bab 6 logika matematika

BAB 6
LOGIKA MATEMATIKA
A
RINGKASAN MATERI
1. Pengertian
 Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang
masuk akal).
 Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
 Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah (variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar
atau salahnya).
2. Lima Penghubung Matematika
Negasi (ingkaran)
Konjungsi (dan)
Disjungsi (atau)
Implikasi (jika… , maka …)
Biimplikasi (… jika dan hanya jika …)
3. Tabel kebenarannya
p q
~p p  q
B B
S
B
B S
S
S
S B
B
S
S S
B
S
pq
B
B
B
S
Pq
B
S
B
B
Notasi : ~ p
Notasi : p  q
Notasi : p  q
Notasi : p  q
Notasi : p  q
pq
B
S
S
B
4. Konvers, Invers, Kontrapositif
Implikasi
pq
Konvers
qp
Invers
~p ~q
Kontraposisi
~q  ~p
5. Tautologi dan Pernyataan Ekuivalen
 Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran.
 Implikasi logis adalah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.
 Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran.
 Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang mengandung nilai salah dan benar pada kemungkinan nilai
kebenarannya.
 Pernyataan yang Ekuivalen (  )
a. p  q  q  p
e. p  B  B
pqqp
pBp
b. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
f. ~(p  q)  ~ p  ~ q
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
~(p  q)  ~ p  ~ q
c. p  p  p
g. p  q  ~ q  ~ p
pq~pq
ppp
h. p  q  (p  q)  (q  p)
d. p  S  p
p  q  (~ p  q)  (~ q  p)
pSS
6. Penarikan Kesimpulan
Modus Ponens
pq
… premis 1
p
… premis 2
q
… kesimpulan
Modus Tollens
pq
… premis 1
~q
~p
… premis 2
… kesimpulan
pq
qr
pr
Silogisme
… premis 1
… premis 2
… kesimpulan
30
Logika Matematika
Sukses Ujian Nasional Matematika
7. Pernyataan Berkuantor
 Universal :  = semua, setiap
 Khusus
:  = ada, berapa, sebagian
Kalimat berkuantor
a. (x); P(x)  Q(x)
b. (x); P(x)  Q(x)
a.
b.
Negasinya
(x); P(x)  ~ Q(x)
(x); P(x)  ~ Q(x)
8. Bukti dalam Matematika
 Bukti tak langsung
Menggunakan konsep :
pq~q~p
 Bukti dengan induksi matematika
a. Tunjukkan bahwa rumus P(n) benar untuk n = 1
b. Tunjukkan bahwa jika rumus P(n) benar untuk n = k, maka rumus P(n) juga benar untuk n = k+1.
B
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk (p  q)  (~p  ~q) adalah ….
a. BSSS
b. SSSB
c. SBSS
d. SSBS
Jawaban: b
Penyelesaian:
Tabel kebenarannya
p q ~p
~q p  q ~p  ~q (p  q)  (~p  ~q)
B B S
S
B
S
S
B S S
B
B
S
S
S B B
S
B
S
S
S S B
B
S
B
B
e. SBBS
Jadi  [ (p  q)  (~p  ~q) ] = SSSB
2. nilai x agar kalimat “ 4x = 2 2 jika dan hanya jika 2log 1 = 0” menjadi biimplikasi yang bernilai benar adalah ..
a.
3
4
b.
3
2
c. 2
d.
2
e. 2 2
Jawaban: a
Penyelesaian:
4x = 2 2
3
 22x = 2 2
 2x =
 x=
3
2
3
4
2
log 1 = 0 adalah menyatakan benar.
Jadi, agar kalimat “4x = 2 2 jika dan hanya jika 2log 1 = 0” menjadi biimplikasi yang bernilai benar, maka
haruslah x =
3
4
.
3. Negasi dari pernyataan “jika guru matematika hadir, maka semua siswa senang” adalah ....
a. jika guru matematika tidak hadir, maka semua siswa tidak senang
b. jika guru matematika tidak hadir, maka ada siswa yang tidak senang
c. guru matematika tidak hadir atau semua siswa senang
d. guru matematika hadir atau ada siswa yang tidak senang
e. guru matematika hadir dan ada siswa yang tidak senang
Jawaban: e
Penyelesaian:
Misalnya p : guru matematika hadir
q : semua siswa senang
~ (p  q)  ~ (~ p  q)  p  ~q
Jadi, negasinya adalah “guru matematika hadir dan ada siswa yang tidak senang”
31
Logika Matematika
Sukses Ujian Nasional Matematika
4. Ebtanas 2001
Kontraposisi pernyataan majemuk p (p   q) adalah ....
a. (p   q)   p
c. (p   q)  p
b. (p  q)   p
d. ( p  q)   p
e. (p   q)  p
Jawaban: b
Penyelesaian:
Kontraposisi dari p  (p   q) adalah  (p   q)  p  (p  q)   p
5. UAN 2003
Penarikan kesimpulan dari
I p  q II p  q
III
p
q  r
q
r  p
Yang sah adalah …
a. hanya I
p  q
qr
p  r
b. hanya I dan II
c. hanya I dan III
e. hanya III
d. hanya II dan III
Jawaban: c
Penyelesaian:
I. p  q ekuivalen dengan  p  q
~p
p
q
q
Penarikan kesimpulan I adalah sah.
II. p  q
seharusnya p  q
qr
q  r
r  p
p  r (silogisme)
Karena r  p tidak ekuivalen dengan p  r,
maka penarikan kesimpulan II tidak sah.
III. p  q ekuivalen dengan p  q
qr
q  r
pr
pr
Penarikan kesimpulan III adalah sah.
Jadi, penarikan kesimpulan yang sah adalah I dan III.
6. UN 2004
Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut :
1. Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA.
2. IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang.
3. Jika IPTEK tidak berkembang, maka negara akan semakin tertinggal.
Dari ketiga pernyataan di atas, dapat disimpulkan ….
a. Jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal
b. Jika penguasaan matematika rendah, maka IPTEK berkembang
c. IPTEK dan IPA berkembang
d. IPTEK dan IPA tidak berkembang
e. Sulit untuk memajukan negara
Jawaban: a
Penyelesaian:
p : Penguasaan matematika rendah
q : Sulit menguasai IPA
q : IPA tidak sulit dikuasai.
r : IPTEK tidak berkembang.
s : Negara akan semakin tertinggal.
pq
q  r
r s
Ekuivalen dengan
pq
q  r
r s
ps
Jadi, dari ketiga pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa: “Jika penguasaan matematika rendah, maka
Negara akan semakin tertinggal”
32
Logika Matematika
Sukses Ujian Nasional Matematika
C
LATIHAN SOAL
1. Jika (p  q) bernilai benar, maka pernyataan
berikut yang bernilai benar adalah …
a. p  q
d. p  q
b. p  q
e. p  q
c. p  q
2. Nilai kebenaran dari [(p  q)  q]  q adalah …
a. SSSS
d. SBSB
b. SSBB
e. BSBB
c. BBBB
3. Jika x2 – 4x + 4 = 0, maka jumlah sudut segitiga
adalah 360o. Agar implikasi dari kalimat diatas
salah, maka nilai x adalah ....
a. x = –4
d. x = 2
b. x = –2
e. x = 4
c. x  2
4. Ebtanas 2001
Diketahui pernyataan (p  q)  p. Konvers dari
pernyataan tersebut adalah
a. p  (p  q)
d. p   (p  q)
b. p  (p  q)
e. p  (p  q)
c. p  (p  q)
5. Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Bila Ali
rajin belajar maka Ali naik kelas” adalah ….
a. Bila Ali naik kelas maka Ali rajin belajar
b. Bila Ali tidak rajin belajar maka Ali tidak naik
kelas
c. Bila Ali tidak naik kelas maka Ali rajin bekajar
d. Bila Ali tidak rajin belajar maka Ali naik kelas
e. Ali tidak rajin belajar atau Ali naik kelas
6. Ingkaran dari (p  q)  r adalah ….
a. ~p  ~q  r
d. ~p  ~q  r
b. (~p  ~q)  r
e. (~p  ~q)  r
c. p  q  ~r
7. UN 2008
Ingkaran dari pernyataan. “Beberapa bilangan prima
adalah bilangan genap.” adalah ...
a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima.
e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan
prima.
8. UAN 2002
Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi
berikut
pq
qr
 ……
adalah .…
a. p  r
d.  p  r
b.  p  r
e. p  r
c. p   r
33
Logika Matematika
Sukses Ujian Nasional Matematika
9. Ebtanas 2001
Penarikan kesimpulan dari
1. p  q
2. p  q
3. p  r
p
p
qr
q
 q
pq
yang sah adalah ....
a. 1, 2, dan 3
d. 2 saja
b. 1 dan 2
e. 3 saja
c. 1 dan 3
10. UN 2008
Diketahui premis-premis
a. Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang
tua, maka Ayah membelikan bola basket.
b. Ayah tidak membelikan bola basket.
Kesimpulan yang sah adalah …
a. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang
tua.
b. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh
pada orang tua.
c. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak
patuh pada orang tua.
d. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada
orang tua.
e. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada
orang tua.
11. UN 2006
Dari argumentasi berikut :
Upik rajin belajar maka naik kelas.
Upik tidak dapat hadiah maka tidak naik kelas.
Upik rajin belajar.
Kesimpulan yang sah adalah ….
a. Upik naik kelas
b. Upik dapat hadiah
c. Upik tidak dapat hadiah
d. Upik naik kelas dan dapat hadiah
e. Upik dapat hadiah atau naik kelas
12. Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai
payung.
3. Ani tidak memakai payung
Kesimpulan yang sah adalah ….
a. Hari panas
b. Hari tidak panas
c. Ani memakai topi
d. Hari panas dan Ani memakai topi
e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi
13. Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang
Jika adik senang maka dia tersenyum
Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah ….
a. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
b. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum
c. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
d. Ibu tidak pergi dan adik tidak tersenyum
e. Ibu pergi atau adik tersenyum
34
Logika Matematika
Sukses Ujian Nasional Matematika