Format Evaluasi Bahan Ajar Cetak Jarak Jauh

SOLUSI PERIODIK TUNGGAL
SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH
Sugimin
Jurusan Matematika FMIPA UT
[email protected]
ABSTRAK
Suatu persamaan vektor berbentuk x& = f (x) dengan variabel bebas t yang tidak
dinyatakan secara eksplisit disebut persamaan autonomous. Persamaan Rayleigh
berbentuk &x& + x = μ 1 − x& 2 x&, μ > 0 . Bila persamaan Lienard &x& + f ( x) x& + x = 0
dengan f (x) kontinu-Lipschitz dalam ℜ memenuhi:
(
)
x
(i) F ( x) = ∫ f ( s ) ds suatu fungsi ganjil,
0
(ii) F (x) → +∞ untuk x → +∞ dan terdapat suatu konstanta β > 0 sehingga
untuk x > β , F ( x) > 0 dan monoton naik,
(iii) terdapat suatu konstanta α > 0 sehingga untuk 0 < x < α , F ( x) < 0 ,
maka persamaan tersebut paling sedikit mempunyai satu solusi periodik. Bila
α = β , maka hanya terdapat satu solusi. Dengan menghubungkan ke persamaan
Van der Pol, ternyata persamaan Rayleigh mempunyai solusi periodik tunggal.
Kata kunci: Solusi Periodik Tunggal, Persamaan Rayleigh, Persamaan Van der Pol
I. PENDAHULUAN
Perhatikan sistem berikut:
dy
dx
= P ( x, y ) ,
= Q ( x, y ) .
dt
dt
Dianggap bahwa P( x, y ) dan Q ( x, y ) terdefinisi pada domain D dalam bidang-xy, dan
memenuhi kondisi Lipschitz untuk x dan y anggota persekitaran setiap titik di dalam D.
Berikut pengertian dari kondisi Lipschitz:
Fungsi f (t , x) yang didefinisikan pada D ⊂ ℜ dikatakan memenuhi kondisi
Lipschitz jika terdapat konstanta K > 0 sehingga f (t , x1 ) − f (t , x 2 ) ≤ K x1 − x 2
untuk (t , x1 ), (t , x 2 ) ∈ ℜ . Konstanta K disebut konstanta Lipschitz untuk f.
Suatu persamaan vektor berbentuk x& = f (x ) dengan variabel bebas t yang tidak
dinyatakan secara eksplisit disebut persamaan autonomous.
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1 - 28
Solusi Periodik Tunggal Suatu Persamaan Rayleigh
Persamaan diferensial berbentuk f (t , x, x ′, x ′′) = 0 disebut persamaan diferensial
orde dua, dengan x ′ =
Pada
tahun
1920
d 2x
d 2x
dx
dx
dan x ′′ = 2 atau ditulis x& = x ′ =
dan &x& = x ′′ = 2 .
dt
dt
dt
dt
( )
&x& + x = μ (1 − x& )x&, μ > 0 .
Van
der
Pol
merumuskan
persamaan
berbentuk
&x& + x = μ 1 − x 2 x& , μ > 0 , sedangkan Rayleigh merumuskan persamaan berbentuk
2
(
)
Dalam kajian ini dibahas persamaan Rayleigh berbentuk &x& + x = μ 1 − x& 2 x& , μ > 0 .
Bagaimana cara menunjukkan bahwa persamaaan Rayleigh tersebut mempunyai solusi
periodik tunggal bila dihubungkan dengan persamaan Van der Pol. Dengan demikian,
tujuan dari kajian ini adalah menunjukkan persamaaan Rayleigh mempunyai solusi
periodik tunggal dengan cara menghubungkan ke persamaan Van der Pol.
II. SOLUSI PERIODIK TUNGGAL
Untuk mengetahui pengertian solusi periodik tunggal, perhatikan definisi dan
teorema berikut.
Definisi:
Misalkan bahwa x = φ (t ) adalah solusi dari persamaan x& = f ( x), x ∈ D ⊂ ℜ n dan
terdapat suatu bilangan positif T sehingga φ (t + T ) = φ (t ) untuk semua t ∈ ℜ n .
Maka φ (t ) disebut solusi periodik dari persamaan tersebut dengan periode T.
Jika φ (t ) memiliki periode T, maka solusi juga memiliki periode 2T, 3T, dan
seterusnya. Bila T adalah periode terkecil, maka φ (t ) disebut periodik-T.
Teorema:
Anggap persamaan Lienard &x& + f ( x) x& + x = 0 dengan f (x)
kontinu-Lipschitz
dalam ℜ . Jika asumsi:
x
(i) F ( x) = ∫ f ( s ) ds suatu fungsi ganjil,
0
(ii) F (x) → +∞ untuk x → +∞ dan terdapat suatu konstanta β > 0 sehingga
untuk x > β , F ( x) > 0 dan monoton naik,
(iii) terdapat suatu konstanta α > 0 sehingga untuk 0 < x < α , F ( x) < 0 ,
maka persamaan tersebut paling sedikit mempunyai satu solusi periodik.
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1-29
Solusi Periodik Tunggal Suatu Persamaan Rayleigh
Bila α = β , maka hanya terdapat satu solusi.
III. PERSAMAAN RAYLEIGH
Persamaan Rayleigh berbentuk
(
)
&x& + x = μ 1 − x& 2 x&, μ > 0
............................................................
(1)
Diferensiasi kedua ruas pada persamaan (1), diperoleh
( )
= μ (1 − x& )&x& + μ (− 2 x& )&x&
= μ (1 − x& − 2 x& )&x&
&x&& + x& = μ 1 − x& 2 &x& + μ (− 2 x&&x&)x&
2
2
2
2
Sehingga diferensiasi dari persamaan (1) adalah
(
)
&x&& + x& = μ 1 − 3x& 2 &x&
...................................................................
(2)
Dengan memisalkan y = x& 3 , maka persamaan (2) menjadi
(
)
&x&& + x& = μ 1 − y 2 &x&
....................................................................
(3)
Persamaan (3) ini adalah bentuk persamaan Van der Pol.
Persamaan (3) dapat ditulis
(
)
(
)
&x&& − μ 1 − y 2 &x& + x& = 0 atau &x&& + μ y 2 − 1 &x& + x& = 0 .
(
)
Dalam hal ini f ( x& ) = μ y 2 − 1
........................................................................ (4)
Bila persamaan (4) diintegralkan terhadap y, diperoleh
⎛1
⎞
F ( x& ) = μ ⎜ y 3 − y ⎟ ................................................................... (5)
⎝3
⎠
Nilai y = x& 3 disubstitusikan ke persamaan (5), diperoleh
( )
3
⎛1
⎞
F ( x& ) = μ ⎜ x& 3 − x& 3 ⎟
⎝3
⎠
⎛1
⎞
= μ ⎜ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ x& 3 − x& 3 ⎟
⎝3
⎠
(
)
Sehingga didapat F ( x& ) = μ 3 x& x& 2 − 1 .
Untuk mengetahui persamaan Rayleigh mempunyai solusi periodik tunggal atau tidak,
diperhatikan langkah-langkah berikut:
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1-30
Solusi Periodik Tunggal Suatu Persamaan Rayleigh
(
)
(
)
(a) Telah didapatkan F ( x& ) = μ 3 x& 3 − x& , atau y& = μ 3 x& 3 − x& .
Bila ( x& , y& ) diganti dengan (− x& ,− y& ) , diperoleh:
(
3 (− x&
)
− y& = μ 3 (− x& )3 − (− x& )
− y& = μ
3
+ x&
)
(
)
Bila kedua ruas dikalikan (− 1) , maka didapat y& = μ 3 x& 3 − x& .
Nampak bahwa F (x& ) tak berubah untuk ( x& , y& ) dan (− x& ,− y& ) .
Jadi F (x& ) merupakan fungsi ganjil.
(b) Untuk x& → +∞ , nilai F (x& ) → +∞ ; dan terdapat β = 1 > 0 sehingga untuk
x& > 1 , F ( x& ) > 0 dan F (x& ) monoton naik.
(c) Terdapat α = 1 > 0 sehingga untuk 0 < x& < α = 1 , F ( x& ) < 0 .
Dari (a), (b), dan (c) berarti syarat-syarat untuk solusi periodik tunggal dipenuhi.
(
)
Jadi, persamaan Rayleigh &x& + x = μ 1 − x& 2 x&, μ > 0 mempunyai solusi periodik tunggal.
IV. KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari kajian ini adalah dengan menghubungkan ke
persamaan Van der Pol ternyata persamaan Rayleigh mempunyai solusi periodik
tunggal.
Daftar Pustaka
Boyce, William E., Di Prima, Richard C. (1976). Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems, third Edition. New York: Jhon Wiley & Sons, Inc.
Cronin, Jane (1994). Differential Equations, Introduction and Qualitative Theory,
Second Edition, Revised and Expansed. New York: Marcel Dekker, Inc.
Finney, Ross L., Ostberg, Donald R. (1976). Elementary Differential Equations with
Linear Algebra. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Hubbard, J. H., West, B. H. (1976). Differential Equations, A Dynamical Systems
Approach, Part I. New York: Springer-Verlag, Inc.
Hurewicz, Witold (1958). Lectures on Ordinary Differential Equations. New York:
Jhon Wiley & Sons, Inc.
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1-31
Solusi Periodik Tunggal Suatu Persamaan Rayleigh
Jones, D. S., Sleeman, B. D. (1983). Differential Equations and Mathematical Biology.
Australia: George Allen & Unwin, Inc.
Sanches, David A., Allen, Richard C., Jr., Kyner, Walter T. (1983). Differential
Equations, An Introduction. Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Verhulst, Ferdinand (1990). Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems.
Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1-32