minggu ke-9 macam-macam konvergensi

MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
MINGGU KE-9
MACAM-MACAM KONVERGENSI
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Kita telah mengetahui bahwa untuk n besar dan θ kecil sedemikian
hingga nθ = λ, distribusi binomial bisa dihampiri oleh distribusi
Poisson. Mencari hampiran distribusi menjadi topik penting dalam
statistik, khususnya bila kita melakukan transformasi
Y = h(X1 , X2 , ....Xn ) di mana distribusi Y tidak bisa ditentukan.
Hampiran distribusi berbasis kelakuan Y untuk n besar atau secara
asimtotis atau distribusi limit di mana di dalamnya memuat
pengertian konvergen yang akan menjadi topik bahasan bab ini.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
MACAM-MACAM KONVERGENSI
Konvergensi dalam distribusi
Definisi
Misalkan Xn , n = 1, 2, 3, ... barisan variabel random dengan fungsi
distribusi Fn , n = 1, 2, 3, ... dan X variabel random dengan fungsi
distribusi F . Bila lim Fn (x) = F (x) untuk setiap x di mana F
n→∞
kontinu, maka barisan Xn dikatakan konvergen dalam distribusi ke
d
X dan ditulis Xn −
→ X.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Contoh
Misalkan Xn ∼ eksponensial (θ) dengan
θ = (1 + n1 )−1 , n = 1, 2, 3, ..., maka
1
Fn (x) = 1 − e −(1+ n )x , x > 0. Untuk setiap x ≥ 0 dengan
mudah dapat dilihat
lim Fn (x) = 1 − e −x = F (x).
n→∞
Jadi Xn → X denngan X ∼ Eksponensial (1).
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Contoh
Misalkan Xn mempunyai distribusi seragam dalam (0, n1 ) untuk
n = 1, 2, 3, .... Fungsi distribusi kumulatif dari Xn berbentuk

0
x <0





1
nx
0
6
x
<
Fn (x) =
n



1

1
x>
n
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Sekarang, misalkan X variabel random yang merosot di X = 0
atau P(X = 0) = 1. Dengan demikian,
(
1
x >0
F (x) =
0
x <0
Dalam hal ini C (F ) = {x|F (x) kontinu } = {x 6= 0}. Terlihat
bahwa lim Fn (x) = F (x) untuk setiap x ∈ C (F ) yang berarti
n→∞
d
Xn −
→ X.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Konvergensi dalam probabilitas
Definisi
Barisan variabel random {Xn , n = 1, 2, ..} disebut konvergen dalam
probabilitas variabel random X bila
lim P {|Xn − X | 6 ε} = 1 setiap ε > 0
n→∞
p
→ X . Jenis konvergensi ini sering disebut
dan kita tulis sebagai Xn −
konvergensi stokastik.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Perhatikan bahwa definisi konvergensi dalam probabilitas sering
menggunakan definisi
lim P {|Xn − X | > ε} = 0
n→∞
Ketaksamaan Chebychev mempunyai peran yang sangat penting
dalam membuktikan konvergensi dalam probabilitas.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Contoh
Misalkan Xn variabel random dengan f.k.p.
nn n−1 −nx
x
e
,x > 0
fn (x) =
Γ(n)
n = 1, 2, 3, ...
Dengan demikian, Xn ∼ gamma (n, n1 ) dengan E (xn ) = n. n1 = 1
dan Var(Xn ) = n. n12 = n1 . Menggunakan ketaksamaan Chebyshev,
untuk setiap ε > 0
P (|Xn − 1| > ε) 6
1
→0
nε2
untuk n → ∞.
P
sehingga, Xn −
→ 1.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Contoh
Untuk n = 1, 2, ... misalkan Xn variabel random sedemikian hingga

1

 0 dengan probabilitas
n
Xn =

 1 dengan probabilitas 1 − 1
n
Misalkan X = 1 dengan probabilitas 1. Harga yang mungkin dari
|Xn − X | adalah 0 dan 1. Ini berarti

1

 0 dengan probabilitas 1 −
n
|Xn − X | =

 1 dengan probabilitas 1
n
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Akibatnya, fungsi distribusi dari |Xn − X | adalah

0,



ε<0
1
P {|Xn − X |} 6 ε = 1 − , 0 6 ε < 1

n


1, ε > 1
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Fungsi distribusi ini untuk beberapa n diilustrasikan pada gambar
berikut
Ini berarti lim P {|Xn − X |} 6 ε = 1 untuk setiap ε > 0 yang
n→∞
P
berarti Xn −
→ X.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Konvergensi hampir pasti
Definisi
Misalkan X1 , X2 , ...Xn dan X barisan variabel random yang
didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Xn dikatakan
a.s
konvergen
hampir
pasti
ke
X
ditulis
X
−
→ X bila
n
P lim Xn = X = 1.
n→∞
Melalui teorema berikut definisi di atas akan diperjelas.
Teorema
a.s
Xn −→ X bhb lim P
n→∞
sup |Xm − Xn | > ε = 0 untuk setiap
n→∞
ε > 0.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Teorema
Misalkan X1 , X2 , X3 , ... barisan variabel random independen. Maka
∞
P
a.s
Xn −→ X ⇔
P (|Xn − X | > ε) < ∞, untuk ∀ε > 0
n=1
Contoh
Untuk α > 1, misalkan X1 , X2 , X3 ... barisan variabel random
independen sedemikian hingga
P (Xn = 0) = 1 −
1
1
dan
P
(X
=
n)
=
, n > 1.
n
nα
nα
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Perhatikan bahwa untuk ε > 0
P (|Xn | > ε) = P (Xn = n) =
1
.
nα
Sekarang
∞
X
n=1
∞
X
1
P (|Xn | > ε) =
< ∞ karena α > 1
nα
n=1
a.s
sehingga menurut teorema di atas, Xn −→ 0.
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
Konvergensi dalam mean
Definisi
Misalkan X1 , X2 , X3 ... barisan variabel random yang didefinisikan
pada ruang probabilitas yang sama. Xn dikatakan konvergen dalam
mean ke r variabel random X untuk n → ∞ bila E (Xn − X )r → 0
2
untuk n → ∞. Bila r = 2, maka Xn →
− X disebut konvergen dalam
mean kuadrat.
Catatan
d
Bila Xn −
→ X untuk n → ∞, dengan N(0, 1) sering ditulis singkat
d
Xn −
→ N(0, 1).