Strategi Vaksinasi Kontinu Pada Model Epidemik

7
III MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
3.1 Model SIR
Model dasar yang digunakan untuk menggambarkan penyebaran penyakit
adalah model epidemik SIR. Model SIR ini dikemukakan oleh Kermark &
McKendrick pada tahun 1927 sebagai model dasar dari pengembangan pemodelan
epidemiologi. Model ini mempunyai tiga kompartemen yang menggambarkan
proses penyebaran penyakit pada suatu populasi. Kompartemen-kompartemen
tersebut adalah : Susceptible (S) yaitu kelompok individu yang sehat tetapi dapat
terinfeksi penyakit, Infected (I) yaitu kelompok individu yang terinfeksi dan dapat
sembuh dari penyakit dan Recovered (R) yaitu kelompok individu yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit. Menurut Hethcote (2000), diasumsikan bahwa
adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi,
adalah laju infeksi
atau
individu
laju
transmisi
penularan
penyakit
ketika
bersinggungan/kontak dengan individu yang terinfeksi dan
rentan
adalah laju
pemulihan individu yang terinfeksi dan individu-individu yang pulih atau sembuh
yang diasumsikan memiliki kekebalan (kekebalan alami) terhadap penyakit.
Asumsi-asumsi tersebut dapat digambarkan ke dalam bentuk kompartemenkompartemen pada Gambar 1 berikut.
S
I
R
Gambar 1 Diagram transfer penyebaran penyakit model SIR
Dari kompartemen pada Gambar 1 di atas dapat disusun model matematika
yang dituliskan sebagai berikut :
dS
dt
dI
dt
dR
dt
S
SI
SI
I
I
R
I
dengan semua parameter pada sistem (3.1) adalah bernilai positif.
(3.1)
8
3.2 Model SVIR dan Strategi Vaksinasi Kontinu (CVS)
Berdasarkan teori epidemik dari Kermark dan McKendrick, penyebaran
penyakit menular dapat digambarkan secara matematis oleh model-model
kompartemen SIR dengan setiap huruf mengacu pada kompartemen dimana
individu berada. Oleh karena itu Vaksinasi juga dapat dianggap sebagai
penambahan kompartemen V secara alami ke dalam model epidemik dasar SIR.
Kribs-Zaleta & Velasco-Hernandez (2000), menambahkan kompartemen V
ke dalam model SIS dan mempelajari penyakit pertusis dan TBC, sedangkan
Arino et al. (2003) menambahkan kompartemen V ke dalam model SIRS, KribsZaleta & Martcheva (2002) mempelajari efek dari kampanye vaksinasi pada
penyebaran suatu penyakit non-fatal seperti hepatitis A dan hepatitis B, baik pada
tahap infeksi akut ataupun kronis. Alexander et al. (2004) dan Shim (2006)
menggunakan model SVIR untuk mempelajari model dinamika penyakit influenza
(flu) dengan vaksinasi.
Semua model kontinu di atas yang berasumsi bahwa individu memperoleh
kekebalan setelah divaksinasi dan waktu bagi individu mendapatkan kekebalan
atau waktu untuk menyelesaikan proses vaksinasi diabaikan. Pada kenyataannya
segera setelah individu yang rentan memulai proses vaksinasi, individu itu akan
berbeda dengan individu yang rentan tetapi individu yang divaksinasi harus
dibedakan dengan individu yang pulih karena telah mendapatkan kekebalan akibat
divaksinasi ataupun kekebalan setelah sembuh dari penyakit.
Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan vaksinasi dalam model dasar
SIR, model SVIR ini mengasumsikan bahwa individu yang divaksinasi tidak
mendapatkan kekebalan segera artinya bahwa individu yang divaksinasi masih
memungkinkan terinfeksi atau individu dalam V akan pindah ke R saat
mendapatkan kekebalan akibat divaksinasi.
Strategi vaksinasi kontinu pada model SVIR ini berdasar pada model dasar
SIR untuk suatu penyakit yang tidak menyebabkan kematian (non fatal) misalkan
penyakit campak. Menurut Alexander et al. (2004), Arino et al. (2004), KribzZaleta & Velasco-Hernandez (2000) total populasi akan berada pada tingkat
konstan, maka strategi vaksinasi kontinu ini mengasumsikan bahwa
rekrutmen
dan
laju
kematian
alami
dari
populasi,
adalah laju
adalah
laju
9
transmisi/penularan penyakit ketika individu yang rentan berinteraksi dengan
individu yang terinfeksi dan
adalah laju pemulihan individu yang terinfeksi
dan individu yang pulih diasumsikan memiliki kekebalan alami terhadap penyakit.
Xianning et al. (2007) memperkenalkan strategi vaksinasi kontinu pada
model epidemik SVIR. Strategi vaksinasi kontinu pada model SVIR secara
matematis adalah penambahan kompartemen V pada model dasar SIR, dimana V
adalah kelompok baru yang dibagi dari kelompok S dan menunjukkan kepadatan
individu yang telah memulai proses vaksinasi. Individu dalam V memerlukan
waktu untuk mendapatkan tingkat proteksi terhadap penyakit selama proses
vaksinasi dan akan berpindah ke R saat mendapatkan kekebalan. Oleh karena itu,
berdasarkan diagram transfer kompartemen model SIR maka dapat digambarkan
diagram transfer model kompartemen sebagai berikut dengan asumsi :
a)
adalah laju dimana individu yang rentan dipindahkan ke dalam proses
vaksinasi.
b)
1
adalah laju rata-rata ( 1 /
1
adalah waktu rata-rata) bagi individu yang
mengalami proses vaksinasi untuk memperoleh kekebalan.
c) Sebelum memperoleh kekebalan, individu masih memiliki kemungkinan
terinfeksi dengan laju transmisi adalah
1
. Diasumsikan
1
lebih kecil dari
karena individu yang memperoleh vaksinasi mungkin memiliki kekebalan
parsial selama proses vaksinasi.
S
I
R
1
1
V
Gambar 2 Diagram transfer penyebaran penyakit model SVIR dengan strategi
CVS
10
Asumsi-asumsi diatas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial
berikut :
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
S
S
SI
VI
1
S
V
1
V
(3.2)
SI
1
V
I
1
VI
I
I
R
dengan semua parameter bernilai positif.