Penggunaan Metode Homotopi Pade` Untuk

3
ABSTRACT
EMBAY ROHAETI. Application of Pade' Homotopy Method to Solve Logistic
Lotka–Volterra Problem. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
In this research, the problems of Lotka–Volterra and Lotka–Volterra with
prey logistic growth models are solved by using homotopy and Pade' homotopy
methods. The homotopy method is an analytical approach to solve non linear
problems. The solution of homotopy method is common series. The solution of
the problem using Pade' homotopy method is obtained by using the result of
applying the homotopy method and then transforming the equation into the form
of rational function. The results of homotopy and Pade' homotopy methods are
compared with some numerical solutions. The result shows that in solving Lotka–
Volterra and Lotka–Volterra with prey logistic growth, the Pade' homotopy
method is better than homotopy method because the Pade' homotopy method
covers a larger area of convergence and produces smaller errors.
Keywords: Homotopy, Pade' homotopy, Lotka–Volterra, Lotka–Volterra with
logistic growth.
4
RINGKASAN
EMBAY ROHAETI. Penggunaan metode homotopi Pade ' untuk menyelesaikan
masalah Lotka–Volterra logistik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI
KUSNANTO.
Makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam–macam spesies yang
berbentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada
makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berinteraksi dengan individu
lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu–individu dalam satu populasi atau
individu–individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis interaksi yang dapat
terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi yaitu hubungan
antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator).
Model Lotka–Volterra atau model mangsa–pemangsa merupakan model
interaksi antar spesies mangsa dan spesies pemangsa pada sebuah lingkungan.
Interaksi spesies tersebut memiliki peranan penting pada pertumbuhan populasi
yang berubah secara dinamik seiring dengan perubahan populasi yang ada. Model
Lotka–Volterra logistik dibentuk berdasarkan pada model Lotka–Volterra dengan
menambahkan asumsi keterbatasan logistik untuk spesies mangsa. Sumber
makanan yang terbatas untuk spesies mangsa, dapat mempengaruhi laju
pertumbuhan pada spesies mangsa. Model Lotka–Volterra dan model Lotka–
Volterra logistik, suatu model matematika yang dinyatakan dalam bentuk sistem
persamaan diferensial taklinear. Sistem persamaan diferensial taklinear ini tidak
dapat diselesaikan secara eksak, maka pada penelitian ini penyelesaian acuan yang
digunakan adalah penyelesaian numerik dengan metode Runge Kutta empat
(RK4).
Metode homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear. Penyelesaian dengan menggunakan
metode homotopi ini dilakukan dengan memisalkan penyelesaiannya dalam
bentuk deret yang umum. Metode homotopi Pade' merupakan pengembangan dari
metode homotopi. Hasil penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi
Pade' dilakukan dengan menggunakan penyelesaian yang diperoleh dari metode
homotopi. Dalam hal ini persamaan dari penyelesaian dengan metode homotopi
diubah ke dalam bentuk fungsi rasional dengan koefisien–koefisien bergantung
pada penyelesaian dengan metode homotopi.
Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya oleh
Faghidian pada tahun 2011, yaitu penggunaan metode homotopi Pade' untuk
menyelesaikan model Lotka–Volterra. Dalam penelitian ini, metode homotopi dan
metode homotopi Pade' digunakan untuk menyelesaikan model Lotka–Volterra
logistik. Dalam penelitian ini diselesaikan dua kasus untuk model Lotka–Volterra
dan model Lotka–Volterra logistik. Pada kasus pertama, mangsa lebih banyak dari
pemangsa, sedangkan kasus kedua mangsa lebih sedikit dari pemangsa.
Dalam penelitian ini, masalah nilai awal pada model Lotka–Volterra dan
model Lotka–Volterra logistik diselesaikan dengan menggunakan metode
homotopi dan metode homotopi Pade' sampai pada suku keempat dalam deret
penyelesaian. Penyelesaian yang diperoleh dengan metode homotopi dan metode
homotopi Pade' dibandingkan dengan penyelesaian numerik yang dijadikan
5
sebagai penyelesaian acuan atau penyelesaian pembanding. Hasil perbandingan
tersebut menunjukkan bahwa keakuratan penyelesaian yang diperoleh dengan
metode homotopi dan metode homotopi Pade' didasarkan pada banyaknya suku
yang digunakan. Semakin banyak suku yang digunakan, penyelesaiannya akan
semakin mendekati penyelesaian pembanding. Dari hasil perbandingan suku yang
digunakan tersebut diperoleh bahwa metode homotopi Pade' lebih baik dari
metode homotopi. Hal ini terlihat pada daerah kekonvergenan metode homotopi
Pade' yang lebih luas dan galat yang dihasilkan lebih kecil. Metode homotopi
Pade' mempunyai kelemahan berupa proses komputasi yang lama. Hal ini
dikarenakan dengan metode homotopi Pade', penyelesaiannya berupa fungsi
rasional yang diperoleh secara rekursif.
Kata Kunci: Homotopi, Homotopi Pade ', Lotka–Volterra, Lotka–Volterra dengan
logistik.