Teorema Cayley dan Teorema Matriks Pohon

Teorema Cayley dan Teorema Matriks Pohon
Hasmawati
Jurusan Matematika
Universitas Hasanuddin (UNHAS)
Jalan Perintis Kemerdekaan KM.10 Makassar 90245
[email protected]
Abstract
Subgraf H disebut subgraf perentang dari graf G apabila V(H) = V(G). Subgraf perentang yang merupakan
pohon disebut pohon perentang. Menghitung banyaknya pohon perentang dari sembarang graf terhubung dapat
dilakukan dengan menggunakan Teorema Matriks pohon. Sedangkan banyaknya pohon berlabel yang tidak
isomorfik dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Cayley. Dalam makalah ini, dibahas kaitan antara
Teorema Cayley dengan Teorema Matriks Pohon.
Keywords : Subgraf perentang, Enumerasi, Teorema Cayley, Teorema Matriks Pohon
1. Pendahuluan
Graf adalah pasangan himpunan (V,E) dengan V adalah himpunan tidak kosong yang
anggotanya disebut titik dan E adalah himpunan yang anggotanya merupakan pasangan
dari anggota-anggota himpunan V. Himpunan V disebut himpunan titik dan himpunan E
disebut himpunan sisi. apabila suatu grraf dinotasikan dengan G, maka G = (V,E). Dalam
hal ini V = V(G) dan E = E(G. Jika sisi e = uv  E(G), maka titik u dikatakan
bertetangga dengan titik v, juga sebazliknya, dan sisi e dikatakan terkait dengan titik u
dan titik v. Selanjutnya, jika uv dan uv = vu untuk setiap u, v  V(G), maka graf G
disebut graf sederhana. Graf yang dibicarakan dalam makalah ini adalah graf sederhana
dan berhingga.
Graf F=(V',E') disebut subgraf dari G jika V'V(G) dan E’ E(G). Apabila V' = V(G),
maka subgraf F disebut subgraf perentang. Selanjutnya, apabila subgraf perentang
tersebut merupakan pohon, maka subgraf tersebut dikatakan pohon perentang. Misalkan
S  V(G). Penulisan G[S] menyatakan subgraf maksimal dari G dengan himpunan titik
S, yang disebut subgraf terinduksi dari G.
Graf-graf yang memiliki ciri-ciri tertentu pada umumnya telah memiliki definisi dan
nama tertentu. Graf-graf dengan ciri-ciri tertentu tersebut sangat banyak, namun dalam
makalah ini disajikan hanya beberapa jenis diantaranya lintasan, siklus, pohon dan graf
lengkap. Lintasan adalah graf yang titik-titik dan sisinya dapat diurutkan dengan label v1,
e1, v2, e2, ..., vn-1, en-1, vn dimana ei= vivi+1. Graf yang hanya terdiri atas satu lintasan
dengan n titik disebut graf lintasan berorde n, dan dinotasikan Pn. Misalkan Pn adalah
suatu lintasan dengan V(Pn)= {v1, v2, ..., vn}. Didefenisikan siklus Cn adalah graf dengan
V(Cn) = V(Pn) dan E(Cn) = E(Pn)+v1vn. Suatu graf disebut graf terhubung apabila setiap
dua titik pada graf tersebut termuat pada suatu lintasan. Selanjutnya, graf terhubung yang
tidak memuat siklus disebut graf pohon. Graf pohon dengan n titik disebut pohon berorde
n dan dinotasikan Tn. Apabila setiap dua titik pada suatu graf adalah bertetangga, maka
graf tersebut disebut graf lengkap. Graf lengkap dengan n titik dinotasikan Kn. Dua graf
G1 dan G2 disebut isomorf jika terdapat pemetaan  dari V(G1) ke V(G2) sedemikian
sehingga jika (v) (w)E(G2), maka vwE(G1). Jika tidak demikian, maka G1 dan G2
dikatakan tidak isomorf.
Suatu hal yang menarik adalah banyaknya pohon perentang dari suatu graf lengkap
Kn. Kombinasi pelenyapan sisi-sisi pada graf lengkap menghasilkan banyak pohon
perentang yang berbeda satu dengan lainnya. Dalam makalah ini, akan diperlihatkan
bahwa satu pohon perentang dari graf lengkap berorde p berkorespondensi satu-satu
dengan suatu pohon berlabel berorde p, sehingga banyaknya pohon berlabel berbeda
orde p sama dengan banyaknya pohon perentang dari graf lengkap berorde p.
Dalam artikel SIAM Review volume 9 pada tahun 1967, Harary, F., menuliskan
teorema Caylay dan buktinya. Teorema tersebut dapat dijadikan formula untuk
menghitung banyaknya pohon berlabel yang berbeda. Chartrand dan Lesniak dalam
buku Graphs & Digraphs (1996), menuliskan suatu teorema yang dapat digunakan untuk
menghitung banyaknya pohon perentang berbeda dari suatu graf berlabel. Teorema
tersebut dikenal dengan nama Teorema Matriks Pohon.
2.
Matriks Graf
Pada graf dikenal dua macam matriks yakni matrik ketetanggaan dan matriks
keterkaitan. Matriks ketetanggaan menyatakan kaitan antara titik dengan titik, sedangkan
matriks keterkaitan menyatakan kaitan antara titik dengan sisi.
Definisi 2.1. Matriks Ketetanggaan
Matriks keteangaan A = (aij) dari suatu graf berlabel G dengan n titik adalah matriks
berukuran nxn, dengan
𝑎𝑖,𝑗 = {
1; jika 𝑣𝑖 bertetangga dengan 𝑣𝑗 ,
0;
untuk hal lain.
Definisi 2.2 Matriks Keterkaitan
Matriks keteangaan B = (bij) dari suatu graf berlabel G dengan m titik dan n sisi adalah
matriks berukuran mxn, dengan
𝑏𝑖,𝑗 = {
1; jika 𝑣𝑖 terkait dengan 𝑥𝑗 ,
0;
untuk hal lain.
Setiap sisi pada suatu graf adalah penghubung dua titik. Itulah sebabnya, setiap kolom
pada matriks keterkaitan selalu terdapat dua angka satu. Berikut ini adalah sifat graf G
dan matriks keterkaitan graf G apabila salah satu dari dua angka satu pada matriks
kerterkaitan G diubah menjadi -1.
Teorema 2.1
Misalkan G adalah graf berlabel dengan matriks keterkaitan B. Matriks Emxm adalah
matriks yang diperoleh dari B dengan mengganti salah satu dari dua angka 1 pada setiap
kolomnya dengan -1. Jika G memiliki m titik dan m sisi serta memuat siklus, maka
det(Emxm)=0.
Teprema 2.2
Misalkan G adalah graf berlabel yang memiliki N=M+1 titik dan M sisi. Graf G
merupakan graf pohon jika hanya jika nilai det(EMxM) yang diperoleh dari matriks ENxM
dengan menghilangkan baris ke M+1 adalah 1 atau -1.
3. Pembahasan
Sebagaimana telah diuraikan pada pendahuluan bahwa Teorema Cayley dapat
digunakan untuk menghitung banyaknya pohon berlabel dengan p titik yang tidak isomorf,
sedangkan Teorema Mtriks Pohon dapat digunakan untuk menghitung banyaknya pohon
perentang dari suatu graf terhubung berlabel. Berikut ini akan dikaji kaitan antara Teorema
Cayley dengan Teorema Matriks Pohon.
Teorema 3.1 Teorema Matriks Pohon
Misalkan G adalah graf berlabel dengan matriks ketetanggaan A. M adalah matriks yang
diperoleh dari –A dengan mengganti unsur diagonal ke-i dengan derajat vi. Nilai semua
kofaktor dari matriks M adalah sama dan sama dengan banyaknya pohon perentang dari graf
G.”
Bukti:
1. Kita akan memulai pembuktian ini dengan membuat matriks baru E=(eij) dari G, yang
diperoleh dari matriks keterkaitan B dengan mengganti salah satu angka 1 pada setiap
kolomnya dengan -1. Elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j dari EET adalah (e11, e12,
𝑒𝑗1
…., eiq) (𝑒𝑗2)= eilejl + ei2ej2 + …. + eiqejq, yang jumlahnya sama dengan derajat vi
𝑒𝑗𝑞
jika vi = vj, -1 jika vi bertetangga dengan vj, dan 0 untuk hal yang lain, sehingga EET =
M.
2. Pandanglah suatu submatriks dari E yang memuat n-1 kolom. Submmatriks berorde
n×(n-1) ini bersesuaian dengan suatu subgraf perentang H dari graf terhubung G yang
memiliki n-1 sisi. Apabila sembarang baris dari submatriks tersebut dilenyapkan,
misalnya baris ke-k, maka diperoleh suatu matriks bujursangkar F yang berode (n1) × (n-1). Jika subgraf perentang H tidak isomorf dengan suatu pohon, berarti
subgraf H memiliki siklus , sebab H memiliki n titk dan n-1 sisi. Menurut Teorema
2.1, |detF|= 0. Jika subgraf perentang H merupakan pohon, menurut Teorema 2.2,
|det FT|= 1.
3. Untuk mengakhiri pembuktian Teorema Matriks Pohon ini, kita akan menggunakan
Teorema
Binet Cauchy. Teorema Binet-Cauchy mengatakan bahwa
“Jika A dan B adalah dua matriks yang berode r×m dan m×r, misalkan ∆ adalah
matriks diagonal m×m dengan entri ei untuk baris ke i kolom ke i. Untuk setiap subset
S berukuran r yang termuat dalam {1, 2, …, m}, terdapat As dan Bs yang masingmasing merupakan submatriks dari A dan B yang berukuran r×r yang terdiri atas
kolom-kolom matriks A dan baris-baris matriks B, indeksnya dinyatakan oleh elemenelemen S.
Maka:
det(A∆B)= ∑𝑠 𝑑𝑒𝑡 (As) det (Bs) ∏ 𝑖𝜖S ei
Untuk ∆= 𝐈, maka det(AIB)= det(AB)=∑ det (As)det (Bs). Jika r  m maka
determinan pada teorema ini adalah determinan perkalian dua matriks bujursangkar.”
Suatu graf terhubung dengan titik v1, v2, …, v3, …, vm, dan sisi x1, x2, …, xn ; m=n.
Sehingga matriks E dari graf tersebut adalah berode m×n. Dari matriks EM×N, kita
membuat submatriks E1 yang berode m×(m-1). Jika salah satu baris dari E1
dilenyapkan, diperoleh matriks bujur sangkar F yang berode (m-1)×(m-1). Jika salah
satu baris dari E1 dilenyapkan, diperoleh matriks bujursangkar F yang berode (m1)×(m-1).
Untuk Teorema Binet-Chaucy: AS = F, sedangkan BS = FT. Dengan mengingat bahwa
penghilangan salah satu baris dan kolom pada matriks M adalah bersesuaian dengan
FFT. Berarti sebarang kofaktor dari M sama dengan det(FFT).
Menurut Binet-Cauchy: det(FFT)= det(F). det(FT). Hal ini menunjukkan bahwa
jumlah hasil perkalian dari semua determinan utama F dan FT sama dengan nilai
faktor elemen utama dari M sedang F bersesuaian dengan pohon perentang dari G,
jika
|det F| = 1. Dengan demikian, jumlah hasil perkalian dari semua determinan
utama F dan FT adalah jumlah beberapa angka 1 yang menyatakan jumlah pohon
perentang dari graf G. Jadi terbukti bahwa banyaknya pohon perentang dari G sama
dengan nilai sebarang kofaktor dari M. 
Contoh 3.1
Kita akan menghitung banyaknya pohon perentang dari graf G pada Gambar 3.1
dengan menggunakan teorema Matriks Pohon. Pertama-tama yang akan dilakukan
adalah menentukan matriks ketetanggaan A untuk graf G. Selanjutnya, menentukan
matriks M dengan cara memberikan tanda mines (-) pada setiap elemn-elemen
matriks ketetanggaan A dan mengganti angka nol pada kolom diagonal ke-i dengan
derajat titik vi.
v1
x1
G:
v2
v3
x2
x3
x4
v4
Gambar 3.1 Graf G
Berikut adalah matriks ketetanggaan A dari graf G.
𝑣1
𝑣2
A= 𝑣
3
𝑣4
v1 v2 v3
0 1
[1 0
0 1
0 1
v4
0
1
0
1
0
1]
1
0
x1 x2 x3 x4
𝑣1 1 0 0 0
𝑣2
B = 𝑣 [1 1 0 1]
0 1 1 0
3
𝑣4 0 0 1 1
Matriks M yang diperoleh dari –A dengan mengganti unsur diagonal ke-i dengan
derajat vi adalah
v1 v2 v3 v4
𝑣1 1 −1
0
𝑣2 −1 3 −1
M= 𝑣 [
0 −1 2
3
𝑣4 0 −1 −1
0
−1 ]
−1
2
Menurut Teorema 3.1, bahwa semua kofaktor dari matriks M adalah sama, yang
nilainya sama dengan banyaknya pohonp erentang dari G. Berikut ini adaalah salah satu
kofaktor matriks M.
1 0 0
Kofator dari elemen 2,2, pada matriks M adalah
0 2 -1 = 3
0 -1 2
Jadi banyaknya pohon perentang dari graf G adalah 3.
Secara geometri ketiga pohon perentang dari graf G tersebut diperoleh dengan
menghilangkan sisi x2, x3, dan x4. Bentuk ketiga pohon perentang itu adalah sebagai
berikut.
v1
x1
v3
x2
T1:
v1
x1
v3
T2:
v2
x3
v2
x4
v4
x4
v4
v1
x1
v3
x2
T3:
x3
v2
v4
Gambar.3.2
Selanjutnya, kita akan membahas masalah pohon berlabel yang berbeda (tidak
isomorf). Sebagai contoh pohon berlabel yang memiliki 4 titik, dengan label berturutturut v1, v2, v3, dan v4 seperti pada Gambar 3.3 berikut.
2
3
G1:
1
3
2
G2:
4
2
3
G3:
4
1
1
4
Gambar 3.3
Keterangan. Titik 3 dan titik 4 pada graf G1 bertetangga, sedangkan titik 3 dan titik 4
pada graf G2 tidak bertetangga. Jadi G1 dan G2 adalah dua graf berlabel berorde
4 yang berbeda (tidak isomorf). Demikian pula untuk graf G1 dan graf G3 juga
berbeda karena titik 2 dan titik 3 pada graf G1 bertetangga, sedangkan pada graf
G3 kedua titik tersebut tidak bertetangga. Hal serupa juga terjadi pada graf G3
dan graf G2. Titik 3 dan titik 4 pada graf G2 tidak bertetangga, sedangkan pada
graf G3 kedua titik tersebut bertetangga.
Pembahasan berikut adalah mengenai kaitan antara pohon berlabel dengan pohon
perentang dari suatu graf lengkap. Diberikan graf lengkap berorde 4 dengan label titik 1,
2, 3, dan 4, seperti pada Gambar 3.4.
2
3
1
4
K4 :
Gambar 3.4
Apabila sisi 14, 13, dan 24 dilenyapkan diperoleh subpohon perentang yang serupa
dengan pohon berlabel G1. Dan apabila sisi 13, 24, dan 34 dilenyapkan diperoleh
subpohon perentang yang sama G2. Demikian juga apabila kombinasi sisi-sisi lain
dilenyapkan, akan diperoleh suatu subpohon perentang yang berkorespondensi atau sama
dengan suatu pohon berlabel dengan 4 titik. Jadi setiap subpohon perentang dari graf
lengkap berorde p berkorespondensi satu-satu dengan suatu pohon berlabel berorde p.
Teorema 3.2 . Teorema Caylay
Banyaknya pohon berlabel yang berbeda dengan p titik simpul adalah pp-2.
Bukti.
Di atas telah dijelaskan bahwa setiap pohon perentang dari suatu graf lengkap berorde p
berkorespondensi satu-satu dengan suatu pohon berloabel berorde p. Karena itu teorema
Caylay (Teorema 3.2) dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema Matriks Pohon
yakni graf G adalah graf lengkap atau G = Kp..
Matriks ketetanggaan graf lengkap Kp adalah graf berorde p x p yang semua elemenelemnnya 1 kecuali elemen diagonal ke-i yang bernilai 0, seperti berikut.
0
1
Apxp= 1
⋮
[1
1
0
1
⋮
1
1
1
0
⋮
1
…
…
…
…
…
1
1
1
⋮
0]
Selanjutnya, dibentuk matriks M dari martiks –A yang elemen diagonal ke-i diganti
dengan derajat titik ke-i atau vi, yakni seperti berikut:
𝑝−1
−1
Mpxp= −1
⋮
[ −1
−1
−1
𝑝−1
𝑝−1
−1 𝑝 − 1
⋮
⋮
−1
−1
…
…
…
…
…
−1
−1
−1
⋮
𝑝 − 1]
Kofaktor sembarang elemen-elemen dari matriks M adalah determinan matriks
berorde p-1 x p-1. Misalkan kofaktor elemen 1.1, yaitu determinan matriks berprde p-1 x
p-1 yang semua elemen-elemen diagonalnya adalah p-1 dan lainnya adalah -1. Dengan
menggunakan salah satu metode dalam mencari determinan, sebutlah itu metode Gauss,
maka diperoleh matriks segitiga bawah atau segitiga atas yang elemen-elemen
diagonalnya adalah p, kecuali elemen baris pertama adalah 1, yang berarti elemen
diagonal pertama adalah 1. Dengan demikian, banyaknya elemen diagonal yang bernilai
p adalah p-2, sehingga diperoleh nilai determinan sebanyak pp-2. 
4. Daftar Pustaka
1. Chartrand,G. Dan Lesniak, L., Graphs & Digraphs, Chapman & Hall/CRC, Third
Edition (1996) 64-67.
2. Harary, F., Graph and matrices, SIAM Review 9 (1967) 83-90.