PERANAN FORMULASI INVERSI PADA FUNGSI KARAKTERISTIK

Peranan Formulasi Inversi pada Fungsi
Karakteristik Suatu Variabel Acak
John Maspupu
Pusfatsainsa LAPAN, Jl. Dr. Djundjunan No. 133 Bandung 40173,
Tlp. 0226012602 Pes. 106. Fax. 0226014998
E-mail: [email protected]
Abstract: In the probability theory, we know there is the one-to-one
correspondence between distributions and characteristic functions. The while, in
various procedures involving Fourier or Laplace transforms may be used in actually
computing the distribution of a random variable from its characteristic function. But,
there is also an explicit formula for the distribution function in terms of the
characteristic function and that usually known as inversion formula. Thus, from a
characteristic function we can hope to obtain a distribution function unique only up
to additive constant (utac).
Keywords : Inversion formula, Characteristic function, Random variable.
1. Pendahuluan
Sebuah fungsi yang erat kaitannya dengan fungsi distribusi dalam teori probabilitas
biasanya dikenal dengan sebutan fungsi karakteristik (lihat [4]) . Salah satu formulasi
penting yang berhubungan dengan fungsi karakteristik di sini adalah formulasi inversi
dan ini dapat dibaca pada [3] maupun [4]. Formulasi ini secara eksplisit diturunkan dari
fungsi distribusi F(x) bilamana fungsi karakteristik φ(t) diketahui. Dari formulasi ini
juga dapat ditunjukkan keterkaitan antara turunan fungsi distribusi F’(x) atau fungsi
densitasnya dengan fungsi karakteristik φ(t). Pengertian fungsi karakteristik ini dan
kaitannya dengan fungsi distribusi secara aksiomatis dinyatakan dalam bentuk definisi,
satu teorema dan lemma yang dapat dilihat pada Definisi 3, Teorema 4 dan Lemma 5
dalam pembahasan makalah ini ataupun di [2]. Namun yang menjadi masalah adalah
bagaimana menunjukkan peranan formulasi inversi pada fungsi karakteristik suatu
variabel acak atau dengan perkataan lain bagaimana caranya membuktikan makna dari
Teorema 4 dan Lemma 5 secara matematis. Dengan demikian jelas tujuan pembahasan
makalah ini adalah untuk membuktikan makna dari Teorema 4 dan Lemma 5.
Sedangkan kontribusi dari fungsi karakteristik ini diharapkan dapat mewakili peranan
fungsi distribusi ataupun fungsi densitas suatu variabel acak dalam berbagai aplikasi
konsep probabilitas.
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1 - 202
2. Metodologi
Dalam pembuktian Teorema 4 dan Lemma 5 diperlukan latarbelakang pemahaman
tentang konsep-konsep integral tak wajar, integral Riemann dengan sifat-sifatnya serta
didukung oleh dua teorema penting yaitu: Teorema Fubini dan Teorema Lebesque
dominasi konvergen (Lebesque’s Theorem on Dominated Convergence) yang
dinyatakan sebagai berikut;
Teorema1.(Fubini’s Theorem)
Jika f(t,s) suatu fungsi terukur yang didefinisikan
pada
E = Et × Es dengan E , Et , Es adalah himpunan-himpunan yang terukur demikian rupa
∫ | f (t , s) | ds ada hampir dimana-mana di Et dan juga terintegral di Et
sehingga
yang
Es
berarti
∫ ( ∫ | f (t , s) | ds )dt
Et
ada, maka f(t,s) terintegral di E dan berlaku pernyataan
Es
berikut di bawah ini,
∫ f (t, s)d (ts) = ∫
E
Et
( ∫ | f (t , s ) | ds ) dt =
Es
∫
Es
( ∫ | f (t , s) | dt ) ds.
Et
Teorema 2. (Lebesque’s Theorem on Dominated Convergence)
Misalkan S1 adalah himpunan fungsi-fungsi naik yang terbatas bawah dan himpunan
S2 = { h = f - g | f, g ∈ S1 } . Jika himpunan barisan fungsi { fn } ⊂ S2 dengan
fn(t)
f(t) bilamana n → ∞
b
maka f ∈ S2 dan nlim
→∞
∫
dan untuk suatu g ∈ S2 , | fn(t) | ≤ g(t)
b
fn(t) dt =
a
∫
f (t) dt.
a
Kedua teorema di atas ini dapat dilihat pada [1] lengkap dengan buktinya.
3. Hasil dan Pembahasan
Definisi 3. Jika X suatu variabel acak dengan fungsi distribusinya Fx atau fungsi
kepadatannya fx maka fungsi karakteristik φx didefinisikan sebagai berikut:
∞
φx (t) =
∫
−∞
ei t x dFx(x) =
∞
∫
ei t x fx(x) dx , dengan t ∈ R ,
i=
− 1 dan
−∞
ei t x = cos t x + i sin t x
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1 - 203
Teorema 4. Jika F suatu fungsi distribusi dan φ adalah fungsi karakteristiknya, maka
1
T
sin th − ita
e ϕ (t )dt , untuk a ∈ R dan
T →∞ π
t
−T
berlaku hubungan F(a + h) – F(a - h) = lim
∫
h > 0 , bilamana ( a ± h ) ∈ CF .
T
Bukti : Misalkan θ(t) =
sin th − ita
1 sin th − ita
e ϕ (t ) dan IT = ∫
e ϕ (t )dt.
t
π −T t
Karena θ(t) adalah fungsi terukur jadi | θ(t) | juga terukur. Selanjutnya untuk h > 0,
tinjau | θ(t) | = |
Karena |
sin th
sin th − ita
sin th
| . | e − ita | . | ϕ (t ) | = h. |
| .1.1.
e ϕ (t ) | = |
t
th
t
sin th
| ≤ 1, jadi | θ(t) | ≤ h. Dengan demikian ∫ | θ (t ) | dt ≤ ∫ hdt < ∞ .
th
Karena | θ(t) | terukur dan ∫ | θ (t ) | dt terbatas akibatnya | θ(t) | terintegral sehingga θ(t)
juga terintegral , jadi IT ada dan berhingga. Sekarang tinjau pernyataan berikut di
bawah ini,
IT
T
sin th − ita
e ϕ (t )dt
∫
π −T t
1
∞
T
sin th − ita
itx
e [ ∫ e dF ( x)]dt
∫
π −T t
−∞
=
=
∞
T
1
1
=
sin th i ( x − a ) t
e
∫
∫− ∞ dF ( x)dt .
π −T t
Karena θ(t) terukur dan ∫ θ (t) dt ada, maka menurutTeorema Fubini pertukaran integral
pada IT dibolehkan. Dengan demikian diperoleh pernyataan berikut,
IT
=
1
π
∞
∞
T
T
T
sin th i ( x − a )t
1
sin th
sin th
dt = ∫ dF ( x)[ ∫
cos( x − a )tdt + i ∫
sin( x − a )tdt ] .
e
π −∞
t
t
t
−T
−T
−T
∫ dF ( x) ∫
−∞
Tulis B1 =
sin th
sin th
cos( x − a )t dan B2 =
sin( x − a )t .
t
t
Karena B1 adalah fungsi genap dan B2 adalah fungsi ganjil maka pernyataan IT di atas
menjadi
IT
2
∞
T
sin th
dF ( x) ∫
cos( x − a)tdt atau IT =
=
∫
t
π −∞
0
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
∞
∫ g ( x,T )dF ( x) ,
−∞
1 - 204
T
dengan g(x,T) =
T
1 sin( x − a + h)t − sin( x − a − h)t
2 sin th
cos( x − a)tdt = ∫
dt
∫
t
π0 t
π0
T
T
1 sin( x − a + h)t
1 sin( x − a − h)t
dt - ∫
dt .
atau g(x,T) =
∫
t
t
π0
π0
T
Sebut p(h,T) =
2 sin th
1
1
dt , akibatnya g(x,T) = p ( x − a + h, T ) - p ( x − a − h, T ) .
∫
π0 t
2
2
⎧ π
⎪ 2 , untuk
∞
sin th
⎪
Karena ∫
dt = ⎨ 0, untuk
t
0
⎪− π
⎪ 2 , untuk
⎩
h>0
h = 0 , jadi akan diperoleh pernyataan
h<0
⎧ 1, untuk
T
2 sin th
⎪
dt = ⎨ 0, untuk
lim p ( h, T ) = lim ∫
T →∞ π
T →∞
t
0
⎪− 1, untuk
⎩
h>0
h = 0 . Dengan demikian p(h,T)
h<0
terbatas untuk setiap h ∈ R dan T > 0, begitu juga g(x,T) terbatas untuk setiap x ∈ R
dan T > 0 sehingga berlaku pernyataan berikut yaitu,
⎧ 0, untuk
⎪1
lim g ( x, T ) = ⎨ , untuk
T →∞
⎪2
⎩ 1, untuk
x < a − h, atau , x > a + h
x = a − h, atau, x = a + h . Selanjutnya gunakan Lebesque
a−h < x < a+h
Theorem on Dominated Convergence (Teorema 2) akan diperoleh pernyataan
lim IT = lim
T →∞
T →∞
∞
∞
−∞
−∞
∫ g ( x,T )dF ( x) =
∫
[ lim g ( x, T ) ]dF(x). Karena ( a ± h ) ∈ CF ,
T →∞
a+h
jadi lim IT =
T →∞
∫ dF ( x)
= F(a + h) – F(a - h). Dengan perkataan lain dapat
a−h
disimpulkan
bahwa F(a + h) – F(a - h) = lim
T →∞
1
T
sinh t -i t a
e φ (t) dt.
π −T t
∫
#
............(1)
Selanjutnya misalkan a + h = b dan a – h = a akibatnya a + b = 2a , b – a = 2h.
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1 - 205
e
Tinjau Pernyataan berikut,
Atau
e
− ita
=
=
e
− ita
− e −itb
cos ta − i sin ta − (cos tb − i sin tb )
=
.
2i
2i
− e −itb
cos ta − cos tb + i (sin tb − sin ta )
=
2i
2i
2 sin(
Jadi
− ita
a+b
b−a
a+b
b−a
)t
)t sin(
)t + 2i cos(
)t sin(
2
2
2
2
2i
2i sin th(cos ta − i sin ta)
2 sin ta sin th + 2i cos ta sin th
=
.
2i
2i
− e −itb
sin th − ita e−ita − e −itb
= sin th e− ita , dengan demikian
e =
2i
2it
t
.......... (2)
Oleh karena itu jika a,b ∈ CF dengan a < b maka teorema inversi di (1) menjadi
1
F(b) – F(a) = lim
T → ∞ 2π
T
∫
e
− ita
−T
− e − itb
φ (t) dt
it
...........(3)
Lemma 5. Jika F terdiferensial pada x dengan F’(x) = f(x) maka berlaku
1
hubungan f(x) = lim lim
h → 0 T → ∞ 2π
T
∫(
−T
1 − e − iht − itx
) e ϕ (t )dt.
iht
.........(4)
Jika dan hanya jika ruas kanan dari persamaan (4) ada. Jika φ terintegral pada
R dan f(x) ada untuk setiap x ∈ R maka f(x) =
1
π
∫e
ϕ (t )dt.
− itx
R
Bukti : ( ⇒ ) Sebutlah b = a + h dan gantilah a dengan x akibatnya b = x + h.
Dengan demikian
e
− ita
− itx
− it ( x + h )
− e −itb
e −e
=
2i
2i
1
T → ∞ 2π
Tinjau persamaan (4) yaitu f(x) = lim lim
h→0
= lim
h→0
............(5)
T
1 − e − iht − itx
∫ ( iht ) e ϕ (t )dt.
−T
1
1
lim
h T → ∞ 2π
T
e
∫(
−T
− itx
− e −i ( x + h )t
)ϕ (t )dt.
it
Akibatnya bentuk formula inversi di (3) berubah menjadi seperti di bawah ini
1
T → ∞ 2π
F(x+h) – F(x) = lim
Atau
T
∫(
−T
e
− itx
− e−i ( x + h)t
1
ϕ (t )dt = lim
)
T → ∞ 2π
it
F ( x + h) − F ( x )
1
= lim
T → ∞ 2π
h
T
∫(
−T
1 − e − iht − itx
) e ϕ (t )dt.
iht
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
T
1 − e − iht − itx
∫ ( it ) e ϕ (t )dt.
−T
............(6)
1 - 206
Ini berarti persamaan (4) di atas menjadi f(x) = lim
h→0
Karena F terdiferensial di x , jadi f(x) = lim
h→0
1
h
( F(x+h) – F(x) ) .
F ( x + h) − F ( x )
= F’(x).
h
Dengan perkataan lain ruas kanan persamaan (4) ada dan berhingga. #
Bukti:( ⇐ ) Dari persamaan (6) dapat diperlihatkan bahwa ruas kanan persamaan (4)
1
T → ∞ 2π
adalah sebagai berikut, lim lim
h→0
T
1 − e − iht − itx
∫−T( iht ) e ϕ (t )dt
1
T → ∞ 2π
F’(x). Karena F’(x) = f(x) , jadi f(x) = lim lim
h→0
Dari persamaan-persamaan (2) dan (5) diperoleh
(
= lim
h→0
F ( x + h) − F ( x )
h
=
T
1 − e − iht − itx
∫ ( iht ) e ϕ (t )dt .
−T
1 − e − iht − itx
)e =
2it
#
sin th − ita
e .
t
Dan ini akan mengakibatkan hubungan
1
T → ∞ 2π
lim
T
∫(
−T
∞
T
1 − e − iht − itx
1 sin th − itx
1 sin th − itx
ϕ (t )dt = ∫
e ϕ (t )dt = Tlim
e
e ϕ (t )dt .
)
∫
→∞ π
π − ∞ th
iht
− T th
Karena f(x) ada untuk setiap x ∈ R akibatnya dari persamaan (4) diperoleh
1
T → ∞ 2π
f(x) = lim lim
h→0
Atau f(x) = lim
h→0
1 − e − iht − itx
1 sin th − itx
e ϕ (t )dt .
∫−T( iht ) e ϕ (t )dt = lim
h→0 π ∫
− ∞ th
1 sin th − itx
1
sin th − itx
lim
e ϕ (t )dt =
e ϕ (t )dt .
∫
∫
π R th
π R h → 0 th
sin th
= 1,
h → 0 th
Karena lim
∞
T
jadi f(x) =
1
π
∫
e
− itx
ϕ (t )dt . #
R
4. Simpulan
Dari hasil pembuktian Teorema 4 dan Lemma 5, dapat dikatakan bahwa jika diketahui
fungsi karakteristik dari suatu variabel acak maka dapat dihitung nilai fungsi
distribusinya pada suatu lokasi tertentu. Bahkan dapat pula ditentukan fungsi densitas
dari variabel acak tersebut. Dengan mengacu pada Definisi 3, Teorema 4 dan Lemma 5,
ternyata ada suatu korespondensi satu-satu di antara kedua fungsi tersebut yaitu fungsi
karakteristik dengan fungsi distribusi dan ini sesuai informasi yang diperoleh dari teori
probabilitas.
Daftar Rujukan
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1 - 207
1. Arthur Wouk., Applied Functional Analysis , John Wiley & Sons, New York,
1999.
2. Ash Robert B., Real Analysis and Probability , Academic Press Inc., London,
2002.
3. Bhat Ramdas, Modern Probability Theory, Wiley Eastern Limited, New Delhi,
2001.
4. Loeve Michel, Probability Theory, D. Van Nostrad Company Inc., Canada,
2003.
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008
1 - 208