Oleh : Ir. A.Rachman Hasibuan dan Naemah Mubarakah, ST

BAB 6
RANGKAIAN KUTUB EMPAT
Oleh :
Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST
6.1 Pendahuluan
Gambar 6.1 Rangkaian kutub dua
Gambar 6.2 Rangkaian kutub empat
Rangakaian kutub empat (K-4) adalah suatu rangkaian yang memiliki
sepasang terminal pada sisi input dan sepasang terminal pada sisi output
(transistor, op amp, transformator dan lainnya)
6.2 Parameter Impedansi “z”
Parameter impedansi “z” ini pada umumnya banyak dipergunakan
dalam sintesa filter, dan juga dalam penganalisaan jaringan impedance
matching dan juga pada distribusi sistem tenaga.
(a)
(b)
Gambar 6.3 (a) Rangkaian kutub empat dengan sumber tegangan ;
(b) Rangkaian kutub empat dengan sumber arus
Adapun bentuk matriks hubungan tegangan dalam parameter
impedansi ‘z’ ini adalah :
 V1   z11
V  =  z
 2   21
z12   I1 
z 22  I 2 
dengan determinan impedansi dari parameter “z” :
∆z =
z12 =
z11
z12
z 21
z 22
= z11.z 22 − z12 .z 21
v1
I 2 I =0
z11 =
v2
I 2 I =0
z 21 =
v1
I1
I 2 =0
v2
I1
I 2 =0
1
z 22 =
1
Gambar 6.4 Rangkaian untuk menentukan
parameter-parameter z12 dan z22
Gambar 6.5 Rangkaian untuk menentukan
parameter-parameter z11 dan z21
(b)
(a)
Gambar 6.6 Rangkaian resiprokal (a) ammeter di terminal kiri ;
(b) ammeter di terminal kanan
Suatu rangkaian kutub empat yang bersifat resiprokal dapat digantikan
dengan rangkaian ekivalen dengan hubungan T.
I1
+
V1
-
I2
z11 – z12
z22 – z12
z12
+
V2
-
Gambar 6.7 Rangkaian ekivalen parameter “z” yang bersifat resiprokal
Untuk rangkaian kutub empat dengan parameter “z” secara umum
rangkaian ekivalennya adalah sebagai berikut :
Gambar 6.8 Bentuk umum rangkaian ekivalen parameter “z”
Pada beberapa rangkaian terkadang tidak dapat dicari parameter “z” dari
rangkaian kutub empat-nya
Gambar 6.9 Transformator ideal tidak memiliki parameter “z”
Adapun persamaan kutub empat untuk rangkaian transformator
ideal Gambar 6.9, adalah :
V1 =
1
.V2
n
dan
I1 = − n.I 2
Contoh :
Carilah parameter “z” dari rangkaian di bawah ini :
Jawab :
Untuk mendapatkan z11 dan z21, maka pasangkan sumber tegangan V1
pada terminal input dan terminal output terbuka.
z11 =
z 21 =
v1
I1
v2
I1
=
(R 1 + R 3 ).I1
= (R 1 + R 3 ) = 20 + 40 = 60 Ω
I1
=
R 3 .I1 40.I1
=
= 40 Ω
I1
I1
I 2 =0
I 2 =0
Untuk mencari z12 dan z22, maka V1 dibuka dan sumber tegangan V2
dipasangkan pada terminal output, sehingga rangkaian menjadi :
z12 =
z 22 =
v1
I2
v2
I2
=
R 3 .I 2
= R 3 = 40 Ω
I2
=
(R 2 + R 3 ).I 2
= (R 2 + R 3 ) = 30 + 40 = 70 Ω
I2
I1 =0
I1 =0
6.3 Parameter Admitansi “y”
Parameter admitansi “y” juga pada umumnya banyak dipergunakan dalam
sitesa filter, perencanaan penganalisaan matching network dan distrubusi
sitem tenaga.
Bentuk matriks hubungan tegangan dalam parameter impedansi ‘y’ ini
adalah :
 I1   y11
I  =  y
 2   21
y12   V1 
y 22  V2 
dimana sebagai determinan admitansi dari parameter “y”
∆y =
y11
y 21
y12
= y11.y 22 − y12 .y 21
y 22
y11 =
y 21 =
I1
V1
V2 =0
I2
V1
V2 =0
Gambar 6.10 Rangkaian untuk menentukan y11 dan y21
I2
I1
+
y12 =
V1= 0
-
y 22 =
I1
V2
V1 =0
I2
V2
V1 =0
+
V2
-
I2
Gambar 6.11 Rangkaian untuk menentukan y12 dan y22
Untuk kutub empat parameter “y” yang resiprokal, maka rangkaian
ekivalennya (khusus yang resiprokal) merupakan rangkaian П.
Gambar 6.12 Bentuk Rangkaian П sebagai ekivalen untuk parameter “y” yang resiprokal
Gambar 6.13 Rangkaian ekivalen untuk parameter “y” secara umum
Contoh :
Hitunglah parameter-parameter “y” dari rangkaian di bawah ini:
Jawab :
Untuk mencari y11 dan y21 maka hubung singkat terminal output dan
pasangkan sumber arus I1 pada terminal input.
dari rangkaian terlihat bahwa :
R p1 =
− I2 =
R 1.R 2
4.2
4
=
= Ω
R1 + R 2 4 + 2 3
dan
V1 = I1 .R p1 =
4
I1
3
R1
4
2
2
x I1 =
x I1 = I1 atau → I 2 = − I1
4+2
3
3
R1 + R 2
maka :
y11 =
y 21 =
I1
V1
I2
V1
=
V2 =0
V2 =0
I1
I
3
= 1 = S
V1 4
4
I1
3
2
− I1
1
= 3 =− S
4
2
I1
3
Untuk mendapatkan y12 dan y22 maka hubung singkat terminal
input dan pasangkan sumber arus I2 pada terminal output.
dari rangkaian terlihat bahwa :
R p2
R 2 .R 3
2.8 8
=
=
= Ω
R2 + R3 2 + 8 5
− I1 =
dan
V2 = I 2 .R p 2
8
= I2
5
R3
8
4
4
x I2 =
x I 2 = I 2 atau → I1 = − I 2
R2 + R3
2+8
5
5
maka :
y 22
I2
=
V2
V1 =0
I1
I2
I2
5
y
=
=
=
= S dan 12 V
2
V2 8
8
I2
5
V1 =0
4
− I2
1
= 5 =− S
8
2
I2
5
1
y
=
y
=
−
S , maka rangkaian merupakan rangkaian yang
ternyata 12
21
2
resiprokal, dimana kalau digambarkan rangkaian ekivelennya (khusus
resiprokal) adalah :
I1
I2
−
+
V1
y11 + y12 =
3 1 1
− = S
4 2 4
-
Rangkaian ekivalen secara umum :
3
S
4
+
y 22 + y12 =
5 1 1
− = S
8 2 8
V2
-
6.4 Parameter “h”
Parameter “h” ini sering juga disebut dengan parameter Hibrid (Hybrid
parameters), parameter ini mengandung sifat-sifat dari parameter “z”
dan “y”.
Bentuk persamaan matriks dari parameter “h” ini adalah :
V1   h11
 I  = h
 2   21
h12   I1 
h 22  V2 
sebagai determinan dari parameter “h”
h11
∆h =
h 21
h12
= h11.h 22 − h12 .h 21
h 22
h 11 =
h 21 =
V1
I1
V2 =0
I2
I1
V2 =0
Gambar 6.14 Rangkaian untuk
mencari h11 dan h21
h 12 =
Gambar 6.15 Rangkaian untuk
mencari h12 dan h22
h 22 =
V1
V2
I1 =0
I2
V2
I1 =0
Apabila h12 = -h21 maka rangkaian kutub empat disebut sebagai rangkaian
kutub empat yang resiprokal yang rangkaian ekivalennya adalah :
Gambar 6.16 Bentuk ekivalen dari parameter ‘h”
Contoh :
Hitunglah parameter-parameter “h” dari rangkaian di bawah ini :
R2 = 6 Ω
Jawab :
Untuk mencari h11 dan h21, maka hubung singkat terminal output dan
pasangkan sumber arus I1 pada terminal input.
dari rangkaian ini terlihat bahwa :
R p1 =
R 2 .R 3
6x3
=
=2Ω
R 2 + R3 6 + 3
dan R s1 = R 1 + R p1 = 2 + 2 = 4 Ω
Maka rangakain pengganti :
Maka :
→
dengan pembagian arus :
R1 = 2 Ω
I1
V2 =0
4I1
=
=4Ω
I1
R3 = 3 Ω
+
I1
V1
IR2
-
I2
+
R2 = 6 Ω
V1 = R s1.I1 = 4.I1
V1
h 11 =
I1
-I2
V2 = 0
-
dari rangkaian ini terlihat bahwa :
R 2 .I1
6.I1 2
− I2 =
=
= I1
R2 + R3 6 + 3 3
sehingga :
h 21 =
I2
I1
V2
→
2
I 2 = − I1
3
2
− .I1
2
= 3
=−
I1
3
=0
Selanjutnya untuk mencari h12 dan h22, maka terminal input dibuka dan
pasangkan sumber tegangan V2 pada terminal output.
R1 = 2 Ω
+
R3 = 3 Ω
I2
+
I1 = 0
V1 R2 = 6 Ω
-
+
-
-
V2
maka menurut rangkaian pembagi tegangan :
V1 =
R2
6
2
.V2 =
.V2 = .V2
R2 + R3
6+3
3
V2 = (R 2 + R 3 ).I 2 = (6 + 3).I 2 = 9.I 2
sehingga :
V1
h 12 =
V2
I1 =0
2
.V2
2
3
=
=
V2
3
dan
h 22
kalau digambarkan rangkaian ekivalennya :
I2
=
V2
I1 =0
I2
1
=
= S
9.I 2 9
6.5 Parameter “g”
Parameter “g” sering juga disebut sebagai kebalikan / invers dari
parameter “h”
Bentuk persamaan matriks dari parameter “g” ini adalah :
 I1   g11
 V  = g
 2   21
g12  V1 
g 22   I 2 
sebagai determinan dari parameter “g” :
∆g =
g11
g12
g 21
g 22
= g11.g 22 − g12 .g 21
g 11 =
I1
V1
I 2 =0
V2
V1
I 2 =0
g 21 =
Gambar 6.17 Rangkaian untuk menentukan harga-harga g11 dan g21
g 12 =
g 22 =
I1
I2
V1 =0
V2
I2
V1 =0
Gambar 6.18 Rangkaian untuk menentukan harga-harga g12 dan g22
Gambar 6.19 Bentuk ekivalen dari parameter “g”
Contoh :
Carilah parameter “g” dari rangkaian berikut ini :
Jawab :
Untuk mencari g11 dan g21 pasang pada sumber tegangan V1 pada
terminal input sedangkan terminal output terbuka.
R2 = 1 Ω
I1
V1
+
-
I2 = 0
+
+
V1
V2
-
-
dari rangkaian ini terlihat bahwa :
R s1 = R 2 + R 3 = 1 + 0,5 = 1,5 Ω
Maka :
I1 =
Sehingga :
g11 =
I1
V1
→
R p1 =
R1.R s1
0,5 x 1,5 0,75
=
=
= 0,375 Ω
R1 + R s1 0,5 + 1,5
2
V1
V1
=
= 2,667. V1
R p1 0,375
=
I 2 =0
2,667.V1
= 2,667 S
V1
Karena :
I R3
R1
0,5
=
I1 =
I1 = 0,25. I1
R 1 + R s1
0,5 + 1,5
→V
I1 = 2,667. V1 → maka : V1 =
Maka :
g 21
V2
=
V1
I 2 =0
2
= I R 3 .R 3 = 0,25.I1.0,5 = 0,125.I1
I1
= 0,375 .I1
2,667
0,125.I1
=
= 0,333
0,375.I1
Selanjutnya untuk mendapatkan g12 dan g22, maka hubung singkat
terminal input, sedangkan pada terminal output dipasangkan sumber
arus I2.
I1
I2
R1 = 0,5 Ω
+
R3 = 0,5 Ω
R2 = 1 Ω IR2
V1 = 0
-
+
V2
IR3
I2
-
Dari rangkaian terlihat :
IR2 =
R3
0,5
.I 2 =
.I 2 = 0,333.I 2 = −I1
R2 + R3
1 + 0,5
sehingga :
g12 =
I1
I2
=
V1 =0
→
− 0.333.I 2
= −0,333
I2
I1 = −I R 2 = −0.333. I 2
dari rangkaian juga terlihat bahwa R2 paralel R3 atau :
Rp =
R 2 .R 3
1 x 0,5
=
= 0,333 Ω
R 2 + R 3 1 + 0,5
→
V2 = R p. I 2 = 0.333. I 2
sehingga :
g 22
V2
=
I2
V1 =0
0,333 I 2
=
= 0,333 Ω
I2
Kalau digambarkan rangkaian ekivalennya :
6.6 Parameter “ABCD”
Parameter ini sering juga disebut sebagai parameter transmisi (transmission
parameters).
Bentuk persamaan matriks dari parameter “ABCD” ini adalah :
V1  A
 I  = C
 1 
B   V2 
D − I 2 
dan sebagai determinan dari parameter “ABCD” adalah :
∆ ABCD = ∆ T =
A
B
C
D
dalam keadaan resiprokal berlaku :
= AD − BC
AD – BC = 1
A=
C=
I1
V2
I 2 =0
V1
V2
I 2 =0
Gambar 6.21. Rangkaian untuk menentuka A dan C dari parameter “ABCD”
B=−
D=−
V1
V2
V2 =0
I1
I2
V2 =0
Gambar 6.22 Rangkaian untuk menentukan B dan D pada parameter “ABCD”
Contoh :
Carilah parameter “ABCD” dari rangkaian di bawah ini :
Jawab :
Untuk menghitung A dan C, pasangkan sumber tegangan V1 pada terminal
input sedangkan terminal output dibuka seperti rangkaian di bawah ini :
+ I
R1
V1
I2 = 0
R2 = 1 Ω
I1
+
-
IR3
+
V2
-
-
dari rangkaian terlihat bahwa :
I R1 =
R2 + R3
1 + 0,5
.I1 =
.I1 = 0,75.I1 Amp
R1 + R 2 + R 3
0,5 + 1 + 0,5
I R3 =
R1
0,5
.I1 =
.I1 = 0,25.I1 Amp
R1 + R 2 + R 3
0,5 + 1 + 0,5
V1 = R 1.I R1 = 0,5 x 0,75.I1 = 0,375. I1
V2 = R 3 .I R 3 = 0,5 x 0,25.I1 = 0,125. I1
I1 =
V2
= 8.V2
0,125
Maka di dapat :
V1
A=
V2
I 2 =0
0,375.I1
=
=3
0,125.I1
dan
I1
C=
V2
I 2 =0
8.V2
=
=8S
V2
Untuk mencari B dan D, maka terminal output dihubung singkat,
sedangkan V1 dipasangkan pada terminal input.
-
R3 = 0,5 Ω
+
-
R1 = 0,5 Ω
+ I
R1
V1
I2 = 0
R2 = 1 Ω
I1
IR3
+
V2 = 0
V1
R2
→
V1
R1
-
dari rangkaian ekivalennya didapat :
V1 = R 2 x (−I 2 ) = 1.(−I 2 ) = −I 2
V1 V1 V1 V1
I1 =
+
=
+
= 3.V1
R 1 R 2 0,5 1
I1 = 3.V1 = 3 x (−I 2 ) = −3.I 2
Maka di dapat :
V1
B=−
I2
V2 =0
− I2
=−
= 1 Ω dan
I2
D=−
I1
I2
=
V2 =0
− 3. I 2
=3
I2
6.7 Parameter “abcd”
Parameter “abcd” disebut sebagai inverse dari parameter “ABCD”
Bentuk persamaan matriks dari parameter “ABCD” ini adalah :
V2  a
 I  = c
 2 
b   V1 
d  − I1 
dan sebagai determinan dari parameter “ABCD” adalah :
∆ abcd = ∆ t =
a
b
c
d
= a.d − b.c
dan bilamana kutub empat ini bersifat resiprokal, maka berlaku :
a.d – b.c = 1
I1 = 0
+
V1
-
a=
I2
V2
V1
I
c= 2
V1
I1 =0
+
-
+
-
V2
I1 =0
Gambar 6.23 Rangkaian untuk menentuka a dan c dari parameter “abcd”
b=−
d=−
V2
I1
I2
I1
V1 =0
V1 =0
Gambar 6.24 Rangkaian untuk menentukan b dan d pada parameter “abcd”
Contoh :
Carilah parameter “abcd” dari rangkaian di bawah ini :
Jawab :
Untuk mencari a dan c, pasangkan sumber tegangan V2 pada terminal
output dan buka terminal input seperti rangkaian di bawah ini :
dari rangkaian dapat dihitung :
V2
V2
2
I4 =
=
= V2 Amp
R 1 + R 2 0,5 + 1 3
V1 = I 4 x R 1 =
2.V2
V
x 0,5 = 2
3
3
V2 2
V2 2
8V2
I 2 = I3 + I 4 =
+ V2 =
+ V2 =
R3 3
0,5 3
3
Maka di dapat :
V2
a=
V1
c=
I2
V1
I1 =0
V2
=
=3
V2
3
8V2
=
I1 =0
V2
3 =8S
3
Untuk mencari b dan d, maka hubung singkaat input, sedangkan
output tetap dengan sumber tegangan V2
→
dari rangkaian ekivalen dapat dihitung :
V2 = R2.I6 = 1.I6 = I6
V
I 2 =I 5 + I 6 = 2 + I 6
R3
→
→
I6 = -I1
I2 =
→
V2 = -I1
V2
−I
− I1 = 1 − I1 = −3.I1
R3
0,5
Maka di dapat :
b=−
V2
I1
=−
V1 =0
− I1
=1 Ω
I1
dan
d=−
I2
I1
=−
V1 =0
− 3.I1
=3
I1
6.8 Konversi Antar Parameter
6.9 Interkoneksi Antar Kutub Empat
6.9.1 Kutub Empat dengan Hubungan Seri
Gambar 6.25 Hubungan seri dua rangkaian kutub empat
Untuk Na :
V1a = z11a I1a + z12a I 2a
V2a = z 21a I1a + z 22a I 2a
Untuk Nb :
V1b = z11b I1b + z12b I 2b
V2b = z 21b I1b + z 22b I 2b
dengan :
I1 = I1a = I1b
I 2 = I 2a = I 2 b
V1 = V1a + V1b = (z11a + z11b ) I1 + (z12a + z12b ) I 2
V2 = V2a + V2 b = (z 21a + z 21b ) I1 + (z 22a + z 22b ) I 2
maka parameter “z” dari dua kutub empat yang di serikan adalah :
 z11
z
 21
z12   z11a + z11b
=

z 22  z 21a + z 21b
z12a + z12b 
z 22a + z 22b 
6.9.2 Kutub Empat dengan Hubungan Paralel
Gambar 6.26 Hubungan paralel dari dua buah rangkaian kutub empat
Dalam hubungan ini berlaku :
I1a = y11a V1a + y12a V2a
I 2a = y 21a V1a + y 22a V2a
dan
I1b = y11b V1b + y12b V2b
I 2b = y 21b V1b + y 22b V2 b
dari rangkaian Gambar 6.26, terlihat :
I1 = I1a + I1b
I 2 = I 2a + I 2 b
I1 = (y11a + y11b ) V1 + (y12a + y12 b ) V2
I 2 = (y 21a + y 21b ) V1 + (y 22a + y 22 b ) V2
maka untuk kutub empat dengan parameter “y” yang terhubung paralel
berlaku :
 y11
y
 21
atau :
y12   y11a + y11b
=

y 22   y 21a + y 21b
[y] = [y a ] + [y b ]
y12a + y12b 
y 22a + y 22b 
6.9.3 Kutub Empat dengan Hubungan Kaskade
Gambar 6.27 Dua rangkaian kutub empat dalam hubungan kaskade
Persamaan dari kedua kutub empat dalam parameter “ABCD” adalah :
V1a  A a
 I  = C
 1a   a
B a   V2a 
D a  − I 2a 
dan
V1b  A b
 I  = C
 1b   b
B b   V2b 
D b  − I 2b 
dari rangkaian pada Gambar 6.27 terlihat bahwa :
V1  V1a 
I  = I 
 1   1a 
;
 V2a  V1b 
− I  =  I  ;
 2a   1b 
 V2b   V2 
− I  =  − I 
 2b   2 
akan diperoleh :
V1  A a
 I  = C
 1  a
B a  A b
D a   C b
Bb   V 2 
D b  − I 2 
sehingga apabila dua parameter “ABCD” dihubungkan kaskade,
maka parameter keseluruhan adalah merupakan hasil perkalian
dari setiap parameter yang dihubungkan secara kaskade tersebut,
atau dituliskan dengan :
A
C

B  A a
=

D  C a
B a  A b
D a   C b
Bb 
D b 
atau :
[T ] = [Ta ] + [Tb ]