 63 ๐‘˜ 3 + 54๐‘˜ 2 + 6๐‘˜ + 1 + 1 ↔ 4๐‘ก + 1. Telah diketahui bahwa setiap bilangan kuadrat jika
dibagi 4 akan bersisa 0 atau 1, sehingga bentuk terakhir yang diperoleh memenuhi bentuk bilangan
kuadrat, yang artinya ada faktor selain 1 dan bilangan tersebut, atau dengan kata lain bilangan komposit.
๏‚ท Jika ๐‘› = 6๐‘˜ + 3 maka ๐‘›4 + 4 = (6๐‘˜ + 3)4 + 4 = 64 ๐‘˜ 4 + 4.3. 63 ๐‘˜ 3 + 63 . 32 ๐‘˜ 2 + 4. 33 . 6๐‘˜ + 34 + 4 =
4 324๐‘˜ 4 + 3. 63 ๐‘˜ 3 + 54.9๐‘˜ 2 + 33 . 6๐‘˜ + 21 + 1 ↔ 4๐‘ค + 1. Seperti alasan sebelumnya, maka
bilangan ini juga merupakan bilangan komposit.
๏‚ท Jika ๐‘ = 6๐‘˜ + 5 maka ๐‘›4 + 4 = (6๐‘˜ + 5)4 + 4 = 64 ๐‘˜ 4 + 4.5. 63 ๐‘˜ 3 + 63 . 52 ๐‘˜ 2 + 4. 53 . 6๐‘˜ + 54 + 4 =
4 324๐‘˜ 4 + 5. 63 ๐‘˜ 3 + 54.25๐‘˜ 2 + 53 . 6๐‘˜ + 157 + 1 ↔ 4๐‘š + 1. Terbukti bahwa bilangan ini juga
bilangan komposit.
Dari semua kemungkinan bentuk bilangan tersebut telah terbukti selalu komposit.
C. Jika ๐’ > 4 komposit maka ๐’ membagi (๐’ − ๐Ÿ)!.
Penyelesaian:
Jika n > 4 adalah bilangan komposit maka dapat ditulis ๐‘› = ๐‘Ž๐‘, ๐‘Ž, ๐‘ ∈ ๐‘ dengan dua kemungkinan
rentangan nilai, yakni:
1. 2 ≤ ๐‘Ž ≤ ๐‘› − 1 dan 2 < ๐‘ ≤ ๐‘› − 1, atau
2. 2 < ๐‘Ž ≤ ๐‘› − 1 dan 2 ≤ ๐‘ ≤ ๐‘› − 1.
Dari dua kemungkinan tersebut diperoleh kepastian bahwa ๐‘Ž atau ๐‘ pasti salahsatu diantara 2, 3, 4, … , ๐‘› − 1,
atau dengan kata lain diperoleh ๐‘Ž atau ๐‘ adalah faktor dari ๐‘› − 1!, sehingga pastinya ๐‘› membagi (๐‘› − 1)!.
Download