Kajian Matematika Murni SOLUSI NUMERIK DAN ANALISIS GALAT

LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir :
Kajian Matematika Murni
SOLUSI NUMERIK DAN ANALISIS GALAT SISTEM PERSAMAAN
DIFERENSIAL ORDE-3 DENGAN MENGGUNAKAN METODE SATU
LANGKAH (ONE STEP METHOD) DAN METODE BANYAK LANGKAH
(MULTI STEP METHOD)
TUGAS AKHIR
Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang
Sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan
Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh:
FAHMIYAH BAHANAN
NIM : 201110060311087
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, atas segala berkah, rahmat, dah
hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul
“Solusi Numerik dan Analisis Galat Sistem Persamaan Diferensial Orde-3 dengan
Menggunakan Metode Satu Langkah (One Step Method) dan Metode Banyak
Langkah (Multi Step Method). Shalawat serta salam semoga tercurah kepada
Rosulullah Saw.
Tugas akahir adalah kajian teori yang menggunakan studi literatur atau
studi kepustakaan, yakni pembahasan yang dilakukan adalah mengkaji teori-teori
tentang sistem persamaan diferensial orde-3 dan metode numerik yang relevan.
Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini dapat terselesaikan berkat
bimbingan, bantuan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu dengan
ketulusan hati penulis menghaturkan rasa hormat dan terimakasih kepada :
1. Dr. Yus. M. Cholily, M.Si., selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan
waktu dan kesabaran dalam memberi petunjuk, bimbingan dan pengarahan
kepada penulis sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan.
2. Drs. Marhan Taufik, M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah
meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi petunjuk, bimbingan dan
pengarahan kepada penulis sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan.
Semoga Allah SWT. Menunjukan jalan dan memberikan cahaya-Nya serta
melapangkan dada kita dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-Nya.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang
berkepentingan. Namun demikian tiada manusia yang sempurna, oleh karena itu
kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan untuk menjadikan skripsi
itu lebih sempurna.
Malang,
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
LEMBAR PERSETUJUAN ............................................................................ ii
LEMBAR PENGESAHAN .......................................................................... iii
SURAT PERNYATAAN ............................................................................... iv
MOTTO ...........................................................................................................v
PERSEMBAHAN ........................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ................................................................................... vii
ABSTRAK .................................................................................................... viii
ABSTRACT .................................................................................................... ix
DAFTAR ISI .....................................................................................................x
DAFTAR GAMBAR ................................................................................... xiii
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................xv
BAB I ................................................................................................................1
PENDAHULUAN ............................................................................................1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah .......................................................................................4
1.3 Batasan Masalah..........................................................................................5
1.4 Tujuan Kajian ..............................................................................................5
1.5 Manfaat Kajian ...........................................................................................6
1.6 Metode Kajian .............................................................................................6
1.7 Definisi Operasional....................................................................................7
BAB II .............................................................................................................10
KAJIAN PUSTAKA .......................................................................................10
2.1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial .......................................................10
2.1.1 Definisi Persamaan Diferensial ....................................................10
2.1.2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial ...............................................11
2.2 Orde dan Pangkat Persamaan Diferensial .................................................12
2.2.1 Persamaan Diferensial Orde-1 .....................................................12
2.2.2 Persamaan Diferensial Orde-2 ......................................................13
2.2.3 Persamaan Diferensial Orde-3 ......................................................13
2.3 Persamaan diferensialo Linear ..................................................................14
2.3.1 Definisi Persamaan Diferensial Linear .........................................14
2.3.2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Linear ....................................15
2.4 Persamaan Diferensialo Linear Orde-3 .....................................................15
2.4.1 Bentuk Persamaan Diferensial Linear Orde-3 ..............................15
2.4.2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Orde-3....................................16
2.4.3 Solusi Persamaan Diferensial Orde-3`..........................................17
2.5 Sistem Persamaan Diferensial ...................................................................20
2.5.1 Sistem Persamaan Diferensial Homogen Orde-3 dengan Koefisien
konstan ...................................................................................................20
2.5.2 Solusi Sistem Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde-3
Koefisen Konstanta................................................................................21
2.6 Metode Numerik dalam Persamaan Diferensial ......................................23
2.6.1 Masalah Nilai Awal pada Persamaan Diferensial .......................23
2.6.2 Metode Satu Langkah ...................................................................25
2.6.3 Metode Banyak Langkah ..............................................................28
2.7 Kesalahan/Galat ........................................................................................40
2.7.1 Galat pada Metode Heun ..............................................................42
2.7.2 Galat pada Metode Adams Bashforth Moulton ............................43
2.8 Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari ....................................................43
BAB III ...........................................................................................................45
PEMBAHASAN .............................................................................................45
3.1 Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensialo Orde-3 dengan Metode
Heun ...............................................................................................................45
3.1.1 Contoh Penyelesaian Solusi Numerik SPD Orde-3 dengan Metode
Heun ...............................................................................................................46
3.1.2 Langkah-Langkah Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensial
Orde-3 dengan Metode Heun ..........................................................................64
3.1 Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensialo Orde-3 dengan Metode
Adams Bashforth Moulton ..............................................................................65
3.1.1 Contoh Penyelesaian Solusi Numerik SPD Orde-3 dengan Metode
Adams ............................................................................................................66
3.1.2 Langkah-Langkah Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensial
Orde-3 dengan Metode Heun ..........................................................................77
BAB IV ..........................................................................................................78
KESIMPULAN DAN SARAN .......................................................................78
4.1 Kesimpulan ...............................................................................................78
4.1.1 Langkah-Langkah Penyelesaian Solusi Numerik dan Analisis Galat
Sistem Persamaan Diferensial Orde-3 dengan Menggunakan Metode
Heun ...............................................................................................................78
4.1.2 Galat Sistem Persamaan Orde-3 dengan Metode Heun dan Metode
Adams ............................................................................................................81
4.1.3 Kelebihan dan Kekurangan Penggunaan Metode Heun dan metode pada
Sistem Diferensial Orde-3 ...............................................................................81
4.2 Saran ..........................................................................................................82
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................83
LAMPIRAN ....................................................................................................85
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Tafsiran geometri metode Heun ............................................... 27
Gambar 2.2
Pembentukan persamaan prediktor metode Adams ................ 29
Gamabr 2.3
Pembentukan persamaan korektor metode Adams................... 35
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Hasil penghitungan galat metode Heun .......................................... 64
Tabel 3.2 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 metode Heun ..................................................................... 68
Tabel 3.3 Penghitungan 𝑦𝑖𝑣 metode Heun ........................................................ 71
Tabel 3.4 Penghitungan galat prediktor dan korektor metode Adams ............ 74
Tabel 3.5 Perbandingan galat metode Heun dan Metode Adams .................... 76
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A Penghitungan prediktor, korektor, dan galat metode Heun .... 85
Lampiran B Penghitungan pediktor, korektor, dan galat metode Adams .... 87
i
2
DAFTAR PUSTAKA
Annin, S. A., & Goode, S. W. (2008). Differential Equation and Linear. Canada:
Perason education.
Awrejcewicz, J. (2014). Ordinary differential Equation and Mechanical Systems.
Lodz, Poland: Springer.
Baiduri. (2001). Persamaan Diferensial. Malang: UMM-Press.
Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis. USA: BooZZ.org.
Dafia. (2006). Kestabilan Metode Runge Kutta dengan Metode Adams pada
Penyelesaian Diferensial biasa. Skripsi S1 Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Malang.
Dukkipati, R. V. (2010). Numerical Method. Newdhelhi: New Age International
Publishers.
Elfita. (2010). penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua dengan
menggunakan metode Runge Kutta orde empat,.
Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential
Equation. India.
Johnson, R. (2012). Second-Order Ordinary Differential Equations.
Kamari. (2008). penyelesaian numerik masalah nilai batas pada persamaan
diferensial orde dua berbasis komputasi. Yogyakarta: UIN Yogyakarta.
Munir, R. (2003). Metode Numerik. Bandung: Informatika.
Rachmatin, D. (2005). Metode Numerik dengan Pedeketan Algoritmik. Bandung:
Sinar Baru Algensindo.
Redjeki, D. S. (2009). MA2271 Metoda Matematika. Bandung.
Rheni. (2013). Solusi Numerik dan Analisis Galat Sistem Persamaan Diferensial
Orde-2 dengan one step method dan multi step method. Malang: Universitas
Muhammadiyah Malang.
Salusu, A. (2008). Metode Numerik Dilengkapi dengan Animasi matematika dan
Panduan singkat Maple. jakarta: Graha Ilmu.
Waluya, B. (2006). Persamaan diferensial. Semarang.
Zill, D. G. (2012). A First Course in Differential Equations with Modelling
Application. USA: Brooks/Cole Cengange Learning.
Triatmodjo, B. (2002). Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.
Oktaviani, d. (2014). Penyelesaian numerik sistem persamaan diferensial non
linear dengan metode Heun pada Lotka-Voltera.
Sheikhani, d. (2011). Solution to system of pastial fraction differential equation
using the fraction exponential operator.