Extra 4 Pengantar Teori Modul

Extra 4
Pengantar Teori Modul
Apabila selama ini dikenalkan suatu konsep aljabar mengenai ruang vektor, maka modul
merupakan perumuman dari ruang vektor. Pada modul, syarat skalar diperumum menjadi elemen
pada suatu ring dan bukan lapangan. Dengan demikian ruang vektor merupakan suatu kasus
khusus dari modul dan karena sifat modul yang lebih luas dari ruang vektor maka ada berbagai
sifat-sifat
trivial pada ruang vektor menjadi non-trivial pada modul. Untuk mengawali
pembahasan mengenai modul, berikut diberikan definisi tentang modul kanan dan modul kiri.
1. Pengertian Umum Modul dan Submodul
Definisi E4.1 (Modul Kiri)
Diberikan grup Abelian ( M , +) dan ring ( R, +, ⋅) . Serta diberikan pula operasi biner (disebut
pergandaan skalar) *: R × M → M . Himpunan M disebut modul kiri atas R
(dinotasikan M R-Modul), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :
1. r *(m1 + m2 ) = r * m1 + r * m2
, ∀m1 , m2 ∈ M ∀r ∈ R
2. (r1 + r2 ) * m = r1 * m + r2 * m
, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R
3. (r1 ⋅ r2 ) * m = r1 *(r2 * m)
, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R .
Contoh E4.2
Diberikan ruang vektor
M 3x3
⎧ ⎡ a11
⎪
= ⎨ ⎢⎢ a21
⎪⎢a
⎩ ⎣ 31
a12
a22
a32
3
a13 ⎤
a23 ⎥⎥ aij ∈
a33 ⎥⎦
dan himpunan seluruh matriks bilangan real berukuran 3x3
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Diberikan pula operasi biner *: M 3 x 3 ×
3
→
3
sebagai operasi pergandaan matriks dengan
vektor.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
1
3
Diketahui
adalah grup Abelian dan M 3 x 3 adalah ring. Serta operasi pergandaan matriks
dengan vektor adalah operasi biner. Akan ditunjukkan bahwa ketiga aksioma dipenuhi.
Menggunakan sifat pergandaan matriks dengan vektor :
⎡ a11
1. Untuk sebarang matriks ⎢⎢ a21
⎢⎣ a31
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢⎣ a31
a22
a32
⎡ a11
2. Untuk sebarang matriks ⎢⎢ a21
⎢⎣ a31
⎡ a11 + b11
⎢a + b
⎢ 21 21
⎢⎣ a31 + a31
a12 + b12
a22 + b22
a32 + b32
Akibatnya
a12
a22
a32
3
a22
a32
a12
a22
a32
a13 ⎤ ⎡ b11 b12
a23 ⎥⎥ ⎢⎢b21 b22
a33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32
a12
a22
a32
a13 ⎤ ⎡ b11 b12
a23 ⎥⎥ , ⎢⎢b21 b22
a33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32
a12
a22
a32
⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤
⎢x ⎥ , ⎢ y ⎥ ∈
⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦
a22
a32
a13 ⎤ ⎡ b11 b12
a23 ⎥⎥ , ⎢⎢b21 b22
a33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32
a12
a22
a32
3
a13 ⎤ ⎡ y1 ⎤
a23 ⎥⎥ ⎢⎢ y2 ⎥⎥
a33 ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦
b13 ⎤
b23 ⎥⎥ ∈ M 3 x 3 dan vektor
b33 ⎥⎦
a13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b11 b12
a23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ + ⎢⎢b21 b22
a33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32
a12
b13 ⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11
⎟
b23 ⎥⎥ ⎟ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ = ⎢⎢ a21
b33 ⎥⎦ ⎟⎠ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ a31
3
b13 ⎤ ⎡ x1 ⎤
b23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥
b33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
b13 ⎤
b23 ⎥⎥ ∈ M 3 x 3 dan vektor
b33 ⎥⎦
a13 ⎤ ⎛ ⎡ b11 b12
⎜
a23 ⎥⎥ ⎜ ⎢⎢b21 b22
a33 ⎥⎦ ⎜⎝ ⎢⎣b31 b32
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ∈
⎢ 2⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ∈
⎢ 2⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
3
b13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎞
⎟
b23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎟
b33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎠⎟
= M 3 x 3 −Modul.
Diperhatikan bahwa operasi pergandaan
karena vektor dari
3
a13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11
a23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ + ⎢⎢ a21
a33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ a31
a12
a13 + b13 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11
a23 + b23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ = ⎢⎢ a21
a33 + b33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ a31
⎡ a11
3. Untuk sebarang matriks ⎢⎢ a21
⎢⎣ a31
⎛ ⎡ a11
⎜⎢
⎜ ⎢ a21
⎜ ⎢a
⎝ ⎣ 31
a22
a32
a13 ⎤ ⎡ x1 + y1 ⎤ ⎡ a11
a23 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 + y2 ⎥⎥ = ⎢⎢ a21
a33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 + y3 ⎥⎦ ⎢⎣ a31
a12
a13 ⎤
a23 ⎥⎥ ∈ M 3 x 3 dan vektor
a33 ⎥⎦
a12
3
3
dengan M 3 x 3 pada contoh diatas dapat berlaku
direpresentasikan sebagai matriks vertikal. Bagaimana jika vektor pada
direpresentasikan sebagai matriks horizontal? Jelas bahwa jika vektor pada
3
direpresentasikan sebagai matriks horizontal maka operasi pergandaan pada contoh diatas tidak
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
2
dapat berlaku. Namun
3
dengan vektornya sebagai matriks horizontal tetap dapat menjadi
modul atas ring M 3 x 3 jika operasi pergandaannya diubah, yakni matriks dioperasikan dengan
vektor dari sisi kanan. Dari contoh tersebut dapat dinyatakan suatu definisi baru.
Definisi E4.3 (Modul Kanan)
Diberikan grup Abelian ( M , +) dan ring ( R, +, ⋅) . Serta diberikan pula operasi pergandaan
skalar *: M × R → M . Himpunan M disebut modul kanan atas R
(dinotasikan M Modul-R), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :
1. (m1 + m2 ) * r = m1 * r + m2 * r
, ∀m1 , m2 ∈ M ∀r ∈ R
2. m *(r1 + r2 ) = m * r1 + m * r2
, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R
3. m *(r1 ⋅ r2 ) = ( m * r )1 * r2
, ∀m ∈ M ∀r1 , r2 ∈ R .
Akan tetapi tidak menutup kemungkinan bahwa operasi pergandaan skalar pada modul
dapat berlaku dari kiri dan sekaligus dari kanan. Sifat modul dengan operasi pergandaan tersebut
dapat dinyatakan sebagai definisi.
Definisi E4.4 (Bi-Modul)
Diberikan grup Abelian ( M , +) dan ring ( R, +, ⋅) . Jika M adalah modul kiri sekaligus modul
kanan atas R maka M disebut Bi-Modul.
Contoh E4.5
Himpunan seluruh bilangan bulat
merupakan Bi-Modul dengan ring
dan operasi
pergandaan perkalian bilangan bulat.
Jika ring pada modul merupakan ring dengan elemen satuan, maka dapat dimunculkan
suatu definisi baru.
Definisi E4.6 (Modul Uniter Kiri)
Diketahui M R-Modul dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kiri jika
dan hanya jika untuk setiap m ∈ M berlaku 1R * m = m dengan 1R merupakan elemen satuan di
R.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
3
Definisi E4.7 (Modul Uniter Kanan)
Diketahui M Modul-R dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kanan
jika dan hanya jika untuk setiap m ∈ M berlaku m *1R = m dengan 1R merupakan elemen
satuan di R.
Contoh E4.8
Himpunan seluruh bilangan bulat
merupakan Bi-Modul Uniter dengan ring
dan operasi
pergandaan perkalian bilangan bulat.
Untuk mempermudah penulisan, notasi a ∗ b akan ditulis ab . Harap diperhatikan bahwa
untuk seterusnya pembahasan mengenai modul di tulisan ini mengacu kepada modul uniter kiri
dan dengan penalaran yang serupa pembahasan dapat diterapkan juga pada modul uniter kanan.
Selanjutnya, akan diperkenalkan suatu struktur dari suatu modul yang disebut submodul.
Definisi E4.9 (Submodul)
Diketahui M R-Modul, R ring dengan elemen satuan, dan N ⊆ M , maka N disebut submodul
dari M jika dan hanya jika ketiga aksioma berikut dipenuhi:
1. N merupakan subgrup Abelian dari M
2. Operasi pergandaan skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N
3. N memenuhi aksioma-aksioma modul uniter.
Jika N merupakan submodul dari M, maka N dapat dinyatakan sebagai R-Modul.
Contoh E4.10
Pada
− Modul, himpunan 3
merupakan submodul dari
.
Untuk selanjutnya, ring R pada M R-Modul diasumsikan sebagai ring dengan elemen satuan.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
4
Teorema berikut dapat dipergunakan untuk menelaah apakah suatu himpunan merupakan
submodul.
Teorema E4.11
Diketahui M R-Modul dan N ⊆ M , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika
memenuhi dua syarat berikut:
1. n1 − n2 ∈ N
, ∀n1 , n2 ∈ N
2. rn ∈ N
, ∀n ∈ N ∀r ∈ R
Bukti.
(⇒)
Diketahui bahwa N adalah submodul dari modul M. Dengan demikian N adalah subgrup Abelian
dari M dan akibatnya untuk setiap n1 , n2 ∈ N , berlaku n1 − n2 ∈ N . Karena operasi pergandaan
skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N, maka untuk setiap n ∈ N dan r ∈ R , berlaku
rn ∈ N .
( ⇐)
Karena untuk setiap n1 , n2 ∈ N berlaku n1 − n2 ∈ N , maka menurut Teorema 1.19 N merupakan
subgrup Abelian dari M. Selanjutnya, karena rn ∈ N untuk setiap n ∈ N dan r ∈ R maka
operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N. Terakhir, karena N merupakan himpunan
bagian dari M dan operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N maka aksioma-aksioma
modul uniter di M juga berlaku di N. Jadi, N merupakan submodul dari M.
Jika diketahui dua submodul dari suatu modul, maka dapat dibentuk submodul baru dari
kedua submodul tersebut. Teorema berikut menyatakan hal tersebut.
Teorema E4.12
Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M, maka kedua sifat
berikut berlaku:
1. H ∩ K merupakan submodul dari M
2. H + K merupakan submodul dari M.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
5
Bukti.
(1)
Akan ditunjukkan H ∩ K adalah submodul dari M, yaitu H ∩ K memenuhi Teorema E4.11.
Diambil sebarang n1 , n2 ∈ H ∩ K maka n1 , n2 ∈ H dan n1 , n2 ∈ K . Karena H dan K adalah
submodul, maka n1 − n2 ∈ H dan n1 − n2 ∈ K . Akibatnya n1 − n2 ∈ H ∩ K . Selanjutnya, diambil
sebarang r ∈ R , karena
H dan K adalah submodul maka rn1 , rn2 ∈ H dan rn1 , rn2 ∈ K .
Akibatnya rn1 , rn2 ∈ H ∩ K .
Jadi, terbukti bahwa H ∩ K merupakan submodul dari M.
(2)
Akan ditunjukkan H + K adalah submodul dari M, yaitu H + K memenuhi Teorema E4.11.
Diperhatikan bahwa H + K = {h + k h ∈ H dan k ∈ K } . Diambil sebarang n1 , n2 ∈ H + K , maka
n1 = h1 + k1 dan n2 = h2 + k2 untuk suatu h1 , h2 ∈ H dan k1 , k2 ∈ K . Karena H dan K adalah
submodul maka h1 − h2 ∈ H dan k1 − k2 ∈ K . Akibatnya
n1 − n2 = (h1 + k1 ) − (h2 + k2 ) = (h1 − h2 ) + (k1 − k2 ) ∈ H + K . Selanjutnya, diambil sebarang r ∈ R .
Karena H dan K adalah submodul, maka rh1 ∈ H dan rk1 ,∈ K . Akibatnya
rn1 = r (h1 + k1 ) = rh1 + rk1 ∈ H + K .
Jadi, terbukti bahwa H + K merupakan submodul dari M.
Contoh E4.13
Diberikan ring polinomial dengan peubah x dan koefisiennya bilangan bulat,
adalah ring dengan elemen satuan maka
[ x] . Karena
[ x] juga ring dengan elemen satuan. Karena ring
dengan elemen satuan adalah grup Abelian maka
[ x] adalah
-Modul dengan operasi
pergandaan skalar dengan polinomial.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
6
⎧∞
⎫
[ x] , yaitu n [ x] = ⎨∑ ai x i ai ∈ n ⎬ . Akan ditunjukkan bahwa
⎩ i =0
⎭
Diambil sub-himpunan dari
n [ x] adalah submodul dari
∞
[ x] . Diambil sebarang x, y ∈ n [ x] maka x = ∑ ai xi dan
i =0
∞
∞
∞
∞
i =0
i =0
i =0
i =0
y = ∑ bi x i untuk ai , bi ∈ n , sehingga x − y = ∑ ai x i − ∑ bi x i = ∑ (ai − bi ) x i untuk suatu
ai − bi ∈ n ,
akibatnya
x − y ∈ n [ x] .
Untuk
sebarang
∞
m∈
dan
x = ∑ ai x i ,
i =0
∞
∞
i =0
i =0
mx = m∑ ai x i = ∑ (mai ) x i untuk suatu mai ∈ n , akibatnya mx ∈ n [ x] .
Diperhatikan bahwa 2 [ x] dan 5 [ x] merupakan submodul dari
[ x] . Dengan demikian
menurut Teorema E4.12 berlaku:
1. 2 [ x] ∩ 5 [ x] = 10 [ x]
2. 2 [ x] + 5 [ x] = [ x]
Diperhatikan bahwa 2 [ x] ∪ 5 [ x] bukanlah submodul dari M. Karena untuk 2 x ∈ 2 [ x] dan
5 x ∈ 5 [ x] , 5 x − 2 x = 3 x ∉ 2 [ x] ∪ 5 [ x] .
Dari definisi-definisi beserta teorema-teorema diatas dapat diperoleh kesimpulan sebagai
berikut:
1. Setiap ring merupakan modul atas dirinya sendiri, yaitu jika R ring maka R R-Modul.
2. Jika R dipandang sebagai R-Modul, maka setiap ideal pada R merupakan submodul di R.
3. Setiap ruang vektor merupakan modul.
Untuk contoh-contoh selanjutnya, submodul pada
-Modul akan selalu berbentuk n
dengan n merupakan bilangan bulat. Untuk menujukkan kebenaran pernyataan ini dapat
menggunakan sifat Daerah Ideal Utama, yaitu setiap ideal pada
dibangun oleh tepat satu
elemen. Terkait dengan pembangun suatu submodul, subbab selanjutnya akan membahas
pembangun suatu submodul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
7
2. Modul Faktor dan Homomorfisma
Misalkan diketahui M R-Modul. Karena M grup Abelian, maka sebarang subgrup dari M
juga merupakan grup Abelian. Misalkan N merupakan sebarang subgrup dari M. Karena N
subgrup Abelian, maka N merupakan subgrup normal terhadap M, yaitu aN = Na untuk setiap
a ∈ M . Dengan demikian menurut Teorema E3.17, M N = {a + N a ∈ M } merupakan grup
terhadap operasi biner
( a + N ) + (b + N ) = ( a + b) + N .
Karena M grup Abelian, maka jelas
bahwa ( a + N ) + ( b + N ) = ( a + b ) + N = ( b + a ) + N = ( b + N ) + ( a + N ) . Jadi, M N merupakan
grup Abelian terhadap operasi penjumlahan koset.
Teorema E4.14
Diketahui M R-Modul, N sebarang submodul dari M, dan R ring dengan elemen satuan, maka
M N R -Modul terhadap operasi pergandaan koset r ( a + N ) = ( ra ) + N untuk setiap r ∈ R
dan aN ∈ M N . Selanjutnya, M N disebut dengan modul faktor.
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan koset diatas merupakan operasi biner. Pertama
akan
ditunjukkan
bahwa
operasi
ini
terdefinisi
dengan
baik.
Diambil
sebarang
a + N , b + N ∈ M N dengan a + N = b + N . Menggunakan sifat kesamaan dua koset diperoleh
a − b ∈ N . Karena N submodul, maka untuk sebarang r ∈ R berlaku, r ( a − b ) = ra − rb ∈ N .
Dengan kata lain
( ra ) + N = ( rb ) + N ,
sesuai dengan definsi operasi pergandaan koset
r ( a + N ) = r ( b + N ) . Terbukti operasi ini terdefinisi dengan baik. Kedua, operasi ini tertutup
karena
ra ∈ M
untuk sebarang
r∈R
dan
a∈M
dan dengan demikian berlaku
r ( a + N ) = ( ra ) + N ∈ M N . Jadi, operasi pergandaan koset merupakan operasi biner.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
8
Terakhir, diberikan sebarang a + N , b + N ∈ M N dan r , r1 , r2 ∈ R . Akan ditunjukkan bahwa
operasi pergandaan koset memenuhi aksioma pergandaan skalar :
1. r ( ( a + N ) + ( b + N ) ) = r ( ( a + b ) + N )
= ( r ( a + b)) + N
= ( ra + rb ) + N
= ( ra + N ) + ( rb + N )
= r ( a + N ) + r (b + N )
2.
3.
( r1 + r2 )( a + N ) = ( ( r1 + r2 ) a ) + N
= ( r1a + r2 a ) + N
= ( r1a + N ) + ( r2 a + N )
= r1 ( a + N ) + r2 ( a + N )
( r1r2 )( a + N )
= ( ( r1r2 ) a ) + N
= ( r1 ( r2 a ) ) + N
= r1 ( r2 a + N )
= r1 ( r2 ( a + N ) )
4. 1R ( a + N ) = (1R a ) + N
= a + N.
Jadi, terbukti bahwa M N merupakan modul atas R.
Contoh E4.15
Pada
-Modul
dapat
dipilih
submodul
6 = {0 + 6 , 1 + 6 , 2 + 6 , 3 + 6 , 4 + 6 , 5 + 6
atas
a+6 ∈
dengan operasi pergandaan skalar r ( a + 6
6
}.
dan
Himpunan
) = ( ra ) + 6
dibentuk
6
grup
abelian
merupakan modul
untuk setiap r ∈
dan
6 .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
9
Modul faktor merupakan salah satu sifat yang digunakan pada pembahasan mengenai
teorema utama homomorfisma. Berikut diberikan pengertian mengenai homomorfisma, yaitu
suatu pemetaan dari suatu modul ke modul lain yang “mengawetkan” sifat-sifat operasi
pergandaan skalar di kedua modul.
Definisi E4.16 (Homomorfisma Modul)
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul. Pemetaan φ : M → M ' disebut homomorfisma modul
jika dan hanya jika memenuhi kedua syarat berikut:
1. φ (m1 + m2 ) = φ (m1 ) + φ (m2 )
, untuk setiap m1 , m2 ∈ M
2. φ (rm) = r φ (m)
, untuk setiap m ∈ M dan r ∈ R .
Contoh E4.17
Diketahui
dan
[ x ] keduanya merupakan
-Modul. Pemetaan φ :
→
[ x ] dengan definisi
φ ( a ) = ax 3 merupakan homomorfisma modul, karena
1. φ (a + b) = ( a + b ) x 3 = ax 3 + bx 3 = φ (a ) + φ (b)
, untuk setiap a, b ∈
2. φ (ra ) = ( ra ) x 3 = r ( ax ) = r φ (a )
, untuk setiap a ∈
dan r ∈ .
Berikut diberikan lemma mengenai sifat-sifat homomorfisma modul.
Lemma E4.18
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul, maka
keempat sifat berikut berlaku:
1. Jika 0M merupakan elemen identitas di M, maka φ ( 0 M ) = 0 M '
2. Jika a ∈ M , maka φ ( − a ) = −φ ( a )
3. Jika H merupakan sumodul dari M, maka φ ( H ) merupakan submodul dari M '
4. Jika K ' merupakan submodul dari M ' , maka φ −1 ( K ' ) merupakan submodul dari M.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
10
Bukti.
(1)
Misalkan 0M merupakan elemen identitas di M, yaitu a + 0 M = 0 M + a = a untuk setiap a ∈ M .
Karena
a + 0M = 0M + a = a ,
maka
berlaku
φ ( a + 0M ) = φ ( 0M + a ) = φ ( a ) .
Karena
φ
homomorfisma, maka diperoleh:
i.
φ ( a + 0M ) = φ ( a ) + φ ( 0M ) = φ ( a )
dan
ii. φ ( 0 M + a ) = φ ( 0 M ) + φ ( a ) = φ ( a ) .
Jadi, diperoleh φ ( a ) + φ ( 0 M ) = φ ( 0 M ) + φ ( a ) = φ ( a ) untuk setiap a ∈ M dan dengan demikian
φ ( 0 M ) = 0 M ' yaitu elemen identitas di M ' .
(2)
Diambil sebarang a ∈ M dan dengan demikian diperoleh a + ( − a ) = ( − a ) + a = 0 M . Karena
a + ( −a ) = ( −a ) + a = 0M ,
maka
berlaku
φ ( a + ( −a ) ) = φ ( ( −a ) + a ) = φ ( 0M ) .
Karena
φ
homomorfisma dan menurut (1) berlaku φ ( 0 M ) = 0 M ' , maka diperoleh:
i.
φ ( a + ( −a ) ) = φ ( a ) + φ ( −a ) = 0M '
dan
ii. φ ( ( − a ) + a ) = φ ( − a ) + φ ( a ) = 0 M ' .
Jadi, diperoleh φ ( a ) + φ ( − a ) = φ ( − a ) + φ ( a ) = 0 M ' untuk setiap a ∈ M dan dengan demikian
berlaku φ ( − a ) = −φ ( a ) .
(3)
Diambil sebarang a, b ∈ φ ( H ) , maka a = φ ( x ) dan b = φ ( y )
untuk suatu
x, y ∈ H .
Diperhatikan bahwa a − b = φ ( x ) − φ ( y ) = φ ( x ) + φ ( − y ) = φ ( x − y ) . Karena H submodul dan
x, y ∈ H , maka menurut Teorema E4.11 berlaku
x− y∈H
dan dengan demikian
a − b = φ ( x − y ) ∈ φ ( H ) . Diambil sebarang r ∈ R dan diperhatikan bahwa ra = r φ ( x ) = φ ( rx ) .
Karena H submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku rx ∈ H dan dengan demikian
ra = φ ( rx ) ∈ φ ( H ) . Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa φ ( H ) merupakan submodul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
11
(4)
Diambil sebarang a, b ∈ φ −1 ( K ' ) , maka φ ( a ) = k1 dan φ ( b ) = k2 untuk suatu k1 , k2 ∈ K ' . Karena
K ' submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku k1 − k2 ∈ K ' dan dengan demikian
k1 − k2 = φ ( a ) − φ ( b ) = φ ( a − b ) ∈ K ' . Sehingga berlaku a − b ∈ φ −1 ( K ' ) . Diambil sebarang
r ∈ R dan diperhatikan bahwa rk1 = r φ ( a ) = φ ( ra ) . Karena K ' submodul, maka menurut
Teorema E4.11 berlaku rk1 = φ ( ra ) ∈ K ' dan dengan demikian ra ∈ φ −1 ( K ' ) . Jadi, menurut
Teorema E4.11 terbukti bahwa φ −1 ( K ' ) merupakan submodul.
Berikut diberikan definisi mengenai Kernel dan Image suatu homomorfisma beserta sifatsifatnya.
Definisi E4.19 (Kernel dan Image Homomorfisma)
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul, maka
1. Kernel φ =
{m ∈ M φ (m) = 0 }
M'
dan
2. Image φ = {φ (m) ∈ M ' m ∈ M } .
Selanjutnya, kernel φ dinotasikan ker (φ ) .
Contoh E4.20
{
Pada Contoh E4.17 diketahui ker (φ ) = {0} dan image (φ ) = ax3 a ∈
}.
Lemma E4.21
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul, maka
1. ker (φ ) merupakan submodul dari M dan
2. image (φ ) merupakan submodul dari M ' .
Bukti.
Diperhatikan bahwa ker (φ ) bukan himpunan kosong, karena 0 M ∈ ker (φ ) . Selanjutnya, diambil
sebarang k1 , k2 ∈ ker (φ ) . Karena φ adalah homomorfisma modul maka berlaku,
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
12
φ (k1 − k2 ) = φ (k1 ) − φ (k2 ) = 0M ' − 0M ' = 0M ' dan dengan demikian k1 − k2 ∈ ker (φ ) . Terakhir
diambil sebarang r ∈ R dan k ∈ ker (φ ) . Karena φ adalah homomorfisma modul maka
φ (rk ) = r φ (k ) = r 0 M ' = 0M ' dan dengan demikian rk ∈ ker (φ ) . Jadi, menurut Teorema E4.11
ker (φ ) merupakan submodul dari M.
Diperhatikan bahwa image (φ ) bukan himpunan kosong karena 0 M ' ∈ image (φ ) . Selanjutnya,
diambil sebarang x, y ∈ image (φ ) . Maka x = φ (m1 ) dan y = φ (m2 ) untuk suatu m1 , m2 ∈ M .
Karena φ adalah homomorfisma modul maka x − y = φ (m1 ) − φ (m2 ) = φ (m1 − m2 ) . Karena M
modul, maka m1 − m2 ∈ M
dan dengan demikian x − y = φ (m1 − m2 ) ∈ image (φ ) . Terakhir
diambil sebarang r ∈ R dan x ∈ image (φ ) , maka x = φ (m) untuk suatu m ∈ M . Karena φ
adalah homomorfisma modul, maka rx = rφ (m) = φ (rm) . Karena M modul, maka rm ∈ M dan
dengan demikian rx = φ ( rm ) ∈ image (φ ) . Jadi, menurut Teorema E4.11 image (φ ) merupakan
submodul dari M ' .
Definisi mengenai isomorfisma berikut, akan mengawali pembahasan mengenai Teorema
Utama Homomorfisma Modul.
Definisi E4.22 (Isomorfisma)
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul. Jika
φ adalah pemetaan bijektif, yaitu φ pemetaan injektif sekaligus surjektif, maka pemetaan φ
disebut isomorfisma modul.
Contoh E4.23
Diketahui
-Modul, maka pemetaan ϕ :
→
dengan ϕ ( a ) = − a , untuk setiap a ∈
merupakan isomorfisma modul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
13
Teorema E4.24
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul
dengan ker (φ ) = H . Maka pemetaan μ : M H → ϕ ( M ) yang didefinisikan μ ( a + H ) = φ ( a )
untuk setiap a + H ∈ M H merupakan isomorfisma modul.
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.13.
Teorema E4.25
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul
dengan ker (φ ) = H . Maka pemetaan γ : M → M H yang didefinisikan γ ( a ) = a + H untuk
setiap a ∈ M merupakan homomorfisma surjektif.
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.14.
Dari Teorema E4.24 dan E4.25, dapat dibentuk langkah-langkah sebagai berikut:
1. Diketahui M dan M ' merupakan R-Modul
2. Diketahui φ : M → M ' homomorfisma modul
3. Diketahui φ ( M ) ⊆ M '
4. Dari Teorema E4.14, diperoleh M ker (φ ) merupakan R-Modul
5. Dari Teorema E4.25, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari M ke
M ker (φ )
6. Dari Teorema E4.24, dapat dibentuk suatu isomorfisma dari M ker (φ ) ke φ ( M ) .
Diperhatikan langkah 4, 5, dan 6. Jika a ∈ M , maka untuk memetakan elemen a ke M ' melalui
suatu pemetaan homomorfisma modul, tidak harus melalui pemetaan φ . Dari langkah 4, 5, dan
6, untuk memetakan elemen a ke M ' dapat pula melalui pemetaan γ dan μ yang keduanya
merupakan pemetaan homomorfisma modul. Pertama, elemen a dipetakan terlebih dahulu ke
grup M ker (φ ) melalui pemetaan γ , hasil petanya adalah γ ( a ) . Selanjutnya, elemen γ ( a )
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
14
dipetakan ke φ ( M ) ⊆ M ' melalui pemetaan μ , hasil petanya adalah μ ( γ ( a ) ) = ( μ γ )( a ) .
Jadi, menggunakan langkah-langkah tersebut elemen a tidak langsung dipetakan ke M ' melalui
pemetaan φ , melainkan harus “singgah sejenak” di modul M ker (φ ) untuk kemudian dipetakan
ke M ' melalui pemetaan μ γ . Tetapi yang terpenting adalah modul M ker (φ ) dan φ ( M )
isomorfis, yaitu ada suatu isomorfisma dari M ker (φ ) ke φ ( M ) . Sifat tersebut dapat
dinyatakan ke dalam sebuah teorema.
Teorema E4.26 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 1)
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul, maka
terdapat suatu isomorfisma modul dari M ker (φ ) ke φ ( M ) .
Jika φ merupakan pemetaan surjektif akan diperoleh φ ( M ) = M ' dan Teorema E4.26
dapat berubah menjadi seperti berikut.
Teorema E4.27
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul yang
surjektif, maka terdapat suatu isomorfisma modul dari M ker (φ ) ke M ' .
Teorema Utama Homomorfisma Modul pada dasarnya merupakan kasus khusus dari
Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring. Karena itu terdapat juga Teorema ke-2 dan ke-3
mengenai Teorema Utama Homomorfisma Modul. Pembuktian untuk kedua teorema tersebut
serupa dengan pembuktian untuk Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring.
Teorema E4.28 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 2)
Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M, maka terdapat
suatu ismomorfisma modul dari ( H + N ) N ke H ( H ∩ N ) .
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.21.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
15
Teorema E4.29 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 3)
Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M. Jika H juga
submodul dari N, maka terdapat suatu ismomorfisma modul dari M N ke ( M H ) ( N H ) .
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.22.
Teorema E4.30
Diketahui M dan M ' adalah R-Modul dan φ : M → M ' merupakan homomorfisma modul, maka
untuk sebarang submodul K ' dari M ' berlaku:
1. Submodul φ −1 ( K ' ) memuat ker (φ ) .
2. Jika terdapat submodul H dari M yang memuat ker (φ ) dan φ ( H ) = K ' maka
φ −1 ( K ') = H .
Bukti.
(1)
Karena 0M ' ∈ M ' , elemen identitas di M ' , termuat pada K ' maka φ −1 ( K ' ) memuat setiap
anggota M yang dipetakan ke 0 M ' . Dengan kata lain φ −1 ( K ' ) memuat ker (φ ) .
(2)
Misalkan H merupakan submodul dari M dengan ker (φ ) ⊆ H dan φ ( H ) = K ' .
Karena φ ( H ) = K ' , maka jelas bahwa H ⊆ φ −1 ( K ' ) . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
φ −1 ( K ') ⊆ H . Diambil sebarang k ∈ K ' .
Karena φ −1 ( K ' ) = H dan φ (φ −1 ( K ') ) = K ' , maka k = φ ( h ) = φ ( x ) , untuk suatu h ∈ H dan
x ∈ φ −1 ( K ' ) . Karena φ ( h ) = φ ( x ) , maka diperoleh φ ( h ) − φ ( x ) = 0 M ' ∈ K ' .
Karena φ homomorfisma, diperoleh φ ( h ) − φ ( x ) = φ ( h − x ) . Dengan demikian, φ ( h − x ) = 0 M '
atau dengan kata lain h − x ∈ ker (φ ) . Karena ker (φ ) ⊆ H , akibatnya h − x ∈ H . Karena − h ∈ H
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
16
dan h − x ∈ H , akibatnya − h + ( h − x ) = ( − h + h ) − x = 0 M − x = − x ∈ H . Karena − x ∈ H dan H
submodul, maka x ∈ H . Karena pemilihan k sebarang dan φ ( H ) = K ' , berakibat φ −1 ( K ' ) ⊆ H .
Jadi, karena berlaku H ⊆ φ −1 ( K ' ) dan φ −1 ( K ') ⊆ H , maka φ −1 ( K ' ) = H .
Teorema E4.31 (Teorema Korespondensi)
Diketahui M dan M ' dan H , K , serta N merupakan submodul dari M. Jika submodul H dan K
memuat N dan berlaku H N = K N , maka H = K .
Bukti.
Karena N merupakan submodul dari M, maka menurut Teorema E4.14 M N merupakan RModul. Dibentuk homomorfisma φ : M → M N , dengan definisi φ ( a ) = a + N untuk setiap
a ∈ M dan jelas bahwa ker (φ ) = N . Diperhatikan bahwa φ merupakan pemetaan surjektif,
karena untuk sebarang a + N ∈ M N dapat dipilih x ∈ M dengan x = a sehingga φ ( a ) = a + N .
Karena H dan K merupakan submodul dari M dan φ merupakan pemetaan surjektif, maka jelas
bahwa φ ( H ) = H N dan φ ( K ) = K N . Karena submodul H memuat N = ker (φ ) dan
φ ( H ) = H N = K N , maka menurut Teorema E4.32 (ii) berakibat φ −1 ( K N ) = H . Karena
φ −1 ( K N ) = K , maka diperoleh H = K .
Contoh E4.32
Pada
-Modul, akan ditunjukkan bahwa
n
≅m
( mn )
dengan m dan n saling relatif
prima. Diperhatikan dahulu bahwa
1. a + b = d , dengan d = gcd ( a, b )
2. a ∩ b = c , dengan c = lcm ( a, b )
dengan gcd merupakan faktor persekutuan terbesar dan lcm merupakan kelipatan persekutuan
terkecil. Selanjutnya, dimisalkan N = n
dan H = m
. Karena m dan n saling relatif prima,
maka gcd ( n, m ) = 1 dan lcm ( n, m ) = mn . Dengan demikian H + N = m + n =
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
dan
17
H ∩ N = m ∩ n = ( mn ) . Sehingga menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 3
diperoleh
(H + N )
N
≅H
(H ∩ N )
⇔
n
≅m
( mn )
.
3. Elemen Torsi dan Annihilator
Sesuai definisi modul, suatu ring dengan elemen satuan dapat dipandang sebagai modul
atas dirinya sendiri. Diperhatikan pada kasus ketika ring tersebut memuat elemen pembagi nol.
Ingat kembali bahwa elemen pembagi nol pada suatu ring adalah elemen a dan b yang keduanya
tidak nol dengan ab = 0 . Keberadaan elemen pembagi nol ini akan memunculkan sifat pada
modul yang tidak terdapat pada ruang vektor. Hal tersebut dikarenakan skalar pada ruang vektor
merupakan elemen lapangan yang setiap elemennya bukan merupakan pembagi nol.
Definisi E4.33 (Elemen Torsi)
Diberikan M R-Modul, elemen m ∈ M disebut elemen torsi jika dan hanya jika terdapat
r ∈ R − {0 R } sehingga rm = 0M . Dengan demikian 0M ∈ M merupakan elemen torsi.
Definisi E4.34 (Modul Torsi)
Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul torsi jika dan hanya jika setiap elemennya
merupakan elemen torsi.
Definisi E4.35 (Modul Bebas Torsi)
Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul bebas torsi jika dan hanya jika M memiliki tepat
satu elemen torsi, yaitu 0M ∈ M .
Contoh E4.36
Diketahui ring
8
merupakan modul atas ring
dan juga atas dirinya sendiri. Jika
dipandang sebagai
-Modul, maka seluruh elemen pada
dengan demikian
8
8(a + 8
) = 0+8
8
merupakan elemen torsi dan
merupakan modul torsi. Karena dapat dipilih 8 ∈
untuk setiap a + 8 ∈
8 . Jika
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
8
8
sehingga
dipandang sebagai modul atas
18
dirinya sendiri, maka elemen torsinya adalah 0 + 8 , 2 + 8 , 4 + 8 , dan 6 + 8 . Diperhatikan
bahwa dengan mengganti ring yang menyertai modul, maka elemen-elemen torsi dapat berubah.
Dari definisi elemen torsi, jika diberikan suatu M R-Modul maka dapat dihimpun semua
elemen torsi pada modul M tersebut. Misalkan M T merupakan himpunan seluruh elemen torsi
modul M. Teorema-teorema berikut menyatakan sifat himpunan M T .
Teorema E4.37
Diketahui M R-Modul dan M T himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral,
maka M T merupakan submodul dari M.
Bukti.
Diambil sebarang m1 , m2 ∈ M T , maka terdapat r1 , r2 ∈ R − {0 R } sehingga r1m1 = r2 m2 = 0M . Akan
ditunjukkan m1 − m2 ∈ M T . Karena R adalah daerah integral, maka R tidak memuat elemen
pembagi nol yaitu untuk setiap r1 , r2 ∈ R − {0 R } , berlaku r1r2 ≠ 0 R . Dengan demikian dapat dipilih
r3 = r1r2 ∈ R − {0 R } , sehingga r3 (m1 − m2 ) = r3m1 − r3m2 = (r1r2 )m1 − (r1r2 )m2 .
Karena R adalah daerah integral maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga
(r1r2 )m1 − (r1r2 ) m2 = ( r2 r1 )m1 − (r1r2 )m2 = r2 (r1m1 ) − r1 (r2 m2 ) = r2 0M − r1 0M = 0M .
Sehingga diperoleh m1 − m2 ∈ M T .
Selanjutnya, diambil sebarang r ∈ R dan m ∈ M T . Akan ditunjukkan rm ∈ M T . Karena m ∈ M T
maka terdapat r0 ∈ R − {0 R } sedemikian sehingga r0 m = 0M . Karena R adalah daerah integral
maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga
r0 (rm) = (r0 r )m = (rr0 )m = r (r0 m) = r 0M = 0M .
Sehingga diperoleh rm ∈ M T .
Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa M T merupakan submodul dari M .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
19
Teorema E4.38
Diketahui M R-Modul dan M T himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral,
maka M M T merupakan modul bebas torsi.
Bukti.
Menurut Teorema E4.37, karena R daerah integral maka M T adalah submodul atas M sehingga
menurut Teorema E4.14 M M T adalah R-Modul. Andaikan M M T memiliki elemen torsi
m + M T ≠ 0 M + M T , maka terdapat r0 ∈ R − {0 R } sehingga r ( m + M T ) = 0 M + M T . Karena
r ( m + M T ) = rm + M T = 0 M + M T , akibatnya rm ∈ M T . Karena rm ∈ M T , maka terdapat
s ∈ R − {0 R } sedemikian sehingga s (rm) = ( sr )m = 0M . Karena R adalah daerah integral, maka
sr ≠ 0 R , akibatnya m = 0M dan dengan kata lain m + M T = 0M + M T .
Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa m + M T ≠ 0M + M T . Sehingga yang benar
M M T modul bebas torsi.
Jika elemen torsi merupakan elemen pada modul, maka dari kondisi rm = 0 M juga dapat
dihimpun elemen pada ring yang menyebabkan kondisi tersebut berlaku.
Definisi E4.37 (Annihilator)
Diberikan M R-Modul dan X ⊆ M . Annihilator atas X, dinotasikan dengan ann ( X ) ,
didefinisikan sebagai ann ( X ) = {r ∈ R rx = 0M untuk setiap x ∈ X } .
Contoh E4.38
Diketahui ring
8
merupakan modul atas ring
dan X = {2 + 8 , 6 + 8
}
maka
ann ( X ) = 4
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
20
Lemma E4.39
Diberikan M R-Modul dan X ⊆ M , maka ann ( X ) merupakan ideal kiri di R.
Bukti.
Diambil sebarang a, b ∈ ann ( X ) , maka ax = bx = 0M untuk setiap x ∈ X . Dengan demikian
( a − b ) x = ax − bx = 0M − 0M
= 0 M untuk setiap x ∈ X . Sehingga diperoleh a − b ∈ ann ( X ) .
Diambil sebarang r ∈ R , diperhatikan bahwa ( ra ) x = r ( ax ) = r 0 M = 0 M untuk setiap x ∈ X dan
dengan demikian ra ∈ ann ( X ) . Jadi, ann ( X ) merupakan ideal kiri di R.
Akibat E4.40
Diberikan M R-Modul dan X ⊆ M . Jika R ring komutatif, maka ann ( X ) merupakan ideal kiri
sekaligus ideal kanan di R.
Untuk selanjutnya, ideal yang dimaksud pada tulisan ini merupakan ideal kiri yang juga
merupakan ideal kanan.
4. Pembangun Submodul dan Modul Bebas
Apabila diketahui X merupakan suatu himpunan bagian dari M R-Modul, maka dapat
dibentuk suatu submodul dari M yang dibangun oleh
X. Submodul tersebut merupakan
submodul terkecil dari M yang memuat X. Definisi berikut menyatakan hal tersebut.
Definisi E4.41 (Submodul yang Dibangun oleh X)
Diketahui M R-Modul dan X ⊆ M . Submodul N merupakan submodul yang dibangun oleh X
jika dan hanya jika N = ∩ I dengan I = { I submodul dari M X ⊆ I } .
I ∈I
Untuk selanjutnya, submodul yang dibangun oleh X dinotasikan dengan X .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
21
Contoh E4.42
-Modul, dipilih himpunan X = {2, 4, 6} ⊂
Pada
n
maka submodul-submodul dari
demikian I = {2 ,
. Karena submodul pada
yang memuat X adalah 2
dan
} . Sehingga submodul yang dibangun oleh X adalah
2 ∩
berbentuk
sendiri, dengan
=2 .
Teorema E4.43
Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M maka H + K
merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.
Bukti.
Pada Teorema E4.12 telah dinyatakan bahwa H + K merupakan submodul dari M. Diperhatikan
bahwa untuk sebarang h ∈ H dapat dipilih k = 0M sehingga h = h + 0 M = h + k ∈ H + K dan
dengan demikian H ⊆ H + K . Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa
K ⊆ H + K dan dengan demikian berlaku H ∪ K ⊆ H + K .
Andaikan ada submodul S dengan H ∪ K ⊆ S . Karena H , K ⊆ H ∪ K akibatnya H ⊆ S dan
K ⊆ S . Karena S merupakan submodul, maka untuk setiap h ∈ H dan k ∈ K berlaku h + k ∈ S .
Dengan kata lain H + K ⊆ S .
Jadi, terbukti bahwa H + K merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.
Akibat E4.44
Diketahui M R-Modul. Jika H
dan K merupakan sebarang submodul dari M maka
H ∪K = H +K .
Teorema E4.45
Diketahui M R-Modul, jika X = ∅ maka X = {0 M } .
Bukti.
Diperhatikan bahwa untuk setiap himpunan bagian N ⊆ M , maka ∅ ⊆ N . Dengan demikian
untuk modul {0 M } , juga berlaku ∅ ⊂ {0 M } dan akibatnya {0 M } ∈ I . Karena setiap submodul
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
22
dari M selalu memuat elemen 0M , akibatnya 0M ∈ ∩ I dan dengan demikian berlaku
I ∈I
⎧⎪
⎫⎪
X = ∅ = {0 M } ∩ ⎨ ∩ I ⎬ = {0 M } .
⎩⎪ I ∈I −{0M } ⎭⎪
Teorema E4.46
Diketahui M R-Modul dan X ⊆ M dengan X ≠ ∅ , maka berlaku
⎧ n
⎫
X = ⎨∑ ri xi n ∈ , ri ∈ R, dan xi ∈ X ⎬ .
⎩ i =1
⎭
Bukti.
⎧ n
⎫
Misalkan K = ⎨∑ ri xi n ∈ , ri ∈ R, dan xi ∈ X ⎬ . Akan ditunjukkan bahwa K merupakan
⎩ i =1
⎭
n
m
i =1
i =1
submodul dari M . Diambil sebarang a, b ∈ K , maka a = ∑ ri xi dan b = ∑ si yi untuk suatu
n
m
n+m
i =1
i =1
j =1
ri , si ∈ R dan xi , yi ∈ X . Diperhatikan bahwa a − b = ∑ ri xi − ∑ si yi = ∑ k j z j dengan
⎧ rj
kj = ⎨
⎩ s j −n
1≤ j ≤ n
n +1 ≤ j ≤ m
dan
⎧ xj
zj = ⎨
⎩ y j −n
1≤ j ≤ n
n +1 ≤ j ≤ m
.
n+m
Sehingga diperoleh a − b = ∑ k j z j ∈ K .
j =1
⎛ n
⎞ n
Selanjutnya, diambil sebarang r ∈ R dan diperhatikan bahwa ra = r ⎜ ∑ ri xi ⎟ = ∑ ( rri ) xi ∈ K .
⎝ i =1
⎠ i =1
Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa K merupakan submodul dari M. Karena X ⊆ K
dan X merupakan submodul terkecil yang memuat X, berakibat X ⊆ K .
Karena X
merupakan submodul terkecil yang memuat X, maka X ⊆ X . Dengan demikian
untuk setiap r ∈ R dan x ∈ X berlaku rx ∈ X . Akibatnya a, b ∈ X
dan dengan demikian
K⊆ X .
Jadi, karena X ⊆ K dan K ⊆ X , maka berlaku K = X .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
23
Definisi E4.47 (Modul Siklik)
Diketahui M R-Modul. Jika terdapat a ∈ M sehingga a = M maka modul M disebut modul
siklik.
Contoh E4.48
− Modul merupakan modul siklik karena 1 =
.
Lemma E4.49
Diketahui M R-Modul siklik dan M = a untuk suatu a ∈ M , maka M ≅ R ann ( a ) .
Bukti.
Dibentuk pemetaan φ : R → M dengan definisi φ ( r ) = ra . Pemetaan φ tersebut merupakan
homomorfisma modul yang surjektif dan jelas bahwa ker (φ ) = ann ( a ) . Jadi, menurut Teorema
Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku M ≅ R ann ( a ) .
Definisi E4.50 (Rank Modul yang Dibangun Secara Berhingga)
Diketahui M R-Modul
dan M = X
untuk suatu X ⊆ M . Jika X herupakan himpunan
berhingga maka modul M dikatakan dibangun secara berhingga dan rank dari M merupakan
banyaknya elemen dari himpunan pembangun M yang terkecil. Notasi μ ( M ) untuk selanjutnya
menyatakan rank dari M.
Definisi E4.51 (Rank Modul yang Tidak Dibangun Secara Berhingga)
Diketahui M R-Modul dan M = X
untuk suatu X ⊆ M . Jika X herupakan himpunan tak
berhingga maka μ ( M ) = ∞ .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
24
Akibat E4.52
Diketahui M R-Modul , maka sifat-sifat berikut berlaku:
1. Jika M = {0 M } , maka μ ( M ) = 0
2. M merupakan modul siklik jika dan hanya jika μ ( M ) = 1 .
Lemma E4.53
Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M dibangun secara berhingga,
maka modul M N juga dibangun secara berhingga dan μ ( M N ) ≤ μ ( M ) .
Bukti.
Misalkan M = X
dengan X = { x1 ,..., xk } ⊆ M sebagai himpuan pembangun terkecil. Diambil
sebarang y ∈ M N , maka y = a + N untuk suatu a ∈ M . Karena M = X , dengan demikian
terdapat n ∈
n
sehingga a = ∑ ri xi untuk suatu ri ∈ R dan xi ∈ X . Akibatnya berlaku
i =1
⎛ n
⎞
y = a + N = ⎜ ∑ ri xi ⎟ + N = ( ( r1 x1 ) + N ) +
⎝ i =1
⎠
+ ( ( rn xn ) + N ) = r1 ( x1 + N ) +
+ rn ( xn + N ) .
Jadi, modul M N dibangun secara berhingga.
Misalkan μ ( M N ) > μ ( M ) dan dengan demikian M N = { y1 + N ,..., ys + N } dengan s > k
sebagai himpunan pembangun terkecil. Dibentuk elemen
a + N = ( y1 + N ) +
a = y1 +
+ ( ys + N ) = ( y1 +
+ ys ) + N .
Dengan
demikian
diperoleh
+ ys ∈ M = X . Karena X merupakan himpunan pembangun terkecil dan s > k maka
terdapat himpunan Y ' ⊂ { y1 ,..., ys } sehingga
Akibatnya a = y '1 +
+ y 'k ∈ M = X
{ y1 ,..., ys } − Y ' = { y '1 ,..., y 'k } = X = { x1 ,..., xk } .
dan dengan demikian a + N = ( y '1 +
+ y 'k ) + N .
Muncul kontradiksi dengan { y1 + N ,..., ys + N } sebagai himpunan pembangun terkecil.
Jadi, pengandaian salah dan terbukti benar bahwa μ ( M N ) ≤ μ ( M ) .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
25
Lemma E4.54
Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M N dan N dibangun secara
berhingga, maka modul M juga dibangun secara berhingga dan μ ( M ) ≤ μ ( N ) + μ ( M N ) .
Bukti.
Misalkan X = { x1 ,..., xk } ⊆ N merupakan himpunan pembangun terkecil untuk N, sehingga
X = N . Dibentuk φ : M → M N sebagai homomorfisma surjektif dengan φ ( a ) = a + N untuk
setiap
a ∈ M . Dipilih Y = { y1 ,..., ys } ⊆ M , sehingga Y ' = {φ ( y1 ) ,..., φ ( ys )} merupakan
himpunan pembangun terkecil untuk M N . Akan ditunjukkan bahwa X ∪ Y = M dan dengan
demikian μ ( M ) ≤ k + s = μ ( N ) + μ ( M N ) .
Diambil sebarang a ∈ M dan dengan demikian a + N ∈ M N . Karena Y ' = M N , maka
φ ( a ) = a + N = r1φ ( y1 ) +
r1φ ( y1 ) +
diperoleh
+ rsφ ( ys ) untuk suatu ri ∈ R . Karena φ homomorfisma surjektif,
+ rsφ ( ys ) = φ ( r1 y1 +
+ rs ys )
φ ( a ) = φ ( r1 y1 +
+ rs ys ) .
φ ( a ) = φ ( r1 y1 +
+ rs ys ) , akibatnya φ ( a − ( r1 y1 +
a − ( r1 y1 +
Jadi,
Diperhatikan
juga
bahwa
dan
r1 y1 +
dengan
+ rs ys ∈ Y .
demikian
Karena
+ rs ys ) ) = 0 + N atau dengan kata lain
+ rs ys ) ∈ ker (φ ) ⊆ N = X .
a = {a − ( r1 y1 +
karena
+ rs ys )} + ( r1 y1 +
+ rs ys ) ∈ X ∪ Y ,
maka
diperoleh
M ⊆ X ∪ Y . Jelas bahwa X ∪ Y ⊆ M , dan dengan demikian diperoleh M = X ∪ Y .
Tidak setiap modul memiliki himpunan pembangun. Jika suatu modul memiliki
himpunan pembangun, maka terdapat sifat pada himpunan pembangun tertentu yang disebut
dengan basis. Berikut akan diberikan pengertian mengenai basis dan modul bebas.
Definisi E4.55 (Bebas Linear)
Diketahui M R-Modul dan X ⊆ M . Himpunan X dikatakan bebas linear jika dan hanya jika
untuk setiap n ∈
berakibat r1 =
, untuk setiap ri ∈ R dan xi ∈ X dengan 1 ≤ i ≤ n , jika r1 x1 +
+ ri xi = 0M
= ri = 0 R .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
26
Definisi E4.56 (Basis)
Diketahui M R-Modul dan X ⊆ M . Himpunan X dikatakan basis untuk M jika dan hanya jika
memenuhi dua syarat berikut:
1. M = X
2. X bebas linear.
Definisi E4.57 (Modul Bebas)
Diketahui M R-Modul. Jika terdapat X ⊆ M dengan X merupakan basis untuk M, maka M
disebut modul bebas.
Contoh E4.58
8
8
8 − Modul merupakan modul siklik karena 1 + 8
merupakan modul bebas. Namun
sebarang X ⊆
8
8
=
8
dan dengan demikian
− Modul bukan modul bebas, karena untuk
selalu dapat dipilih r = 8 ∈
sehingga
∑ rx = 0 + 8
. Jadi, setiap
x∈ X
himpunan bagian pada
selain
8
{0}
tidak bebas linear dan dengan demikian
8
− Modul tidak memiliki basis.
Lemma E4.59
Diketahui M R-Modul. Jika M modul bebas dan R daerah integral, maka M modul bebas torsi.
Bukti.
Karena M modul bebas, maka M memiliki basis. Misalkan X merupakan basis untuk M dan M T
merupakan himpunan elemen torsi pada M. Diambil sebarang x ∈ M T dan dengan demikian
rx = 0M untuk suatu r ∈ R − {0 R } . Karena x ∈ M T ⊆ M , maka x =
∑ rx
xi ∈ X
i i
untuk suatu ri ∈ R .
⎛
⎞
Dengan demikian diperoleh rx = r ⎜ ∑ ri xi ⎟ = ∑ ( rri ) xi = 0M . Karena X merupakan basis, maka
⎝ xi ∈X
⎠ xi ∈X
diperoleh rri = 0 R untuk setiap ri ∈ R . Karena R daerah integral dan r ≠ 0 R , maka diperoleh
ri = 0 . Akibatnya x =
∑ rx = ∑ 0
xi ∈ X
i i
xi ∈X
R
xi = 0 M . Jadi, M T = {0 M } atau M modul bebas torsi.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
27
5. Jumlahan Langsung
Konsep jumlahan langsung (direct sum) merupakan suatu konsep untuk membentuk suatu
modul yang “lebih luas” dari beberapa modul yang diberikan. Modul-modul tersebut akan
isomorfis dengan suatu submodul pada modul yang “lebih luas” tersebut.
Definisi E4.60 (Jumlahan Langsung)
Diketahui M 1 ,..., M n untuk suatu n ∈
Cartesian M 1 ×
1.
× M n juga merupakan modul atas R dengan operasi:
( x1 ,..., xn ) + ( y1 ,..., yn ) = ( x1 + y1 ,..., xn + yn )
2. r ( x1 ,..., xn ) = ( rx1 ,..., rxn )
Modul M 1 ×
M1 ⊕
merupakan modul-modul atas R, maka produk
, untuk setiap ( x1 ,..., xn ) , ( y1 ,..., yn ) ∈ M1 ×
, untuk setiap ( x1 ,..., xn ) ∈ M 1 ×
× Mn
× M n dan r ∈ R .
× M n disebut jumlahan langsung dari modul M 1 ,..., M n dan dinotasikan
n
⊕ M n atau ⊕ M i .
i =1
Lemma E4.61
Diketahui M 1 ,..., M n untuk suatu n ∈
merupakan modul-modul atas R , maka pemetaan
n
n
i =1
i =1
φk : M k → ⊕ M i dengan φk ( a ) = ( x1 ,..., xk −1 , xk , xk +1 ,..., xn ) = ( 0,..., 0, a, 0,..., 0 ) ∈ ⊕ M i merupakan
isomorfisma modul.
Teorema E4.62
Diketahui M R-Modul dan N1 ,..., N n untuk suatu n ∈
merupakan submodul-submodul dari M.
Jika dipenuhi syarat:
1. M = N1 +
+ Nn
2. Untuk setiap 1 ≤ i ≤ n , berlaku N i ∩ { N1 +
+ N i −1 + N i +1 +
+ N n } = {0 M } ,
n
maka M ≅ ⊕ N i .
i =1
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
28
Bukti.
Dibentuk pemetaan
fi : Ni → M
dengan
fi ( a ) = a untuk setiap a ∈ N i . Dibentuk juga
n
n
n
pemetaan f : ⊕ N i → M dengan f ( x1 ,..., xn ) = ∑ f i ( xi ) untuk setiap ( x1 ,..., xn ) ∈ ⊕ N i . Karena
i =1
M = N1 +
i =1
i =1
+ N n dengan demikian f merupakan pemetaan surjektif. Diperhatikan juga bahwa f
dan fi merupakan homomorfisma modul.
Selanjutnya, diambil sebarang ( x1 ,..., xn ) ∈ ker ( f ) maka berlaku
n
f ( x1 ,..., xn ) = ∑ fi ( xi ) = x1 +
i =1
xi = − ( x1 +
+ xi −1 + xi +1 +
xi ∈ N i ∩ { N1 +
+ xn = 0 M .
Sehingga
untuk
1≤ i ≤ n
diperoleh,
+ xn ) dan dengan demikian
+ N i −1 + N i +1 +
+ N n } . Karena N i ∩ { N1 +
+ N i −1 + N i +1 +
+ N n } = {0 M } ,
maka diperoleh xi = 0M untuk setiap 1 ≤ i ≤ n . Dengan demikian ker ( f ) = {( 0M ,..., 0M )} .
Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, homomorfisma modul f injektif.
Jadi, karena f homomorfisma modul yang surjektif sekaligus injektif, maka f merupakan
n
isomorfisma modul dan berlaku M ≅ ⊕ N i .
i =1
Definisi E4.63 (Komplemen)
Diketahui M R-Modul dan K submodul dari M. Submodul K dikatakan komplemen pada M jika
dan hanya jika terdapat submodul H dari M sehingga K ⊕ H ≅ M .
Contoh E4.64
Pada
6
sebagai modul atas dirinya sendiri, submodul K = {0 + 6 , 2 + 6 , 4 + 6
}
6 , karena dapat dipilih submodul H = {0 + 6 , 3 + 6
}
merupakan komplemen pada
sehingga:
1. K + H =
6
2. K ∩ H = {0 + 6
}.
Akibatnya, menurut Teorema E4.62 berlaku K ⊕ H ≅
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
6 .
29
6. Barisan Eksak
Untuk suatu koleksi submodul N1 ,..., N n dari M R-Modul, dapat dibentuk suatu barisan
yang disebut dengan barisan eksak. Barisan tersebut dinamakan barisan eksak dan memiliki sifat
penting di teori modul, salah satunya pada pembahasan mengenai modul proyektif.
Definisi E4.65 (Barisan Eksak)
Diketahui M R-Modul dan { N i i ∈ I } merupakan koleksi submodul dari M. Diketahui juga fi
merupakan homomorfisma dari N i −1 ke N i . Barisan dari R-Modul dan homomorfisma fi
…
fi
Ni-1
fi+1
Ni
…
Ni+1
dikatakan eksak pada Ni jika dan hanya jika image ( f i ) = ker ( f i +1 ) . Barisan tersebut dikatakan
barisan eksak jika eksak pada setiap Ni.
Definisi E4.66 (Barisan Pendek)
Diketahui M R-Modul serta N1 dan N 2 merupakan submodul dari M, maka barisan
{0M }
N1
f
M
g
N2
{0M }
disebut barisan pendek dengan f dan g merupakan homomorfisma modul.
Dari barisan pendek dapat diturunkan tiga sifat sebagai berikut.
Teorema E4.67
Barisan
{0M }
N1
f
M
eksak di N1 jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif.
Bukti.
(⇒)
Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari {0 M } ke N1
adalah φ ( 0 M ) = 0 M . Karena barisan tersebut eksak di N1, maka image (φ ) = ker ( f ) . Karena
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
30
image (φ ) = {0M } , maka ker ( f ) = {0 M } . Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, berakibat
homomorfisma modul f injektif.
( ⇐)
Karena homomorfisma modul f injektif, maka sejalan dengan Lemma E3.6 berakibat
ker ( f ) = {0 M } . Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari
{0M }
ke N1 adalah φ ( 0 M ) = 0 M . Karena image (φ ) = {0 M } = ker ( f ) , maka barisan tersebut
eksak di N1 .
Teorema E4.68
Barisan
M
g
N2
{0M }
eksak di N 2 jika dan hanya jika homomorfisma modul g surjektif.
Bukti.
(⇒)
Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari N 2 ke {0 M }
adalah ψ ( a ) = 0 M
untuk setiap a ∈ N 2 . Karena barisan tersebut eksak di N2, maka
image ( g ) = ker (ψ ) . Karena ker (ψ ) = N 2 , maka image ( g ) = N 2 dan dengan demikian
homomorfisma modul g surjektif.
( ⇐)
Karena homomorfisma modul g surjektif, maka image ( g ) = N 2 . Diperhatikan bahwa satusatunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari N 2 ke {0 M } adalah ψ ( a ) = 0 M untuk
setiap a ∈ N 2 . Karena image ( g ) = N 2 = ker (ψ ) , maka barisan tersebut eksak di N 2 .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
31
Teorema E4.69
Barisan pendek
{0M }
f
N1
M
g
N2
{0M }
merupakan barisan eksak jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif, g surjektif, dan
image ( f ) = ker ( g ) . Lebih lanjut, menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku
N2 ≅ M
image ( f )
.
Contoh E4.70
Barisan
{0}
f
3
6
g
merupakan barisan eksak pendek dengan f ( a + 3
untuk setiap a + 3 ∈
1 dan 3, berlaku
2 ≅
3
dan b + 6 ∈
6
2
6
2
) = 2a + 3
{0}
dan g ( b + 6
) = ( b mod 2 ) + 2
6 . Sesuai Teorema Utama Homomorfisma Modul
.
Definisi E4.71 (Barisan Eksak Terpisah)
Diketahui M R-Modul, maka barisan eksak pendek dikatakan barisan eksak terpisah jika dan
hanya jika image ( f ) = ker ( g ) merupakan komplemen pada M.
Contoh E4.72
Pada Contoh E4.70 diketahui image ( f ) = ker ( g ) = 2
6 = {0 + 6 , 2 + 6 , 4 + 6
} . Sehingga
menurut Contoh E4.64, barisan eksak pendek pada Contoh E4.70 merupakan barisan eksak
terpisah.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
32
Selanjutnya, didefinisikan pemetaan identitas 1M : M → M dengan 1M ( a ) = a untuk
setiap a ∈ M . Pemetaan identitas tersebut jelas merupakan homomorfisma modul dan dapat
diturunkan sifat barisan eksak terpisah. Sebelumnya diberikan lemma mengenai pemetaan
berikut.
Lemma E4.73
Diketahui A dan B sebarang himpunan dan pemetaan f : A → B , maka
1. Jika terdapat pemetaan h : B → A dengan ( h f ) = 1A maka pemetaan h surjektif
2. Jika terdapat pemetaan k : B → A dengan ( f k ) = 1A maka pemetaan k injektif.
Bukti.
Untuk sebarang a ∈ A jelas bahwa f ( a ) ∈ f ( A ) ⊆ B . Dengan demikian untuk sebarang a ∈ A
dapat dipilih y = f ( a ) ∈ B sehingga h ( y ) = h ( f ( a ) ) = ( h f )( a ) = 1A ( a ) = a . Jadi, pemetaan h
surjektif.
Selanjutnya,
diambil
sebarang
b1 , b2 ∈ B
dengan
k ( b1 ) = k ( b2 ) .
Diperhatikan
untuk
x = k ( b1 ) ∈ A , maka diperoleh f ( x ) = f ( k ( b1 ) ) = f ( k ( b2 ) ) . Karena
f ( x ) = f ( k ( b1 ) ) = ( f k )( b1 ) = 1A ( b1 ) = b1 maka diperoleh f ( k ( b1 ) ) = f ( k ( b2 ) ) = b1 . Dengan
cara yang serupa, untuk x = k ( b2 ) ∈ A diperoleh juga f ( k ( b2 ) ) = f ( k ( b1 ) ) = b2 . Jadi, diperoleh
b1 = b2 dan dengan demikian pemetaan k injektif.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
33
Teorema E4.74
Diketahui M R-Modul, N1 dan N 2 merupakan submodul dari M, serta f dan g keduanya
merupakan homomorfisma modul. Jika barisan pendek
{0M }
f
N1
g
M
{0M }
N2
merupakan barisan eksak maka tiga pernyataan dibawah ini ekuivalen:
1. Terdapat homomorfisma modul α : M → N1 sehingga (α f ) = 1N1
2. Terdapat homomorfisma modul β : N 2 → M sehingga ( g β ) = 1N2
3. Barisan pendek tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan
M ≅ image ( f ) ⊕ ker (α )
≅ image ( β ) ⊕ ker ( g )
≅ N1 ⊕ N 2 .
Bukti.
(1 ⇒ 2 )
Sebelumnya akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa ker (α ) ∩ image ( f ) = {0} . Diambil
sebarang
x ∈ ker (α ) ∩ image ( f ) .
x ∈ image ( f ) ,
maka
Karena x ∈ ker (α ) ,
x = f (a)
untuk
suatu
maka
α ( x ) = 0M
a ∈ N1 .
dan
Dengan
karena
demikian
0 M = α ( x ) = α ( f ( a ) ) = (α f )( a ) = 1N1 ( a ) = a . Karena f homomorfisma modul, maka
x = f ( a ) = f ( 0 M ) = 0 M dan dengan demikian ker (α ) ∩ image ( f ) = {0} .
Dibentuk pemetaan β : N 2 → M , dengan β ( x ) = z − ( f α )( z ) untuk setiap x ∈ N 2 dan
g (z) = x
untuk suatu z ∈ M (karena g surjektif). Akan ditunjukkan bahwa β merupakan
homomorfisma modul yang dimaksud. Akan ditunjukkan bahwa pemetaan β terdefinisi dengan
baik. Diambil sebarang x, y ∈ N 2 dengan x = y . Karena, pemetaan g : M → N 2 surjektif, maka
terdapat
a, b ∈ M
dengan
x = g (a)
dan
y = g (b ) .
Karena
x= y,
maka
g ( a ) = g ( b ) ⇔ g ( a − b ) = 0 M dan dengan demikian a − b ∈ ker ( g ) . Karena barisan tersebut
eksak, maka a − b ∈ ker ( g ) = image ( f ) .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
34
Dengan demikian diperoleh:
β ( x ) − β ( y ) = ( a − ( f α )( a ) ) − ( b − ( f α )( b ) )
= ( a − b ) + ( ( f α )( b − a ) )
Diperhatikan, bahwa ( a − b ) + ( f α )( b − a ) ∈ ker (α ) , karena
α ( ( a − b ) + ( f α )( b − a ) ) = α ( a − b ) + (α
( f α )) (b − a )
= α ( a − b ) + ( α f ) (α ( b − a ) )
= α ( a − b ) + 1N (α ( b − a ) )
= α ( a − b) + α (b − a )
= α ( a ) − α (b) + α (b) − α ( a )
1
= 0M .
Diperhatikan
juga
bahwa
( a − b ) + ( f α )( b − a ) ∈ image ( f ) ,
dan
dengan
demikian
( a − b ) + ( f α )( b − a ) ∈ image ( f ) .
Akibatnya, β ( x ) − β ( y ) = ( a − b ) + ( f α )( b − a ) ∈ ker (α ) ∩ image ( f ) = {0} .
Jadi, diperoleh β ( x ) = β ( y ) dan dengan demikian pemetaan β terdefinisi dengan baik.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa β merupakan homomorfisma modul. Diambil sebarang
x, y ∈ N 2 . Karena, pemetaan g : M → N 2 surjektif, maka terdapat a, b ∈ M dengan x = g ( a )
dan y = g ( b ) . Karena g homomorfisma maka diperoleh x + y = g ( a ) + g ( b ) = g ( a + b ) dan
dengan demikian
β ( x ) + β ( y ) = ( a + b ) − ( f α )( b + a ) = β ( x + y ) .
Untuk
sebarang
r∈R ,
diperoleh
r β ( x ) = ra + ( f α )( ra ) = ra − r ( f α )( a ) = r ( a − ( f α )( a ) ) = r β ( x ) .
Jadi, terbukti bahwa β merupakan homomorfisma modul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
35
Terakhir, akan dibuktikan bahwa
( g β ) = 1N
2
. Untuk sebarang x ∈ N 2 , karena g : M → N 2
surjektif, maka terdapat a ∈ M dengan x = g ( a ) . Dengan demikian diperoleh
( g β )( x ) = g ( a − ( f α )( a ) ) = g ( a ) − ( g ( f α ) ) ( a ) . Diperhatikan, karena
( f α )( a ) = f (α ( a ) ) ∈ image ( f )
dan image ( f ) = ker ( g ) , maka ( g
( f α ) ) ( a ) = 0M . Jadi,
diperoleh ( g β )( x ) = g ( a ) − 0 M = g ( a ) = x atau dengan kata lain ( g β ) = 1N2 .
( 2 ⇒ 3)
Dari pembuktian bagian (1 ⇒ 2 ) telah diketahui bahwa ker (α ) ∩ image ( f ) = {0} . Selanjutnya
akan dibuktikan bahwa
α : M → N1 sehingga
M = ker (α ) + image ( f ) . Diketahui terdapat homomorfisma modul
(α
f ) = 1N1 . Diambil sebarang
x∈M
dan dengan demikian
α ( x − f (α ( x ) ) ) = α ( x ) − α ( f (α ( x ) ) ) = α ( x ) − (α f ) (α ( x ) ) .
Karena
(α
f ) = 1N1 , akibatnya
(α
f ) (α ( x ) ) = 1N1 (α ( x ) ) = α ( x ) dan dengan demikian
α ( x − f ( α ( x ) ) ) = α ( x ) − (α f ) (α ( x ) ) = α ( x ) − α ( x ) = 0 M .
Jadi, diperoleh x − ( f α )( x ) ∈ ker (α ) .
Karena
x = ( x − ( f α )( x ) ) + ( f α )( x )
x ∈ ker (α ) + image ( f )
dan
( f α )( x ) ∈ image ( f ) ,
maka
diperoleh
dan dengan demikian berlaku M ⊆ ker (α ) + image ( f ) . Karena
ker (α ) ⊆ M dan image ( f ) ⊆ M , akibatnya ker (α ) + image ( f ) ⊆ M .
Jadi, karena berlaku
M ⊆ ker (α ) + image ( f )
dan
ker (α ) + image ( f ) ⊆ M , akibatnya
M = ker (α ) + image ( f ) dan menurut Teorema E4.62 berlaku M ≅ image ( f ) ⊕ ker (α ) .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
36
Diperhatikan bahwa karena f pemetaan injektif akibatnya image ( f ) isomorfis dengan
domainnya, yaitu N1 . Karena β merupakan pemetaan injektif akibatnya image ( β ) isomorfis
dengan domainnya, yaitu N 2 . Dengan demikian berlaku
M ≅ image ( f ) ⊕ ker (α ) = image ( f ) ⊕ image ( β ) ≅ N1 ⊕ N 2 .
( 3 ⇒ 1)
Diketahui baris eksak tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan berlaku M ≅ N1 ⊕ N 2 .
Karena M ≅ N1 ⊕ N 2 , maka terdapat isomorfisma modul φ dari M ke N1 ⊕ N 2 . Dengan
demikian, untuk setiap x ∈ M , selalu terdapat
( n1 , n2 ) ∈ N1 ⊕ N 2
dengan x = φ ( ( n1 , n2 ) ) .
Dibentuk pemetaan α : M → N1 dengan α ( x ) = n1 .
Akan dibuktikan pemetaan tersebut terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang x, y ∈ M dengan
x = y . Karena M ≅ N1 ⊕ N 2 , maka terdapat n1 , n3 ∈ N1 dan n2 , n4 ∈ N 2 sehingga x = φ ( ( n1 , n2 ) )
dan y = φ ( ( n3 , n4 ) ) . Karena x = y , berakibat φ ( ( n1 , n2 ) ) = φ ( ( n3 , n4 ) ) atau dengan kata lain
( n1 − n3 , n2 − n4 ) ∈ ker (φ ) .
sejalan
dengan
Karena φ isomorfisma, maka φ merupakan pemetaan injektif dan
Teorema
E3.6
berakibat
( n1 − n3 , n2 − n4 ) = ( 0, 0 ) ⇔ ( n1 , n2 ) = ( n3 , n4 )
ker (φ ) = {( 0, 0 )} .
Sehingga
diperoleh
dan dengan demikian α ( x ) = n1 = n3 = α ( y ) . Jadi,
pemetaan α terdefinisi dengan baik. Pemetaan α jelas merupakan homomorfisma modul dan
berlaku (α f )( a ) = a untuk setiap a ∈ N1 atau dengan kata lain (α f ) = 1N1 .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
37
Diperhatikan bahwa dari Teorema E4.74 dapat dibentuk diagram seperti dibawah ini
M
N1
{0M }
g
f
N2
φ1
φ2
φ4
φ3
N1
{0M }
N2
α
β
M
Pemetaan φ1 , φ2 , φ3 , dan, φ4 seluruhnya merupakan pemetaan nol (zero mapping), yaitu pemetaan
yang memetakan setiap elemen domain ke
0M . Pemetaan nol tersebut merupakan
homomorfisma. Lebih lanjut, φ1 dan φ3 merupakan pemetaan injektif serta φ2 dan φ4 merupakan
pemetaan surjektif.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.
http://wijna.web.ugm.ac.id
38