pemecahan masalah

Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Modul 7
PEMECAHAN MASALAH
DALAM BILANGAN PECAHAN, DAN
PERBANDINGAN
Oleh: Maulana
PENDAHULUAN
Pada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa
strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada
BBM 5 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan
permasalahan-permasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan
solusinya.
BBM 7 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam bilangan
pecahan, dan perbandingan, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu:
Kegiatan Belajar 1:Bilangan Pecahan, dan Kegiatan Belajar2:Perbandingan.
Setiap kegiatan belajar yang Anda pelajari, satu sama lainnya memiliki
keterkaitan yang erat, sehingga diharapkan Anda mampu mempelajari dan
memahaminya secara tuntas.
KOMPETENSI DASAR
Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan
terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan
topik bilangan pecahan, dan perbandingan.
INDIKATOR
Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat:
1. Memahami konsep pecahan dan aplikasinya.
2. Menggunakan sifat-sifat dan operasi dalam pecahan untuk memecahkan
permasalahan matematik.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
3. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan
dengan topik pecahan.
4. Memahami konsep, prinsip, dan aturan-aturan dalam bahasan perbandingan
dan aplikasinya.
5. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan
dengan topik perbandingan.
Untuk
membantu
Anda
mencapai
tujuan/indikator
tersebut,
BBM
ini
diorganisasikan menjadi tiga Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut:
KB 1: Pecahan
KB 2: Perbandingan.
Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa
petunjuk belajar berikut ini:
1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara
tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini.
2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari katakata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam
kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki.
3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar
pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda.
4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang
relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber,
termasuk dari internet.
5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui
kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau
dengan teman sejawat.
6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang
dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk
mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM
ini.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Selamat belajar! Tetaplah bersemangat!
Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada
yang Anda pikirkan!
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
KEGIATAN BELAJAR 1
PECAHAN
PENGANTAR
Pecahan merupakan konsep matematika yang sangat penting karena aplikasinya
yang begitu luas, banyak digunakan dalam kehidupan kesehaian. Cakupan materi
dalam Kegiatan Belajar 1 ini antara lain: Pengertian Pecahan, Jenis Pecahan,
Pecahan Murni dan Pecahan Tidak Murni, Pecahan Senilai, Membandingkan
Pecahan, Mengubah Pecahan ke Bentuk Lain, Sifat dan Operasi Pecahan, dan
Bentuk Baku. Kajian materi ini dapat dikatakan sebagai prasyarat untuk
menempuh Kegiatan Belajar selanjutnya. Adapun setiap kajian materi tersebut
disuguhkan dalam bentuk pemecahan masalah matematik.
INDIKATOR
Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 1 ini, Anda diharapkan dapat:
1. Memahami konsep pecahan dan aplikasinya.
2. Menggunakan sifat-sifat dan operasi dalam pecahan untuk memecahkan
permasalahan matematik.
3. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan
dengan topik pecahan.
URAIAN
Apakah kamu pernah merayakan hari ulang tahun bersama keluargamu? Acara
tiup lilin dan potong kue ulang tahun merupakan salah satu acara yang paling
dinanti dalam peristiwa tersebut. Bagaimana caranya agar kamu dapat membagi
kan kue ulang tahun secara merata kepada seluruh tamu undangan agar semua
tamu undangan dapat mencicipi lezatnya kue ulang tahunmu?
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
PENGERTIAN BILANGAN PECAHAN
Apakah kamu masih ingat dengan materi bilangan bulat yang telah kamu pelajari
padaKB sebelumnya? Ternyata, tidak semua masalah yang terjadi dalam
kehidupan sehari-hari dapat dinyatakan dengan konsep bilangan bulat. Contohnya,
ketika kamu ingin membagi kue ulang tahun untuk diberikan kepada tiga
temanmu, maka kue ulang tahun yang diperoleh tiap orangnya tidak dapat
dinyatakan dengan konsep bilangan bulat, tetapi kita dapat menyatakannya
dengan konsep bilangan pecahan. Perhatikan gambar berikut!
1
bagian
3
1
bagian
3
1
bagian
3
Bentuk bilangan
a
, dengan b tidak sama dengan nol, a kita namakan pembilang
b
dan b kita namakan penyebut, maka bilangan tersebut dinamakan bilangan
pecahan.
Bilangan pecahan adalah nilai bilangan antara dua bilangan bulat yang ditulis
a
, b  0 , a disebut pembilang dan b disebut penyebut. Pecahan negatif diperoleh
b
ketika pembilang atau penyebutnya merupakan bilangan bulat negatif.
Contoh:
1.
1
1
ditulis 
2
2
2.
3
3
ditulis 
4
4
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Contoh 7.1.1:
Dua buah roti yang sama besar dibagikan kepada 5 orang anak. Berapa bagiankah
setiap anak tersebut mendapatkan roti?
Jawaban:
Secara sederhana, dapat ditulis 2 : 5 =
2
5
Contoh 7.1.2:
Gambar berikut memperlihatkan sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 8 daerah
yang sama besar.
(i)
(ii)
Berapa bagiankah setiap daerah yang diarsir pada gambar di atas?
Jawaban:
Secara sederhana dapat ditulis: (i)
2
8
(ii)
5
8
Contoh 7.1.3:
Tentukan mana pembilang dan penyebut dari pecahan berikut:
a.
3
4
b.
7
5
Jawaban:
a. 3 disebut pembilang dan 4 disebut penyebut
b. 7 disebut pembilang dan 5 disebut penyebut
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
JENIS BILANGAN PECAHAN
1. Pecahan Biasa
Ada banyak nama untuk bilangan seperenam, di antaranya adalah:
2 3 4 5
, , , ,
12 18 24 30
dan sebagainya. Nama-nama seperti itu disebut nama biasa atau nama pecahan
biasa.
2. Pecahan Campuran
Pecahan yang memiliki campuran nama bilangan bulat dan nama pecahan biasa
disebut pecahan campuran. a
b
merupakan pecahan campuran karena memiliki
c
nama bilangan bulat yaitu a dan nama pecahan biasa yaitu
a
b
. Pecahan campuran
c
b
(c  a )  b
dengan c  0 dapat dinyatakan pula dengan pecahan biasa
.
c
c
3. Pecahan Desimal
Pecahan dengan menggunakan nama desimal disebut pecahan desimal.
Contoh:
1
3
nama desimalnya 0,5 dan
nama desimalnya 0,75.
2
4
4. Persen
Persen mengandung arti perseratus, dilambangkan “%”. Persen adalah nama lain
dari suatu pecahan dengan penyebut 100. Contoh: 25 persen ditulis 25% atau
dapat pula dinyatakan
25
a
. Untuk setiap pecahan
dengan b  0 dapat
100
b
dinyatakan dalam bentuk persen menjadi
a
a
=  100% .
b
b
5. Permil
Permil mengandung arti perseribu, dilambangkan “ 0 00 ”. Permil adalah nama lain
dari suatu pecahan dengan penyebut 1000. Contoh: 25 permil ditulis 25 0 00 atau
dapat pula dinyatakan
a
25
. Untuk setiap pecahan
dengan b  0 dapat
b
1000
dinyatakan dalam bentuk permil menjadi
Maulana
a a
=  1000 0 00 .
b b
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
PECAHAN MURNI DAN
PECAHAN TIDAK MURNI
Dengan memperhatikan pembilang dan penyebutnya, suatu bilangan pecahan
dapat kita golongkan ke dalam pecahan murni dan pecahan tidak murni.
Pecahan
a
kita sebut pecahan murni, apabila nilai a selalu lebih kecil daripada
b
nilai b. Contoh:
1 2 3
a
, , . Sedangkan pecahan
kita sebut pecahan tidak murni,
2 5 4
b
apabila nilai a selalu lebih besar daripada nilai b. Contoh:
52 9 10
, ,
.
91 5 6
Khusus untuk pecahan tidak murni dapat kita nyatakan dalam bentuk pecahan
campuran dan cara mengubahnya kita pelajari pada subbab berikutnya.
a
dengan a  b merupakan pecahan tidak murni.
b
a
dengan a  b merupakan pecahan murni.
b
Contoh 7.1.4:
Manakah di antara pecahan-pecahan berikut yang merupakan pecahan murni dan
pecahan tidak murni!
a.
225
99
b.
100
99
c.
49
50
d.
2
5
Jawaban:
a. Karena 225 lebih besar daripada 99, maka pecahan
225
merupakan pecahan
99
tidak murni.
b. Karena 100 lebih besar daripada 99, maka pecahan
tidak murni.
Maulana
100
merupakan pecahan
99
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
c. Karena 49 lebih kecil daripada 50, maka pecahan
49
merupakan pecahan
50
murni.
d. Karena 2 lebih kecil daripada 5, maka pecahan
2
merupakan pecahan murni.
5
PECAHAN SENILAI
Perhatikan gambar berikut!
(i)
(ii)
Gambar di atas menunjukkan dua lingkaran yang sama, tetapi gambar (i) dibagi
menjadi 8 bagian, sehingga daerah yang diarsir menunjukan pecahan
4
dan
8
gambar (ii) dibagi menjadi 4 bagian, sehingga daerah yang diarsir menunjukan
pecahan
2
. Karena pada kedua gambar tersebut daerah arsirannya sama besar,
4
maka pecahan
4
dan
8
2
memiliki nilai yang sama. Secara singkat dapat kita
4
katakan bahwa
4
2
senilai dengan .
8
4
Kemudian, jika kita mengamati lebih lanjut, ternyata
hubungan, yaitu kita dapat memperoleh
4
2
dan
memiliki
8
4
2
4
dari pecahan
dengan cara membagi
4
8
4 4 : 2 2
  . Begitu juga
pembilang dan penyebutnya dengan bilangan 2  
8 8 : 2 4
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
sebaliknya kita dapat memperoleh
4
2
dari pecahan
, yaitu dengan cara
8
4
 2 2 x2 4 
 .
mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan 2  
 4 4 x2 8 
Dari uraian di atas kita dapat menyimpulkan bahwa untuk mendapatkan pecahan
senilai dari suatu pecahan dapat kita lakukan dengan membagi atau mengalikan
pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama.
Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang sama
nilainya dan dapat diperoleh dengan mengalikan
bilangan yang sama pada pembilang dan penyebut
dari suatu pecahan.
a ak
a a: j

atau 
b mk
b b: j
Contoh 7.1.6:
Tentukan pecahan-pecahan yang senilai dengan pecahan
3
!
2
Jawaban:
-
-
-
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka 2, maka diperoleh
3 3x 2 6


2 2 x2 4
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka 3, maka diperoleh
3 3 x3 9


2 2 x3 6
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka 4, maka diperoleh
3 3x 4 12

 , dan seterusnya.
2 2 x4 8
-
MEMBANDINGKAN DUA PECAHAN
Apakah kamu senang makan martabak telor? Misalnya di rumah, kamu punya
satu orang adik. Kebetulan malam itu ayah membeli sebuah martabak telor dan
dibagikan kepada kedua orang anaknya, yaitu kamu dan adikmu. Kamu
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
mendapatkan
2
1
bagian dan adikmu mendapatkan bagian dari martabak telor
5
4
yang dibeli ayah. Siapakah yang mendapatkan bagian martabak telor yang lebih
banyak? Mengapa? Agar kau dapat menjawab permasalahan tersebut, alangkah
lebih baiknya jika kamu ikuti penjelasan mengenai cara membandingkan dua
pecahan berikut ini. Selamat mengikuti!
Untuk dapat membandingkan dua pecahan, ada tiga hal penting yang harus kamu
perhatikan, yaitu:
1.
a
a p
p
lebih dari , ditulis > .
b
b r
r
2.
a
a
p
p
sama dengan , ditulis = .
b
b
r
r
3.
a
a
p
p
kurang dari , ditulis < .
b
b
r
r
Untuk mengetahui hubungan antara dua pecahan,
samakan dahulu penyebut pada kedua pecahan yang
dibandingkan tersebut.
Contoh 7.1.7:
Apakah hubungan antara
kurang dari
1
1
1
1
1
dan
? Apakah lebih dari
atau sebaliknya
8
10
8
10
8
1
?
10
Jawaban:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyamakan dahulu penyebut
pada kedua pecahan tersebut dengan cara mencari KPK dari 8 dan 10. Setelah kita
mengetahui bahwa KPK dari 8 dan 10 adalah 40, selanjutnya
Maulana
1
1
….
berubah
8
10
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
menjadi
5
4
….
(Mari kita cari tahu, kenapa jadi seperti itu?). Langkah
40
40
terakhir, kita tinggal melihat bilangan yang terdapat pada pembilang, yaitu
bilangan 4 dan 5. Kalau menurut kamu mana yang lebih besar nilainya, bilangan 4
atau bilangan 5?
Karena bilangan 5 lebih besar nilainya dari bilangan 4, maka kita dapat
menyimpulkan bahwa
5
4
1 1

. Dan hal itu berarti bahwa 
.
40 40
8 10
MENGUBAH BENTUK PECAHAN
KE BENTUK LAIN
Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal
Dua konsep yang harus dipahami benar dalam topik ini, yaitu konsep pecahan
biasa dan pecahan desimal. Dalam topik ini, kita akan mencoba belajar mengubah
bentuk pecahan biasa ke pecahan desimal atau sebaliknya. Perhatikan beberapa
contoh 7.1.8 berikut.
1.
35
 0,35
100
2.
3 3  25 75


 0,75
4 4  25 100
3.
3 3  125 375


 0,375
8 8  125 1000
Dalam menyelesaikan pengubahan bentuk pecahan biasa ke pecahan desimal,
kamu harus selalu mengubah dulu penyebut agar merupakan bilangan
perpangkatan 10, yaitu 10, 100, 1000, dan seterusnya. Pada contoh 2 dan 3 kamu
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
dapat melihat bagaimana proses yang harus dilakukan untuk mengubah
3
3
dan
4
8
ke dalam bentuk pecahan desimal.
Lalu bagaimana cara yang harus kamu lakukan agar dapat mengubah dari bentuk
pecahan desimal ke bentuk pecahan biasa? Berikut ini disajikan beberapa contoh
mengenai hal tersebut.
1. 0,75  (7 
1
1
7
5
70
5
75
)  (5 
)




10
100
10 100 100 100 100
2. 0.375  (3 
1
1
1
3
7
5
300
70
5
375
)  (7 
)  (5 
) 





10
100
1000 10 100 1000 1000 1000 1000 1000
Suatu pecahan yang mempunyai penyebut 10, 100, 1000 dan seterusnya disebut
pecahan desimal. Ada dua macam pecahan desimal, yaitu:
1. Pecahan desimal yang jelas, misalnya:
1 25
35
,
, dan
.
10 100
100
2. Pecahan desimal yang masih harus ditentukan, misalnya:
untuk
3
. Nama desimal
4
3
75
adalah 0,75 dan pecahan desimalnya adalah
.
4
100
MENGUBAH BENTUK PECAHAN KE BENTUK PERSEN
Perhatikan beberapa contoh berikut.
1.
1 1  50
50


 50%
2 2  50 100
2.
3 3  20 60


 60%
5 5  20 100
3. 75%  75 
Maulana
1
75
75 : 25 3



100 100 100 : 25 4
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
MENGUBAH BENTUK PECAHAN KE BENTUK PERMIL
Perhatikan beberapa contoh berikut.
1.
7
7  50
350


 350 0 00
20 20  50 1000
2. 75 0 00  75 
1
75
75 : 25
3



1000 1000 1000 : 25 40
MENGUBAH BENTUK PECAHAN KE BENTUK
PECAHAN CAMPURAN
Perhatikan beberapa contoh berikut.
1.
2.
19 15 4
4
4

  3  3
5
5 5
5
5
2
7 (6  2)  7 12  7 19



6
6
6
6
Ketika kamu mengubah bentuk pecahan ke bentuk lainnya atau sebaliknya, kamu
dapat membuat pecahan dalam bentuk yang paling sederhana. Suatu pecahan
dikatakan sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor
persekutuan lagi, kecuali 1.
Misalnya, sederhanakanlah pecahan
27
27 27 : 9 3

 .
! Maka
36
36 36 : 9 4
OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN
PENJUMLAHAN PECAHAN
Dalam operasi penjumlahan ada dua hal penting yang harus diperhatikan.
Pertama, ketika kamu akan menjumlahkan pecahan dengan penyebutnya yang
telah sama, maka kamu dapat secara langsung menjumlahkan pembilangpembilangnya saja.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Contoh 7.1.9:
2 6 26 8
 

5 5
5
5
Kedua, ketika kamu akan menjumlahkan pecahan dengan penyebutnya yang tidak
sama, maka kamu harus mengubah dulu pecahan tersebut sehingga penyebutnya
yang baru merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebut
semula.
Contoh 7.1.10:
2 4 2  5 4  3 10 12 22
 




3 5 3  5 5  3 15 15 15
Agar lebih mudahnya, perhatikan formula berikut ini:
a c ac
 
b b
b
a c ad  cb
 
b d
bd
SIFAT PENJUMLAHAN PADA PECAHAN
4. Sifat Komutatif Penjumlahan
a c c a
  
b b b b
5. Sifat Asosiatif Penjumlahan
a c d a c d
(  )  (  )
b b
b b b b
PENGURANGAN PADA PECAHAN
Perhatikan contoh berikut.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
1.
5 4 1
 
8 8 8
2.
3 2 3  8 2  7 24 14 10
 




7 8 7  8 7  8 56 56 56
Agar lebih mudahnya, perhatikan kedua formula berikut ini:
a c ac
 
b b
b
a c ad  cb
 
b d
bd
SIFAT PENGURANGAN PADA PECAHAN
Pengurangan Pecahan Tidak Bersifat Komutatif
a c c a
  
b b b b
PERKALIAN PECAHAN
Pada operasi perkalian pecahan berlaku pengerjaan-pengerjaan seperti berikut ini.
1. a 
1 a

b b
Contoh: 2 
1 2

5 5
2.
1 1
1
1
 

a b a  b ab
Contoh:
1 1 1
 
4 3 12
3.
p q pq
 
a b ab
Contoh:
2 1
2 1
2



5 12 5  12 60
SIFAT OPERASI PERKALIAN PADA PECAHAN
1.
Sifat Komutatif Perkalian
a c c a
  
b d d b
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
2.
Sifat Asosiatif Perkalian
a c
p a c p
(  )  (  )
b d
q b d q
3.
Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan
a c p
a c
a p
(  )  (  )(  )
b d d
b d
b d
4.
Sifat Distributif Perkalian terhadap Pengurangan
a c p
a c
a p
(  )  (  )(  )
b d d
b d
b d
5.
Sifat Perkalian Pecahan dengan Bilangan 1
a
a
1 
b
b
6.
Sifat Perkalian Pecahan dengan Bilangan 0
a
a
0  0  0
b
b
7.
Sifat Urutan Pecahan
a c
  ad  cb
b d
PEMBAGIAN PECAHAN
Dalam operasi pembagian pecahan, sembarang
a
c
dan
dengan b  0 dan
b
d
d  0 berlaku:
a
a d
a d


a c b
a d
: 
 b c  b c   ,
c
c d
b d
1
b c

d
d c
Maulana
d
c
adalah kebalikan dari
c
d
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Contoh:
3 5 3 2 6
:   
7 2 7 5 35
PEMANGKATAN PECAHAN
a
a a a
a
( ) n     ....  ,
b
b b b
b
b  0 , n  bulat positif.
Sifat-Sifat Pemangkatan Pecahan:
a
a
a
2
2
2
2
1. ( ) m  ( ) n  ( ) m  n
Contoh: ( ) 2  ( ) 4  ( ) 2  4  ( )6
b
b
b
3
3
3
3
a
a
a
2. ( ) m : ( ) n  ( ) m  n
b
b
b
2
2
2
2
Contoh: ( ) 4 : ( ) 2  ( ) 4  2  ( ) 2
3
3
3
3
a
a
3. [( ) m ]n  ( ) m  n
b
b
2
2
2
Contoh: [( ) 2 ]4  ( ) 2 4  ( )8
3
3
3
OPERASI PADA BILANGAN DESIMAL
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PADA BILANGAN DESIMAL
Pada operasi penjumlahan dan pengurangan, kamu perlu memperhatikan dua hal
penting, yaitu tanda koma diletakkan dalam satu lajur dan angka ratusan,
puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya diletakkan
pada satu lajur pula.
Contoh 7.1.11:
a. 0,653 + 0,383 = ……..
b. 0,789 – 0,123 = ………
Jawaban:
a. 0,653
0,383
1,036
Maulana
b. 0,789
+
0,123 –
0,666
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
PERKALIAN PADA BILANGAN DESIMAL
Proses pengerjaan perkalian pada bilangan desimal harus memperhatikan hal
berikut, yaitu banyak tempat desimal dari hasil kali diperoleh dengan
menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengali-pengalinya.
Contoh 7.1.12:
0,35
0,21
dua tempat desimal

0,0735
dua tempat desimal
empat tempat desimal
PEMBAGIAN PADA BILANGAN DESIMAL
Contoh 7.1.13:
15,235 : 0,5  ........
Jawaban:
15,235 10 152,35
 
 30,47
0,5
10
5
Tiga aturan yang harus Anda pahami untuk proses pembulatan pecahan desimal,
yaitu:
1. Untuk membulatkan bilangan sampai 1 tempat desimal, maka kamu harus
memperhatikan angka di belakang koma.
2. Jika angka yang akan dibulatkan lebih dari atau sama dengan 5, maka
angka di depannya bertambah satu.
3. Jika angka yang akan dibulatkan kurang dari 5, maka angka di depannya
tetap.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Contoh 7.1.14:
1. 0,35 jika ingin dibulatkan menjadi satu angka di belakang koma (satu
desimal), maka menjadi 0,4 (aturan 2).
2. 0,34 jika ingin dibulatkan menjadi satu angka di belakang koma (satu
desimal), maka menjadi 0,3 (aturan 3).
3. Bilangan 163 jika dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 160. Kenapa?
Karena angka batas pada tempat bilangan puluhan yaitu bilangan 3 kurang
dari 3, maka kita kita dapat membuangnya.
4. Bilangan 165 jika dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 170. Mengapa?
Lihat aturan 2.
5. Bila angka di belakang batas sama dengan 5 dan ada angka selain nol yang
mengikutinya, tambahkan 1 pada angka di depannya. 2,725006 ke
perseratusan terdekat adalah 2,73.
6. Bila angka di belakang batas sama dengan 5 dan tidak angka selain nol
yang mengikutinya, genapkan angka di depannya. 5,455 ke perseratusan
terdekat adalah 5,46.
BENTUK BAKU
Bentuk baku bilangan adalah penulisan bilangan yang menggunakan bilangan
berpangkat dengan bilangan pokok 10. Penulisan bentuk baku ini biasanya
digunakan untuk bilangan yang sangat besar maupun yang sangat kecil.
Ada dua aturan penting dalam penulisan bentuk baku, yaitu:
1. Bentuk baku bilangan yang sangat besar dapat dinyatakan dengan a  10 n ,
dengan 1  a  10 dan n merupakan bilangan asli.
Contoh: 283,9  2,839  100  2,839  102
2. Bentuk baku bilangan yang sangat kecil dapat dinyatakan dengan a 10 n ,
dengan 1  a  10 dan n merupakan bilangan asli.
Contoh: 0,0000012  1,2  106
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Untuk mempermudah kamu dalam membuat bentuk baku dari
sebuah bilangan, lakukan langkah-langkah berikut ini.
1. Tentukan nilai a.
2. Tentukan nilai n.
Contoh: Tulislah bilangan 15.000.000 dalam bentuk baku!
Jawab:
Lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Cari nilai a sehingga
memenuhi aturan 1  a  10 . Nilai a yang memenuhi aturan
tersebut adalah 1,5. Selanjutnya kita akan menentukan nilai n
dengan cara menggeser tanda koma ke kanan untuk mengubah
1,5 menjadi 15.000.000. Ternyata untuk mengubah 1,5 menjadi
15.000.000 kita harus menggeser tanda koma sebanyak 7 kali
yang berarti n=7. Dengan demikian kita dapat mengetahui bahwa
bentuk baku dari 15.000.000 adalah 1,5  107 .
Contoh 7.1.15:
Tulislah bilangan-bilangan di bawah ini dalam bentuk baku!
a. 5.600.000
b. 0,000095
Jawaban:
a. Pertama, tentukan dahulu nilai a. Nilai a dari 5.600.000 adalah 5,6 karena
1  5,6  10 . Kemudian kita tentukan nilai n dengan cara menggeser tanda
koma desimal untuk mengubah 5,6 menjadi 5.600.000. Ternyata untuk
mengubah 5,6 menjadi 5.600.000 kita harus menggeser tanda koma sebanyak
6 kali yang berarti n = 6. Jadi, bentuk baku dari 5.600.000 adalah 5,6  106 .
b. Nilai a dari 0,000095 adalah 9,5 karena 1  9,5  10 . Untuk mengubah 9,5
menjadi 0,000095 kita harus menggeser tanda koma ke kiri sebanyak 5 kali
yang berarti n = 5. Jadi, bentuk baku dari 0,000095 adalah 9,5  105 .
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
LATIHAN 7.1
1. Jika sebuah pekerjaan dikerjakan oleh A, maka dalam satu hari pekerjaan itu
selesai sepertiganya. Sedangkan bila dilakukan oleh B, maka satu pekerjaan
akan diselesaikannya dalam enam hari. Jika mereka berdua melakukannya
bersama-sama, berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan?
2. Seorang nenek dengan 5 cucu, memiliki sebidang tanah kebun berbentuk
persegi yang di dalamnya terdapat kolam berbentuk persegi pula, serta
sepuluh pohon jeruk yang sama besarnya. Si nenek berpesan, “Cucu-cucuku…
mungkin umur nenek tidak lama lagi… dan nenek tidak memiliki apa-apa
untuk diberikan kepada kalian kecuali kebun dengan sepuluh pohon jeruknya.
Tolong, kalian bagi rata kebun tersebut, hingga kalian masing-masing
memperoleh luas kebun yang sama, dengan dua pohon jeruk di dalamnya…”
Dapatkah Anda memecahkan masalah ini? Bagaimana caranya?

 




 
Keterangan:

= pohon jeruk.
3. Misalkan a dan b biangan bulat yang berbeda, sehingga:
Tentukanlah nilai
Maulana
a
!
b
ab  a  10b
 2.
b  10a
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
JAWABAN LATIHAN 7.1
1. Jika sebuah pekerjaan dikerjakan oleh A, maka dalam satu hari pekerjaan itu
selesai sepertiganya. Sedangkan bila dilakukan oleh B, maka satu pekerjaan
akan diselesaikannya dalam enam hari. Jika mereka berdua melakukannya
bersama-sama, berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan?
Permasalahan tersebut dapat dinyatakan kembali seperti ini:

Jika A mengerjakan, maka selesai
1
bagiannya dalam sehari.
3

Jika B mengerjakan, maka selesai
1
bagiannya dalam sehari.
6
Atau, pernyataan lain yang masih ekuivalen:

Jika A mengerjakan, maka pekerjaan selesai dalam 3 hari.

Jika B mengerjakan, maka pekerjaan selesai dalam 6 hari.
Kemudian, kita akan memisalkan si A dan si B berunding untuk
mengerjakan bersama-sama, sehingga terjadi percakapan seperti ini.
A:
“Mari kita selesaikan pekerjaan ini bersama-sama, agar kita dapat
lebih cepat menyelesaikannya.”
B:
“Baiklah, tapi bagaimana caranya?”
A:
“Aku akan mulai mengerjakannya dari sebelah kiri, sedangkan
kamu bekerja mulai dari sebelah kanan. Pada akhirnya nanti kita akan
bertemu di pertengahan.”
B:
“Ide yang bagus. Ayo, kita mulai!”
Dari percakapan yang sengaja kita buat tersebut, kita akan melukis
modelnya berupa gambar berikut:
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Dengan demikian, dari ilustrasi tersebut kita menemukan jawabannya, yakni
jika A dan B bekerja bersama-sama, maka pekerjaan itu selesai dalam waktu 2
hari.
2. Salah satu caranya adalah di bawah ini. tentukan oleh Anda beebrapa cara
lainnya!

 




Keterangan:

 
= pohon jeruk.
3. Misalkan a dan b biangan bulat yang berbeda, sehingga:
Maka untuk menentukan nilai
a
adalah:
b
ab  a  10b
 2 dikali dengan b(b  10a )
b  10a
a (b  10a )  b(a  10b)  2b(b  10a )
ab  10a 2  ab  10b 2  2b 2  20ab
10a 2  18ab  8b 2  0
dibagi dengan 2b 2 .
Maulana
ab  a  10b
 2.
b  10a
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
2
a
a
5   9   4  0
b
b
 a
 a 
 5  4   1  0
 b
 b 
a 4

b 5
RANGKUMAN
1. Bentuk bilangan
a
, dengan b tidak sama dengan nol, a kita namakan
b
pembilang dan b kita namakan penyebut, maka bilangan tersebut dinamakan
bilangan pecahan.
2. Jenis-jenis bilangan pecahan: Pecahan Biasa, Pecahan Campuran, Pecahan
Desimal, Persen, Permil.
3. Dengan memperhatikan pembilang dan penyebutnya, suatu bilangan pecahan
dapat kita golongkan ke dalam pecahan murni dan pecahan tidak murni.
Pecahan
a
kita sebut pecahan murni, apabila nilai a selalu lebih kecil
b
daripada nilai b. Sedangkan pecahan
a
kita sebut pecahan tidak murni,
b
apabila nilai a selalu lebih besar daripada nilai b.
4. Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang sama nilainya dan dapat
diperoleh dengan mengalikan bilangan yang sama pada pembilang dan
penyebut dari suatu pecahan.
a ak
a a: j

atau 
b mk
b b: j
5. Ada dua aturan penting dalam penulisan bentuk baku, yaitu:
 Bentuk baku bilangan yang sangat besar dapat dinyatakan dengan a  10 n ,
dengan 1  a  10 dan n merupakan bilangan asli.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
 Bentuk baku bilangan yang sangat kecil dapat dinyatakan dengan a 10 n ,
dengan 1  a  10 dan n merupakan bilangan asli.
TES FORMATIF 7.1
1. Riana dan Ira ingin mengecat pagar. Riana dapat menyelesaikan pengecatan
pagar
oleh
dirinya
sendiri
dalam
waktu
3
jam,
sedangkan
Ira
menyelesaikannya dalam 4 jam. Pukul 12.00 siang mereka mulai mengecat
pagar bersama-sama. Akan tetapi pada suatu waktu mereka bertengkar.
Mereka bertengkar selama 10 menit dan dalam masa itutidak satu pun yang
melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut, Ira pergi dan Riana
mentelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Riana menyelesaikan
pengecatan pukul 14.25, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai?
A. 12.30
C. 13.30
B. 13.00
D. 13.45
2. Misalkan: a 
E. 14.00
12 2 2 3 2
10012
12 2 2 3 2
10012
dan b  


 ... 

 ... 
1
3
5
2001
3
5
7
2003
Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a – b.
A. 499
C. 501
B. 500
D. 502
E. 503
1  1  1  
1 
1 

3. 1  1  1      1 
1 
  ...
4  5 
6 
n  2 
n  3

A.
1
n3
C.
3( n  2)
n3
B.
3
n3
D.
4 ( n  2)
n3
E.
4
(n  2)( n  3)
4. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi
berapakah m 2  n 2 ?
A. 600
Maulana
C. 400
D. 100
1 1 4
  ,
m n 7
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
B. 576
D. 200
5. Jarak sebuah bintang dari bumi adalah 375 juta km. Nyatakan jarak tersebut
ke dalam bentuk baku!
A. 375  106 km
C. 37,5  107 km
B. 3,75  106 km
D. 37,5  108 km
E. 3,75  108 km
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 7.1 yang
ada di bagian belakang modul ini. Kemudian hitunglah jumlah jawaban Anda
yang benar dan gunakanlah rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat
penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Rumus:
Tingkat Penguasaan 
Jumlah Jawaban Anda yang Benar
 100%
5
Arti penguasaan yang Anda capai:
90% – 100% : sangat baik
80% – 89%
: baik
70% – 79%
: cukup
– 69%
: kurang
Bila tingkat penguasaan Anda telah mencapai 80% ke atas, Anda dapat
melanjutkan ke Kegiatan Belajar 2. Selamat dan sukses! Akan tetapi bila tingkat
penguasaan Anda masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi lagi Kegiatan
Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
KEGIATAN BELAJAR 2
PERBANDINGAN
PENGANTAR
Dalam Kegiatan Belajar 2 ini, materi yang dicakup antara lain adalah : Pengertian
Perbandingan, Perbandungan Senilai dan Berbalik Nilai, dan Skala. Setiap kajian
materi tersebut disuguhkan dalam bentuk pemecahan masalah matematik. Materi
Perbandingan ini sangat erat kaitannya dengan materi yang Anda pelajari pada
Kegiatan Belajar 1, yakni Pecahan. Oleh karena itu, semakin Anda menguasai
materi Pecahan, akan lebih memudahkan Anda untuk menuntaskan Kegiatan
Belajar 2 ini.
INDIKATOR
Setelah mempelajari materi dalam Kegiatan Belajar 3 ini, Anda diharapkan dapat:
1. Memahami konsep, prinsip, dan aturan-aturan dalam bahasan perbandingan
dan aplikasinya.
2. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan
dengan topik perbandingan.
URAIAN
Tahukah Anda, juara dunia Formula Satu (F-1) 2005? Pemuda Spanyol ini telah
membuat rekor sebagai juara dunia F-1 termuda sepanjang sejarah. Fernando
Alonso berhasil mematahkan rekor sang juara dunia sebelumnya, raja F-1
berkebangsaan Jerman, Michael Schumacher. Walaupun baru juara dunia F-1
yang pertama kalinya, tetapi Fernando Alonso membuktikan bahwa dirinya sudah
mulai dapat disejajarkan dengan Michael Schumacher sekali pun yang sudah juara
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
dunia F-1 lima kali. Berapa perbandingan gelar juara yang telah diraih Alonso dan
Michael Schumacher di ajang F-1?
PENGERTIAN PERBANDINGAN
Ajang F-1 merupakan salah satu olah raga yang paling digemari oleh sebagian
besar masyarakat olah raga dunia. Siapa yang tidak kenal dengan nama besar
Michael Schumacher dan Fernando Alonso yang namanya kian melambung
setelah dirinya mampu menjuarai F-1 dalam usia yang masih sangat muda dalam
catatan sejarah F-1. Michael Schumacher telah menjadi juara dunia sebanyak lima
kali, sedangkan Fernando Alonso baru sekali merengkuh gelar juara dunia F-1.
Dari informasi tersebut kita dapat membandingkan gelar juara yang pernah diraih
oleh Michael Schumacher dan Fernando Alonso sebagai berikut.
1. Michael Schumacher menjadi juara dunia F-1 empat kali lebih banyak
dibanding raihan gelar juara yang pernah diraih Fernando Alonso. Dalam
contoh ini, kita membandingkan raihan gelar juara kedua pembalap F-1
dengan menentukan selisihnya, yaitu 5 – 1 = 4.
2. Michael Schumacher menjadi juara dunia F-1 lima kali dari yang pernah
dicapai Fernando Alonso. Dalam contoh ini, kita membandingkan pencapaian
juara dunia yang telah diraih oleh kedua pembalap dengan menentukan hasil
baginya, yaitu
5
atau ditulis 5 : 1 .
1
Apa yang dapat Anda simpulkan sementara ini?
Perbandingan adalah pembagian antara dua satuan yang sama. Contoh: Kita
memiliki kemeja A dan dasi A, serta kemeja B dan dasi B. Ketika kita ingin
membandingkan kedua benda tersebut dengan tepat, benda mana saja yang dapat
kita bandingkan? Apakah kemeja A akan kita bandingkan dengan dasi B atau
sebaliknya dasi B kita bandingkan dengan kemeja A untuk melihat dasi dan
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
kemeja mana yang lebih mahal harganya? Yang tepat, kita akan dapat
membandingkan dasi atau kemeja mana yang lebih mahal jika kita
membandingkan kemeja A dengan kemeja B, serta dasi A dan dasi B untuk
melihat mana yang lebih mahal di antara keduanya.
Perbandingan dapat dinyatakan dalam
a
atau a : b , dan dibaca a berbanding b,
b
b  0 . Adapun syarat sebuah perbandingan adalah:
1. Satuan-satuan yang diperbandingkannya sejenis.
2. Perbandingannya dibuat dalam bentuk pecahan yang paling sederhana dan
dinyatakan dengan bilangan bulat positif.
3. Perbandingan dapat disederhanakan bentuknya tanpa menggunakan
satuan.
Contoh 7.2.1:
Umur ayah adalah 40 tahun dan umur ibu adalah 35 tahun. Ayah dan ibu memiliki
seorang anak yang masih duduk di bangku SMU dengan umur 17 tahun.
a. Berapa perbandingan umur ayah terhadap umur ibu?
b. Berapa perbandingan umur ayah terhadap anaknya yang masih duduk di
bangku SMU?
c. Berapa perbandingan umur ibu terhadap anak tersebut?
Jawaban:
Ingat,
syarat
sebuah
perbandingan
adalah
satuan
atau
besaran
yang
dibandingkannya harus sejenis. Dalam contoh ini satuan/besaran yang akan kita
bandingkan adalah besaran yang sejenis, yaitu besaran umur.
a. umur ayah : umur ibu = 40 : 35, ditulis
40 8
 .
35 7
40
.
17
35
c. umur ibu : umur anak = 35 : 17, ditulis
.
17
b. umur ayah : umur anak = 40 : 17, ditulis
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Contoh 7.2.2:
Sederhanakanlah perbandingan-perbandingan berikut.
a.
20 : 45 = ….
b.
4 2
1 : 3  ...
6 3
Jawaban:
Perhatikan cara menyederhanakan perbandingan berikut ini.
a. 20 : 45 
20 45
:
 4:9
5 5
4 2 10 11 10 3 30
:   
 5 : 11
b. 1 : 3 
6 3 6 3
6 11 66
Contoh 7.2.3:
Jika kecepatan mobil A adalah 250 km/jam dan perbandingan antara kecepatan
mobil A dan mobil B adalah 5 : 6. Berapa kecepatan mobil B?
Jawaban:
Kecepatan mobil A : kecepatan mobil B = 5 : 6, jika kecepatan mobil A adalah
250 km/jam, maka kecepatan mobil B adalah,
kecepatan mobil A 5

kecepatan mobil B 6
5  kecepatan mobil B  6  kecepatan mobil A
6
 kecepatan mobil A
5
6
kecepatan mobil B   250  300
5
kecepatan mobil B 
Jadi, kecepatan mobil B adalah 300 km/jam.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
PERBANDINGAN SENILAI
Agar Anda dapat memahami mengenai konsep perbandingan senilai, perhatikan
tabel berikut ini.
Banyak jam tangan
Harga (Rp)
Keterangan
1
15.000
Baris ke-1
2
30.000
Baris ke-2
3
45.000
Baris ke-3
4
60.000
Baris ke-4
5
75.000
Baris ke-5
A
B
Baris ke-6
Jika kita perhatikan tabel tersebut, maka kita dapat melihat bahwa besar harga
untuk satu buah jam tangan dalam setiap baris adalah:
15.000 30.000 45.000 60.000 75.000 A




  15.000
1
2
3
4
5
B
Contoh di atas merupakan penjelasan mengenai konsep perbandingan senilai,
yaitu perbandingan harga jam tangan yang jika jumlah jam tangannya terus
bertambah, maka harganya pun terus bertambah pula.
Perbandingan senilai merupakan suatu bentuk
perbandingan yang jika salah satu besaran yang
diperbandingkannya naik, maka besaran yang lainnya
pun ikut naik. Sebaliknya, jika salah satu besaran yang
diperbandingkan turun, maka besaran yang lainnya
pun ikut turun.
Ada dua cara untuk menghitung perbandingan senilai, yaitu:
1. Berdasarkan Nilai Satuan
Contoh 7.2.4:
Harga 3 buah komik Rp.45.000,00. Berapa harga 6 buah komik?
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Jawaban:
Untuk dapat mengetahui berapa harga 6 buah komik, kita harus mengetahui
terlebih dahulu harga satuan sebuah komik. Informasi apa yang dapat kita jadikan
modal untuk dapat menjawab soal itu? Perhatikan kalimat pertama pada soal,
Harga 3 buah komik Rp.45.000,00. Informasi itu sangat membantu kita agar dapat
menjawab permasalahan yang diajukan. Kalau harga 3 buah komik Rp.45.000,00,
berapa harga sebuah komik?
Harga 1 buah komik =
45.000
 15.000
3
Setelah kita mengetahui bahwa harga 1 komik Rp.15.000,00, maka kita dapat
mencari harga 6 buah komik sebagai berikut.
Harga 6 buah komik = 6  harga 1 buah komik = 6 15.000  90.000
Jadi, harga 6 buah komik adalah Rp.90.000,00.-
2. Berdasarkan Perbandingan
Cara kedua untuk menghitung perbandingan senilai adalah dengan cara
perbandingan. Kita akan mencoba menyelesaikan permasalahan pada contoh soal
di atas dengan cara perbandingan sebagai berikut.
Banyak komik
Harga (Rp)
3
45.000
6
x
Perbandingan harga komik dan harganya dapat ditulis dalam bentuk 3 : 6 = 45.000
: x.
Dalam bentuk yang lain dapat ditulis,
menjadi:
3  x  6  45.000
Maulana
3 45.000

dan dapat diselesaikan
6
x
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
x
6
 45.000
3
x  90.000
Jadi, ternyata jawabannya sama dengan cara menghitung perbandingan
berdasarkan nilai satuan, yaitu Rp.90.000,00.
Perbandingan senilai didasarkan pada dua cara,
yaitu:
1. Berdasarkan nilai satuan.
2. Berdasarkan perbandingan.
PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
Perhatikan tabel berikut ini.
Kecepatan ( m det ik )
Waktu (detik)
Keterangan
50
60
Baris ke-1
100
30
Baris ke-2
200
15
Baris ke-3
300
10
Baris ke-4
600
5
Baris ke-5
Kalau kita perhatikan dengan seksama, semakin besar nilai yang terdapat pada
kolom kecepatan, maka nilai waktu semakin kecil. Mari kita uraikan beberapa
perbandingan pada tabel di atas.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Kita lihat perbandingan pada baris 1 dan 2. Jika kecepatan dikali 2 (50 m det ik
menjadi 100 m det ik ) , maka waktu dibagi 2 atau dikali
1
(60 detik menjadi 30
2
detik).
1. Pada baris ke-3 dan ke-6, jika kecepatan dikali 3 (200 m det ik menjadi
600 m det ik ), maka waktu dibagi 3 atau dikali
1
(15 detik menjadi 5 detik).
3
2. Pada baris ke-4 dan ke-5, jika kecepatan dikali 2 (300 m det ik menjadi 600
m
det ik ), maka waktu dibagi 2 atau dikali
1
(10 detik menjadi 5 detik), dan
2
seterusnya.
Pada tabel di atas, kita dapat melihat sebuah contoh mengenai konsep
pebandingan berbalik nilai. Jika salah satu besaran nilainya bertambah, maka
besaran lainnya yang diperbandingkan nilainya semakin berkurang.
Perbandingan berbalik nilai adalah suatu bentu
perbandingan yang jika salah satu besaran yang
diperbandingkan nilainya bertambah, maka besaran
lainnya nilainya semakin kecil.
Bentuk umum perbandingan berbalik nilai:
1
a:b= a:
b
SKALA
Apakah kamu pernah menggambar peta? Apakah kita mengambarkan suatu
wilayah pada peta dengan ukuran yang sebenarnya? Ternyata tidak, karena dalam
menggambar sebuah peta menggunakan konsep perrbandingan senilai, di mana
perbandingan antara jarak-jarak wilayah yang digambarkan dalam peta dan jarak
yang sesungguhnya adalah sama. Dalam sebuah peta, kita sering menemukan
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
istilah skala. Skala adalah perbandingan antara ukuran gambar pada peta dan
ukuran benda sesungguhnya. Apa artinya 1 : 2.500.000? Arti dari 1 : 2.500.000
yang terdapat pada peta adalah bahwa dalam setiap 1 cm pada gambar mewakili
2.500.000 cm pada ukuran sebenarnya.
Contoh 7.2.5:
Tentukan skala pada peta, jika jarak 2 cm pada peta mewakili jarak 5 km!
Jawaban:
Skala = ukuran gambar : ukuran sebenarnya
= 2 cm : 5 km
= 2 cm : 500.000 cm
= 1 : 250.000
Jadi, skala pada peta tersebut adalah 1 : 250.000.
LATIHAN 7.2
1. Di suatu padang rumput, Syahda dan Ria melihat sekumpulan hewan ternak
yang terdiri dari kambing dan ayam. Secara keseluruhan, Syahda melihat 13
ekor hewan. Sedangkan Ria melihat 38 kaki hewan. Berapa perbandingan
jumlah kambing dan ayam yang ada di padang rumput tersebut?
2. Suatu gambar peta kota berskala 1 : 200. Tentukan jarak pada gambar peta
kota tersebut jika jarak sebenarnya 8,5 km!
3. Sebuah bak mandi dapat terisi air penuh jika menggunakan 80 timba air
dengan volume 12 liter. Berapa timba air yang diperlukan untuk mengisi bak
mandi dengan volume 15 liter?
JAWABAN LATIHAN 7.2:
1. Untuk menjawab permasalahan tersebut kita gunakan variabel yang kita susun
menjadi persamaan sesuai dengan permasalahan. Misalnya kambing
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
dilambangkan dengan k dan ayam diberi lambang a, dan ingat bahwa kaki
seekor kambing ada 4, serta seekor ayam mempunyai 2 kaki. Dari sini kita
memperoleh suatu sistem persamaan linear:
4k  2a  38
k  a  13
Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan berbagai
cara, misalnya substitusi, eliminasi, grafik, atau gabungan antara subtitusi dan
eliminasi. Mari kita selesaikan masalah ini!
4k  2a  38 dan k  a  13  a  13  k
sehingga:
4k  2(13  k )  38
4k  26  2k  38
4k  2k  38  26
2k  12
k 6
Nilai k = 6 kita substitusikan ke dalam k  a  13
sehingga:
6  a  13
a  13  6
a7
Jadi, hewan yang ada di padang rumput adalah 6 ekor kambing dan 7 ekor
ayam.
2. Ukuran gambar = skala  ukuran sebenarnya
=
1
 8,5km
200cm
=
850000cm
 4250cm
200cm
Jadi, jarak gambar pada peta berskala 1 : 200 dengan jarak sebenarnya 8,5 km
adalah 4250 cm.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
3. Untuk menjawab permasalahan pada nomor 3, silkan Anda perhatikan uraian
berikut ini:
Timba air
Volume liter
80
12
x
15
Cara I (menggunakan perbandingan), yaitu:
80 12

x 15
x 12

80 15
15  x  12  80
x
12  80
15
x  64
Jadi, untuk dapat memenuhi bak mandi dengan volume 15 liter, kita
membutuhkan 64 timba air.
Cara II (menggunakan hasil kali), yaitu:
Sebuah bak mandi dapat terisi penuh 80  12 liter = 960 liter. Jika kita ingin
mengisi penuh bak mandi dengan timba bervolume 15 liter, maka kita
membutuhkan
960
 64 timba air.
15
Perbandingan senilai didasarkan pada dua cara,
yaitu:
1. Berdasarkan perbandingan
2. Berdasarkan hasil kali
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
RANGKUMAN

Perbandingan adalah pembagian antara dua satuan yang sama.

Perbandingan dapat dinyatakan dalam
a
atau a : b , dan dibaca a berbanding
b
b, b  0 . Adapun syarat sebuah perbandingan adalah:

Satuan-satuan yang diperbandingkannya sejenis.

Perbandingannya dibuat dalam bentuk pecahan yang paling sederhana dan
dinyatakan dengan bilangan bulat positif.

Perbandingan dapat disederhanakan bentuknya tanpa menggunakan
satuan.

Perbandingan senilai merupakan suatu bentuk perbandingan yang jika salah
satu besaran yang diperbandingkannya naik, maka besaran yang lainnya pun
ikut naik. Sebaliknya, jika salah satu besaran yang diperbandingkan turun,
maka besaran yang lainnya pun ikut turun.

Perbandingan berbalik nilai adalah suatu bentu perbandingan yang jika salah
satu besaran yang diperbandingkan nilainya bertambah, maka besaran lainnya
nilainya semakin kecil.

Bentuk umum perbandingan berbalik nilai:
a:b= a:

1
b
Skala adalah perbandingan antara ukuran gambar pada peta dan ukuran benda
sesungguhnya.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
TES FORMATIF 7.2
1. Suatu peta berskala 1 : 600.000. Berapakah jarak sebenarnya antara 2 kota jika
jarak pada peta 18 mm?
A. 10,5 km
C. 10,7 km
B. 10,6 km
D. 10,8 km.
E. 10,9 km
2. Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter
10 cm. Tetapi yang tesedia hanya pipa-pipa berdiameter 3 cm. agar kapasitas
saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapa banyak pipa 3 cm
yang perlu dipakai untuk mengganti satu pipa 10 cm.
A. 10
C. 12.
B. 11
D. 13
E. 14
3. Sebuah segitiga sama sisi, sebuah lingkaran, dan sebuah persegi memiliki
keliling yang sama. Di antara ketiga bangun tersebut, manakah yang memiliki
luas terbesar?
A. Lingkaran.
B. Segitiga sama sisi
C. Persegi
D. Lingkaran dan persegi
E. Segitiga sama sisi dan persegi
4. Dalam suatu lingkaran berpusat di O yang luasnya L dibuat lingkaran yang
sepusat dengan jari-jari setengah dari jari-jari lingkaran luarnya. Luas
lingkaran kelima adalah...
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
A.
1
L
4
C.
1
L
32
B.
1
L
16
D.
1
L
64
E.
1
L.
256
5. Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sama sisi dan luasnya 1 satuan. Di dalam segitiga ABC dibuat
segitiga dengan titik sudutnya berimpit dengan pertengahan sisi-sisi segitiga
pertama. Begitu seterusnya. Tentukan luas segitiga keenam!
A.
1
4096
B.
1
1024
Maulana
.
C.
1
729
D.
1
64
E.
1
32
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 7.2 yang
ada di bagian belakang modul ini. Kemudian hitunglah jumlah jawaban Anda
yang benar dan gunakanlah rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat
penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Rumus:
Tingkat Penguasaan 
Jumlah Jawaban Anda yang Benar
 100%
5
Arti penguasaan yang Anda capai:
90% – 100% : sangat baik
80% – 89%
: baik
70% – 79%
: cukup
– 69%
: kurang
Bila tingkat penguasaan Anda telah mencapai 80% ke atas, Anda dapat
melanjutkanke BBM selanjutnya (BBM 8). Selamat dan sukses! Akan tetapi bila
tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi lagi
Kegiatan Belajar 2 BBM 7 ini, terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 7.1
1. Jawaban: B. 13.00
Misalkan pekerjaan tersebut adalah x.
VR 
x
x
dan V I 
3
4
Misalkan mereka bertengkar setelah t jam mengecat bersama-sama, maka:
 1 
V DUA DUANYA .t  V R  2  t   x
 4 
x 1 
 x x
  .t  . 2  t   x
3 4 
3 4
 7x 
3 1 
 .t  x.  t   x
 12 
4 3 
7
t
12
3
t
12
t 1
3 1
 t 1
4 3
1
4
Jadi, keduanya mulai bertengkar mulai pukul: 12.00 + 1.00 = 13.00.
2. Jawaban: C. 501
 12 2 2 3 2
10012   12 2 2 3 2
10012 
      ... 

a  b      ... 
1
3
5
2001
3
5
7
2003

 

ab
12 2 2 3 2 2 2
10012 1000 2



 ... 

1
3
5
5
2001
2001
a  b  1  1  1  1  ... 
a  b  1001 
(1001,5  0,5)  1001
2003
a  b  500,5 
Maulana
1001  1001
2003
1 1001

2 2003
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a – b adalah 501.
3
1  1  1  
1 
1 

3. Jawaban: B. 1  1  1      1 
1 

4  5  6  
n  2 
n  3 n  3

4. Jawaban D. 200.
Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi
berapakah m 2  n 2 .
1 1 4
 
m n 7
1 1 4
 
m n 7
1 1 7
1
  

m n 14 14
1 1 1 1
   
m n 2 14

diperoleh m = 2 dan n = 14.
Jadi m 2  n 2  2 2  14 2  4  196  200 .
5. Jawaban: E. 375 juta km = 375.000.000 km = 3,75  108 km
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 7.2
1. Jawaban: D. 10,8 km.
Ukuran sebenarnya = ukuran gambar : skala
= 18 mm :
1
600.000cm
= 1,8 cm :
1
600.000cm
= 1,8 cm 
600.000cm
1
= 1.080.000 cm
= 10,8 km
Maulana
1 1 4
  ,
m n 7
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Jadi, jarak sebenarnya antara dua kota dengan skala peta 1 : 600.000 dan jarak
pada peta 18 mm adalah 10,8 km.
2. Jawaban: C. 12.
Misalkan n adalah jumlah pipa kecil yang diperlukan.
n luas pipa kecil ≥ luas pipa besar
2
1 
1

n   3      10 
2 
2

n 
2
9
 25
4
n  25 
4
9
n  12
3. Jawaban: A. Lingkaran.
Misalkan keliling = 12x.
Setiap sisi segitiga = 4x  Luasnya = 4 x 2 3 .
Setiap sisi persegi = 3x  Luasnya = 9x2.
Lingkaran  Keliling = 12x = 2R  R 
Sehingga luas lingkaran = R 2  11,1x 2
4. Jawaban: E.
1
L.
256
L1    R 2  L
1
1
L2    ( R) 2  L
2
4
1
1
L3    ( R ) 2  L
4
16
1
1
L5    ( R ) 4 
L
4
256
Maulana
6x

Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
5. Jawaban: B.
1
1024
Cara yang digunakan mirip dengan nomor 4.
Glosarium
assosiative
commutative
desimal
distributive
permil
persen
skala
: sifat pengelompokkan
: sifat pertukaran
: dihubungan dengan atau didasarkan pada pokok
sepuluh
: sifat penyebaran
: dibagi seribu
: dibagi seratus
: skala adalah perbandingan antara ukuran gambar
pada peta dan ukuran benda sesungguhnya
DAFTAR PUSTAKA
Bryant, V. (1993). Aspectcs of Combinatorics: A Wide Ranging introduction.
Cambridge: Cambridge University Press.
Cabrera, G.A. (1992). A Framework for Evaluating the Teaching of Critical
Thinking. Education 113 (1) 59-63.
Copi, I.M. (1972). Introduction to Logic. New York: Macmillan.
Durbin, J.R. (1979). Modern Algebra. New York: John Wiley & Sons.
Gerhard, M. (1971). Effective Teaching Strategies With the Behavioral Outcomes
Approach. New York: Parker Publishing Company, Inc.
Lipschutz, S. (1981). Set Theory and Related Topics. Schaum Outline Series.
Singapore: McGraw Hill International Book Company.
Naga, D.S. (1980). Berhitung, Sejarah, dan Pengembangannya. Jakarta: PT.
Gramedia.
Purcell, E.J. dan Varberg, D. (1996). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta:
Erlangga.
Maulana
Modul 7 Pemecahan Masalah Matematik
Ruseffendi, E.T. (1984). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Bandung:
Tarsito.
Ruseffendi, E.T. (1991). Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan
Potensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan
CBSA. Bandung: Tarsito.
Suryadi, D. (2005). Penggunaan Pendekatan Pembelajaran Tidak Langsung serta
Pendekatan Gabungan Langsung dan Tidak Langsung dalam
Rangkan Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematik Tingkat
Tinggi Siswa SLTP. Disertasi Program Pascasarjana Universitas
Pendidikan Indonesia. Bandung: Tidak diterbitkan.
Thomas, D.A. (2002). Modern Geometry. California, USA: Pacific Grove.
Wheeler, R.E. (1992). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth.
Maulana