Perbandingan nilai opsi call tipe eropa dengan

 II. LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa
definisi dan teori penunjang yang akan
digunakan di dalam pembahasan.
2.1 Istilah Ekonomi dan Keuangan
Definisi 1 (Investasi)
Dalam keuangan, investasi dapat diartikan
sebagai pengeluaran untuk membeli suratsurat berharga seperti saham dan sekuritas
lainnya. Investasi tersebut dikenal juga
dengan sebutan investasi keuangan. Dalam
analisis ekonomi, istilah investasi sering
dihubungkan dengan investasi fisik atau
investasi pada aset nyata. Investasi fisik
menghasilkan aset baru yang akan menambah
kapasitas
produksi
suatu
perusahaan,
sementara
investasi
keuangan
hanya
memindahkan kepemilikan dari aset yang
sudah ada dari seseorang atau lembaga kepada
pihak yang lainnya.
(Pass et al. 1988)
Definisi 2 (Contingent Claim)
Contingent Claim adalah sekuritas yang
memberikan imbal hasil yang tergantung pada
nilai aset lain seperti harga komoditas, harga
saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar.
(Bodie et al. 2002)
Definisi 3 (Primitive Security)
Sekuritas primitif (Primitive Security)
adalah instrumen seperti saham atau obligasi
yang pembayarannya hanya tergantung pada
status keuangan pihak penerbit.
(Bodie et al. 2002)
Definisi 4 (Derivative security)
Sekuritas derivatif (derivative security)
dibentuk dari perangkat sekuritas primitif
yang menghasilkan imbal hasil yang
tergantung pada faktor-faktor di luar
karakteristik pihak penerbit dan mungkin
dikaitkan dengan harga aset lain.
(Bodie et al. 2002)
Teori Tentang Opsi
Opsi pada suatu aset adalah suatu kontrak
antara dua pihak, yang memberikan hak,
tetapi bukan kewajiban, untuk melakukan jual
atau beli aset pada harga tertentu yang disebut
strike price atau exercise price dan dalam
jangka waktu tertentu (jatuh tempo).
Definisi 5 (Opsi Call)
Opsi call memberikan hak kepada
pemegangnya untuk membeli suatu aset pada
harga tertentu yang disebut harga eksekusi
(exercise/strike price) pada saat atau sebelum
tanggal jatuh tempo (maturity) yang
ditentukan.
Definisi 6 (Opsi Put)
Opsi put memberikan hak kepada
pemegangnya untuk menjual suatu aset
dengan harga eksekusi tertentu pada saat atau
sebelum tanggal jatuh temponya.
Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi
dibedakan atas opsi Eropa (European option)
dan opsi Amerika (American option). Opsi
Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat
kontrak jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika
dapat dieksekusi sebelum atau pada saat
kontrak jatuh tempo.
(Bodie et al. 2002)
Definisi 7 (Volatilitas)
Volatilitas
menyatakan tingkat risiko
suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan
harga saham. Semakin besar nilai volatilitas,
semakin tak terduga pergerakan harga saham.
Sebaliknya, semakin kecil volatilitas, semakin
mudah untuk menduga harga saham tersebut.
(Morgenson dan Harvey 2002)
Teori Tentang Obligasi
Karakteristik obligasi meliputi nilai
obligasi, jangka waktu obligasi, tingkat suku
bunga dan penjadwalan pembayaran.
Nilai Pari
Nilai pari adalah nilai yang ditetapkan atas
obligasi. Nilai tersebut menunjukkan jumlah
uang yang dipinjam dan dibayar kembali oleh
perusahaan pada tanggal jatuh tempo.
Misalkan, bila perusahaan membutuhkan dana
3 sebesar 500 miliar rupiah maka akan
diterbitkan obligasi bernilai 500 miliar rupiah.
Jangka waktu Obligasi
Jangka waktu obligasi adalah masa jatuh
tempo atau berakhirnya masa pinjaman. Masa
jatuh tempo obligasi di Indonesia 1 sampai 10
tahun, rata-rata masa jatuh tempo obligasi di
Indonesia adalah 5 tahun. Semakin pendek
jangka waktu obligasi maka akan semakin
diminati investor, karena risikonya kecil.
Pada saat jatuh tempo, pihak penerbit
obligasi berkewajiban untuk melunasi pokok
investasi di dalam obligasi tersebut. Sebagai
contoh, perusahaan mengeluarkan obligasi
dengan nilai 500 miliar rupiah untuk jangka
waktu 5 tahun maka saat memasuki masa
jatuh tempo, perusahaan wajib membayar
pinjaman atau sebesar 500 miliar rupiah
kepada investor beserta bunganya.
Tingkat Suku Bunga
Untuk menarik minat para investor, maka
perusahaan harus memberikan insentif yang
menarik berupa bunga yang relatif lebih besar
dari pada tingkat suku bunga perbankan.
Istilah tingkat suku bunga dalam instrumen
obligasi dikenal dengan nama kupon obligasi.
Penentuan besarnya kupon obligasi sangat
penting, untuk dapat menarik minat investor
tentunya juga harus mempertimbangkan
kemampuan perusahaan untuk membayar
kupon tersebut sampai jatuh tempo.
Ukuran tingkat suku bunga sangat
dipengaruhi oleh tingkat risikonya. Obligasi
dengan tingkat risiko yang lebih tinggi,
tentunya akan menawarkan tingkat suku
bunga yang lebih tinggi dibandingkan dengan
obligasi yang memiliki risiko lebih rendah.
Jadwal Pembayaran
Jadwal pembayaran adalah periode waktu
yang mewajibkan perusahaan penerbit
membayar kupon obligasi. Pembayaran
dilakukan secara berkala dengan kesepakatan
sebelumnya,
bisa
dilakukan
triwulan,
semesteran
atau
tahunan.
Ketepatan
pembayaran kupon obligasi kepada investor
merupakan aspek penting dalam menjaga
reputasi perusahaan.
Definisi 8 (Yield to Maturity)
Yield to maturity
adalah suku bunga
selama T periode yang membuat nilai kini dari
pembayaran obligasi sama dengan harganya.
Suku
bunga
yang
dimaksud
dapat
digambarkan sebagai rata-rata dari suku bunga
yang akan dihasilkan oleh suatu obligasi yang
dibeli sekarang dipertahankan sampai waktu
jatuh tempo.
(Bodie et al. 2002)
Definisi 9 (Zero-Coupon Bond)
Zero-coupon bond adalah salah satu jenis
obligasi yang tidak memberikan kupon pada
pemegang obligasi. Obligasi jenis ini hanya
memberikan satu kali cash flow (pembayaran)
pada pemiliknya yaitu pada saat waktu jatuh
tempo obligasi sebesar nilai pari.
(Rolski et al. 1999)
Definisi 10 (Short Rate)
Short rate adalah suku bunga yang berlaku
pada interval waktu tertentu.
(Bodie et al. 2002)
Definisi 11 (Forward Rate)
Forward rate adalah short rate yang
berlaku pada tahun ke-n sedemikian sehingga
return dari 2 strategi investasi selama n tahun
dan
investasi
n-1
tahun
kemudian
diinvestasikan kembali pada tahun ke-n akan
sama.
Jika forward rate untuk periode n adalah ,
maka didefinisikan oleh persamaan
1
,
1
1
atau dituliskan
1
1
1
n adalah periode waktu,
adalah yield to
maturity dan jatuh tempo setelah n-periode.
Jadi, total return pada 2 strategi investasi
selama n tahun akan sama jika short rate pada
tahun ke-n sama dengan .
Definisi 12 (Sktruktur Waktu Suku Bunga)
Struktur waktu suku bunga (term structure
of interest rates) menyatakan hubungan antara
yield to maturity dengan waktu jatuh
temponya.
(Fabozzi dan Modigliani 2003)
4 Teori-teori dari struktur waktu, yaitu
1. Hipotesis Harapan
Hipotesis harapan adalah hipotesis
sederhana dari struktur waktu yang
menyatakan bahwa nilai forward rate
periode n sama dengan nilai harapan dari
short rate pada waktu mendatang pada
periode n, dituliskan
,
Bahwa liquidity premium sama dengan
nol. Sebagai ilustrasi
1
1
1
1
1
1
Maka, yield to maturity selama n periode
dapat ditentukan oleh yield to maturity
yang berlaku selama n-1 periode dan
harapan suku bunga yang berlaku pada
periode n.
2. Liquidity Preference
Liquidity Preference menyatakan bahwa
investor jangka pendek tidak ingin
memiliki obligasi jangka panjang jika
,
dan investor jangka
panjang tidak ingin memiliki obligasi
jangka pendek jika
,
.
Teori liquidity preference menyimpulkan
bahwa
investor
jangka
pendek
mendominasi pasar maka forward rate
lebih besar dari nilai harapan short rate.
Selisih antara
dengan
disebut
liquidity premium pada waktu n, yang
nilainya diharapkan positif.
3. Segmentasi Pasar
Teori segmentasi pasar menyatakan bahwa
obligasi jangka pendek dan obligasi jangka
panjang memiliki pasar masing-masing
yang berbeda, karena setiap obligasi
mempunyai keseimbangan masing-masing
yang saling bebas. Suku bunga jangka
pendek ditentukan oleh penawaran dan
permintaan pada pasar obligasi jangka
pendek, begitu pun suku bunga jangka
panjang. Struktur waktu suku bunga
ditentukan oleh keseimbangan suku bunga
pada berbagai waktu jatuh tempo pasar
obligasi.
(Bodie et al. 2002)
Definisi 13 (Teori Portfolio)
Jika 2 aset dengan ragam masing-masing
adalah
dan
dikombinasikan dalam satu
portfolio dengan proporsi masing-masing
dan
, maka ragam portofolio diberikan
oleh persamaan berikut
2
cov
,
Dengan
cov ,
dan
cor , .
cor ,
adalah korelasi antara return aset 1
dan return aset 2, dengan nilai 1
1.
1 artinya kedua aset mempunyai
korelasi negatif sempurna, sedangkan
1
artinya kedua aset mempunyai korelasi positif
sempurna.
(Bodie et al. 2002)
2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model
matematika untuk mewakili suatu peubah
yang nilainya berubah secara acak menurut
waktu.
Untuk memahami proses stokastik
diperlukan definisi berikut
Definisi 14 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan sering kali
dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua
kemungkinan hasil yang akan muncul dapat
diketahui, tetapi hasil pada percobaan
berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti.
Percobaan yang semacam ini disebut
percobaan acak.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 15 (Ruang Contoh)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil
dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh (ruang sampel), dinotasikan dengan Ω.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 16 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian
dari ruang contoh Ω.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 17 (Medan- )
Medanadalah himpunan
yang
anggotanya adalah himpunan bagian dari
5 :
0,1 yang diberikan
.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
ruang contoh Ω yang memenuhi syarat-syarat
berikut:
adalah fungsi
oleh
1.
.
2. Jika , , , … .
, maka ∞
.
3. Jika
maka
, dengan
menyatakan komplemen dari himpunan .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 22 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika
fungsi sebarannya dapat diekspresikan
sebagai:
Definisi 18 (Ukuran Peluang)
Suatu ukuran peluang P pada ruang ukuran
Ω,
adalah fungsi
:
0,1 yang
memenuhi:
1. Untuk setiap kejadian berlaku
1.
2.
Ω
1.
3. Jika
, , ,….
adalah barisan
kejadian-kejadian yang saling lepas yaitu
, untuk setiap pasangan ,
dengan
maka:
∞
∞
Pasangan (Ω, ,
disebut dengan ruang
peluang (probability space).
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 19 (Peubah Acak)
Misalkan
adalah medan- dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu
fungsi
Ω:
dengan sifat
Ω:
untuk setiap
.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 20 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak
dikatakan diskret jika
nilainya hanya pada himpunan bagian yang
tercacah
, , , … dari .
Catatan:
Suatu himpunan bilangan C disebut
bilangan tercacah jika C terdiri atas bilangan
berhingga
atau
anggota
C
dapat
dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat
positif.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 21 (Fungsi Masa Peluang)
Fungsi masa peluang (probability mass
function) dari suatu peubah acak diskret X
∞
untuk suatu fungsi :
0, ∞ adalah
fungsi yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi
disebut fungsi kepekatan peluang bagi
.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 23 (Nilai Harapan Peubah Acak
Diskret)
Jika adalah peubah acak diskret dengan
himpunan semua kemungkinan nilai X adalah
A dan dengan fungsi massa peluang , maka
nilai harapan dari adalah
jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika
jumlah di atas divergen, maka nilai harapan
dari X tidak ada.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 24 (Nilai Harapan Peubah Acak
Kontinu)
Jika adalah peubah acak kontinu dengan
fungsi kepekatan peluang
, maka nilai
harapan dari adalah
∞
∞
jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika
jumlah di atas divergen, maka nilai harapan
dari X tidak ada.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)
Beberapa sifat dari nilai harapan diantaranya:
1. Jika
adalah suatu konstanta, maka
.
2. Jika
adalah suatu konstanta dan
adalah peubah acak, maka
.
6 3. Jika ,
adalah konstanta dan ,
adalah suatu peubah acak, maka
,
,
.
(Bukti : Lihat Hogg et al. 2005)
(Hogg et al. 2005)
Untuk proses stokastik yang didefinisikan
pada ruang probabilitas (Ω, ,
berlaku hal
berikut:
Misalkan
adalah proses Wiener pada
(Ω, , . Integral stokastik adalah proses
stokastik
dengan bentuk:
Definisi 25 (Ragam dan Simpangan Baku)
Misalkan
adalah peubah acak (diskret
atau kontinu). Ragam
atau
dinotasikan dengan
, didefinisikan
0
,
,
2
(Hull 2003)
Standar deviasi
didefinisikan
dinotasikn dengan
,
(Ghahramani 2005)
Definisi 26 (Proses Stokastik)
Proses stokastik
,
adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang state .
2.3 Gerak Brown
Proses stokastik
,
disebut
gerak Brown jika:
1.
0
0
2. Untuk 0
, peubah
acak
,
1, 2, … . ,
saling bebas.
3. Untuk
0,
berdistribusi normal
dengan rataan 0 dan ragam
.
(Hull 2003)
2.4 Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan
rataan 0 dan ragam 1. Proses Wiener umum
untuk suatu peubah acak dapat dinyatakan
sebagai berikut:
(1)
disebut sebagai komponen deterministik
dan
menyatakan komponen stokastik,
serta
adalah proses Wiener, sedangkan
dan masing-masing menyatakan drift rate
dan variance rate dari .
2.5 Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum
dengan dan menyatakan suatu fungsi dari
peubah acak dan waktu . Proses Itô dapat
dinyatakan sebagai berikut:
,
,
. (3)
(Hull 2003)
Lema 2 (Lema Itô)
Misalkan
proses
memenuhi
persamaan (3) dan fungsi
,
adalah
kontinu
serta
turunan-turunan
, ,
,
kontinu, maka
,
memenuhi persamaan
berikut:
,
,
1
4
,
2
dengan
,
,
dan
0
(Hull 2003)
Bukti: Lihat Lampiran 1