Solusi Persamaan Diferensial Solusi Persamaan

Solusi Persamaan Diferensial Solusi
Persamaan Diferensial
Dengan Transformasi Laplace
g
p
Febrizal, MT
Febrizal, MT
Langkah langkah
Langkah‐langkah
1. Tuliskan kembali PD dalam bentuk p
Transformasi Laplace
2. Masukkan kondisi awal yang diberikan
3 Susun kembali persamaan secara aljabar 3.
S
k b li
lj b
untuk mendapatkan solusi transformasinya
4. Tentukan transformasi invers untuk memperoleh solusi khusus
memperoleh solusi khusus
Transformasi dari Turunan
Transformasi dari Turunan
• Misalkan f’(t) menyatakan turunan pertama dari f(t), f”(t) menyatakan turunan kedua dari f(t), dst
• Sehingga:
• Dengan mengganti f(t) menjadi f’(t), diperoleh
e ga
e gga t (t) e jad (t), d pe o e
• Dengan cara yang sama, maka diperoleh
• Notas Alternatif
Notas Alternatif
– Misalkan x = f(t), pada saat t = 0, kita tulis
• Jika
Jika kita menuliskan transformasi laplace x dengan kita menuliskan transformasi laplace x dengan
maka;
• Dan, • Dengan demikian, maka
Solusi PD Orde I
Solusi PD Orde I
• Contoh 1
– Tentukanlah solusi dari PD jika pada saat t = 0, x = 1
• Penyelesaian
– Tuliskan kembali persamaan tsb dalam Transformasi Laplace, – Sehingga persamaan menjadi, Sehingga persamaan menjadi
– Masukkan nilai awal t Masukkan nilai awal t = 0 Æ
0 Æ x x = 1, berarti x
1, berarti x0 = 1, sehingga
1, sehingga
– Susun kembali persamaan diatas sehingga diperoleh persamaan dalam x
– Lakukan invers transformasi pada persamaan tsb.
• Contoh 2
– Selesaikan PD , jika diketahui pada t = 0 Æ x = 6
• Penyelesaian
– Nyatakan persamaan diatas dalam Transformasi Laplace
– Masukkan nilai awal x0 = 6
– Susun ulang persamaan untuk mendapatkan – Gunakan invers laplace untuk mendapatkan x
• Contoh 3
– Carilah solusi PD jika diketahui t = 0 Æ x = 0
• Penyelesaian
Latihan
Solusi PD Orde II
Solusi PD Orde II
• Contoh 1
– Tentukan penyelesaian PD jika pada saat t = 0 Æ x = 5 dan x = 5 dan
• Penyelesaian
– Tuliskan kembali persamaan dalam transformasi laplace.
p
p
– Masukkan kondisi awal, x0 = 5 dan x1 = 7
– Susun kembali persamaan
– Gunakan pecahan parsial
– A = 4; B = 0; C = 1
• Contoh 2
– Tentukan solusi PD jika diketahui pada t = 0 Æ
x = 3 dan dx/dt = 4
• Penyelesaian
– Nyatakan persamaan dalam transformasi laplace
– Masukkan nilai kondisi awal; x
; 0 = 3 dan x1 = 4
• Contoh 3
– Selesaikan PD jika diketahui pada t = 0 Æ x = 0 dan
• Penyelesaian
– Seperti biasa, nyatakan persamaan dalam transformasi laplace
– Uraikan lagi pecahan suku kedua dan ketiga dengan cara pecahan parsial
– Sederhanakan persamaan diatas, sehingga didapat
– Lakukan transformasi invers, maka
•
=
Latihan
• Carilah solusi dari persamaan diferensial dibawah ini: