HW week 4 solution

HW week 4 solution
1. Setelah anda mempelajari empat jenis ensambel, cobalah untuk membuat
ensambel baru yang terkait dengan suatu sistem, yang mana sistem dapat: bertukar energi dengan lingkungan dan berada pada kesetimbangan
termal pada suhu T , partikel dapat keluar masuk ke dalam sistem dan berada pada kesetimbangan potensial kimia µ, volume dapat berubah-ubah
dan berada dalam kesetimbangan mekanik dengan tekanan P . Tunjukkan
bahwa tidak ada besaran potensial termodinamik yang terkait dengan
‘fungsi partisi’ yang anda peroleh dari ensambel semacam ini.
Jawaban:
Ditinjau suatu sistem banyak partikel dalam wadah terbuka yang berada
dalam kesetimbangan termal dengan lingkungan pada suhu T , kesetimbangan potensial kimia dengan lingkungan pada nilai potensial kimiaµ,
dan volumenya dapat berubah-ubah pada kesetimbangan tekanan p.
Tinjau suatu ensambel terdiri dari N kopi sistem dengan keadaan makro
yang identik, yaitu pada T , p dan µ tertentu. Masing-masing sistem ini
memiliki sejumlah partikel N dalam wadah bervolume V (untuk semua
kemungkinan nilainya) dan berada pada titik ruang fase tertentu. Semua
ruang fase untuk setiap N = 1, 2, . . . dan V kemudian dibagi menjadi
sel-sel yang sama besarnya ∆ωi,N,V yang dilabeli dengan i, N dan V .
Indeks i, N, V menunjukkan sel ruang fase i dalam ruang fase dengan
jumlah partikel N dan volume V tertentu. Di dalam setiap sel ruang
fase ini akan terdapat sejumlah ni,N,V kopi sistem, dan kita akan mencari
distribusi yang paling terbolehjadi {ni,N,V ∗} bagi keseluruhan ensambel.
Distribusi ni,N,V ini harus memenuhi empat kondisi.
X
ni,N,V = N
(1)
i,N,V
Kedua, untuk nilai termperatur tertentu, terdapat energi rerata
Z
X
dV
ni,N,V Ei = N < Ei >= N U
V
(2)
i,N,V
Z
X
dV
V
Z
dV
V
ni,N,V N = N N
(3)
ni,N,V V = N < V >
(4)
i,N,V
X
i
Dengan logika yang sama seperti pada enjabaran ensambel-ensambel sebelumnya, akan kita dapatkan bahwa total probabilitas untuk suatu distribusi diberikan oleh
Y (ωi,N,V )ni ,N
(5)
W {ni,N,V } = N !
ni,N,V !
i,N,V
1
hanya saja sekarang sel-sel ruang fase dilabeli dengan tiga indeks, dan
ωi,N,V adalah probabilitas mendapatkan satu keadaan mikro di dalam sel
∆ωi,N,V . Untuk mendapatkan distribusi yang paling terbolehjadi, dicari
nilai ekstrim dari logaritma pers. (5),
Z
X
ln W {ni,N,V } = N ln N −N − dV
[(ni,N,V ln ni,N,V )−ni,N,V ln ωi,N,V ]
V
i,N
(6)
yaitu
Z
d ln W {ni,N,V } = −
dV
V
X
[ln ni,N,V − ln ωi,N,V ]dni,N,V = 0.
(7)
i,N
Karena ni,N,V saling terkait dengan pers. (1) - (4), maka dipakai metode
pengali Lagrange, dengan pengali Lagrangenya λ, −β, α, dan γ
Z
X
λ
dV
dni,N,V = 0
(8)
V
i,N
Z
−β
dV
V
dV
V
dV
V
(9)
X
N dni,N,V = 0
(10)
V dni,N,V = 0
(11)
i,N
Z
γ
Ei dni,N,V = 0
i,N
Z
α
X
X
i,N
Bila keseluruhanya dijumlah, diperoleh
Z
X
dV
[ln ni,N,V − ln ωi,N,V − λ + βE − αN − γV ]dni,N,V = 0 (12)
V
i,N
Sekarang semua dni,N,V saling independen, sehingga koefisien dalam kurung siku di atas harus lenyap. Sehingga diperoleh kondisi untuk distribusi
yang paling terbolehjadi sebagai berikut
n∗i,N,V = ωi,N,V eλ exp[−βEi + αN + γV ]
(13)
Nilai eλ ditentukan melalui (1), sedangkan probabilitas ωi,N,V untuk sel
ruang fase yang seukuran dianggap sama. Sehingga dari pers. (1) diperoleh
n∗i,N,V
exp(−βEi + αN + γV )
=P
,
(14)
pi,N,V =
N
i,N,V + exp(−βEi + αN + γV )
2
yang diinterpretasikan sebagai probabilitas ruang fase. Untuk kasus dengan spektrum energi kontinu, persamaan ini menjadi rapat ruang fase
makrokanonik
exp(−βH(qi , pi ) + αN + γV )
R
d3N qd3N p exp[−βH(qi , pi ) + αN + γV )
N =1 h3N
V
(15)
Kita sebut saja bagian penyebut persamaan di atas sebagai fungsi ‘partisi’
ρM k (N, V, qi , pi ) = R
∞
X
Z
Z=
dV
V
dV
1
Z
h3N
N =1
P∞
1
d3N qd3N p exp[−βH(qi , pi ) + αN + γV )]
(16)
Nilai β, α dan γ dapat ditentukan melalui formulasi entropi sebagai rerata
ensambel dari logaritma rapat ruang fase S =< −k ln ρ >. Dari pers. (15),
kita peroleh
∞
X
Z
S(β, γ, α) =
dV
V
N =1
1
h3N
Z
d3N qd3N p ρM k [k ln Z+kβH(qi , pi )−kαN −kγV ]
(17)
Suku pertama dalam kurung segi di atas tidak bergantung pada titik di
ruang fase, dan juga tidak bergantung pada jumlah partikel, sehingga bisa
ditarik keluar dari integral ruang fase dan penjumlahan jumlah partikel,
dan yang tersisa adalah integral normalisasi. Suku kedua dalam kurung
persegi tidak lain adalah rerata dari energi, suku kedua adalah rerata
jumlah partikel, dan suku terkahir adalah rerata volume. Sehingga kita
peroleh
S(β, V, α) = k ln Z(β, γ, α) + kβU − kα < N > −kγ < V >
(18)
Perlu diperhatikan bahwa karena pers. (2), β dapat merupakan fungsi
dari U dan α, demikian pula karena pers. (3), α dapat merupakan fungsi
dari < N > dan β, serta karena pers. (4), γ dapat merupakan fungsi dari
< V > dan β. Sehingga derivatif dari S terhadap U menghasilkan
∂S
∂β ∂
∂β
=
k ln Z(β, γ, α) + k
U + kβ
∂U
∂U ∂β
∂U
Dengan memakai
∂ ln Z
∂β
(19)
= −kU , maka
1
∂S
=
= kβ
∂U
T
(20)
sehingga β = 1/kT .
Derivatif S terhadap jumlah partikel menghasilkan
∂S
∂α
∂
∂α
=
k ln Z(β, γ, α) − k
< N > −kα (21)
∂<N >
∂ < N > ∂α
∂<N >
3
Dengan memakai
∂k ln Z
∂α
= k < V >, maka
µ
∂S
=
= −kα
∂<N >
T
(22)
sehingga α = µ/kT .
Derivatif S terhadap volume menghasilkan
∂S
∂γ
∂
∂γ
=
k ln Z(β, γ, α) − k
< V > −kγ
∂<V >
∂ < V > ∂γ
∂<V >
Dengan memakai
∂k ln Z
∂γ
(23)
= k < V >, maka
P
∂S
=
= −kγ
∂<V >
T
(24)
sehingga γ = −P/kT .
Bila hasil untuk β, α dan γ kita kembalikan ke pers. (18), dan menyusun
ulang hasilnya agar sesuai dengan bentuk yang dikenal dalam termodinamika, akan kita peroleh
U − T S − µ < N > +P < V >= −kT ln ZM k (T, P, µ)
(25)
Tetapi sisi kiri persamaan di atas lenyap, sehingga sisi kanan tidak ada
artinya, atau dengan kata lain fungsi partisi tersebut tidak terkait dengan
besaran potensila termodinamika apapun.
2. Sistem N buah osilator harmonik memiliki Hamiltonan yang diberikan
oleh
3N
X
p2i
mω 2 2
H=
+
q
2m
2 i
i=1
Sistem ini berada dalam keadaan kesetimbangan termal dengan lingkungan pada suhu T . Ensambel apa yang cocok digunakan untuk menganalisa
sistem ini? Hitunglah entropi dan panas jenis pada volume konstan untuk
sistem ini.
Jawaban:
Karena jumlah partikel tetap sedangkan energi dapat bertukar dengan
lingkungan, maka ensambel yang cocok adalah ensambel kanonik. Fungsi
partisinya adalah
Z(T, V, N ) =
3N Z
1 Y
h3N
i
∞
dpi exp(−β
−∞
p2i
)
2m
Z
∞
dqi exp(−β(
−∞
mω 2 qi2
)
2
Integral terhadap momentum tidak lain adalah integral gaussian
Z ∞
2mπ 1/2
p2
dpi exp(−β i ) =
2m
β
−∞
4
Integral posisi juga integral gaussian
Z ∞
2π 1/2
mω 2 qi2
dqi exp(−β(
)=
2
mω 2 β
∞
sehingga
Z(T, V, N ) =
2π 3N
ωβ
dan energi bebas Helmoltz
F (T, V, N ) = −3N kT ln
2π ωβ
Entropi diberikan oleh
S=−
i
h 2π ∂F +1
= 3N k ln
∂T V,N
ωβ
Energi dalamnya
U = F + T S = 3N kT
dan kapasitas panas pada volume konstan
CV =
∂U
= 3N k
∂T
3. Dengan menggunakan ensambel makrokanonik, hitunglah Entropi, potensial kimia, dan kapasitas panas volume konstan, untuk gas ultrarelativistik
yang berada dalam wadah bervolume V . Ingat bahwa setiap partikel gas
ultrarelativistik memiliki energi kinetik yang diberikan oleh E = |~
p|c, dengan p~ adalah momentum dan c adalah kecepatan cahaya.
Jawaban:
Fungsi partisi makrokanoniknya
Z(T, V, µ) =
Z Y
∞
3N
N
X
X
eβµN
dp
dq
exp(−β
|~
pi |c)
i
i
h3N
i
i
N =1
Integral terhadap posisi bebas dan hanya memberikan sumbangan volume
∞
N Z
X
eβµN V N Y ∞
Z(T, V, µ) =
4πp2i dpi exp(−βpi c)
h3N
0
i
N =1
Integral ini dapat dikonversikan ke fungsi gamma, dan hasilnya
Z(T, V, µ) =
∞ X
8V πeβµ N
(βch)3
N =1
5
Fungsi grand potensialnya diberikan oleh
∞ X
8V πeβµ N
Φ = −kT ln
(βch)3
N =1
Entropinya diberikan oleh
∞ h X
i
∂Φ 8V πeβµ N
µ
= k ln
S=−
−
+
3
∂T V,µ
(βch)3
kT
N =1
Jumlah rerata partikel diberikan oleh
∞ X
∂Φ 8V πeβµ = −N kT ln
N =−
∂µ V,T
(βch)3
N =1
Energi dalamnya
U = Φ + T S + µN = 3N kT
dan kapasitas panas pada volume konstan
CV =
∂U
= 3N k
∂T
Silahkan bekerja sama/berkelompok dalam mengerjakan tugas, tapi
jangan bekerja sama ketika ujian!!!
6